高考數(shù)學理北師大版一輪復(fù)習訓練2-5對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

核心考點·精準研析考點一對數(shù)式的化簡與求值

1.(2019·北京高考)在天文學中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2m1=QUOTElgQUOTE,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是26.7,天狼星的星等是1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為 ()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.102.(2020·深圳模擬)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像與y=2x+a的圖像關(guān)于直線y=x對稱,且f(2)+f(4)=1,則a= ()A.1 B.1 C.2 3.設(shè)x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則 ()A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z4.計算log23·log38+(QUOTE=________________.

【解析】1.選A.令m1=26.7,m2=1.45,則m2m1=1.45(26.7)=25.25=QUOTElgQUOTE,lgQUOTE=10.1,QUOTE=1010.1.2.選C.設(shè)(x,y)是函數(shù)y=f(x)的圖像上任意一點,它關(guān)于直線y=x對稱的點為(y,x),由已知知(y,x)在函數(shù)y=2x+a的圖像上,所以x=2y+a,解得y=log2(x)+a,即f(x)=log2(x)+a,所以f(2)+f(4)=log22+alog24+a=1,解得a=2,故選C.3.選D.令2x=3y=5z=m,分別可求得2x=QUOTE=QUOTE,3y=QUOTE=QUOTE,5z=QUOTE=QUOTE,分別對分母乘以30可得,30logmQUOTE=logm215,30logmQUOTE=logm310,30logmQUOTE=logm56,故而可得QUOTE?logm310>logm215>logm56?3y<2x<5z.4.原式=QUOTE·QUOTE+QUOTE=3+QUOTE=3+2=5.答案:5對數(shù)運算的一般思路(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進行化簡.(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并.(3)ab=N?b=logaN(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法,在運算中應(yīng)注意互化.(4)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)式.考點二對數(shù)函數(shù)的圖像及其應(yīng)用

【典例】1.已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a>0,且a≠1)的圖像如圖,則下列結(jié)論成立的是 ()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<12.在同一直角坐標系中,函數(shù)y=QUOTE,y=logaQUOTE(a>0,且a≠1)的圖像可能是()3.已知函數(shù)f(x)=QUOTEg(x)=log2x,則f(x)與g(x)兩函數(shù)圖像的交點個數(shù)為______. 導(dǎo)學號

【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由圖像是下降的,想到對數(shù)的底數(shù)0<a<12由y=QUOTE與y=logaQUOTE,想到指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像3由兩函數(shù)圖像的交點個數(shù),想到畫出兩個函數(shù)的圖像【解析】1.選D.由題圖可知,函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù),所以0<a<1.又當x=0時,y>0,即logac>0,所以0<c<1.2.選D.當0<a<1時,函數(shù)y=ax的圖像過定點(0,1)且單調(diào)遞減,則函數(shù)y=QUOTE的圖像過定點(0,1)且單調(diào)遞增,函數(shù)y=logaQUOTE的圖像過定點QUOTE且單調(diào)遞減,D選項符合;當a>1時,函數(shù)y=ax的圖像過定點(0,1)且單調(diào)遞增,則函數(shù)y=QUOTE的圖像過定點(0,1)且單調(diào)遞減,函數(shù)y=logaQUOTE的圖像過定點QUOTE且單調(diào)遞增,各選項均不符合.3.如圖,函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)f(x)的圖像交于兩點,且均在函數(shù)y=8x8(x≤1)的圖像上.答案:21.應(yīng)用對數(shù)型函數(shù)的圖像可求解的問題(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖像的對數(shù)型函數(shù),在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時,常利用數(shù)形結(jié)合思想.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.2.對數(shù)函數(shù)圖像的規(guī)律在第一象限內(nèi),不同底的對數(shù)函數(shù)的圖像從左到右底數(shù)逐漸增大.1.已知函數(shù)f(x)=loga(2x+b1)(a>0,a≠1)的圖像如圖所示,則a,b滿足的關(guān)系是()A.0<a1<b<1B.0<b<a1<1C.0<b1<a<1D.0<a1<b1<1【解析】選A.由函數(shù)圖像可知,f(x)在R上單調(diào)遞增,又y=2x+b1在R上單調(diào)遞增,故a>1.函數(shù)圖像與y軸的交點坐標為(0,logab),由函數(shù)圖像可知1<logab<0,即logaa1<logab<loga1,所以a1<b<1.綜上有0<a1<b<1.2.(2020·北京模擬)已知函數(shù)f(x)=2x(x<0)與g(x)=ln(x+a)的圖像上存在關(guān)于y軸對稱的點,則a的取值范圍是 ()A.(∞,2) B.(∞,e)C.(2,e) D.(e,+∞)【解析】選B.在同一直角坐標系中作出函數(shù)f(x)=2x(x<0)與g(x)=ln(x+a)的圖像,當y=lnx向左平移a(a>0)個單位長度,恰好過(0,1)時,函數(shù)f(x)與g(x)就不存在關(guān)于y軸對稱的點,所以0<a<e,當y=lnx向右平移|a|(a<0)個單位長度,函數(shù)f(x)與g(x)總存在關(guān)于y軸對稱的點,當a=0時,顯然滿足題意,綜上:a<e.考點三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

命題精解讀1.考什么:(1)求對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小、求值或解不等式、求參數(shù)值等問題.(2)考查數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).2.怎么考:對數(shù)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性,函數(shù)的周期性以及對稱性等知識單獨或交匯考查,也可能以分段函數(shù)的形式呈現(xiàn).3.新趨勢:對數(shù)函數(shù)的圖像與對稱性、交點個數(shù)、不等式交匯考查.學霸好方法1.比較對數(shù)式的大小的方法(1)能化成同底數(shù)的先化成同底對數(shù)值,再利用單調(diào)性比較大小.(2)不能化成同底數(shù)的,一般引入“1”“0”“-1(3)在研究對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時,當?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時,要分類討論2.對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)求單調(diào)區(qū)間必須先求定義域.(2)根據(jù)對數(shù)的底數(shù)a進行判斷,0<a<1時為減函數(shù),a>1時為增函數(shù).(3)對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”進行判斷.比較大小問題【典例】(2019·全國卷Ⅰ)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,則A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a【解析】選B.a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,則0<c<1,所以如何比較指數(shù)式與對數(shù)式的大小?提示:數(shù)形結(jié)合或找中間量(如1,0,1等),再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性比較大小.與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的不等式問題【典例】當0<x≤QUOTE時,4x<logax,則a的取值范圍是 導(dǎo)學號()A.QUOTE B.QUOTEC.(1,QUOTE) D.(QUOTE,2)【解析】選B.由題意知0<a<1,則函數(shù)y=4x與y=logax的大致圖像如圖,則只需滿足logaQUOTE>2,解得a>QUOTE,所以QUOTE<a<1.一邊為指數(shù)式,另一邊為對數(shù)的不等式如何求解?提示:將兩邊分別看成一個函數(shù),畫出兩個函數(shù)的圖像,結(jié)合圖像的交點求解.對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例】已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2x),則 ()導(dǎo)學號A.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增B.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減C.f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱D.f(x)的圖像關(guān)于點(1,0)對稱【解析】選C.由題意知,f(2x)=ln(2x)+lnx=f(x),所以f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,C正確,D錯誤;又f′(x)=QUOTEQUOTE=QUOTE(0<x<2),在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,A,B錯誤.【一題多解】解決本題還可以采用以下方法:選C.由題意知,f(x)=lnx+ln(2x)的定義域為(0,2),f′(x)=QUOTE+QUOTE=QUOTE,由QUOTE得0<x<1;由QUOTE得1<x<2,所以函數(shù)f(x)=lnx+ln(2x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,所以排除A,B;又fQUOTE=lnQUOTE+lnQUOTE=lnQUOTE,fQUOTE=lnQUOTE+lnQUOTE=lnQUOTE,所以fQUOTE=fQUOTE=lnQUOTE,所以排除D.如何求解對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題?提示:認真聯(lián)想對數(shù)函數(shù)的各個性質(zhì)的定義及其作用,在其交匯點處尋找突破口.1.已知函數(shù)f(x)=loga|x|在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(2)________f(a+1).(填“<”“=”或“>”)

【解析】因為f(x)=loga|x|在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以a>1,所以a+1>2.因為f(x)是偶函數(shù),所以f(2)=f(2)<f(a+1).答案:<2.(2019·濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)=QUOTE若f(2a)=1,則f(a)=______________.

【解析】當2a<2,即a>0時,f(2a)=log2(1+a)=1.解得a=QUOTE,不合題意.當2a≥2,即a≤0時,f(2a)=2a1=1,即2a=2,解得a=1,所以f(a)=f(1)=log24=2.答案:21.(2019·綿陽模擬)若x,y,z∈R+,且3x=4y=12z,QUOTE∈(n,n+1),n∈N,則n的值是()A.2 B.3 C.4 【解析】選C.設(shè)3x=4y=12z=t(t>1),則x=log3t,y=log4t,z=log12t,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE=log312+log412=2+log34+log43.因為1<log34<2,0<log43<1,所以1<log34+log43<3;又log34+log43>2QUOTE=2,所以4<2+log34+log43<5,即QUOTE∈(4,5).所以n=4.2.(2020·揚州模擬)設(shè)f(x)=QUOTEa=0.70.5,b=log0.50