2021年廣東省深圳市第八屆“鵬程杯”七年級決賽數學試卷

第1頁（共1頁）2021年廣東省深圳市第八屆“鵬程杯”七年級決賽數學試卷一、填空題（每小題7分，共84分）1．（7分）已知2x+5y﹣3＝0，則4x?32y＝．2．（7分）如圖，兩個正方形邊長分別為a、b，且滿足a+b＝10，ab＝12，圖中陰影部分的面積為．3．（7分）如圖是5×5的正方形網格，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，像△ABC這樣的三角形叫格點三角形．畫與△ABC有一條公共邊且全等的格點三角形，這樣的格點三角形最多可以畫個．4．（7分）設M＝2n+28+1，若M為某個有理數的平方，則n的取值為．5．（7分）若（x+1）（x2﹣5ax+a）的積中不含x2項，則（﹣5a）3÷（﹣a2）＝．6．（7分）圖中有對同位角．（其中a∥b）7．（7分）△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中線，設AD長為m，則m的取值范圍是．8．（7分）三邊長均為整數的三角形周長為50，其最長邊是最短邊的2倍長，則最短邊長是．9．（7分）已知一直角三角形有一條直角邊為12，另外兩邊長均為整數，則這樣的三角形有個．10．（7分）已知有理數a、b、c滿足a+b＝6，ab﹣c2＝9．則（a﹣b﹣2）3a+b+c﹣1+8b+3＝．11．（7分）已知關于x的方程|x﹣1|+|x﹣3|＝a有且只有兩個解，則a的取值范圍是．12．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BD，∠BDA＝45°，BC＝2，若BD⊥CD于點D，則對角線AC的最大值為二、解答題：（第13至16題，每小題12分，第17題18分，共66分）13．（12分）如圖，公路MN和公路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學，AP＝160米，∠NPQ＝30°，假使拖拉機行駛時周圍100米以內會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是5米/秒，那么學校受到的影響的時間為多少秒？14．（12分）用正方形硬紙板做三棱柱盒子，每個盒子由3個長方形側面和2個正三角形底面組成．硬紙板以如圖兩種方法裁剪（裁剪后邊角料不再利用）．A方法：剪6個側面；B方法：剪4個側面和5個底面．現(xiàn)有19張硬紙板，裁剪時x張用A方法，其余用B方法．（1）分別求裁剪出的側面和底面的個數（用x的代數式表示）（2）若裁剪出的側面和底面恰好全部用完，問能做多少個盒子？15．（12分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，E是邊AB上一點，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一動點，求PB+PE的最小值．16．（12分）已知關于x的多項式f（x）除以x﹣2，余數為7，f（x）除以x﹣3，余數為9，求多項式f（x）除以（x﹣2）（x﹣3）的余式．17．（18分）如圖△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝45°，點E為BC的中點，CN⊥AE交AB于N．（1）求證：∠1＝∠2；（2）求證：AE＝CN+EN．

2021年廣東省深圳市第八屆“鵬程杯”七年級決賽數學試卷參考答案與試題解析一、填空題（每小題7分，共84分）1．（7分）已知2x+5y﹣3＝0，則4x?32y＝8．【解答】解：因為2x+5y﹣3＝0，可得：2x+5y＝3，所以4x?32y＝22x?25y＝22x+5y＝23＝8．故答案為：8．2．（7分）如圖，兩個正方形邊長分別為a、b，且滿足a+b＝10，ab＝12，圖中陰影部分的面積為32．【解答】解：將a+b＝10兩邊平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，將ab＝12代入得：a2+b2+24＝100，即a2+b2＝76，則兩個正方形面積之和為76；如圖，S陰影＝S兩正方形﹣S△ABD﹣S△BFG＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝×（76﹣12）＝32．故答案為：32．3．（7分）如圖是5×5的正方形網格，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，像△ABC這樣的三角形叫格點三角形．畫與△ABC有一條公共邊且全等的格點三角形，這樣的格點三角形最多可以畫6個．【解答】解：如圖，以BC為公共邊可畫出△BDC，△BEC，△BFC三個三角形和原三角形全等．以AB為公共邊可畫出三個三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等．所以可畫出6個．故答案為：6．4．（7分）設M＝2n+28+1，若M為某個有理數的平方，則n的取值為5或14或﹣10．【解答】解：當2n是乘積二倍項時，原式＝28+2?24+1＝（24+1）2，此時n＝5；當28是乘積二倍項時，原式＝2n+2?27+1＝（27+1）2，此時n＝14；當1是乘積二倍項時，原式＝2n+2?24?2﹣5+28＝（24+2﹣5）2，此時n＝﹣10，綜上所述，n的值為5或14或﹣10．5．（7分）若（x+1）（x2﹣5ax+a）的積中不含x2項，則（﹣5a）3÷（﹣a2）＝25．【解答】解：（x+1）（x2﹣5ax+a）＝x3﹣5ax2+ax+x2﹣5ax+a＝x3﹣（5a﹣1）x2﹣4ax+a，由題意得：5a﹣1＝0，解得：a＝，則（﹣5a）3÷（﹣a2）＝﹣125a3÷（﹣a2）＝125a＝125×＝25，故答案為：25．6．（7分）圖中有32對同位角．（其中a∥b）【解答】解：∵兩條直線被第三條直線所截，在截線上有兩個交點，有四對同位角，∴圖中直線a上有兩個交點，就有4對同位角，直線b上有兩個交點，就有4對同位角，直線c上有3個交點，就有3×4＝12對同位角，直線d上有3個交點，就有3×4＝12對同位角，∴圖中共有4+4+12+12＝32對同位角，故答案為：32．7．（7分）△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中線，設AD長為m，則m的取值范圍是1＜m＜4．【解答】解：延長AD至E，使AD＝DE，連接CE，則AE＝2m，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADB和△EDC中，∵，∴△ADB≌△EDC，∴EC＝AB＝5，在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，∴1＜m＜4，故答案為：1＜m＜4．8．（7分）三邊長均為整數的三角形周長為50，其最長邊是最短邊的2倍長，則最短邊長是11或12．【解答】解：設最短邊長為x，最長的邊長為2x，則第三邊長為50﹣3x，∴該三角形三邊的關系有，解得：10≤x＜12.5，∵三邊長均為整數，∴最短的邊長為10或11或12．故答案為：10或11或12．9．（7分）已知一直角三角形有一條直角邊為12，另外兩邊長均為整數，則這樣的三角形有4個．【解答】解：設直角三角形的斜邊長為c，另一直角邊長為a，根據勾股定理得，c2﹣a2＝122＝144，即（c+a）（c﹣a）＝144，∵另外兩邊長均為整數，則有或或或，∴另外兩邊長可能是37，35或20，16或15，9或13，5，∴這樣的三角形有4個，故答案為：4．10．（7分）已知有理數a、b、c滿足a+b＝6，ab﹣c2＝9．則（a﹣b﹣2）3a+b+c﹣1+8b+3＝﹣2021．【解答】解：∵a+b＝6，∴a＝6﹣b，∵ab﹣c2＝9，∴b（6﹣b）﹣c2＝9，∴（b2﹣6b+9）+c2＝0，∴（b﹣3）2+c2＝0，∴b﹣3＝0，c＝0，∴b＝3，c＝0，a＝3，∴（a﹣b﹣2）3a+b+c﹣1+8b+3＝（﹣2）11+27＝﹣2021．故答案為：﹣2021．11．（7分）已知關于x的方程|x﹣1|+|x﹣3|＝a有且只有兩個解，則a的取值范圍是a＞2．【解答】解：當x≥3時，|x﹣1|+|x﹣3|＝x﹣1+x﹣3＝2x﹣4＞2，當1＜x＜3時，|x﹣1|+|x﹣3|＝x﹣1+3﹣x＝2，當x≤1時，|x﹣1|+|x﹣3|＝1﹣x+3﹣x＝﹣2x+4＞2，∵關于x的方程|x﹣1|+|x﹣3|＝a有且只有兩個解，∴a＞2．故答案為：a＞2．12．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BD，∠BDA＝45°，BC＝2，若BD⊥CD于點D，則對角線AC的最大值為+1【解答】解：以BC為直角邊，點B為直角頂點作等腰直角三角形CBE（點E在BC下方），則BC＝BE，∠CBE＝90°，連接DE，如圖：∵AB＝BD，∠BDA＝45°，∴∠BAD＝45°，∴∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，∴∠ABD+∠CBD＝∠CBE+∠CBD，∴∠ABC＝∠DBE，在△ABC和△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴AC＝DE，∴DE的最大值即為對角線AC的最大值．∵BC＝2，BD⊥CD，即∠ADC＝90°，∴點D在以BC為直徑的圓上運動，如圖所示，當點D在BC上方，DE經過BC的中點O時，DE有最大值，∴OD＝OB＝BC＝1，在Rt△BOE中，OB＝1，BE＝BC＝2，∴OE＝＝＝，∴DE＝OE+OD＝+1，∴對角線AC的最大值為+1．故答案為：+1．二、解答題：（第13至16題，每小題12分，第17題18分，共66分）13．（12分）如圖，公路MN和公路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學，AP＝160米，∠NPQ＝30°，假使拖拉機行駛時周圍100米以內會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是5米/秒，那么學校受到的影響的時間為多少秒？【解答】解：作AH⊥MN于H，如圖，在Rt△APH中，∵∠HPA＝30°，∴AH＝AP＝×160＝80，而80＜100，∴拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時學校會受到影響；以A為圓心，100為半徑畫弧交MN于B、C，如圖，則AB＝AC＝100，而AH⊥BC，∴BH＝CH，在Rt△ABH中，BH＝＝60，∴BC＝2BH＝120，∴學校受到的影響的時間＝＝24（秒）．14．（12分）用正方形硬紙板做三棱柱盒子，每個盒子由3個長方形側面和2個正三角形底面組成．硬紙板以如圖兩種方法裁剪（裁剪后邊角料不再利用）．A方法：剪6個側面；B方法：剪4個側面和5個底面．現(xiàn)有19張硬紙板，裁剪時x張用A方法，其余用B方法．（1）分別求裁剪出的側面和底面的個數（用x的代數式表示）（2）若裁剪出的側面和底面恰好全部用完，問能做多少個盒子？【解答】解：（1）∵裁剪時x張用A方法，∴裁剪時（19﹣x）張用B方法．∴側面的個數為：6x+4（19﹣x）＝（2x+76）個，底面的個數為：5（19﹣x）＝（95﹣5x）個；（2）由題意，得（2x+76）：（95﹣5x）＝3：2，解得：x＝7，∴盒子的個數為：＝30．答：裁剪出的側面和底面恰好全部用完，能做30個盒子．15．（12分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，E是邊AB上一點，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一動點，求PB+PE的最小值．【解答】解：如圖，作正方形ABCD，連接DE，DP．∵四邊形ABCD是正方形，∴B，D關于AC對稱，∴PB＝PD，∴PB+PE＝PE+PD≥DE，在Rt△AED中，AE＝6，AD＝AB＝2+6＝8，∴DE＝＝＝10，∴PE+PB≥10，∴PB+PE的最小值為10．16．（12分）已知關于x的多項式f（x）除以x﹣2，余數為7，f（x）除以x﹣3，余數為9，求多項式f（x）除以（x﹣2）（x﹣3）的余式．【解答】解：根據題意可得f（x）＝（x﹣2）P（x）+7①，P（x）為含x的多項式，f（x）＝（x﹣3）Q（x）+9②，Q（x）為含x的多項式，把①x（x﹣3）得（x﹣3）f（x）＝（x﹣3）（x﹣2）P（x）+7（x﹣3）③，把②×（x﹣2）得（x﹣2）f（x）＝（x﹣3）（x﹣2）Q（x）+9（x﹣2）④，④﹣③得，f（x）＝（x﹣3）（x﹣2）[Q（x）﹣P（x）]+2x+3，∴多項式f（x）除以（x﹣2）（x﹣3）的余式為2x+3．17．（18分）如圖△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝45°，點E為BC的中點，CN⊥AE交AB于