系統(tǒng)的信號(hào)流圖與梅森公式

6-5

系統(tǒng)的信號(hào)流圖與梅森公式一、信號(hào)流圖的定義由節(jié)點(diǎn)與有向支路構(gòu)成的能表征系統(tǒng)功能與信號(hào)流動(dòng)方向的圖，稱(chēng)為系統(tǒng)的信號(hào)流圖，簡(jiǎn)稱(chēng)信號(hào)流圖或流圖。例如，圖6-29(a)所示的系統(tǒng)框圖，可用圖6-29(b)來(lái)表示，圖(b)即為圖(a)的信號(hào)流圖。圖(b)中的小圓圈“o”代表變量，有向支路代表一個(gè)子系統(tǒng)及信號(hào)傳輸(或流動(dòng))方向，支路上標(biāo)注的H(s)代表支路(子系統(tǒng))的傳輸函數(shù)。這樣，根據(jù)圖6-29(b)，同樣可寫(xiě)出系統(tǒng)各變量之間的關(guān)系，即

圖6-29二、三種運(yùn)算器的信號(hào)流圖表示三種運(yùn)算器：加法器、數(shù)乘器、積分器的信號(hào)流圖表示如表6-3中所列。由該表中看出：在信號(hào)流圖中，節(jié)點(diǎn)“o”除代表變量外，它還對(duì)流入節(jié)點(diǎn)的信號(hào)具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的節(jié)點(diǎn)Y(s)即是。三、模擬圖與信號(hào)流圖的相互轉(zhuǎn)換規(guī)則模擬圖與信號(hào)流圖都可用來(lái)表示系統(tǒng)，它們兩者之間可以相互轉(zhuǎn)換，其規(guī)則是：(1)

在轉(zhuǎn)換中，信號(hào)流動(dòng)的方向(即支路方向)及正、負(fù)號(hào)不能改變。(2)

模擬圖(或框圖)中先是“和點(diǎn)”后是“分點(diǎn)”的地方，在信號(hào)流圖中應(yīng)畫(huà)成一個(gè)“混合”節(jié)點(diǎn)，如圖6-30所示。根據(jù)此兩圖寫(xiě)出的各變量之間的關(guān)系式是相同的，即。(3)

模擬圖(或框圖)中先是“分點(diǎn)”后是“和點(diǎn)”的地方，在信號(hào)流圖中應(yīng)在“分點(diǎn)”與“和點(diǎn)”之間，增加一條傳輸函數(shù)為1的支路，如圖6-31所示。(4)

模擬圖(或框圖)中的兩個(gè)“和點(diǎn)”之間，在信號(hào)流圖中有時(shí)要增加一條傳輸函數(shù)為1的支路(若不增加，就會(huì)出現(xiàn)環(huán)路的接觸，此時(shí)就必須增加)，但有時(shí)則不需增加(若不增加，也不會(huì)出現(xiàn)環(huán)路的接觸，此時(shí)即可以不增加。見(jiàn)例6-17)。(5)

在模擬圖(或框圖)中，若激勵(lì)節(jié)點(diǎn)上有反饋信號(hào)與輸入信號(hào)疊加時(shí)，在信號(hào)流圖中，應(yīng)在激勵(lì)節(jié)點(diǎn)與此“和點(diǎn)”之間增加一條傳輸函數(shù)為1的支路(見(jiàn)例6-17)。(6)

在模擬圖(或框圖)中，若響應(yīng)節(jié)點(diǎn)上有反饋信號(hào)流出時(shí)，在信號(hào)流圖中，可從響應(yīng)節(jié)點(diǎn)上增加引出一條傳輸函數(shù)為1的支路(也可以不增加，見(jiàn)例6-17)。

圖6-30

(a)

模擬圖；(b)

信號(hào)流圖

圖6-31

(a)

模擬圖；(b)

信號(hào)流圖

例6-17

試將圖6-19，圖6-20，圖6-21，圖6-22所示各形式的模擬圖畫(huà)成信號(hào)流圖。

解：與圖6-19，圖6-20，圖6-21，圖6-22相對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖分別如圖6-32中(a)，(b)，(c)，(d)所示。信號(hào)流圖實(shí)際上是線(xiàn)性代數(shù)方程組的圖示形式，即用圖把線(xiàn)性代數(shù)方程組表示出來(lái)。有了系統(tǒng)的信號(hào)流圖，利用梅森公式，即可很容易地求得系統(tǒng)函數(shù)H(s)。這要比從解線(xiàn)性代數(shù)方程組求H(s)容易得多。信號(hào)流圖的優(yōu)點(diǎn)是：(1)

用它來(lái)表示系統(tǒng)，要比用模擬圖或框圖表示系統(tǒng)更加簡(jiǎn)明、清晰，而且圖也易畫(huà)。(2)

下面將會(huì)知道，信號(hào)流圖也是求系統(tǒng)函數(shù)H(s)的有力工具。亦即根據(jù)信號(hào)流圖，利用梅森(Mason)公式，可以很容易地求得系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)。例6-18

已知系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖6-33(a)所示。試畫(huà)出與之對(duì)應(yīng)的模擬圖。解：根據(jù)模擬圖與信號(hào)流圖的轉(zhuǎn)換規(guī)則，即可畫(huà)出其模擬圖，如圖6-33(b)所示。于是可求得此系統(tǒng)的傳輸函數(shù)(請(qǐng)讀者求之)為

四、信號(hào)流圖的名詞術(shù)語(yǔ)下面以圖6-32(a)為例，介紹信號(hào)流圖中的一些名詞術(shù)語(yǔ)。1節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)變量(即信號(hào))的點(diǎn)，如圖中的點(diǎn)F(s),s2X(s),sX(s),X(s),Y(s)；或者說(shuō)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)變量。該圖中共有5個(gè)變量，故共有5個(gè)節(jié)點(diǎn)。2支路連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的有向線(xiàn)段(或線(xiàn)條)稱(chēng)為支路。每一條支路代表一個(gè)子系統(tǒng)，支路的方向表示信號(hào)的傳輸(或流動(dòng))方向，支路旁標(biāo)注的H(s)代表支路(子系統(tǒng))的傳輸函數(shù)。例如圖中的1,均為相應(yīng)支路的傳輸函數(shù)。

圖6-32

(a)

直接形式的信號(hào)流圖；(b)

并聯(lián)形式的信號(hào)流圖

(c)

級(jí)聯(lián)形式的信號(hào)流圖；(d)

混聯(lián)形式的信號(hào)流圖3激勵(lì)節(jié)點(diǎn)代表系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)的節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)F(s)。激勵(lì)節(jié)點(diǎn)的特點(diǎn)是，連接在它上面的支路只有流出去的支路，而沒(méi)有流入它的支路。激勵(lì)節(jié)點(diǎn)也稱(chēng)源節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn)。4響應(yīng)節(jié)點(diǎn)代表所求響應(yīng)變量的節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)Y(s)。有時(shí)為了把響應(yīng)節(jié)點(diǎn)更突出地顯示出來(lái)，也可從響應(yīng)節(jié)點(diǎn)上再增加引出一條傳輸函數(shù)為1的有向支路，如圖6-32(a)中最右邊的虛線(xiàn)條所示。

圖6-335混合節(jié)點(diǎn)若在一個(gè)節(jié)點(diǎn)上既有輸入支路，又有輸出支路，則這樣的節(jié)點(diǎn)即為混合節(jié)點(diǎn)?；旌瞎?jié)點(diǎn)除了代表變量外，還對(duì)輸入它的信號(hào)有求和的功能，它所代表的變量就是所有輸入信號(hào)的和，此和信號(hào)就是它的輸出信號(hào)。6通路從任一節(jié)點(diǎn)出發(fā)，沿支路箭頭方向(不能是相反方向)連續(xù)地經(jīng)過(guò)各相連支路而到達(dá)另一節(jié)點(diǎn)的路徑稱(chēng)為通路。7環(huán)路若通路的起始節(jié)點(diǎn)就是通路的終止節(jié)點(diǎn)，而且除起始節(jié)點(diǎn)外，該通路與其余節(jié)點(diǎn)相遇的次數(shù)不多于1，則這樣的通路稱(chēng)為閉合通路或稱(chēng)環(huán)路。如圖6-32(a)中共有兩個(gè)環(huán)路：。環(huán)路也稱(chēng)回路。8開(kāi)通路與任一節(jié)點(diǎn)相遇的次數(shù)不多于1的通路稱(chēng)為開(kāi)通路，它的起始節(jié)點(diǎn)與終止節(jié)點(diǎn)不是同一節(jié)點(diǎn)。9前向開(kāi)通路從激勵(lì)節(jié)點(diǎn)至響應(yīng)節(jié)點(diǎn)的開(kāi)通路，也簡(jiǎn)稱(chēng)前向通路。如圖6-32(a)中共有三條前向通路：;。10互不接觸的環(huán)路沒(méi)有公共節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)環(huán)路稱(chēng)為互不接觸的環(huán)路。在圖6-32(a)中不存在互不接觸的環(huán)路。11自環(huán)路只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)和一條支路的環(huán)路稱(chēng)為自環(huán)路，簡(jiǎn)稱(chēng)自環(huán)。12環(huán)路傳輸函數(shù)環(huán)路中各支路傳輸函數(shù)的乘積稱(chēng)為環(huán)路傳輸函數(shù)。13前向開(kāi)通路的傳輸函數(shù)前向開(kāi)通路中各支路傳輸函數(shù)的乘積，稱(chēng)為前向開(kāi)通路的傳輸函數(shù)。五、

梅森公式(Mason’sFormula)從系統(tǒng)的信號(hào)流圖直接求系統(tǒng)函數(shù)的計(jì)算公式，稱(chēng)為梅森公式。該公式如下：

(6-34)此公式的證明甚繁，此處略去?，F(xiàn)從應(yīng)用角度對(duì)此公式予以說(shuō)明。式中

(6-35)Δ稱(chēng)為信號(hào)流圖的特征行列式。式中：為第i個(gè)環(huán)路的傳輸函數(shù)，i為所有環(huán)路傳輸函數(shù)之和；為兩個(gè)互不接觸環(huán)路傳輸函數(shù)的乘積，為所有兩個(gè)互不接觸環(huán)路傳輸函數(shù)乘積之和；為三個(gè)互不接觸環(huán)路傳輸函數(shù)的乘積，為所有三個(gè)互不接觸環(huán)路傳輸函數(shù)乘積之和；為由激勵(lì)節(jié)點(diǎn)至所求響應(yīng)節(jié)點(diǎn)的第k條前向開(kāi)通路所有支路傳輸函數(shù)的乘積；為除去第k條前向通路中所包含的支路和節(jié)點(diǎn)后所剩子流圖的特征行列式。求的公式仍然是式(6-35)。例6-19

圖6-34(a)所示系統(tǒng)。求系統(tǒng)函數(shù)。解：1求Δ(1)

求：該圖共有5個(gè)環(huán)路，其傳輸函數(shù)分別為，，故

圖6-34

(2)

求:該圖中兩兩互不接觸的環(huán)路共有3組：故該圖中沒(méi)有3個(gè)和3個(gè)以上互不接觸的環(huán)路，故有；…。故得2求(1)

求：該圖共有3個(gè)前向通路，其傳輸函數(shù)分別為

(2)

求:除去前向通路中所包含的支路和節(jié)點(diǎn)后，所剩子圖如圖6-34(b)所示。該子圖共有兩個(gè)環(huán)路，故

故

除去,前向通路中所包含的支路和節(jié)點(diǎn)后，已無(wú)子圖存在，故有故得

3求H(s)例6-20圖6-35(a)所示系統(tǒng)。求系統(tǒng)函數(shù)。解(1)

求。該系統(tǒng)共有5個(gè)環(huán)路：,故該系統(tǒng)共有4組兩兩互不接觸的環(huán)路：故

圖6-35該系統(tǒng)中沒(méi)有3個(gè)和3個(gè)以上互不接觸的環(huán)路，故有。故得

該系統(tǒng)從F(s)到共有兩個(gè)前向通路，即F(s)→4→A(s)→B(s)→1→Y(s)；F(s)→5→G(s)→Q(s)→A(s)→B(s)→1→Y(s)。故有求的子信號(hào)流圖如圖635(b)所示，故有因除去與前向通路中所包含的支路和節(jié)點(diǎn)后，已無(wú)子圖存在，故有故得故得

(2)

求。Δ的求法與結(jié)果完全同