高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 課時達標檢測（十三）函數(shù)模型及應用-人教版高三數(shù)學試題

課時達標檢測(十三）函數(shù)模型及應用[練基礎(chǔ)小題——強化運算能力]1．我們處在一個有聲世界里，不同場合，人們對聲音的音量會有不同的要求．音量大小的單位是分貝(dB)，對于一個強度為I的聲波，其音量的大小η可由如下公式計算：η＝10lgeq\f(I,I0)(其中I0是人耳能聽到聲音的最低聲波強度)，則70dB的聲音的聲波強度I1是60dB的聲音的聲波強度I2的________倍．解析：由η＝10lgeq\f(I,I0)得I＝I010，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以eq\f(I1,I2)＝10，所以70dB的聲音的聲波強度I1是60dB的聲音的聲波強度I2的10倍.答案：102．某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況．加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2017年5月1日12350002017年5月15日4835600注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程．在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為________升．解析：因為每次都把油箱加滿，第二次加了48升油，說明這段時間總耗油量為48升，而行駛的路程為35600－35000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量為48÷6＝8(升)．答案：83．(2018·安陽一模)某類產(chǎn)品按工藝共分10個檔次，最低檔次產(chǎn)品每件利潤為8元．每提高一個檔次，每件利潤增加2元．用同樣工時，可以生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品60件，每提高一個檔次將少生產(chǎn)3件產(chǎn)品，則每天獲得利潤最大時生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是________．解析：由題意，當生產(chǎn)第k檔次的產(chǎn)品時，每天可獲得利潤為y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以當k＝9時，獲得利潤最大．答案：94．擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m＞0，[m]是不超過m的最大整數(shù)(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為________元．解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，則f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.24[練?？碱}點——檢驗高考能力]一、填空題1．(2018·德陽一診)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，在過濾過程中，污染物的數(shù)量p(單位：毫克/升)不斷減少，已知p與時間t(單位：小時)滿足p(t)＝p02－eq\f(t,30)，其中p0為t＝0時的污染物數(shù)量．又測得當t∈[0,30]時，污染物數(shù)量的變化率是－10ln2，則p(60)＝________毫克/升．解析：因為當t∈[0,30]時，污染物數(shù)量的變化率是－10ln2，所以－10ln2＝eq\f(\f(1,2)p0－p0,30－0)，所以p0＝600ln2，因為p(t)＝p02－eq\f(t,30)，所以p(60)＝600ln2×2－2＝150ln2(毫克/升)．答案：150ln22．某家具的標價為132元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對進貨價)，則該家具的進貨價是________元．解析：設(shè)進貨價為a元，由題意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.答案：1083．(2018·江蘇南通診斷)將甲桶中的aL水緩慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y＝aent.假設(shè)過5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過mmin甲桶中的水只有eq\f(a,4)L，則m的值為________．解析：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函數(shù)y＝f(t)＝aent滿足f(5)＝ae5n＝eq\f(1,2)a，可得n＝eq\f(1,5)lneq\f(1,2)，所以f(t)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，設(shè)kmin后甲桶中的水只有eq\f(a,4)L，則f(k)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(a,4)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4)，解得k＝10，所以m＝k－5＝5(min)．答案：54.某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時間t(分鐘)與電話費S(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當通話150分鐘時，這兩種方式電話費相差________元．解析：依題意可設(shè)SA(t)＝20＋kt，SB(t)＝mt.又SA(100)＝SB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是SA(150)－SB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150(k－m)＝20＋150×答案：105．某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是________．(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)解析：設(shè)2017年后的第n年，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞eq\f(20,13)，兩邊取常用對數(shù)，得n＞eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈eq\f(0.30－0.11,0.05)＝eq\f(19,5)，∴n≥4，∴從2021年開始，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元．答案：2021年6．某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是________萬元．解析：設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\f(21,2)))2＋0.1×eq\f(212,4)＋32.因為x∈[0,16]且x∈N，所以當x＝10或11時，總利潤取得最大值43萬元．答案：437.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料(如圖)，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖陰影部分)備用，則截取的矩形面積的最大值為________．解析：依題意知：eq\f(20－x,20)＝eq\f(y－8,24－8)，即x＝eq\f(5,4)(24－y)，所以陰影部分的面積S＝xy＝eq\f(5,4)(24－y)·y＝eq\f(5,4)(－y2＋24y)＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180(0＜y＜24)．所以當y＝12時，S有最大值為180.答案：1808．“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關(guān)系R＝aeq\r(A)(a為常數(shù))，廣告效應為D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應，投入的廣告費應為________．(用常數(shù)a表示)解析：令t＝eq\r(A)(t≥0)，則A＝t2，∴D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－eq\f(1,2)a))2＋eq\f(1,4)a2.∴當t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2時，D取得最大值．答案：eq\f(1,4)a29.(2018·湖北八校聯(lián)考)某人根據(jù)經(jīng)驗繪制了2018年春節(jié)前后，從2月5日至2月22日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時間x(天)變化的函數(shù)圖象，如圖所示(2月5日是第1天)，則此人在2月10日大約賣出了西紅柿________千克．解析：前10天滿足一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)為y＝kx＋b，將點(1,10)和點(10,30)代入函數(shù)解析式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq\f(20,9)，b＝eq\f(70,9)，所以y＝eq\f(20,9)x＋eq\f(70,9)，則當x＝6時，y＝eq\f(190,9).答案：eq\f(190,9)10．已知某房地產(chǎn)公司計劃出租70套相同的公寓房．當每套公寓房月租金定為3000元時，這70套公寓房能全部租出去；當月租金每增加50元時(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍)，就會多一套房子不能出租．設(shè)已出租的每套房子每月需要公司花費100元的日常維修等費用(設(shè)沒有出租的房子不需要花這些費用)，則要使公司獲得最大利潤，每套房月租金應定為________元．解析：由題意，設(shè)利潤為y元，每套房月租金定為3000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)．則y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(58＋x＋70－x,2)))2＝204800，當且僅當58＋x＝70－x，即x＝6時，等號成立，故當每套房月租金定為3000＋50×6＝3300元時，可使公司獲得最大利潤．答案：3300二、解答題11．(2018·啟東中學第一次檢測)運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時)．假設(shè)汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))升，司機的工資是每小時14元．(1)求這次行車總費用y關(guān)于x的表達式；(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值．解：(1)設(shè)所用時間為t＝eq\f(130,x)(小時)．y＝eq\f(130,x)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))＋14×eq\f(130,x)，x∈[50,100]．代簡得這次行車總費用y關(guān)于x的表達式是y＝eq\f(2340,x)＋eq\f(13,18)x，x∈[50,100]．(2)y＝eq\f(2340,x)＋eq\f(13,18)x≥26eq\r(10)，當且僅當eq\f(2340,x)＝eq\f(13,18)x，即x＝18eq\r(10)時，等號成立．故當x＝18eq\r(10)千米/時時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為26eq\r(10)元．12．(2018·蘇州高三調(diào)研)如圖所示的是一種自動通風設(shè)施．該設(shè)施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB為2米，梯形的高為1米，CD為3米，上部是個半圓，固定點E為CD的中點．MN是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿(橫桿面積可忽略不計)，且滑動過程中始終保持和CD平行．當MN位于CD下方和上方時，通風窗的形狀均為矩形MNGH(陰影部分均不通風)．(1)設(shè)MN與AB之間的距離為xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x＜\f(5,2)且x≠1))米，試將通風窗的通風面積S(平方米)表示成關(guān)于x的函數(shù)y＝S(x)；(2)當MN與AB之間的距離為多少米時，通風窗的通風面積S取得最大值？解：(1)當0≤x＜1時，過A作AK⊥CD于K(如圖)，則AK＝1，DK＝eq\f(CD－AB,2)＝eq\f(1,2)，HM＝1－x，由eq\f(AK,DK)＝eq\f(MH,DH)＝2，得DH＝eq\f(HM,2)＝eq\f(1－x,2)，所以HG＝3－2DH＝2＋x，所以S(x)＝HM·HG＝(1－x)(2＋x)＝－x2－x＋2；當1＜x＜eq\f(5,2)時，過E作ET⊥MN于T，連結(jié)EN(如圖)，則ET＝x－1，TN＝eq\f(MN,2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2－x－12)＝eq\r(\f(9,4)－x－12)，所以MN＝2eq\r(\f(9,4)－x－12)，所以S(x)＝MN·ET＝2eq\r(\f(9,4)－x－12)·(x－1)，綜上：S(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－x＋2，0≤x＜1，,2x－1\r(\f(9,4)－x－12)，1＜x＜\f(5,2).))(2)當0≤x＜1時，S(x)＝－x2－x＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(9,4)在[0,1)上遞減，所以S(x)max＝S(0)＝2；當1＜x＜eq\f(5,2)時，S(x)＝2(x－1)eq\r