2020-2021學(xué)年人教版數(shù)學(xué)必修4模塊素養(yǎng)評(píng)價(jià) 含解析

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模塊素養(yǎng)評(píng)價(jià)

（120分鐘150分）

一、選擇題（每小題5分，共60分）

1.與-597°角終邊相同的角的集合是（

A.{aIa=k?360°+237°,k￡Z}

B.(a|a=k?360°+597°,kez}

C.{a|a=k?360°+123°,kez}

D.{aIa=k?360°-263°,kez}

【解析】選C.-597。=-360°-237°,

而-237°=-360°+123°.所以-597°=-2X360°+123°.故選C.

2.已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超過5,則k的取值范圍是(

A.[-4,6]B.[-6,4]C.[-6,2]D.[-2,6]

【解析】選C.由|a+b|W5平方得a2+2a?b+b2^25,由題意得

8+2(-10+2k)+25+k?W25,

即k2+4k-12^0,(k+6)(k-2)WO,求得-6WkW2.

C-,J.(TT\7-y^2c7,?ct,

3.已知sin(ct--)=--,cos2a=—，則rltan-=(

k4710252

A.3B.-3C.±3D.±4

【解析】選A.由sin(a-()=?=sina-cosa=g①，

C_72.2_7

cosza二一0cosa-sInQ二一,

2525

所以(cosa-sina)(cosa+sin

由①②可得cosa+sina

34

由①③得sina二一,cosa,

55

所以角a為第二象限角，所吟為第一、三象限角,

4.（2019?全國(guó)卷H）下列函數(shù)中，以］為周期且在區(qū)間弓弓）單調(diào)遞增

的是（）

A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|

C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|

【解析】選A.分別畫出上述函數(shù)的圖象可得選項(xiàng)A的周期書，選項(xiàng)B

的周期為；而選項(xiàng)C的周期為2耳，選項(xiàng)D不是周期函數(shù).結(jié)合圖象的升

2

降情況可得A正確.

5.（2020?武漢高一檢測(cè)）已知索（1,1）,麗=（4,1）,oc=（4,5）,則獲與

最?yuàn)A角的余弦值為（）

［解析］選B.AB=(3,0),AC=(3,4),

3X3+0X4_3

所以cose

3X>/32+425

6.設(shè)a=(l-cosa,V3),b=(3,-sin&)且2_1_匕則銳角a為()

A.-B.-C.-D.—

64312

【解析】選C.因?yàn)閍±b,所以3(1-cosa)-V3sina=0n

3-2V3(fcosa+,1-sm.a

2

=3-2禽sin(a+；卜。，故sin(a+；)§,

所以a+-=-+2kn或a+工空+2kn（k￡Z）,故銳角a為馬.

33333

7.（2020??？诟咭粰z測(cè)）設(shè)aB且tana

則（）

B.2a-B「

2

C.3a+B=］D.2a+3=-

2

【解析】選B.方法一：由tana=3受

cosp

since1+sinp..

付---=------,即s?nacosp=cosa+cosasinp,

cosacosP

所以sin(a-B)=cosa=sin(1-a

因?yàn)閍e（o,?B《O，H所以a-B4《，；），已￡（。，；）?所

以由sin(a-B)=sin(1-a),得a-B-a.所以2a-B=/

_l+sinp_l+cos(￡p)

)去—,tana——zjy、

cospSing-p)

二2cos2(若):cos(C9

2sing-f)cosg-fjsinQ-f)

所以a=kn+([+§),k￡Z.

所以2a—B=2kJi+；,卜￡乙又a￡(0,；”￡(喝，所以

2a-B￡(-；m),所以k=0,2a-B=1.

8.已知|p|=2衣，|q|=3,p,q的夾角為：如圖,若族=5p+2q,AC=p-3q,D

4

為BC的中點(diǎn),則|A"為()

A.—B.-C.7D.18

22

i

【解析】選A.AD=-(AC+AB)

2

11

=-(5p+2q+p-3q)=-(6p-q),

所以IA6|=S布2=J(6p-q)2

/J36P2-12pq+q2

二/36x(2V2)2-12x2V2x3xcos^+32=y.

9.(2020?長(zhǎng)沙高一檢測(cè))y=Asin(ax+6)(A>0,3>0,|6|<it)的圖象

的一段如圖所示,它的解析式是(

32

A.y=|sin^2x+引

B.y=|sin(2x+

C.y=|sin(2x-^

D.y=|sin(2x+

2

【解析】選A.由題干圖象可知A=一,

3

T—2X----(u)—Ji,所以3——

L12\12)11n

所以y=2sin(2x+6),代入點(diǎn)(-二，三)'

3\123

2

得sin(-§+(p)=1，又因?yàn)閨6|<n,所以6二一五.

3

所以y=|sin^2x+：TT).

10.為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖象，可以將函數(shù)y=V2cos3x

的圖象()

A.向右平移上個(gè)單位B.向右平移馬個(gè)單位

124

C.向左平移二個(gè)單位D.向左平移馬個(gè)單位

124

【解析】選A.y二sin3x+cos3x=J^sin(3x+：)

=V2sin[3+

又y=V2cos3X=V2Sin(3x+

=V2sin3(X+：).

所以應(yīng)向右平移一個(gè)單位.

12

11.(2019-天津高考)已知函數(shù)

f(x)=Asin(ax+6)(A>0,3>0,[4)|<n)是奇函數(shù)，將y=f(x)的圖象上

所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)

為g(x).若晨x)的最小正周期為2n,且gQ)=V2,則f)=()

A.-2B.-V2C.V2D.2

【解題指南】只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出A,3。的值即可.

【解析】選C.f(x)為奇函數(shù)，可知f(0)=Asin4)=0,

由|6|<n可得6=0;把其圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，得

1

g(x)=Asin-wx,g(x)的最小正周期為2n,可得3=2,

2

由可得A=2,所以f(x)=2sin2x,f管Kin詈

12.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,NBAD=120°,點(diǎn)E,F分別在邊BC,DC

2

上,BE=入BC,DF=uDC.若AE?AF=1,CE?CF=—,貝ij入+p=()

3

A.-B.-C.-D.—

23612

【解析】選C.因?yàn)镹BAD=120°,

所以AD=IAB|?|AD|?COS120°=-2.

因?yàn)锽E二XBC,DF二uDC,所以入MA講XAD,AF=AI>I-UAB.

又因?yàn)榈?AF=1,

所以(A百+XAD)?(AD+uAB)=1,

3

即2入+2口一入u二—.①

2

2

同理可得，左?CF=XU-X-11=--.②

3

由①+②,得入+U二

6

二、填空題(每小題5分，共20分)

1Q(17吟

13.COS(--y-J=.

【解析】cos(-^■卜cos(-6n+9=COS；=1.

答案；1

2

14.如圖所示，已知0為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，QA=a,o§=b,杉c,則

OD=

【解析】OD=004-CD=CX>BA=004-（0A-0B）=c+a-b.

答案:c+a-b

15.（2019?全國(guó)卷I）函數(shù)f（x）=sin（2x+弓）-3cosx的最小值

為，

【解析】f(x)=sin3+T>cosx二一cos2x-3cosx

3、217

COSXH—I+一,

（478

因?yàn)橐?WcosxW1,所以當(dāng)cosx=1時(shí)，千（x）min=-4,

故函數(shù)千(x)的最小值為-4.

答案:-4

16.(2020?全國(guó)m卷)關(guān)于函數(shù)f(x)=sinx+二一有如下四個(gè)命題:

sinx

①f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

②f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

③f(x)的圖象關(guān)于直線xq對(duì)稱.

④f(x)的最小值為2.

其中所有真命題的序號(hào)是.

【解析】對(duì)于①，由sinxWO可得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|xWkir,k￡Z},

11

故定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由f(-x)=sin(-x)+----二-sinx-----=-f(x),

sin(-x)sinx

所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，①錯(cuò)②對(duì).

1

對(duì)于③，由于f(冗一x);sinO-X)+------

sin(n-x)

=sinx+」一=f(x),所以f(x)關(guān)于x=U對(duì)稱，③對(duì).

sinx2

1

對(duì)于④，令t=sinx,t￡[7,0)U(0,1],由對(duì)勾函數(shù)g(t)=t+；的性質(zhì),

可知g(t)G(-oo,-2]U[2,+8),所以f(x)無最小值,④錯(cuò).

答案:②③

三、解答題(共70分)

17.(10分)已知角a的終邊過點(diǎn)PC，-§.

(1)求sina的值.

sinf--a)

⑵求潟,tan(a-n)

的值.

cos(37i-a)

【解析】(1)因?yàn)閨0P|==(0為坐標(biāo)原點(diǎn)),

所以點(diǎn)P在單位圓上，

3

由正弦函數(shù)定義得sinQ

小ecosatanasina1

(2)原式二一一?----=--------=----,

-sina-cosasinacosacosa

由⑴得sina=-gp在單位圓上,

4，

所以由已知條件得cosa所以原式二-.

54

18.(12分)如果向量X5=i-2j,BC=i+mj,其中，i,j分別是x軸,y軸正方

向上的單位向量,試分別確定實(shí)數(shù)m的值使：

(DA,B,C三點(diǎn)共線.

(2)AB±BC.

【解析】(1)由題意知，Aa入B￡,則i-2j=X(i+mj),

(X=1,

于是、。得m=-2.

(Am=-2,

(2)由AB±前得蔗?BC=0,

所以(i-2j),(i+mj)=i2+mi,j-2i,j-2mj2=0,

1

所以1-2m=0,解得m=一.

2

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

設(shè)ebe2是正交單位向量，如果oA=2ei+me2,OB=nei-e2,oc=5e-e2,

若A,B,C三點(diǎn)在一條直線上，且m=2n,求m,n的值.

【解析】以0為原點(diǎn)，ebe2的方向分別為x,v軸的正方向，建立平面直

角坐標(biāo)系xOy,

則QA=(2,m),OB=(n,-1),oc=(5,-1),

所以AC=(3,-1-m),BC=(5-n,0),

又因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)在一條直線上，所以AG〃BC,

所以3X0-(-1-m),(5-n)=0,與m=2n構(gòu)成方程組,mn5m+n50,

Im=2n,

解得嚴(yán);或『=1。，

n=in=5.

2

19.(12分)已知a=(cosa,sina),b=(cosB,sin

(1)若|a-b|=>用,求證：a_Lb;

(2)設(shè)c=(0,1),若a+b=c,求a,B的值.

【解析】(1)由題意得|a-b1=2,

(a-b)2=a2-2a?b+b2=2.

又因?yàn)閍2=b2=|a12=|b12=1,

所以2-2a?b=2,即a?b=0,故a_Lb.

⑵因?yàn)閍+b=(cosa+cosB,sina+sin8)=(0,1),

“(cosa+cosB=0,,,°、

所以《,?.o4由此得,cosa二cos(n-B),

(sina+sinp=1,

由得0<n-B<n.

又0<a〈ji,故=代入sina+sinB=1,

得sina=sinB而a>B,所以a,B

266

20.(12分)已知函數(shù)y」cos2x+如sinxcosx+l,x￡R.

22

⑴求它的振幅、周期和初相.

⑵用“五點(diǎn)法”作出它的簡(jiǎn)圖.

⑶該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x￡R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變

換得到？

1V3.41

【解析】y=-cos2x+—sInxcosx+1=-cos

224

2x+—sin2x+-=-sin(2xH—)+—?

442\6/4

17IT

⑴小、+*inxcosx+1的振幅為A二-，周期為T=2~=兀，初相為

22

n

6t二一.

6

(2)令XF2X+-,貝寸y=}in(2x+沙:

6

=-sinxi+-,

24

列出下表，并描點(diǎn)得出的圖象如圖所示：

71Tl5IT2TT117T

X

12612T12

Tl3n

X10JI2n

2T

y=sinXi010-10

尸刎(2X+￡)

57535

544444

+一

4

⑶方法一:將函數(shù)圖象依次作如下變換:

向左平移［■個(gè)單位

0

函數(shù)y=sinx的圖象"函數(shù)y=

sinx+l的圖象.

各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的十（縱坐標(biāo)不變）

函數(shù)y=sin(2x+的圖象

各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到燎來的弓■（橫坐標(biāo)不變）

—函數(shù)y=

向上平移毋個(gè)單位

1.

-s?n（2x+：）的圖象“函數(shù)y=

2

+當(dāng)+號(hào)的圖象，即得函數(shù)yJcos1+

6742

—sinxcosx+1的圖象.

2

方法二：函數(shù)y=sinx的圖象

各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的弓（縱坐標(biāo)不變）

向左平移6個(gè)單位

一?函數(shù)y=sin2x的圖象"函數(shù)

向上平移4個(gè)單位+）|的圖象

+A）的圖象---------?函數(shù)

各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的;（橫坐標(biāo)不變）1卜：的圖象，即得函數(shù)

------------------------a函凌攵y=-sinX+J+

2

1

y=-cos2x+—sinxcosx+1的圖象.

22

21.(12分)在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A,B是單位圓上的點(diǎn),

且A(l,0),NA0B=:現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)C在單位圓的劣弧姮上運(yùn)動(dòng)，設(shè)

ZA0C=a.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo).

1

⑵若tanaq,求加.比的值.

(3)若o6=xo4+y而,其中x,y￡R,求x+y的最大值.

【解析】(1)由任意角的三角函數(shù)定義，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(表9)

(2)因?yàn)镺A=(1,0),oc=(cosa,sina),

_.1T[

所以蘇?(acosa.又tana二一,且0WaW—,

33

?,3710

所以cosa=----,

10

即不武造

10

⑶方法一：由OC=XQA+yOB,

得(cosa,sina)=x(1,0)

V3

cosa=x+-y,x=cosa-sina,

所以L2得3

.V32V3.

sina=-y,y=-sina,

所以x+y=cosa+—sina=—(V3cosa+sina)

33

3~^sin(a+又OWa

3\3/3

所以當(dāng)a二一時(shí)，x+y有最大值二一.

63

方法二：由已知可得

OC?OA-xOA-OA+>OB?OA,

OC-OB=xOA-OB+yOB?OB,

,1

cosa=x+-y,

即

cos碧-a)=Ix+y.

2

所以x+y=-cosa+cos

3

=-f—sina+-cosaVcosa+—sina

3k2273

=V2V3s.,V（