2020-2021學(xué)年高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（文科） （解析版）

2020-2021學(xué)年江西省撫州市南城一中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

（文科）

一、單選題（共12小題，每題5分，共60分）.

1.已知全集"={-2,-1,0,1,2,3},集合A={x|0〈x〈l,AGZ),B={1,2},則Cu

(4UB)=()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-2,-1,3}D.{-2,-1,0,3}

2.已知復(fù)數(shù)z噎5,則其共舸復(fù)數(shù)W的虛部為（）

2222

A.—B.1—C.—iD.1—i

5555

3.若/,根是平面a外的兩條不同直線，且“〃a,則“/〃機”是“/〃a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若直線x+（l+m）y-2=0和直線/nr+2y+4=0平行，則機的值為（）

0

A.1B.-2C?1或-2D.

3

5.將函數(shù)y"cos2x圖象變?yōu)椋?2cos的一個伸縮變換為（）

‘X，=2x

fx/=2cx

A.<,1B.<

y至丫y'=6y

1人

2D.，x

C.<x~2

/=1yy'=6y

6.2020年，新型冠狀病毒引發(fā)的疫情牽動著億萬人的心，八方馳援戰(zhàn)疫情，眾志成城克時

難，社會各界支援湖北共抗新型冠狀病毒肺炎，重慶某醫(yī)院派出3名醫(yī)生，2名護士支援

湖北，現(xiàn)從這5人中任選2人定點支援湖北某醫(yī)院，則恰有1名醫(yī)生和1名護士被選中

的概率為（）

A.0.7B.0.4C.0.6D.0.3

7.中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框

圖，右輸入x=2,〃=2,依次輸入。的值為1f2,3,則輸出的$=（)

A.10B.11C.16D.17

8.已知拋物線C：V=4x,直線1：1x=2+t與拋物線c交于A,B兩點，則|A8|的長度

ly=-2t+l

為（）

A.癡B.近1C.^15D.5^11

9.ZvlBC中，A8=l,AC=M，/B=120°,而=2前，則標(biāo)?標(biāo)的值為（）

A.—B.—C.—D.—

9339

10.矩形ABC。中，A3=4,A￡>=2,點E為C￡>中點，沿AE把△AOE折起，點。到達(dá)點

P，使得平面PAE，平面ABCE,則異面直線A8與PC所成角的余弦值為（）

11.已知菱形ABCD的邊長為、/與，ZBAD=60Q,將△ABD沿8力折起，使A,C兩點的

距離為則所得三棱錐A-BCZ）的外接球的表面積為（）

Aon9?！敢襫15兀

A.3KB.----C.onD.-----

22

22

12.己知圓（x-1）2+y2=g的一條切線尸履與雙曲線a與_Xfi（a〉0,b〉0）沒有

4a'/

公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.(1,V3)B.(1,2]C.(A/3，=)D.[2,+8)

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知命題p："M€R,使得以2+2r+1V0成立"為假命題，則。的取值范圍為.

14.在新冠肺炎疫情期間，大多數(shù)學(xué)生都進行網(wǎng)上上課.我校高一、高二、高三共有學(xué)生

1800名，為了了解同學(xué)們對“釘釘”授課軟件的意見，計劃采用分層抽樣的方法從這1800

名學(xué)生中抽取一個容量為72的樣本.若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰好是從小到大

排列的連續(xù)偶數(shù)，則我校高三年級的人數(shù)為.

15.曲線y=/”x+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.

16.已知下列等式成立：

3廨=2幅

3萬底’

3」4層乂3匡,

由此請你猜測等式3收咻(,小”均為正整數(shù))中等為.

三、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.已知命題p："復(fù)數(shù)z=x-8+(x2-2x),?在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限"，命題“：

ux2-4mx+3m2>0,(w>0)”

(1)若m=l,p八fq為真,求x的取值范圍.

(2)若「p是g的充分不必要條件，求，〃的取值范圍.

18.今年兩會期間國家對學(xué)生學(xué)業(yè)與未來發(fā)展以及身體素質(zhì)的重要性的闡述引起了全社會的

共鳴.某大學(xué)學(xué)生發(fā)展中心對大一的400名男生做了單次引體向上的測試，得到了如圖

所示的直方圖(引體向上個數(shù)只記整數(shù)).學(xué)生發(fā)展中心為進一步了解情況，組織了兩

個研究小組.

(1)第一小組決定從單次完成1?15個的引體向上男生中，按照分層抽樣抽取11人進

行全面的體能測試，

①單次完成11?15個引體向上的男生甲被抽到的概率是多少？

②該小組又從這II人中抽取2人進行個別訪談，已知抽到的其中一個男生單次完成了3

個引體向上，求抽到的另一個男生單次完成了11?15個引體向上的概率是多少？

(2)第二小組從學(xué)校學(xué)生的成績與體育鍛煉相關(guān)性角度進行研究，得到了這400人的學(xué)

業(yè)成績與體育成績之間的2X2列聯(lián)表.

學(xué)業(yè)優(yōu)秀學(xué)業(yè)不優(yōu)秀總計

體育成績不優(yōu)秀100200300

體育成績優(yōu)秀5050100

總計150250400

請你根據(jù)聯(lián)表判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績有關(guān)？

參考公式及數(shù)據(jù)：IC=-一型嗎第1二一-

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(爛0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

2公)

ko0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

19.如圖，在多面體ABCDPE中，四邊形A2CD和CDPE都是直角梯形，AB//DC,PE//

DC,ADYDC,P￡)_L平面ABC。，AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,尸是CE的中點.

(1)求證：BF〃平面AOP

(2)已知。是BQ的中點，求證：8Q_L平面AOF.

20.已知等差數(shù)列｛。"｝的前"項和為S",Ss=25,且43-1,44+1,47+3成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)若b"=2"X%,一是數(shù)列｛d｝的前〃項和,求7L.

21.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的方程為y="§x+5.以坐標(biāo)原點。為極點，x軸正半軸

為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為P=2sin0,曲線C2的參數(shù)方程為

(x=2cosCl

ly=sinCL

(1)求曲線G的直角坐標(biāo)方程.

(2)求曲線C.上的動點P到直線/距離的最小值.

(3)若。(x,y)為曲線C2上第一象限的動點，A、B分別為曲線C2與直角坐標(biāo)軸正半

軸的交點，求四邊形04Q8面積的最大值.

22.已知函數(shù)/(x)=ae'(x-2)(aWO).

(I)求的單調(diào)區(qū)間；

(II)當(dāng)a--1時，求函數(shù)g(x)=f(x)+x2-2x的極值.

參考答案

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.己知全集t/={-2,-1,0,1,2,3),集合4={x[0(xWl,xGZ),8={1,2},則Cu

(AU8)=()

A.{1，2}B.{0,1,2}C.{-2,-1,3}D.{-2,-1,0,

3)

解:因為全集0={-2,-1,0,1,2,3},集合集={x|0WxWl,xGZ)={0,1},B=

(L2)，

...AU8={0,1,2)；

則Cu(AUB)={-2,-1,3}；

故選：C.

i

2.已知復(fù)數(shù)z=?，則其共翔復(fù)數(shù)z的虛部為（)

i+2

2

A.2R22.D?

D.-----c.1D-T1

555

ii'(2-i)2i+li，則z14i'

解:z==

T^(2+i)(2-1)0-5DD

所以共朝復(fù)數(shù)W的虛部為咯?

5

故選：B.

3.若/，帆是平面a外的兩條不同直線，且相〃a,則“/〃山”是“/〃a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解：,；/,〃?是平面a外的兩條不同的直線，M〃a,

若/〃，”，則推出ul//an,

若/〃a,則/〃或/與加相交，

故若/,根是平面a外的兩條不同直線，且加〃a,貝I"/〃，""是''/〃a"的充分不必要

條件.

故選：A.

4.若直線x+（1+加）y-2=0和直線加r+2.y+4=0平行，則，”的值為（）

B.-2C.1或-2

3

解：直線x+（l+，〃）y-2=0和直線，nr+2），+4=0平行，可得（1',得：

lm^-2

1,

故選：A.

5.將函數(shù)y[cos2x圖象變?yōu)椋?2cosx的一個伸縮變換為（）

J、’=2x儀=2x

A?I_1B.，

yly-6y

x'=yxf/__1.

C.2D.X-2X

y/71yly/=6y

6

解：根據(jù)題意，設(shè)這個伸縮變化為=mx,

y=ny

則有2m=1,--=2；

3n

y飛丫

故選：C.

6.2020年，新型冠狀病毒引發(fā)的疫情牽動著億萬人的心，八方馳援戰(zhàn)疫情，眾志成城克時

難，社會各界支援湖北共抗新型冠狀病毒肺炎，重慶某醫(yī)院派出3名醫(yī)生，2名護士支援

湖北，現(xiàn)從這5人中任選2人定點支援湖北某醫(yī)院，則恰有1名醫(yī)生和1名護士被選中

的概率為（）

A.0.7B.0.4C.0.6D.0.3

解：重慶某醫(yī)院派出3名醫(yī)生，2名護士支援湖北，

現(xiàn)從這5人中任選2人定點支援湖北某醫(yī)院，

基本事件總數(shù)"=cV=io，

□

恰有1名醫(yī)生和1名護士被選中包含的基本事件個數(shù)m=C；C；=6,

則恰有1名醫(yī)生和1名護士被選中的概率為2=皿=提=0.6.

n10

故選：c.

7.中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框

圖，若輸入x=2,〃=2,依次輸入。的值為1,2,3,則輸出的5=()

A.10B.11C.16D.17

解：：輸入的x=2,〃=2,

當(dāng)輸入的。為1時，5=1,k=l,不滿足退出循環(huán)的條件：

當(dāng)再次輸入的。為2時，S=4,k=2,不滿足退出循環(huán)的條件；

當(dāng)輸入的〃為3時，S=ll,%=3,滿足退出循環(huán)的條件；

故輸出的S值為11,

故選：B.

8.已知拋物線C：)2=4X,直線1：,x=2+t與拋物線c交于A,8兩點，則的長度

ly=-2t+l

為()

A.倔B.THC.Vl5D.5布

解：直線1：(X=2+t的普通方程為：y=-2x+5,

ly=-2t+l

聯(lián)立方程組《丫=4x,消元可得：4/-24X+25=0,

y=-2x+5

設(shè)A(xi,yi),8(X2,”)，

二25

4

「?|A3|=J1+(-2)%】_及|=^/^乂J6^-4X-^-=V55-

故選：A.

9.ZvlBC中，AB=\,AC=?,ZB=120°,麗=2衣，則瓦?標(biāo)的值為（）

11

9

解：Z\ABC中，AB=1,AC=?,NB=120°,4B=BC=1,

由余弦定理可得，（V^）2=12+BC2_2X1XBCX（卷），

EPBC^+BC-2=0,解得8c=1或8c=-2（舍）.

,:麗=2前，，。為8c的靠近C的三等分點,

???AD=AB+BD=AB

AB?AD=AB?4AB+yAC）=y|AB|24AB*AC

00oo

xFqxix百Xcos30。=卷.

OOo

故選：c.

10.矩形ABC。中，A2=4,A￡>=2,點E為CD中點，沿AE把折起，點。到達(dá)點

P，使得平面PAE，平面ABCE,則異面直線A8與PC所成角的余弦值為（）

解：如右圖，因為A8〃CE,異面直線AB與PC所成角就是NPCE或其補角,

在△尸CE中,EC=2,PE=2,

在左圖中作。O1_AE,垂足為。，則D0=&，0C=V10>

所以PC=7PO2-K）C2=V2+10=2V3，

所以―E星鎏普12+22-22巫

2X2V§X2=2

故選：D.

11.已知菱形ABC。的邊長為ZBAD=60°,將△A3。沿BQ折起，使A,C兩點的

距離為?，則所得三棱錐A-BC。的外接球的表面積為（)

97T,

A.3nB.--C.6TT

2

解：因為4BCD是菱形，邊長為、口，且/區(qū)4。=60°,

所以△A8。，△BCQ是一個邊長為?等邊三角形，

將△ABO沿BO折起，使A,C兩點的距離為

故成將三棱錐A-88放入一個正方體中，使得三棱錐的棱長為正方體面對角線，

故正方體的棱長為

2

所以正方體的外接球即為三棱錐的外接球，

則外接球的直徑2rd3X呼產(chǎn)=患，

2

故三棱錐4-BCD的外接球的表面積為S=4兀r=n（2r）2=等.

故選：B.

22

12.已知圓&-1）2+丫2=g的一條切線尸日與雙曲線仁b>0）沒有

4b，

公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.（1,V3）B.（1,2]C.（?,-HOO）D.[2,+8）

解：由題意，圓心到直線的距離d=/,=返,:.k=±g

Vk2+12

圓（x-l）2+y2=弓的一條切線尸區(qū)與雙曲線c：三b>0）沒有公共

4/

點,

<V3>1+」44，，雙曲線C的離心率的取值范圍是（1,2]

aa"

故選：B.

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知命題p："axeR,使得ax2+2x+\<0成立”為假命題，則a的取值范圍為“21?

解：命題P：“mxeR,使得以2+2^+1<0成立"為假命題；

故命題->：“對VX6R,使得以2+2X+120成立"為真命題；

①當(dāng)〃=0時，后J，故錯誤，

②當(dāng)a>0時，△=4-4aW0,解得

故。的取值范圍為：心1.

故答案為：a?l.

14.在新冠肺炎疫情期間，大多數(shù)學(xué)生都進行網(wǎng)上上課.我校高一、高二、高三共有學(xué)生

1800名，為了了解同學(xué)們對“釘釘”授課軟件的意見，計劃采用分層抽樣的方法從這1800

名學(xué)生中抽取一個容量為72的樣本.若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰好是從小到大

排列的連續(xù)偶數(shù)，則我校高三年級的人數(shù)為650.

解：高一、高二、高三共有學(xué)生1800名，

采用分層抽樣的方法從這1800名學(xué)生中抽取一個容量為72的樣本.

從高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，

則高一、高二、高三抽取的人數(shù)可以設(shè)為2〃-2,2n,2〃+2,

2n-2+2〃+2〃+2=72,解得12,

則高三抽取的人數(shù)為2X12+2=26人,

高三年級的人數(shù)為1800X空=650.

72

故答案為：650.

15.曲線y=Mv+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為y=2x.

解：y—lnx+x+\的導(dǎo)數(shù)為y'=工+1,

X

設(shè)切點為（”，〃），可得々=1+工=2,

m

解得機=1,即有切點（1,2）,

則切線的方程為y-2=2（x-1）,即y=2x,

故答案為：y=2x.

16.已知下列等式成立:

由此請你猜測等式歸啾(辦”均為正整數(shù))中更為64.

解：由得7=23-1,由得26=33-1,

m=8,,Jm=8

則由可得到《

n=83-l

.,.^^=-^-=64

m8

故答案為：64.

三、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.已知命題p："復(fù)數(shù)z=x-8+(x2-2x)i在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限"，命題外

"N-4mx+3m2>0,(〃?>0)”

(1)若用=1,為真，求x的取值范圍.

(2)若是q的充分不必要條件，求機的取值范圍.

解：(1)：復(fù)數(shù)z=x-8+(x2-2x)i在復(fù)平面上的點在第二象限,

\-8<0

則！,,.,jV0或2VxV8,

J-2x>0

當(dāng)機=1時，q：X2-4x+3>0,或x>3,

x<0^2<x<8

■:p/\fq為其，：.,/，；.2<xW3.

l<x<3

的取值范圍為(2,3].

(2)-'/?：0Wx<2或x58,

q：'."x2-4mx+3>m2>0Cm>0),.,.x>3mgJcx<m,

是q的充分不必要條件,

'3ra<8

<nC>2,

、3

ITL>0

"的取值范圍(2,當(dāng)).

18.今年兩會期間國家對學(xué)生學(xué)業(yè)與未來發(fā)展以及身體素質(zhì)的重要性的闡述引起了全社會的

共鳴.某大學(xué)學(xué)生發(fā)展中心對大一的400名男生做了單次引體向上的測試，得到了如圖

所示的直方圖(引體向上個數(shù)只記整數(shù)).學(xué)生發(fā)展中心為進一步了解情況，組織了兩

個研究小組.

(1)第一小組決定從單次完成1?15個的引體向上男生中，按照分層抽樣抽取11人進

行全面的體能測試，

①單次完成II?15個引體向上的男生甲被抽到的概率是多少？

②該小組又從這11人中抽取2人進行個別訪談，已知抽到的其中一個男生單次完成了3

個引體向上，求抽到的另一個男生單次完成了11?15個引體向上的概率是多少？

(2)第二小組從學(xué)校學(xué)生的成績與體育鍛煉相關(guān)性角度進行研究，得到了這400人的學(xué)

業(yè)成績與體育成績之間的2X2列聯(lián)表.

學(xué)業(yè)優(yōu)秀學(xué)業(yè)不優(yōu)秀總計

體育成績不優(yōu)秀100200300

體育成績優(yōu)秀5050100

總計150250400

請你根據(jù)聯(lián)表判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績有關(guān)？

參考公式及數(shù)據(jù)：蜉=-----n(ad-bc)2------------

<a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K20.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

*)

ko0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

所以看x11=2,看X11=3,-^-X11=6-

則從1?5,6~10,11?15中選出的個數(shù)分別為2個，3個，6個,

因為單次完成11-15個引體向上的人數(shù)共有0.06X5X400=120人,

C5.C1

則單次完成11~15個引體向上的男生甲被抽到的概率是~

C120

②抽到的其中一個男生單次完成了3個引體向上，記為事件4,

抽到的另一個男生單次完成了11?15個引體向上，記為事件B,

12

P(AB)

55

1

cjc

P(A)=z9=歿

C?—55'

12

_P(AB)_55__2

所以P(B/4)

一P(A)"一而—5

55

(2)因為阿二駟*(5。。上1QQ00)2二毀Q8.889>7.879,

300X100X150X2509

所以有99.5%的把握認(rèn)為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績有關(guān).

19.如圖，在多面體A8COPE中，四邊形4BCD和COPE都是直角梯形，AB//DC,PE//

DC,AD1.DC,平面ABC。，AB=PO=ZM=2PE,CD=3PE,F是CE的中點.

(1)求證：BF〃平面AD尸

(2)已知。是8。的中點，求證：8。_1_平面40尸.

E

【解答】證明：（1）作尸垂足為M,連接8M,則0M=2PE=AB,EM//PD

'：DM//AB,

；.DMBA是平行四邊形，

J.BM//AD,

平面A￡>P,ADcTffiADP

.?.BM〃平面AOP

同理EM〃平面ADP

?：BMCEM=M.

平面BFM〃平面AO尸

平面BFM,

尸〃平面ADP；

（2）由（1）可知FM=P￡,DM=BM=2PE,:.FD=FB=^PE,

是8。的中點，：.FOLBD,

'：AD=AB,O是8。的中點，：.AO±BD,

'：AO^FO=O,

：.BDL^\^AOF.

20.已知等差數(shù)列｛a“｝的前〃項和為S”S5=25,且①-1,a4+l,m+3成等比數(shù)歹ij.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若仇=2"Xa“,7；是數(shù)列｛5｝的前〃項和,求心.

解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為d,

由55=25,可得5m+10d=25,即〃i+2d=5,

又。3-1,44+1,m+3成等比數(shù)列，可得(火+1)2=(。3-1)(s+3),

即為(m+34+1)2=(G+2"-1)(ai+6J+3),

即有(6+J)2=(5-1)(8+4d),解得d=2,ai=l,

則an—1+2(n-1)—2n-1；

(2)bn=2"Xan=(2n-1),2",

所以7；=l?2+3?22+5?23+...+(2n-1)?2〃,

27；=l?22+3*23+5*24+...+(2n-1)?2"+1

兩式相減可得-〃=2+2(22+23+...+2")-(2n-1)*2n+l

=2+2?4(卜2n1).(2〃-1)?2"+i,