(1.47)-3.4.4 譜分析范圍和頻率分辨率

在對連續(xù)信號進行譜分析時，主要關(guān)心兩個問題，這就是譜分析范圍和頻率分辨率。

譜分析范圍為［0,Fs/2］，直接受采樣頻率Fs的限制。為了不產(chǎn)生頻率混疊失真，要求滿足Nyquist采樣定理，信號的最高頻率fc<Fs/2。

頻率分辨率用頻域采樣間隔F描述，F(xiàn)表示譜分析中能夠分辨的兩個頻譜分量的最小間隔。顯然，F(xiàn)越小，譜分析就越接近Xa(jf)，所以F較小時，我們稱頻率分辨率較高。Fs：采樣頻率分析由

，

和

看出：要使fc增大，則時域采樣間隔T就要減小，F(xiàn)s增大，若N

給定，為避免混疊失真，必然導致F增加，即譜分辨力下降；（F越小，分辨力越高）反之，若要提高頻率分辨力，即減小F

，就要增加Tp，若N給定，則導致減小Fs，最終必須減小信號的高頻容量fc。解決方法：增加函數(shù)周期內(nèi)的點數(shù)N,即

fc和F

都給定時，則N必須滿足Tp和N可以按照下面兩式進行選擇：(3.4.14)(3.4.15)【例3.4.2】對實信號進行譜分析，要求譜分辨率F≤10Hz，信號最高頻率fc=2.5kHz，試確定最小記錄時間Tpmin，最大的采樣間隔Tmax，最少的采樣點數(shù)Nmin。如果fc不變，要求譜分辨率提高1倍，最少的采樣點數(shù)和最小的記錄時間是多少？解因此Tpmin=0.1s。因為要求Fs≥2fc，所以為使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整數(shù)冪，為此選用N=512點。為使頻率分辨率提高1倍，即F=5Hz，要求：用快速算法FFT計算時，選用N=1024點。上面分析了為提高譜分辨率，又保持譜分析范圍不變，必須增長記錄時間Tp，增加采樣點數(shù)。應(yīng)當注意，這種提高譜分辨率的條件是必須滿足時域采樣定理，甚至采樣速率Fs取得更高。2．用DFT對序列進行譜分析我們知道單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換，即X(ejω)是ω的連續(xù)周期函數(shù)。如果對序列x(n)進行N點DFT得到X(k)，則X(k)是在區(qū)間[0,2π]上對X(ejω)的N點等間隔采樣，頻譜分辨率就是采樣間隔2π/N。因此序列的傅里葉變換可利用DFT(即FFT)來計算。對周期為N的周期序列，由(2.3.10)式知道，其頻譜函數(shù)為其中周期序列的頻譜結(jié)構(gòu)可用其離散傅里葉級數(shù)系數(shù)表示。由DFT的隱含周期性知道，截取的主值序列，并進行N點DFT，得到：

所以可用X(k)表示的頻譜結(jié)構(gòu)。(3.4.16)如果截取長度M等于的整數(shù)個周期，即M=mN，m為正整數(shù)，即

令n=n′＋iN;i=0,1,…,m－1;n′=0,1,…,N－1，則（3.4.17）因為所以(3.4.18)由此可見，XM(k)也能表示的頻譜結(jié)構(gòu)，只是在k=im時，

，表示的i次諧波譜線，其幅度擴大m倍。而其他k值時，XM(k)=0，當然，X(i)與XM(im)對應(yīng)點頻率是相等的。所以，只要截取的整數(shù)個周期進行DFT，就可得到它的頻譜結(jié)構(gòu)，達到譜分析的目的。如果的周期預先不知道，可先截取M點進行DFT，即再將截取長度擴大1倍，截取比較XM(k)和X2M(k)，如果二者的主譜差別滿足分析誤差要求，則以XM(k)或X2M(k)近似表示的頻譜，否則，繼續(xù)將截取長度加倍，直至前后兩次分析所得主譜頻率差別滿足誤差要求。設(shè)最后截取長度為iM，則XiM(k0)表示ω=[2π/(iM)]k0