2019-2021全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題匯編：空間直線、平面的垂直（教師版）

2019-2021全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題匯編：空間直線、平面的垂直

多選題（共1小題）

1.（2021?新高考口）如圖，下列正方體中，。為底面的中心，M,N為正方體的頂點(diǎn)，則滿足尸的是（）

二.解答題（共6小題）

2.（2020?新課標(biāo)口）如圖，在長(zhǎng)方體/8CD-48iCiZ）j中，點(diǎn)E,F分別在棱Dd，BB\±,且2OE=E。，BF=

2FBi.證明:

(1)當(dāng)時(shí)，EFLAC-,

（2）點(diǎn)G在平面ZEF內(nèi).

3.（2020?江蘇）在三棱柱81G中，ABLAC,8|CJ_平面/8C,E,尸分別是ZC,81c的中點(diǎn).

（1）求證：EF〃平面/8iG；

（2）求證：平面平面/BC.

4.(2019?北京)如圖，在四棱錐尸中，為，平面N8C。，E為CZ)的中點(diǎn).

(□)求證：BD_L平面因C；

(□)若NZ8C=60。，求證：平面平面叫E；

(□)棱P8上是否存在點(diǎn)R使得CF〃平面R1E?說(shuō)明理由.

5.(2021?乙卷)如圖，四棱錐尸的底面是矩形，PO_L底面且P8_L/A/.

(1)證明：平面期A1_L平面尸8。；

(2)若PD=DC=1,求四棱錐尸-N8CQ的體積.

6.(2020?新課標(biāo)口)如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，P為。。上一點(diǎn)，//PC=90。.

(1)證明：平面平面hC；

(2)設(shè)。。=加，圓錐的側(cè)面積為揚(yáng)，求三棱錐的體積.

D

7.(2019?新課標(biāo)二)圖1是由矩形/OE8,Rt/X/BC和菱形8FGC組成的一個(gè)平面圖形，其中/8=1,NFBC=

60°.將其沿ZB,8c折起使得8E與8尸重合，如圖2.

(1)證明：圖2中的4C,G,。四點(diǎn)共面，且平面/8CL平面3CGE；

(2)求圖2中的四邊形ZCG。的面積.

2019-2021全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題匯編：空間直線、平面的垂直

參考答案與試題解析

多選題（共1小題）

1.（2021?新高考口）如圖，下列正方體中，。為底面的中心，M,N為正方體的頂點(diǎn)，則滿足的是（）

【分析】法一：對(duì)于Z,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,設(shè)兒W與OP所成角為0,求出tan0=返，從而不滿足MNLOP；

2

對(duì)于8,C,D,作出平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,利用向量法進(jìn)行判斷.

法二：根據(jù)三垂線定理，觀察OP在MN所在的底面的投影是否與垂直即可.

【解答】解法一：對(duì)于4設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,

則tan9=k^—=返，不滿足MN1OP；

2

對(duì)于8,如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為5,

則N(2,0,2),0,2),5,1),1,5),

誣=(2,0,-3),0P--1.

誦?而=0,.?.滿足血，OP;

對(duì)于C,如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為6,

則A/(2,2,5),2,0),6,0),0,3),

MN=(-2,0,-5),OP.-I-

MN-OP=O,滿足MNLOP；

對(duì)于。，如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為3,

則/(0,2,4),0,0),8,2),1,2),

誣=(0,-2,而=(6,0,

MN?0P=-4,不滿足M7VLOP.

解法二：根據(jù)三垂線定理，觀察。尸在所在的底面的投影是否與垂直,

對(duì)于/,。尸在所在的底面的投影與九W不垂直，故/錯(cuò)誤；

對(duì)于8,。尸在所在的底面的投影與不垂直，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,。戶在MN所在的底面的投影與MN垂直，故C正確；

對(duì)于。，OP在AW所在的底面的投影與垂直，故。正確.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯

思維等核心素養(yǎng)，是中檔題.

二.解答題(共6小題)

2.(2020?新課標(biāo)□)如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E,廠分別在棱。Di，上，且2OE=EG,BF=

2FBi.證明：

(1)當(dāng)/8=8C時(shí)，EFLAC；

(2)點(diǎn)G在平面/E/內(nèi).

【分析】(1)因?yàn)?8CZ)-小81Gz>|是長(zhǎng)方體，S.AB=BC,可得NC_L平面因?yàn)镋Fu平面8囪。1。,

所以EELZC.

(2)取/小上靠近小的三等分點(diǎn)“，連接QM,GF,MF.根據(jù)已知條件可得四邊形為平行四邊形，

得OiM〃/E,再推得四邊形Gm店為平行四邊形，所以。i〃〃G凡根據(jù)直線平行的性質(zhì)可得/E〃GE所

以4E,F,G四點(diǎn)共面，即點(diǎn)Ci在平面4E/內(nèi).

【解答】解：(1)因?yàn)?88-451c孫是長(zhǎng)方體，所以384平面/BCD,而/Cu平面/BCD,

因?yàn)?BCD-481c4O1是長(zhǎng)方體，且/2=8C,所以/C_L5Di=5.

所以4CL平面仍簿。，又因?yàn)辄c(diǎn)昂，BB4上,所以ER=平面仍1OQ,

所以E口L/C.

(2)取Z4上靠近4的三等分點(diǎn)M,連接。iM,C6F,MF,C\E.

因?yàn)辄c(diǎn)E在。Di，且2?！?皮>|,所以且￡d=4W,

所以四邊形/￡7%M為平行四邊形，所以〃/E,且。

又因?yàn)槭谏?，?尸=2必所以48M〃尸8”且小

所以小囪戶加為平行四邊形,

所以尸W〃念81,FM=AIB5,BPFM//C\D\,FM=C$D\,

所以C1D加廠為平行四邊形，

所以O(shè)1A/〃GR

所以NE〃C/,所以4,E,F,G四點(diǎn)共面.

所以點(diǎn)G在平面ZEF內(nèi).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判定，考查直線平行的性質(zhì)應(yīng)用，是中檔題.

3.(2020?江蘇)在三棱柱/8C-481cl中，AB1AC,8C平面48C,E,尸分別是4C,81c的中點(diǎn).

(1)求證：后尸〃平面/81G；

(2)求證：平面Z8CJ_平面囪.

【分析】(1)證明EF〃/囪，然后利用直線與平面平行的判斷定理證明E/〃平面/SG；

(2)證明81cLN8,結(jié)合/B_LZC,證明平面Z8C，然后證明平面Z8iC_L平面

【解答】證明：(1)E,E分別是NC,8c的中點(diǎn).

所以E尸〃Z81，因?yàn)椤?過(guò)平面/&Ci，/Su平面/&G，

所以防〃平面ABG;

(2)因?yàn)?1。_1_平面/8。，/8u平面/8C,

所以

又因?yàn)?8_L4C,ZCD&C=C,/Cu平面/SC,SCu平面N&C,

所以平面NEC,

因?yàn)镹8u平面

所以平面/&CL平面ABB\.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判斷定理以及平面與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判斷定

理的應(yīng)用，是中檔題.

4.(2019?北京)如圖，在四棱錐尸-Z8CO中，％，平面/BCD,E為CD的中點(diǎn).

(□)求證：8。_1_平面以。；

(□)若乙48c=60。，求證：平面口8_1_平面均E；

(□)棱尸8上是否存在點(diǎn)尸，使得C尸〃平面為E?說(shuō)明理由.

【分析】(口)推導(dǎo)出8。，以，BDLAC,由此能證明8。，平面RIC.

(□)推導(dǎo)出48L4E,PALAE,從而NE_L平面以8,由此能證明平面以8_L平面以E.

(□)棱，8上是存在中點(diǎn)尸，取力8中點(diǎn)G,連結(jié)G凡CG,推導(dǎo)出CG〃/E,FG//PA,從而平面CFG〃平面

PAE,進(jìn)而CF〃平面融E.

【解答】證明：(口)???四棱錐尸-/BCQ中，RJJ_平面48C。，

：.BDLPA,BDLAC,

\'R4QAC^A,.?.^。，平面以仁

(□)?.?在四棱錐P-N8C。中，BI_L平面/8CQ,

E為CD的中點(diǎn)，NN8C=60。，

：.AB±AE,PAYAE,

,：PACiAB=A,平面以8,

平面/ME,二平面以8_L平面以E.

解：(口)棱尸8上是存在中點(diǎn)尸，使得C尸〃平面均￡

理由如下：取48中點(diǎn)G,連結(jié)GF,

?.,在四棱錐P-/BC。中，刃"L平面/BCD,E為CD的中點(diǎn),

J.CG//AE,FG//PA,

,：CGCiFG=G,AEQPA=A,

二平面CTG〃平面以￡,

：CFu平面CFG,：.CF//平面PAE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查滿足線面平行的瞇是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、

線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

5.(2021?乙卷)如圖，四棱錐P-/8C。的底面是矩形，尸。_1_底面/8CD,且必_L4W.

(1)證明：平面以M_L平面P8Z)；

(2)若PD=DC=l,求四棱錐P-458的體積.

【分析】(1)通過(guò)線面垂線即可證明；即只需證明平面反D

(2)根據(jù)底面/8CZ),可得尸。即為四棱錐尸-/8CQ的高，利用體積公式計(jì)算即可.

【解答】(1)證明：*..PO_L底面/BCD,/Mu平面Z8CD,

.'.PDA.AM,

又,：PBLAM,

PDCPB=P,PB.

平面PSD.

：/A/u平面PAM,

平面口/_1_平面PBD；

(2)解：由PD_L底面/8C。，

；.尸。即為四棱錐P-458的高，△QP8是直角三角形；

底面是矩形，PD=DC=l,且尸

設(shè)/￡>=8C=2a,取C尸的中點(diǎn)為F,

連接MF,AF,

nJWMF//PB,EF//DP,

那么且片尸='|八口2+￡心=信+422,JA/=VAB2+BM6=Va2+r

AF=7EF3+AE2-

:ADPB是直角三角形,

根據(jù)勾股定理：8尸=而彳，則MF=近至3；

由△/時(shí)產(chǎn)是直角三角形，

可得AM>+MF2=AF2,

解得。=返.

2

底面ABCD的面積S=&,

則四棱錐P-ABCD的體積r=A.h.s=1xix正區(qū).

323

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，體積計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，是中

檔題.

6.(2020?新課標(biāo)口)如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，P為DO上一點(diǎn),4PC=90。.

(1)證明：平面以8_L平面B4C；

(2)設(shè)。。=加，圓錐的側(cè)面積為揚(yáng)，求三棱錐尸-N8C的體積.

【分析】(1)首先利用三角形的全等的應(yīng)用求出CPA.BP,進(jìn)一步求出二面角的平面角為直角，進(jìn)一步

求出結(jié)論.

(2)利用錐體的體積公式和圓錐的側(cè)面積公式的應(yīng)用及勾股定理的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：(1)連接04OB,△力8c是底面的內(nèi)接正三角形，

所以/8=8C=NC.

O是圓錐底面的圓心，所以：OA=OB=OC,

所以/P2=8P2=cpt=OA2+OP2=OB4+OP2=。。+。尸3,

所以AAPB與ABPC&AAPC,

由于N/PC=90。，

所以N4PB=NBPC=90。,

所以CPA.BP,

由于/PCCP=P,

所以8P_L平面/PC,

由于8Pu平面PAB,

所以：平面/M8JL平面為C.

（2）設(shè)圓錐的底面半徑為心圓錐的母線長(zhǎng)為/,

所以1=[

由于圓錐的側(cè)面積為泥兀，

所以兀?丁日了=夜冗，整理得（*+3）（*-1）=°，

解得r=6.

所以”={i+]_2x1義ix

由于解得

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：面面