浙江省2024屆高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)模擬卷（一）(含解析)

浙江省2024屆高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)模擬卷（一）一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）

A． B． C． D．3．“函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)”是“，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知向量，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．6．函數(shù)的圖象不可能是（

）A．

B．

C．

D．

7．已知正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（）A．B．集合C．函數(shù)的值域?yàn)镈．在定義域內(nèi)單調(diào)遞增10．如圖，點(diǎn)是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．若將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則的最小值為11．已知定義在的函數(shù)滿足：①對(duì)恒有；②對(duì)任意的正數(shù)，恒有．則下列結(jié)論中正確的有（

）A．B．過(guò)點(diǎn)的切線方程C．對(duì)，不等式恒成立D．若為函數(shù)的極值點(diǎn)，則三、填空題12．已知復(fù)平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z，若，其中i是虛數(shù)單位，則向量掃過(guò)的面積為．13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為．14．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝CD＝DA＝2，動(dòng)點(diǎn)M在邊DC上（不同于D點(diǎn)），P為邊AB上任意一點(diǎn)，沿AM將△ADM翻折成△AD'M，當(dāng)平面AD'M垂直于平面ABC時(shí)，線段PD'長(zhǎng)度的最小值為．四、解答題15．已知在等差數(shù)列中，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，.(1)求角A；(2)作角A的平分線與交于點(diǎn)，且，求.17．如圖所示，已知是以為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且．以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面，連接．(1)若是線段的中點(diǎn)，求證：平面；(2)求二面角的余弦值．18．已知為雙曲線上異于左、右頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且．當(dāng)時(shí)，的最小內(nèi)角為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)連接，交雙曲線于另一點(diǎn)，連接，交雙曲線于另一點(diǎn)，若．①求證：為定值；②若直線AB?的斜率為?1?，求點(diǎn)P?的坐標(biāo)．19．函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若，求證：；(3)求證：對(duì)于任意都有.參考答案：1．A【分析】首先化簡(jiǎn)集合，然后求出交集即可.【詳解】，，.故選：A2．D【分析】由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)求出復(fù)數(shù)，，計(jì)算，得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則，，得，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D3．B【分析】利用正切函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合集合間的基本關(guān)系判定充分、必要條件即可.【詳解】當(dāng)函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)時(shí)，有，，得，，易知，所以“函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)”是“，”的必要不充分條件．故選：B．4．D【分析】由向量夾角的坐標(biāo)表示計(jì)算．【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：D．5．A【分析】設(shè)出公差，結(jié)合等差數(shù)列求和公式得到為公差為的等差數(shù)列，從而得到方程，求出和，利用等差數(shù)列求和公式得到答案【詳解】設(shè)的首項(xiàng)為，公差為，則，則，則，故為公差為的等差數(shù)列，又，所以，解得，又，解得，故故為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.故選：A6．D【分析】分，和三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點(diǎn)即可得出答案.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)A選項(xiàng)符合；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在在上是減函數(shù)，如圖，作出函數(shù)在上的圖象，由圖可知，函數(shù)的圖象在上有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故B選項(xiàng)符合；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，如圖，作出函數(shù)在上的圖象，由圖可知，函數(shù)的圖象在上有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)符合，D選項(xiàng)不可能.故選：D.7．B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，得出當(dāng)為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，截面為四邊形，點(diǎn)只能在線段上，求得，線段的取值范圍，得到答案.【詳解】在正方體中，平面平面，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，則平面與平面的交線過(guò)點(diǎn)，且與直線平行，與直線相交，設(shè)交點(diǎn)為，如圖所示，

又因?yàn)槠矫?，平面，即分別為，與平面所成的角，因?yàn)?，則，且有，當(dāng)與重合時(shí)，平面截該正方體所得的截面為四邊形，此時(shí)，即為棱中點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，逐漸減小，點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)方向移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)時(shí)，平面只與該正方體的4個(gè)表而有交線，即可用成四邊形；當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，直線必與棱交于除點(diǎn)外的點(diǎn)，又點(diǎn)與不重合，此時(shí)，平面與該正方體的5個(gè)表面有交線，截面為五邊形，如圖所示．

因此．當(dāng)為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，截面為四邊形，點(diǎn)只能在線段（除點(diǎn)外）上，即，可得，則，所以線段的取值范圍是，所以若平面截該正方體的截面為五邊形，線段的取值范圍是.故選：B．【點(diǎn)睛】知識(shí)方法：對(duì)于空間共面、共線問(wèn)題，以及幾何體的截面問(wèn)題的策略：1、正面共面的方法：一是先確定一個(gè)平面，然后再證明其余的線（或點(diǎn)）在這個(gè)平面內(nèi)；二是證明兩個(gè)平面重合；2、證明共線的方法：一是先由兩個(gè)點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；二是直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上；3、空間幾何體中截面問(wèn)題：一是熟記特殊幾何體（正方體，正四面體等）中的特殊截面的形狀與計(jì)算；二是結(jié)合平面的基本性質(zhì)，以及空間中的平行關(guān)系，以及平面的基本性質(zhì)，找全空間幾何體的截面問(wèn)題，并作出計(jì)算；4、空間幾何體中的動(dòng)點(diǎn)軌跡等問(wèn)題：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；8．A【分析】設(shè)出橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，然后根據(jù)焦點(diǎn)三角形頂角的余弦定理求解出的關(guān)系式，最后通過(guò)“1”的妙用求解出最小值.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：，，設(shè)，則在中，由余弦定理得，，化簡(jiǎn)得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓、雙曲線的離心率的相關(guān)計(jì)算，涉及到焦點(diǎn)三角形、基本不等式求最值等問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求較高，難度較大.解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：（1）運(yùn)用兩個(gè)曲線的定義，找到離心率之間的關(guān)系；（2）在已知條件等式的情況下，活用“1”的妙用求最值.9．BD【分析】根據(jù)空集的定義判斷A，根據(jù)集合元素的特征判斷B，根據(jù)所給函數(shù)解析式判斷C，將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)、再分析函數(shù)在各段的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，又，令，所以，，即，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以的值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且為連續(xù)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故D正確；故選：BD10．ACD【分析】令求得根據(jù)求得，根據(jù)求得的解析式，再逐項(xiàng)驗(yàn)證BCD選項(xiàng).【詳解】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項(xiàng)正確，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位得，（時(shí)向右平移，時(shí)向左平移），為偶函數(shù)得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.11．ACD【分析】由條件①結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可設(shè)，再由條件②，求得，選項(xiàng)A，B易判斷；對(duì)C，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可；對(duì)D，利用導(dǎo)數(shù)判斷極值點(diǎn)的范圍，即可得證.【詳解】恒有，，可設(shè)（其中C為常數(shù)），又對(duì)任意的正數(shù)恒有，對(duì)任意的正數(shù)恒有，，，，即，對(duì)于A，由上式可得，故A正確；對(duì)于B，，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，，化簡(jiǎn)得，解，所以點(diǎn)就是切點(diǎn)，所以切線方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，，則，令，可得，，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，對(duì)恒成立，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，，在上單調(diào)遞增，且，，所以使在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，為函數(shù)的極小值點(diǎn)且滿足，，，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，難度較大.首先分析條件①，由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得，可設(shè)，再由條件②，代入運(yùn)算求得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識(shí)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得解.12．【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的幾何意義，得到復(fù)數(shù)表示以為圓心，以為半徑的圓的圓面，過(guò)原點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，結(jié)合三角形和扇形的面積公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，根?jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)表示以為圓心，以為半徑的圓的圓面，如圖所示，過(guò)原點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，在直角中，可得，所以，且，所以，所以復(fù)數(shù)向量掃過(guò)的面積為.故答案為：.13．【分析】將題意轉(zhuǎn)化為求曲線上一點(diǎn)到距離最小值，通過(guò)求導(dǎo)求出點(diǎn)符合題意，進(jìn)而求出答案.【詳解】由題意得，，即求曲線上一點(diǎn)到距離最小值，又因?yàn)樵谥本€上，所以當(dāng)切線與直線平行時(shí)，距離取得最小值，令，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線距離為，即所求曲線上一點(diǎn)到距離最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.關(guān)鍵點(diǎn)在于將所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究曲線即可.本題考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、計(jì)算能力，屬于中檔題.14．/【分析】作直線于點(diǎn)，連接，則翻折后，設(shè)，由，得，，設(shè)，則，，根據(jù)條件得到，然后求出線段長(zhǎng)度的最小值．【詳解】作直線于點(diǎn)，連接，則翻折后，平面平面，為兩平面的交線，平面，．設(shè)，由，得，，設(shè)，則，．由知為正三角形，則，，在中，，即，，記，則，由，得，又，，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則當(dāng)時(shí)，，．故答案為：．15．(1)；，(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量計(jì)算可得，根據(jù)前項(xiàng)和和通項(xiàng)的關(guān)系及等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式計(jì)算可得；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)的公差為，由題意得；當(dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，則，，，是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）得，，①，②①－②得，.16．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊角互化，化簡(jiǎn)后利用正切值求角即得；（2）充分利用三角形的角平分線將三角形面積進(jìn)行分割化簡(jiǎn)得，再運(yùn)用余弦定理解方程即得.【詳解】（1）因，由正弦定理可得：，即.因，故，則有，即，因，故.（2）因?yàn)闉榻瞧椒志€，所以，所以.因，，，則，即，所以.又由余弦定理可得：，把，分別代入化簡(jiǎn)得：，解得：或（舍去），所以.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連接，即可證明四邊形是平行四邊形，從而得到，即可得證；（2）解法1，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸、軸，過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；解法2，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，連接，即可證明是二面角的平面角，最后利用平面幾何的知識(shí)解得即可.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連接．因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，所以且，且，又為的中點(diǎn)，，且，四邊形是平行四邊形．所以，平面，平面，平面.（2）解法1：以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸、軸，過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，設(shè)，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)在平面上的射影落在直線上，①，由題意可知，②，③，由①②③解得，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，取平面的法向量．設(shè)二面角的平面角為，顯然二面角為銳角，則，即二面角的余弦值為.解法2：如圖，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．由題意知，點(diǎn)在底面上的射影在直線上且在直線上，所以點(diǎn)即點(diǎn)在底面上的射影，即平面，設(shè)，則，由余弦定理得，所以，則，所以，所以，，所以，所以．過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，是二面角的平面角，由，解得，所以，則，所以二面角的余弦值為.18．(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②或．【分析】（1）根據(jù)雙曲線定義得出，由題意可知，，根據(jù)余弦定理計(jì)算可得，再根據(jù)雙曲線的關(guān)系計(jì)算即可；（2）①設(shè)，，，由，，將代入雙曲線聯(lián)立方程求解即可，②由①可知，根據(jù)題意建立等式求解即可求解.【詳解】（1）由雙曲線的定義知，，由題意可得，，在中，由余弦定理知，解得，因?yàn)椋?，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①設(shè)，，，，由，即，所以同理，由，得，將的坐標(biāo)代入曲線得，，將的坐標(biāo)代入曲線得，，所以為定值；②由①知，，，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以或，即或．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線中得到與的關(guān)系.19．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分，和三種情況，得到函數(shù)遞增區(qū)間；（2）由（1）得到的單調(diào)性，求出，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出，令，則，所以恒成立，不妨設(shè)，則，即，結(jié)合在單調(diào)遞增，得到答案；（3）由（2）知，時(shí)，，變形為在時(shí)恒成立，賦值后，相加后得到答案.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是.由已知得，.①當(dāng)時(shí)，由得，或，∴的單調(diào)增區(qū)間為，，②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)增區(qū)間為.③當(dāng)時(shí)，由得：或，∴的單調(diào)增區(qū)間為，綜上，