上海市嘉定區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGEPAGE1上海市嘉定區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，只要求直接填寫結(jié)果，前6題每題得4分，后6題每題得5分．1.已知集合，，則___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所?故〖答案〗為：.2.將化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為__________．〖答案〗〖解析〗由題意可得：.故〖答案〗為：.3.若，則=__________.〖答案〗2〖解析〗由于，所以.故〖答案〗為：.4.已知，用表示____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所?故〖答案〗為：.5.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則=__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，又.故〖答案〗為：.6.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)為___________.〖答案〗1.〖解析〗，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，，所以，即.故〖答案〗為：.7.已知，則函數(shù)的最大值為_________.〖答案〗4〖解析〗因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以函數(shù)最大值為4.故〖答案〗為：4.8.已知，關(guān)于的不等式的解集為，則=________.(用表示)〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋P(guān)于的不等式的解集為，所以且，3是一元二次方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得到，即，所以.故〖答案〗為：.9.若，則的最小值為___________.〖答案〗7〖解析〗因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以的最小值為.故〖答案〗為：.10.已知在上是關(guān)于x的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)樵谏鲜顷P(guān)于x的減函數(shù)，而是增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，為上的減函數(shù)，故，解得.故〖答案〗為：.11.已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，①若，則上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則時(shí)，，即時(shí)，，又時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，不滿足題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)此時(shí)值域?yàn)?，不滿足題意，舍去；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則時(shí)，，即時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，又時(shí)，；則時(shí)，且，不等式，解得：，不等式等價(jià)于時(shí)，，設(shè)（），因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上是增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，等價(jià)于，即，則不等式，解得：，所以時(shí)，解集為，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.12.已知函數(shù)若對任意的，都存在唯一的，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．〖答案〗〖解析〗法1：當(dāng)時(shí)，．因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的取值范圍是，由題意及函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得，或，如上圖所示，解得或，所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．法2：當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，（1）若，則（），它是增函數(shù)，此時(shí)的取值范圍是，由題意可得，解得，又，所以；（2）若，則，函數(shù)在上是增函數(shù)，此時(shí)的取值范圍是；而函數(shù)在上是減函數(shù)，此時(shí)的取值范圍是，由題意可得，解得，又，所以，綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．故〖答案〗為：[-1,5).二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，每題選對得5分.13.下列四組函數(shù)中，同組的兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與〖答案〗C〖解析〗A選項(xiàng)，的定義域是，的定義域是，不是相同函數(shù)；B選項(xiàng)，的定義域是，的定義域是，不是相同函數(shù)；C選項(xiàng)，，定義域、值域、和對應(yīng)關(guān)系完全相同，是相同函數(shù)，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，的定義域是，的定義域是，不是相同函數(shù).故選：C.14.已知，則的值()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所?故選：D.15.設(shè)集合，，，其中，給出下列兩個(gè)命題：命題：對任意的，是的子集；命題：對任意的，不是的子集．下列說法正確的是（）A.命題是真命題，命題是假命題B.命題是假命題，命題是真命題C.命題、都是真命題D.命題、都是假命題〖答案〗A〖解析〗由于，即時(shí)，一定成立，故是的子集，因此命題是真命題，令，；令，.從而可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，是的子集，故命題是假命題.故選：A.16.已知函數(shù)，若關(guān)于的的方程有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗若關(guān)于的的方程有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，則必有且同時(shí)成立，即圖象夾在和之間，易知，函數(shù)的圖象大致如圖，結(jié)合圖形可知的整數(shù)解只有兩個(gè)，則其中一個(gè)為，另一個(gè)為，所以，且，解得.故選：B.三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．17.設(shè)全集為，集合，集合.（1）若，求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)椋?，所以，解得，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，所?（2）因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，且即，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知，并且是第二象限角．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因?yàn)?，且是第二象限角，則，所以.（2）由（1）知，，所以.19.某公司擬投資開發(fā)一種新能源產(chǎn)品，估計(jì)公司能獲取不低于100萬元且不高于1600萬元的投資收益。該公司對科研課題組的獎勵方案有如下3條要求:①獎金(單位:萬元)隨投資收益(單位:萬元)的增加而增加；②獎金不低于10萬元且不超過200萬元；③獎金不超過投資收益的20%.（1）設(shè)獎勵方案函數(shù)模型為，我們可以用數(shù)學(xué)語言表述公司對獎勵方案的函數(shù)模型，比如方案要求③“獎金不超過投資收益的20%”可以表述為:“f(x)恒成立”請你用數(shù)學(xué)語言表述另外兩條獎勵方案；（2）已知函數(shù)，其中符合公司獎勵方案函數(shù)模型要求.在該獎勵方案函數(shù)模型前提下，科研課題組最多可以獲取多少獎金?解：（1）“獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加”可以表述為：當(dāng)時(shí)，是的增函數(shù)；“獎金不低于10萬元且不超過200萬元”表述為：函數(shù)值.（2）因?yàn)楹瘮?shù)符合公司獎勵方案函數(shù)模型要求，則函數(shù)在上增函數(shù)，有，，，解得，由，不等式恒成立，得，顯然，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，于是，解得，從而，因此當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號，且，所以在該獎勵方案函數(shù)模型前提下，科研課題組最多可以獲取195萬元獎金.20.已知定義在上的奇函數(shù)的表達(dá)式為(且).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性（只需寫出結(jié)論）；若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知，若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)的表達(dá)式為(且)，所以，得，此時(shí)，則符合題意，所以實(shí)數(shù)的值為3.（2）在單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，因?yàn)?，且，所以，所以，所以在單調(diào)遞增；由，即，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，所以存在，使得成立，因?yàn)閷ΨQ軸為，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）由題意得，令，即，令，則在有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.對于定義域?yàn)镽的函數(shù)，定義，設(shè)區(qū)間，對于區(qū)間上的任意給定的兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，總有，則稱是的“函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)，是否存在“函數(shù)”，并說明理由；（2）若非常值函數(shù)，是奇函數(shù)，求證：存在“函數(shù)”的充要條件是存在常數(shù)，使得；（3）若函數(shù)與函數(shù)的定義域都是，且均存在“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，?dāng)；當(dāng)，故，則該函數(shù)不存在“函數(shù)”.（2）充分性：若，則任取時(shí)，總有，所以存