微積分趙樹(shù)嫄編

2024-01-26THEFIRSTLESSONOFTHESCHOOLYEAR微積分趙樹(shù)嫄編目CONTENTS緒論極限與連續(xù)導(dǎo)數(shù)與微分微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不定積分與定積分多元函數(shù)微積分學(xué)錄01緒論古代微積分思想的萌芽01古希臘時(shí)期，阿基米德利用窮竭法計(jì)算面積和體積，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽提出割圓術(shù)，這些都是微積分思想的早期萌芽。17世紀(jì)微積分的創(chuàng)立0217世紀(jì)，牛頓和萊布尼茨分別獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分學(xué)。牛頓從物理學(xué)的角度出發(fā)，創(chuàng)立了“流數(shù)術(shù)”（即微分學(xué)），而萊布尼茨則從幾何學(xué)的角度出發(fā)，發(fā)明了微積分的基本定理和符號(hào)體系。18-19世紀(jì)微積分的發(fā)展03這一時(shí)期，數(shù)學(xué)家們對(duì)微積分的理論基礎(chǔ)進(jìn)行了深入研究，建立了實(shí)數(shù)理論、極限理論和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)等，使微積分學(xué)建立在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上。微積分的產(chǎn)生與發(fā)展微積分的研究對(duì)象是函數(shù)，主要研究函數(shù)的微分與積分及其相關(guān)性質(zhì)和應(yīng)用。研究對(duì)象微積分的基本問(wèn)題包括函數(shù)的極限、連續(xù)、可微、可積等問(wèn)題，以及微分中值定理、泰勒公式、洛必達(dá)法則等重要定理和公式?；締?wèn)題微積分的研究對(duì)象與基本問(wèn)題掌握基本概念和定理學(xué)習(xí)微積分首先要掌握基本概念和定理，如極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分等。多做練習(xí)題通過(guò)大量的練習(xí)，加深對(duì)概念和定理的理解，提高解題能力。注重?cái)?shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟在學(xué)習(xí)過(guò)程中，要注重對(duì)數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟，如數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等。理論與實(shí)踐相結(jié)合將所學(xué)的微積分知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。微積分的學(xué)習(xí)方法01極限與連續(xù)設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對(duì)于任意給定的正數(shù)$epsilon$（無(wú)論它多么小），總存在正數(shù)$delta$，使得當(dāng)$x$滿(mǎn)足不等式$0<|x-x_0|<delta$時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿(mǎn)足不等式$|f(x)-A|<epsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當(dāng)$xtox_0$時(shí)的極限。極限的定義唯一性、局部有界性、保號(hào)性、保不等式性、迫斂性。極限的性質(zhì)極限的概念與性質(zhì)若兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則它們的和、差、積、商在該點(diǎn)的極限也存在，且等于這兩個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)的極限的和、差、積、商。極限的四則運(yùn)算法則若函數(shù)$y=f[g(x)]$在點(diǎn)$x_0$處的極限存在，且函數(shù)$y=g(x)$在點(diǎn)$x_0$處的極限也存在，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)$x_0$處的極限也存在，且等于這兩個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)的極限的復(fù)合。復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則極限的運(yùn)算法則無(wú)窮小量的定義如果函數(shù)$f(x)$當(dāng)$xtox_0$（或$xtoinfty$）時(shí)的極限為零，那么稱(chēng)函數(shù)$f(x)$為當(dāng)$xtox_0$（或$xtoinfty$）時(shí)的無(wú)窮小量。無(wú)窮大量的定義如果對(duì)于任意給定的正數(shù)$M$（無(wú)論它多么大），總存在正數(shù)$delta$（或正數(shù)$X$），使得當(dāng)$x$滿(mǎn)足不等式$0<|x-x_0|<delta$（或$|x|>X$）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿(mǎn)足不等式$|f(x)|>M$，那么稱(chēng)函數(shù)$f(x)$為當(dāng)$xtox_0$（或$xtoinfty$）時(shí)的無(wú)窮大量。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)系在同一變化過(guò)程中，如果兩個(gè)量都是無(wú)窮小量或都是無(wú)窮大量，那么這兩個(gè)量可以互相比較大?。蝗绻粋€(gè)是無(wú)窮小量而另一個(gè)是無(wú)窮大量，那么這兩個(gè)量無(wú)法比較大小。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量連續(xù)函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量$Deltax=x-x_0$趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值的增量$Deltay=f(x)-f(x_0)$也趨于零，即$lim_{Deltaxto0}Deltay=0$，那么稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)。間斷點(diǎn)的分類(lèi)第一類(lèi)間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)）和第二類(lèi)間斷點(diǎn)（無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)）。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)局部有界性、保號(hào)性、介值定理、最值定理等。函數(shù)的連續(xù)性01導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度，即函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率。導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)包括可導(dǎo)性、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等。導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性的關(guān)系連續(xù)不一定可導(dǎo)，但可導(dǎo)必定連續(xù)。導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)030201包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等?；境醯群瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)公式加法、減法、乘法、除法的導(dǎo)數(shù)計(jì)算規(guī)則。四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)法則鏈?zhǔn)椒▌t，用于求解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則函數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為三階導(dǎo)數(shù)，以此類(lèi)推。高階導(dǎo)數(shù)的定義通過(guò)連續(xù)求導(dǎo)得到高階導(dǎo)數(shù)，注意求導(dǎo)順序和法則的應(yīng)用。高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)可以反映函數(shù)的凹凸性、拐點(diǎn)等性質(zhì)。高階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系高階導(dǎo)數(shù)微分的定義微分是函數(shù)局部變化的一種線(xiàn)性近似，即函數(shù)在某一點(diǎn)處的微小變化量。微分的計(jì)算通過(guò)求導(dǎo)得到微分，微分的基本公式和法則與導(dǎo)數(shù)相同。微分的應(yīng)用包括近似計(jì)算、誤差估計(jì)、微分方程等領(lǐng)域，如牛頓迭代法、泰勒公式等。微分及其應(yīng)用01微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用費(fèi)馬引理若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)且取得極值，則$f'(x_0)=0$。拉格朗日中值定理若函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，則存在$xiin(a,b)$，使得$f'(xi)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。羅爾定理若函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)$，則存在$xiin(a,b)$，使得$f'(xi)=0$?？挛髦兄刀ɡ砣艉瘮?shù)$f(x)$和$g(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$g'(x)neq0$，則存在$xiin(a,b)$，使得$frac{f'(xi)}{g'(xi)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。微分中值定理洛必達(dá)法則與泰勒公式洛必達(dá)法則在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法。泰勒公式用多項(xiàng)式逼近一個(gè)函數(shù)的方法，即$f(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$，其中$f^{(n)}(a)$表示函數(shù)在點(diǎn)$a$處的$n$階導(dǎo)數(shù)。函數(shù)單調(diào)性若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加；若導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少。函數(shù)極值若函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零且在該點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則該點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn)。若二階導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)大于零，則為極小值點(diǎn)；若小于零，則為極大值點(diǎn)。函數(shù)單調(diào)性與極值曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)大于零，則曲線(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)為凹的；若二階導(dǎo)數(shù)小于零，則曲線(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)為凸的。曲線(xiàn)凹凸性若函數(shù)在某點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)為零且在該點(diǎn)左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則該點(diǎn)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)01不定積分與定積分不定積分的性質(zhì)包括線(xiàn)性性質(zhì)、積分區(qū)間可加性、常數(shù)倍性質(zhì)等，這些性質(zhì)在不定積分的計(jì)算中起到重要作用。不定積分的幾何意義不定積分表示的是被積函數(shù)圖像與x軸圍成的面積，具有直觀(guān)的幾何解釋。原函數(shù)與不定積分的關(guān)系不定積分是求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)的過(guò)程，原函數(shù)與不定積分之間通過(guò)微分和積分互為逆運(yùn)算。不定積分的概念與性質(zhì)01對(duì)于基本初等函數(shù)，可以直接套用基本積分公式進(jìn)行計(jì)算。直接積分法02通過(guò)變量代換將復(fù)雜的不定積分轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的不定積分進(jìn)行計(jì)算，常用的代換有三角代換、根式代換等。換元法03將被積函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)的乘積，然后利用乘積的微分公式進(jìn)行積分計(jì)算。分部積分法不定積分的計(jì)算法則定積分的定義定積分是求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的積分值，即被積函數(shù)圖像與x軸圍成的面積。定積分的性質(zhì)包括線(xiàn)性性質(zhì)、區(qū)間可加性、保號(hào)性等，這些性質(zhì)在定積分的計(jì)算和應(yīng)用中起到重要作用。定積分的幾何意義定積分表示的是被積函數(shù)圖像在閉區(qū)間上與x軸圍成的面積，具有直觀(guān)的幾何解釋。定積分的概念與性質(zhì)定積分的計(jì)算與應(yīng)用定積分在物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如計(jì)算物體的質(zhì)量、求解曲線(xiàn)的長(zhǎng)度、計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積等。定積分的應(yīng)用通過(guò)求解被積函數(shù)的原函數(shù)，并利用區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值計(jì)算定積分的結(jié)果。牛頓-萊布尼茲公式當(dāng)被積函數(shù)難以直接求解時(shí)，可以采用數(shù)值方法進(jìn)行近似計(jì)算，如矩形法、梯形法、辛普森法等。定積分的近似計(jì)算01多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)的概念與性質(zhì)多元函數(shù)的性質(zhì)包括有界性、單調(diào)性、周期性、連續(xù)性等。多元函數(shù)的定義設(shè)$D$為一個(gè)非空的$n$元有序數(shù)組的集合，$f$為某一確定的對(duì)應(yīng)規(guī)則。若對(duì)于每一個(gè)有序數(shù)組$(x1,x2,…,xn)∈D$，通過(guò)對(duì)應(yīng)規(guī)則$f$，都有唯一確定的實(shí)數(shù)$y$與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)對(duì)應(yīng)規(guī)則$f$為定義在$D$上的$n$元函數(shù)。多元函數(shù)的圖像在坐標(biāo)系中，多元函數(shù)的圖像是一個(gè)超曲面。VS設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x0,y0)$的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)$y$固定在$y0$而$x$在$x0$處有增量$Deltax$時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量$f(x0+Deltax,y0)-f(x0,y0)$。如果$Deltaz$與$Deltax$之比當(dāng)$Deltaxto0$時(shí)的極限存在，那么此極限值稱(chēng)為函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x0,y0)$處對(duì)$x$的偏導(dǎo)數(shù)。全微分的定義如果函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x,y)$的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示為$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A,B$不依賴(lài)于$Deltax,Deltay$而僅與$x,y$有關(guān)，$rho=(Deltax^2+Deltay^2)^{frac{1}{2}}$，此時(shí)稱(chēng)函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x,y)$處可微，而$ADeltax+BDeltay$稱(chēng)為函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x,y)$處的全微分。偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)與全微分多元函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$P0(x0,y0)$的某鄰域內(nèi)有定義。如果對(duì)于點(diǎn)$P0$的鄰域內(nèi)異于$P0$的任何點(diǎn)$(x,y)$，都有$f(x,y)<f(x0,y0)$（或$f(x,y)>f(x0,y0)$），則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)$P0(x0,y0)$取得極大值（或極小值）。多元函數(shù)極值的必要條件具有偏導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。多元函數(shù)極值的充分條件若存在駐點(diǎn)$(x0,y0)$，且在該點(diǎn)的黑塞矩陣正定（或負(fù)定），則該點(diǎn)為極小值點(diǎn)（或極大值點(diǎn)）。多元函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)$f(x,y)$在有界閉區(qū)域$D$上有界，將閉區(qū)域$D$任意分成$n$個(gè)小閉區(qū)域$Deltasigma_1,Deltasigma_2,…,Deltasigma_n$,其中$Deltasigma_i=Deltax_itimesDeltay_i$,表示第$i$個(gè)小區(qū)域的面積。在每個(gè)$Deltasigma_i$上任取一點(diǎn)$(x_i,y_i)$,作乘積$f(x_i,y_i)timesDeltasigma_i$,并求和，記作$lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^{n}f(x_i,y_i)timesDeltasigm