二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)匯報(bào)人：XX2024-02-05XXREPORTING目錄二次函數(shù)基本概念及表示方法拋物線圖像繪制與特點(diǎn)分析二次函數(shù)單調(diào)性與最值問題探討二次函數(shù)零點(diǎn)與判別式關(guān)系研究二次不等式解法及在實(shí)際問題中應(yīng)用總結(jié)回顧與拓展延伸PART01二次函數(shù)基本概念及表示方法REPORTINGXX一般地，形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。二次函數(shù)定義y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中a、b、c分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。標(biāo)準(zhǔn)形式二次函數(shù)定義及標(biāo)準(zhǔn)形式

系數(shù)對二次函數(shù)影響分析二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。|a|越大，拋物線的開口越小。一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。對稱軸x=-b/2a。常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)。拋物線與y軸交于（0，c）。對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，其對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸將拋物線分為左右對稱的兩部分。二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,c-b2/4a)。頂點(diǎn)坐標(biāo)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，取決于拋物線的開口方向。拋物線對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)求解頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k（a≠0）是二次函數(shù)的另一種表示方法，其中(h,k)為頂點(diǎn)坐標(biāo)。適用于已知頂點(diǎn)坐標(biāo)和另一點(diǎn)坐標(biāo)求解析式的情況。一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）是二次函數(shù)最常見的一種表示方法，適用于已知三點(diǎn)坐標(biāo)求解析式的情況。交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x?)(x-x?)（a≠0）是二次函數(shù)的第三種表示方法，其中x?、x?是拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)。適用于已知與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)求解析式的情況。實(shí)際應(yīng)用中二次函數(shù)表示方法PART02拋物線圖像繪制與特點(diǎn)分析REPORTINGXX在自變量x的取值范圍內(nèi)，選取幾個(gè)具有代表性的x值，計(jì)算出對應(yīng)的y值，并列表記錄。列表描點(diǎn)連線在平面直角坐標(biāo)系中，將上一步計(jì)算出的點(diǎn)（x,y）描出來。用平滑的曲線將描出的點(diǎn)連接起來，得到拋物線的圖像。030201描點(diǎn)法繪制拋物線圖像步驟由二次項(xiàng)系數(shù)a決定，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下。開口方向拋物線的寬度與系數(shù)a的絕對值有關(guān)，|a|越大，拋物線越窄；|a|越小，拋物線越寬。寬度拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a,c-b2/4a），頂點(diǎn)位置決定了拋物線的最值點(diǎn)。頂點(diǎn)位置拋物線開口方向、寬度和頂點(diǎn)位置關(guān)系對稱軸拋物線是軸對稱圖形，對稱軸為直線x=-b/2a。對稱性應(yīng)用利用拋物線的對稱性，可以方便地求解一些與拋物線相關(guān)的問題，如求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等。拋物線對稱性質(zhì)及其應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)型拋物線01y=ax2（a≠0）是最基本的拋物線，其圖像關(guān)于y軸對稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。一般型拋物線02y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像可能不關(guān)于任何軸對稱，但總是關(guān)于某條垂直于x軸的直線對稱。頂點(diǎn)型拋物線03y=a（x-h）2+k（a≠0）的圖像關(guān)于直線x=h對稱，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）。通過比較不同類型拋物線的圖像，可以更好地理解二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用。不同類型拋物線圖像比較PART03二次函數(shù)單調(diào)性與最值問題探討REPORTINGXX導(dǎo)數(shù)法判別式法區(qū)間法證明過程單調(diào)性判斷方法及證明過程求二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。在定義域內(nèi)選取兩個(gè)點(diǎn)，比較這兩點(diǎn)處的函數(shù)值大小，從而確定函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。對于形如$y=ax^2+bx+c$的二次函數(shù)，可以通過判別式$Delta=b^2-4ac$的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性。通過選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)或利用已知性質(zhì)，結(jié)合定義進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。對于形如$y=a(x-h)^2+k$的二次函數(shù)，其頂點(diǎn)為$(h,k)$，根據(jù)$a$的正負(fù)和頂點(diǎn)的位置可求得區(qū)間內(nèi)的最值。頂點(diǎn)法在閉區(qū)間上，二次函數(shù)的最值必然出現(xiàn)在端點(diǎn)或頂點(diǎn)處，通過比較這些點(diǎn)處的函數(shù)值大小即可求得最值。端點(diǎn)法通過配方將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而求得最值。配方法求二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0求得極值點(diǎn)，再比較極值點(diǎn)和端點(diǎn)處的函數(shù)值大小確定最值。導(dǎo)數(shù)法區(qū)間內(nèi)最值求解策略在生產(chǎn)和銷售過程中，通過調(diào)整產(chǎn)量和銷售價(jià)格等變量，使得總利潤達(dá)到最大。利潤最大化成本最小化資源分配問題路徑規(guī)劃問題在滿足一定生產(chǎn)需求的前提下，通過優(yōu)化原材料采購、生產(chǎn)流程等環(huán)節(jié)，使得總成本達(dá)到最小。在有限資源的條件下，如何分配給各個(gè)項(xiàng)目或部門，使得整體效益達(dá)到最優(yōu)。在物流、交通等領(lǐng)域中，如何規(guī)劃路徑使得運(yùn)輸成本最低、時(shí)間最短或效率最高。實(shí)際應(yīng)用中優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為最值問題例題1例題2分析解答解答分析已知二次函數(shù)$y=x^2-2x-3$，求在區(qū)間$[0,3]$上的最大值和最小值。首先通過配方將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式$y=(x-1)^2-4$，然后確定對稱軸$x=1$和頂點(diǎn)$(1,-4)$，接著比較端點(diǎn)$x=0$和$x=3$處的函數(shù)值大小，最后確定最大值和最小值。在區(qū)間$[0,3]$上，當(dāng)$x=1$時(shí)，$y$取得最小值$-4$；當(dāng)$x=3$時(shí)，$y$取得最大值$0$。某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其總成本函數(shù)為$C(x)=3x^2+2x+1$（萬元），其中$x$表示產(chǎn)量（百件）。如果每件產(chǎn)品的售價(jià)為6萬元，那么產(chǎn)量為多少時(shí)，才能使得利潤達(dá)到最大？首先根據(jù)售價(jià)和成本函數(shù)求出利潤函數(shù)$L(x)=6x-C(x)=-3x^2+4x-1$，然后通過配方將利潤函數(shù)化為頂點(diǎn)式$L(x)=-3(x-frac{2}{3})^2+frac{1}{3}$，最后確定使得利潤最大的產(chǎn)量。當(dāng)產(chǎn)量為$frac{2}{3}$百件時(shí)，利潤達(dá)到最大值$frac{1}{3}$萬元。典型例題分析與解答PART04二次函數(shù)零點(diǎn)與判別式關(guān)系研究REPORTINGXX零點(diǎn)存在性定理對于二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$，若其判別式$Delta=b^2-4acgeq0$，則該函數(shù)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)。判別式計(jì)算判別式$Delta=b^2-4ac$用于判斷二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)和性質(zhì)，當(dāng)$Delta>0$時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)零點(diǎn)；當(dāng)$Delta=0$時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)零點(diǎn)（即重根）；當(dāng)$Delta<0$時(shí)，函數(shù)無實(shí)數(shù)零點(diǎn)。零點(diǎn)存在性定理及判別式計(jì)算重根情況當(dāng)判別式$Delta=0$時(shí)，二次函數(shù)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)零點(diǎn)，即重根。此時(shí)，二次函數(shù)可以表示為完全平方的形式，如$f(x)=(x-p)^2$。無實(shí)根情況當(dāng)判別式$Delta<0$時(shí)，二次函數(shù)無實(shí)數(shù)零點(diǎn)。此時(shí)，函數(shù)的圖像位于x軸的上方或下方，且與x軸無交點(diǎn)。重根、無實(shí)根情況下判別式取值范圍零點(diǎn)個(gè)數(shù)決定函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。當(dāng)$Delta>0$時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)$Delta=0$時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（重根）；當(dāng)$Delta<0$時(shí)，函數(shù)圖像與x軸無交點(diǎn)。零點(diǎn)位置影響函數(shù)圖像的開口方向和頂點(diǎn)位置。若二次函數(shù)有兩個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)，且$a>0$，則函數(shù)圖像開口向上，頂點(diǎn)位于x軸下方；若$a<0$，則函數(shù)圖像開口向下，頂點(diǎn)位于x軸上方。零點(diǎn)個(gè)數(shù)對函數(shù)圖像影響分析例題1已知二次函數(shù)$f(x)=x^2-2x-3$，求該函數(shù)的零點(diǎn)，并判斷其圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。解答首先計(jì)算判別式$Delta=(-2)^2-4times1times(-3)=16$，由于$Delta>0$，所以函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)零點(diǎn)。通過求解方程$x^2-2x-3=0$，得到零點(diǎn)$x_1=-1$和$x_2=3$。因此，函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。例題2已知二次函數(shù)$g(x)=2x^2-4x+2$，判斷該函數(shù)是否有重根，并描述其圖像特點(diǎn)。解答計(jì)算判別式$Delta=(-4)^2-4times2times2=0$，由于$Delta=0$，所以函數(shù)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)零點(diǎn)，即重根。將函數(shù)表示為完全平方的形式$g(x)=2(x-1)^2$，可以看出函數(shù)圖像開口向上，頂點(diǎn)位于x軸上，且與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。01020304典型例題分析與解答PART05二次不等式解法及在實(shí)際問題中應(yīng)用REPORTINGXX010204一元二次不等式解法步驟總結(jié)確定一元二次不等式的形式：形如$ax^2+bx+c>0$或$ax^2+bx+c<0$。計(jì)算判別式$Delta=b^2-4ac$，判斷根的情況。根據(jù)根的情況，結(jié)合二次函數(shù)圖像，確定不等式的解集。注意特殊情況：當(dāng)$a=0$時(shí)，不等式退化為一次不等式。03當(dāng)$a>0$時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線開口向下。這會影響不等式的解集區(qū)間。參數(shù)$a$的變化$b$的變化會影響拋物線的對稱軸位置，從而間接影響不等式的解集。參數(shù)$b$的變化$c$的變化會影響拋物線與$y$軸的交點(diǎn)位置，但不影響不等式的解集區(qū)間。參數(shù)$c$的變化參數(shù)變化對不等式解集影響分析根據(jù)實(shí)際問題背景，設(shè)定未知數(shù)并建立不等式模型。對不等式進(jìn)行化簡和整理，使其符合一元二次不等式的形式。利用一元二次不等式的解法求解不等式。根據(jù)解集結(jié)合實(shí)際問題背景給出合理解答。01020304實(shí)際問題中建立不等式模型并求解例題1解答例題3解答例題2解答求解一元二次不等式$x^2-2x-3>0$。首先計(jì)算判別式$Delta=4+12=16>0$，說明不等式有兩個(gè)實(shí)根。然后求解方程$x^2-2x-3=0$得到根$x_1=-1$和$x_2=3$。結(jié)合二次函數(shù)圖像可知，不等式的解集為$x<-1$或$x>3$。求解一元二次不等式$x^2-4x+4leq0$。首先計(jì)算判別式$Delta=0$，說明不等式有兩個(gè)相等的實(shí)根。然后求解方程$x^2-4x+4=0$得到根$x_1=x_2=2$。結(jié)合二次函數(shù)圖像可知，不等式的解集為$x=2$。某商品進(jìn)價(jià)為80元，售價(jià)為100元，現(xiàn)準(zhǔn)備降價(jià)銷售，但要保證利潤率不低于5%，則最多可降價(jià)多少元？設(shè)降價(jià)$x$元，則售價(jià)為$100-x$元。利潤率為$frac{(100-x-80)}{80}times100%$。根據(jù)題意得不等式$frac{(100-x-80)}{80}times100%geq5%$?；喌?xleq16$。所以最多可降價(jià)16元。典型例題分析與解答PART06總結(jié)回顧與拓展延伸REPORTINGXX二次函數(shù)的一般形式：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$是常數(shù)，$aneq0$。二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式：$(-frac{2a},c-frac{b^2}{4a})$，頂點(diǎn)是拋物線的最值點(diǎn)。二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，其開口方向由系數(shù)$a$決定，當(dāng)$a>0$時(shí)，開口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，開口向下。二次函數(shù)的對稱軸是直線$x=-frac{2a}$，拋物線關(guān)于對稱軸對稱。關(guān)鍵知識點(diǎn)總結(jié)回顧高階多項(xiàng)式的一般形式：$y=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0$，其中$a_n$、$a_{n-1}$、...、$a_0$是常數(shù)，$a_nneq0$，$n$為正整數(shù)。高階多項(xiàng)式的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)可以通過求導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)來判斷。拓展延伸：高階多項(xiàng)式