2022中考之2021全國中考優(yōu)題匯編與精解37 銳角三角函數(shù)（44題）含答案2022中考之2021全國中考優(yōu)題匯編與精解37 銳角三角函數(shù)（44題）【含答案】

專題37：銳角三角函數(shù)（44題）

一、單選題

1.（2021?天津中考真題試卷）tan3O。的值等于（）

A.—B.—C.1D.2

32

A

根據(jù)30。的正切值直接求解即可.

解：由題意可知，tan30。="，

3

故選：A.

【點評】本題考查30。的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題，熟記其正切值即可.

2.（湖南省永州市2021年中考真題試卷數(shù)學(xué)試卷）下列計算正確的是（）

A.（7Z--3）0=1B.tan30°=1C.4=±2D.

A

根據(jù)零指數(shù)累，特殊角三角函數(shù)值，算術(shù)平方根的定義，同底數(shù)塞乘法的計算法則分別計算即可.

解：A、（萬—3）°=1,此選項正確；

B>an30°=—>此選項錯誤；

t3

c、、〃=2,此選項錯誤；

D、CT-O'-O'此選項錯誤；

故選：A.

【點評】本題考查零指數(shù)尋，特殊角三角函數(shù)值，算術(shù)平方根的定義，同底數(shù)募乘法，熟知相關(guān)計算法則

即定義是解決本題的關(guān)鍵.

3.（2021?廣西中考真題試卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點尸（3,4）,連接OP,則。尸與x軸正方

向所夾銳角a的正弦值是（）

344

A.-B.-D.-

435

D

作尸軸于點M,構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.

解：作軸于點

；P(3,4),

：.PM=4,0M=3,

由勾股定理得：0P=5,

PM4

sina=

OP5

【點評】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，一個角的正弦值等于它所在直角三角形的對邊與斜

邊之比.

4.（2021?貴州銅仁市?中考真題試卷）下列等式正確的是（)

X

A.|-3|+tan45°=-2B.(盯)5+=x'°

y)

C.^a-by=a2+2ab+b2D.x'y-xy)=xy(x+y)(x-y)

D

依據(jù)絕對值的計算，特殊角的三角函數(shù)，積的乘方，同底數(shù)基的除法運算，完全平方公式，因式分解，逐

項計算即可.

A.|-3|+tan45°=3+l=4,不符合題意

、5

X5/x4=y,0,不符合題意

B.(孫)5?x

y)X

C.(a-b)2=a2-2ab+b2,不符合題意

D.x3y-Ay3=A7(x2-y2)=A^(x+y)(x-y),符合題意

故選D.

【點評】本題考查了絕對值的計算，特殊角的三角函數(shù)，積的乘方，同底數(shù)第的除法運算，完全平方公式,

因式分解，解決本題的關(guān)鍵是牢記公式與定義.

3

5.（2021.云南中考真題試卷）在AABC中，NA5C=90°,若4c=100,sin4=：,則AB的長是（）

500503

A.---B.---C.60D.80

35

D

根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC,然后利用勾股定理即可求解.

3

W：'：ZABC=90°,sinZA=—=—,AC=100,

AC5

Z.BC=100x3+5=60,

.?.止以。2一3。2=80,

故選D.

【點評】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?湖北中考真題試卷）如圖，AA6C的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則cosNABC的值為（）

A.也B.也C.1D.皇

3233

B

作AO,8c于￡>,利用勾股定理求出AB的長，再根據(jù)公式計算即可.

解：作ADJ_BC于。，

由圖可知：AD=3,BD=3,

在即AABD中，AB=y]AD2+BD2=V32+32=372>

3_V2

?二cosZABC=---

AB

【點評】此題考查求角的余弦值，勾股定理求邊長，正確構(gòu)建直角三角形并熟記余弦值公式是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?四川中考真題試卷）如圖，在AASC中，點。是角平分線AZ）、3E的交點，若AB=AC=10,BC

=12,則tan/OB。的值是（）

V6

~TDT

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得A"BC,B*BC=6,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角的面積公式得

ABA010

進而即可求解.

~BD~~OD~~e

解：AB=AC=\0,BC=\2,AO平分NBAC,

：.ADLBC,BD=—BC=6,

2

.'.AD=y]\Q2_^2=8，

過點O作。尸，AB,

平分/A5C,

:.OF=OD,

??SAA()6___A__O___±；__鉆____6________A__B_

AOB

S-DOB°DLBD.ODBD

2

.ABAO8—0。

―,解得：00=3,

"BDODOD6

,OD3\_

..tanZ0BD=----=—

BD62

故選A.

AfiAn

【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，推出——=——，是

BD0D

解題的關(guān)鍵.

8.（2021.遼寧營口市.中考真題試卷）如圖，EF與AB，BC,CD分別交于點E,G,凡且Nl=N2=30°,

EF上AB，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AB//CDB.Z3=60°C.FG=-FCD.GFLCD

2

C

根據(jù)平行線的判定定理，可判斷A,根據(jù)平行線的性質(zhì)，可判斷B,D,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可判斷

C,進而即可得到答案.

解：：/1=/2=30°,

/.AB//CD,故A正確，不符合題意；

EFLAB，

，/3=180°-30°-90°=60°,故B正確，不符合題意；

,/AB//CD,￡F±AB.

EFLCD,即：NGFC=90。，故D正確，不符合題意；

又；/2=30°,

???tan30°=—=—.即：FG=—FC>故C錯誤，符合題意.

CF33

故選C.

【點評】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)，銳角

三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

9.（2021?浙江寧波市?中考真題試卷）如圖，在中，N8=45°,NC=60°,AO_L8C于點，

BD=6若E，尸分別為AB，5c的中點，則族的長為（）

A.BB.BC.1D.邁

322

C

根據(jù)條件可知△ABD為等腰直角三角形，則BZ）=AD,ZiAOC是30。、60。的直角三角形，可求出AC長，再

Ar

根據(jù)中位線定理可知EF=——。

2

解：因為AO垂直8C,

KUABD和4ACD都是直角三角形，

又因為48=45°,NC=60°,

所以">=80=6,

因為sin/C=d^=立，

AC2

所以AC=2,

因為EF為△ABC的中位線，

AQ

所以*—=1,

2

故選：C.

【點評】本題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識，根據(jù)條件分析利用定理

推導(dǎo)，是解決問題的關(guān)鍵.

10.（2021?湖南懷化市?中考真題試卷）如圖，菱形ABCQ的四個頂點均在坐標(biāo)軸上，對角線4C、BD交于

原點O,3c于E點，交BD于M點,反比例函數(shù)y=Y3（x〉0）的圖象經(jīng)過線段。C的中點M

3x

若BD=4,則ME的長為（)

54

A.ME=-B.ME=-

33

2

C.ME=\D.ME=-

3

D

根據(jù)菱形的性質(zhì)得出。點的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)y=@（x〉O）的圖象經(jīng)過線段的中點N,求出C

點的坐標(biāo)，進而得出ZODC=30°；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得ZABC=ZADC=2ZODC=60°，AB=BC,

可判定△相（?是等邊三角形；最后找到ME、AM.AE,。8之間的數(shù)量關(guān)系求解.

:菱形ABC。，BD=4

OD=OB—2

二。點的坐標(biāo)為（0,2）

設(shè)C點坐標(biāo)為（4,0）

?.?線段OC的中點N

.?.設(shè)N點坐標(biāo)為（/，1）

2

又：反比例函數(shù)y=也（X〉0）的圖象經(jīng)過線段。C的中點N

?3%

，真=L解得七=平

3,萬3

即C點坐標(biāo)為（空，0）,oc=-

33

2G

在中，

RtAODCtanZO￡>C=—=^-=—

0。23

.*?NODC=30°

:菱形ABC。

/.ZABC=ZADC=2ZODC=60°,AB=BC,/OBC=/ODC=30。

，AABC是等邊三角形

又???AE_L3C于E點，BOLOC于。點

:.AE—OB-2,AO—BE

?；AO=BE,ZAOB=ZAEB=90°,ZAMO=ZBME

^AOM=^BEM(AAS)

AM

ME

叉：在RbBME中,——=sin30°

BM

ME=sin30。=」

~\M2

：.ME^-AE=-x2=-

333

故選：D.

【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和特殊角30。的三角函數(shù).菱形的性質(zhì)，四邊相等，對角

相等，對角線互相垂直且平分一組對角.等邊三角形的判定，有一個角為60°角的等腰三角形是等邊三角

形.特殊角30。的三角函數(shù)，sin30。=1，cos30。=走，tan30°=—.

223

11.（2021?江蘇南通市?中考真題試卷）如圖，四邊形A8CO中，AB//DC,DE±AB,CF±AB,垂足分

別為E,F,且A￡=EE=EB=5cm,PE=12cm.動點P,Q均以Icm/s的速度同時從點A出發(fā)，其

中點P沿折線AO-DC-CB運動到點8停止，點。沿AB運動到點B停止，設(shè)運動時間為f（s）,AAPQ

的面積為ykm?）,則y與/對應(yīng)關(guān)系的圖象大致是（）

分四段考慮，①點P在上運動，②點尸在。C上運動，且點。還未到端點B,③點尸在。C上運動,

且點。到達端點B,④點尸在BC上運動，分別求出y與，的函數(shù)表達式，繼而可得出函數(shù)圖象.

解：在/?/△ADE中AD=，AE。+DE?=13，

在R3CFB中，BC=^BF2+CF2=13(cm),

AB=AE+EF+FB=15(cw),

①點P在40上運動，AP=t,AQ=t,BP0<Z<13,

如圖，過點P作PGLAB于點G,

16,

此時y=5AQxPG=w『(0?fwi3),圖象是一段經(jīng)過原點且開口向上的拋物線;

②點P在。C上運動，且點。還未到端點8,即13</<15,

此時廣;AQxoE=6r（i3<r<i5）,圖象是一段線段；

③點P在。C上運動，且點。到達端點8,即15WfW18,

止匕時產(chǎn);ABX。丘=90（15W/W18）,圖象是一段平行于X軸的水平線段;

④點P在BC上運動，PB=3\-t,即18<fW31,

如圖，過點P作于點

.nCFPH皿12八，、

sinB=---=----9則PH——（31—。9

BCPB13v7

此時），=148*川/=一型，+12四（18<1431）,圖象是一段線段；

'21313

綜上，只有D選項符合題意，

故選：D.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是分段討論y與/的函數(shù)關(guān)系式，

3

12.（2021?四川中考真題試卷）如圖，直線4與反比例函數(shù)y=—（x>0）的圖象相交于48兩點，線段A3

的中點為點C,過點。作X軸的垂線，垂足為點。.直線，2過原點。和點C.若直線上存在點尸（相，〃），

滿足NAPB=NADB，則〃，+〃的值為（）

根據(jù)題意，得A（l,3）,B（3,l）,直線4：>=尤；根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)，得加=〃；根據(jù)勾股定理，得

PC=yj2（m-2y；連接A4，PB,FB，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，得C（2,2）,OCLAB；根

據(jù)勾股定理逆定理，得NARD=9（）°；結(jié)合圓的性質(zhì)，得點A、B、D、尸共圓，直線4和AB交于點F,

點尸為圓心；根據(jù)圓周角、圓心角、等腰三角形的性質(zhì)，得FC=也；分PC=PR+FC或PC=尸產(chǎn)一EC

2

兩種情況，根據(jù)圓周角、二次根式的性質(zhì)計算，即可得到答案.

根據(jù)題意，得A（g,3],43,：）,即A（l,3）,5（3,1）

???直線4過原點。和點C

，直線4：了=%

；P（m,n）在直線4上

：.m-n

???PC=小2（m-2y

連接B4,PB,FB

:.PA=PB，線段AB的中點為點C

AC(2,2),OCLAB

過點C作x軸的垂線，垂足為點。

0(2,0)

‘AD='(2-1)2+(()-3)2=而,AB=^(1-3)2+(3-1)2=272，8D=J(3-2丫+1=0

：?AD2=AB2+BD1

，ZABD^90°

...點A、B、。、P共圓，直線4和A8交于點F,點尸為圓心

BDV2

?二cosZADB

AD-Vio

AC=BC>FB=FA=—AD

2

:.ZBFC=-ZAFB

2

VZAPB^ZADBt且=

2

ZAPB=ZADB=NBFC

，.尸—嚕=器=磊

2

???FC=—

2

，PC=PF+FC或PC=PF-FC

當(dāng)PC=PE—FC時，Z4P8和NA￡>8位于直線AB兩側(cè)，即NAPB+NAZ>3=180°

PC=PF—FC不符合題意

:?PC=PF+FC=叵+包,且"Z<2

22

，PC=^2（m-2）2=V2（2-m）,

???血（2―機）=孚+等

?<>m+n-2m=3-亞

故選：A.

【點評】本題考查了圓、等腰三角形、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)、勾股定理、二次根式的知識；

解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓心角、圓周角、等腰三角形三線合一、三角函數(shù)、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求

解.

二、填空題

13.（2021.湖北荊門市.中考真題試卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，MVQ45斜邊上的高為1,Z4OB=30。,

將RNOAB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt^OCD，點4的對應(yīng)點C恰好在函數(shù)y=4（攵。0）的圖象上,

X

若在y=七的圖象上另有一點M使得ZMOC=30°,則點M的坐標(biāo)為.

X

（73,1）

利用30°的正切可以求出C點坐標(biāo)，再利用C、M在y=七（左H0）上，設(shè)M的坐標(biāo)，最后通過NMOF=30°

可以求出M點的坐標(biāo).

解：如圖，過點C作CELy軸，過點加作“廠,工軸,

由題意可知NEOC=NMO尸=30°,CE=l

CFr-k

則。E=—=百，＜7在＞=—伏HO)上，

tan30°x

:.k=y/3

設(shè)(加＞0)

m

vZMOF=30°

.?.tanZMOF=—

3

m

即耳=可解得m=1,小=-1(不符合題意，舍去)

m

所以M(6,l)

故(6,1).

【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，特殊角的銳角三角函數(shù)，反比例函數(shù)性質(zhì)，正確理解題意，求出c

點的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵.

14.（2021.湖南婁底市.中考真題試卷）高速公路上有--種標(biāo)線叫縱向減速標(biāo)線，外號叫魚骨線，作用是為

了提醒駕駛員在開車時減速慢行.如圖，用平行四邊形ABCD表示一個“魚骨”，A8平行于車輛前行方向,

BEtAB,/CBE=a,過8作AE＞的垂線，垂足為A（A點的視覺錯覺點），若

sina=().05,AB=300mm,則AA=mm.

15.

根據(jù)同角的余角相等得到NA'B4=/a,進一步根據(jù)三角函數(shù)求解即可.

解：如圖所示，

V48,AQ且四邊形ABC。為平行四邊形，

A'B1BC，ZABC=/ABC+NAB4=90°，

又：BE^AB,

：./ABE=ZABC+Za=90°,

/.sinZA'BA=sina=-----=0.05,

AB

又AB=300mm.

，A4'=AB?sinZABA=300x0.05=15mm.

故15.

【點評】本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用同角的余角相等找出角的關(guān)系，根據(jù)同角三角

函數(shù)關(guān)系求值.

15.（2021?黑龍江中考真題試卷）如圖，菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=1，延長CD至4,使

D\=CD,以AC為一邊，在8c的延長線上作菱形ACG3,連接A4,得到AAOR；再延長G2至

&,使=CQ，以A2G為一邊，在CC\的延長線上作菱形A2CtC2D2，連接44,得到M,￡>,A2……

按此規(guī)律，得至I」402002020A2。21，記的面積為的面積為402002020a021的面

A25,,AAQ452……A2

積為S2021，則$2021=-

2例8

由題意易得NBC￡>=60°,AB=AO=CD=1,則有A4￡>4為等邊三角形，同理可得乙41。4.......

都為等邊三角形，進而根據(jù)等邊三角形的面積公式可得￡:手，S2=A/3,……由此規(guī)

律可得S“=6?22"Y,然后問題可求解.

解：???四邊形A8QD是菱形，

，A5=AD=CD=1,AD//BC,AB//CD,

ZABC=nO0,

:.NBCD=S。,

：,NADA=NBC。=60。，

:DAt=CD,

DAt=AD,

，A4￡>4為等邊三角形，

同理可得A4Q|A?……&42。20。202。4。2「都為等邊三角形，

過點8作8E_LC￡>于點E,如圖所示:

八

，BE^BCsin/BCD=—，

2

?c_1Ap._V32_V3

??51=-A,D,BE=—A,D=—，

12'4、4

2

同理可得：S]二號■義22=#>，S3=x4=4-\/3.......

，由此規(guī)律可得：S.=6?N,

2X202144<,38

.-.5202I=^X2-=2.V3；

故答案為2皿38.百.

【點評】本題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、等邊三

角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

16.（2021?廣西中考真題試卷）如圖、在正六邊形ABCDE/中，連接線A。，AE，AC,DF，DB，

AC與BD交于點M，AE與DF交于■點、為N,MN與A。交于點。，分別延長AB，于點G,設(shè)

AB=3.有以下結(jié)論：?MN±AD；②MN=26③4G的重心、內(nèi)心及外心均是點A7;④四邊

形E4CO繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)30。與四邊形ABDE重合.則所有正確結(jié)論的序號是.

①②③

由題意易得AB=5C=CD=DE=M=2,

ZABC=ZBCD=ZCDE=ZDEF=ZEFA=ZFAB=120°.則有NEED=NED尸=30°,進而可得

NOE4=NEDC=90。，則有四邊形E4CZ)是矩形，然后可得AE4N烏A84",AAOG為等邊三角形，

最后可得答案.

解：：六邊形ABCDEE是正六邊形，

AB=BC=CD=DE=EF=FA,

ZABC=/BCD=/CDE=ADEF=NEFA=ZFAB=120°,

1SO°-ZDEF

在△￡>E/中，ZEFD=ZEDF=——=^-=30°,

2

:.ZDFA=ZFDC=90°,

同理可得ZFAC=ZDCA=90°,

四邊形E4c。是矩形，

同理可證四邊形ABDE是矩形,

：.DN//AM,AN//MD,

/.四邊形AMDN是平行四邊形，

?/AF=AB,ZNFA=NMBA=90°,ZFAN=ZMAB=30°,

:.AFAN玨BAM(ASA),

：.AN=AM,

四邊形AMDN是菱形，

,MNA.AD,

：.ZNAM=60°,

.?.△NAM是等邊三角形，

：.AM=MN,

'：AB=3,

AM=———=2G,

cosZMAB

MN=26，

VZMAB=30°,ZACG=9Q°,

AZ6=60°,

△AQG是等邊三角形，

與8。交于點M,

由等邊三角形的性質(zhì)及重心、內(nèi)心、外心可得：△DAG的重心、內(nèi)心及外心均是點M，

連接OF,如圖所示:

易得NFOA=60。，

，四邊形E4c。繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。與四邊形ABDE重合,

，綜上所述：正確結(jié)論的序號是①②③；

故答案為①②③.

【點評】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)、矩形及菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形的

重心、內(nèi)心、外心及三角函數(shù)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)、矩形及菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)

與判定、三角形的重心、內(nèi)心、外心及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

17.（2021?內(nèi)蒙古中考真題試卷）某滑雪場用無人機測量雪道長度.如圖，通過無人機的鏡頭C測一段水

平雪道一端A處的俯角為50。，另一端8處的俯角為45。，若無人機鏡頭C處的高度C￡＞為238米，點A,

D,B在同一直線上，則通道AB的長度為米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)sin50。70.77,

cos50°?0.64,tan50°?1.19）

438

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出BD，根據(jù)正切的定義求出A。，結(jié)合圖形計算即可.

解：由題意得，ZCAD=50°,ZCBD=45°,

在用△C8Z）中，NCBD=45。,

.-.BD=CD=238（米），

在R/ACAD中,tanZCAD=—

AD

CD

則AD=*200（米）,

tan50°

則AB=AD+5Dv438（米）,

故答案是：438.

【點評】本題查考了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是：能借助構(gòu)造的直角三角形求

解.

18.（2021?江蘇常州市?中考真題試卷）如圖，在ATWC中，AC=3,BC=4,點。、E分別在C4、CB上,

點尸在AABC內(nèi).若四邊形CORE是邊長為1的正方形，則sinNEBA=.

V10

而

連接AF,CF,過點F作FM_LAB,由S/時=5?仃+S^CF+，可得下聞=1，再根據(jù)銳角三角函數(shù)

的定義，即可求解.

解：連接4凡CF,過點F作尸

:四邊形CORE是邊長為1的正方形，

，/C=90。，

?"8=，32+42=5,

,S-A8C=SAACF+S^BCF+SaABF，

—x3x4=—x3xl+—x4xl+-x5xFM,

2222

，F(xiàn)M=1,

:BF=^（4-l）2+l2=V10，

sinZFBA=_7k=—.

M10

故答案是：叵

10

【點評】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，掌握”等積法”是解題的關(guān)鍵.

19.（2021?甘肅中考真題試卷）如圖，在矩形ABCD中，E是3C邊上一點，ZAED=90°,ZEAD=30°,F

是AO邊的中點，EF-4cm,則BE二cm

6

先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解4。，再利用銳角三角函數(shù)依次求解AE,BE即可得

到答案.

解：?.?NAEO=9（）°,尸是AO邊的中點，EF=4cm,

：.AD=2EF=S,

\-ZDAE=30°,

AE=cos30。xAO=8x3=4瓜

2

???矩形ABC。,

:.AD//BC,ZABE^90°,

.?.NAEB=NZME=30。，

BE=AE.cos30。=48x走=6.

2

故6.

【點評】本題考查的是矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌

握銳角三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

20.（2021?江蘇蘇州市?中考真題試卷）如圖，射線QV互相垂直，Q4=8,點3位于射線的上

方，且在線段OA的垂直平分線/上，連接AB，A3=5.將線段AB繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)

線段A3',若點B'恰好落在射線QV上，則點A到射線ON的距離.

24

T

添加輔助線，連接。4‘、0B,過A'點作HPJ_ON交ON與點P.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到

^A'B'O^ABO,在mA4'PO和中，ZB'OA=ZBOA,根據(jù)三角函數(shù)和已知線段的長度求出點A'到

射線ON的距離d=A'P.

如圖所示，連接。4'、OB,過4點作4PLQV交ON與點尸.

;線段AB繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)線段A'B'

AOA'=OA=S,ZB'OB=ZA'OA

:.AB'OB-ZBOA'=ZA'OA-ZBOA'

即=

:點B在線段OA的垂直平分線/上

AOC=-OA=-x8=4,OB=AB=5

22

BC=4OBr-OC1=752-42=3

?:ZB'OA'=ZBOA

：.sinZB'OA'==sinNBOA=—

A'OOB

.A,P3

??----=一

85

24

d=A'P=—

5

【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角函數(shù).對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連的

線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

21.（2021?四川達州市?中考真題試卷）如圖，在邊長為6的等邊AABC中，點￡,E分別是邊AC，BC

上的動點，且AE=CE,連接BE,AF交于點P,連接CP，則CP的最小值為

2G.

首先證明NAP3=120°,推出點P的運動軌跡是以。為圓心，04為半徑的弧.連接CO交。。于PL當(dāng)

點P運動到尸時，CP取到最小值.

如圖所示，???邊長為6的等邊AABC,

/-AC=AB=6,ZACB=ACAB=^)°

又；A￡=b

^ACF^BAE(SAS)

/CAP=NPBA

，ZEPA=ZPBA+/PAB=ZCAP+ZPAB=ZCAB=60°

ZAPS=120°

，點P的運動軌跡是以。為圓心，。4為半徑的弧

止匕時=]20。

連接co交。。于尸，當(dāng)點P運動到尸，時，CP取到最小值

,:CA=CB、CO=CO,OA=OB

：.^ACO^BCO(SSS)

:.ZACO=ZBCO=30°,ZAOC=ABOC=60°

，ZC4O=ZCBO=9()0

又：AC=6

g廠OC=—4=46

，OP'=QA=A5tan300=6x2=2G，cos30°<3

32

，CP'=QC-OP'=4百-2百=2百

即

故2石

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓、特殊角的三角函數(shù)等相關(guān)知識.關(guān)

鍵是學(xué)會添加輔助線，該題綜合性較強.

22.(2021.山東東營市.中考真題試卷)如圖，正方形ABC4中，AB=5A3與直線/所夾銳角為60。,

延長CB、交直線/于點4,作正方形ABCIB?,延長G層交直線I于點&,作正方形4&GB,,延長G員

交直線/于點&,作正方形44c3打，…，依此規(guī)律，則線段40204021=.

2(亭2020

利用tan30。計算出30。角所對直角邊，乘以2得到斜邊，計算3次，找出其中的規(guī)律即可.

:AB與直線1所夾銳角為60°,正方形ABC4中，AB=5

/丹朋=30。，

4A=1Atan30°=布x坐=1,

二A4=2=2(—)w：

13

BC,

G

G

^04

AT小兒

：4A=i,NB2AA2=30。，

B,A,=tan30°=1x,

33

44=2x（嗎2T；

二線段4儂/I=2、邛嚴(yán)1=2（率叫

故答案為.2（走）2。2。

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，規(guī)律思考，熟練進

行計算，抓住指數(shù)的變化這個突破口求解是解題的關(guān)鍵.

23.（2021?四川中考真題試卷）如圖，己知點A（4,3）,點5為直線y=-2上的一動點，點C（0,〃），

一2<〃<3,AC_LBC于點C,連接AB.若直線AB與8正半軸所夾的銳角為a，那么當(dāng)sine的值最

大時，〃的值為.

2

設(shè)直線），=-2與y軸交于G,過A作A”J_直線y=-2于”,A八L），軸于匕根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙4BH

=a,由三角函數(shù)的定義得到Sina根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式且="2,于是得到

BA3-〃4

GB=（〃+2）（3-/?）=（H--）2+—,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

44216

解：如圖，設(shè)直線＞=-2與y軸交于G,過A作AHJ_直線y=-2于"，A凡Ly軸于凡

二ZABH=a,

在RtziABH中，AB=yjAH2+BH2.sinar=^7>

DA

55

即sina==I,.

BAy/AH2+BH2

Vsina隨BA的減小而增大，

，當(dāng)BA最小時sina有最大值；即最小時，sina有最大值，即8G最大時，sina有最大值,

:ZBGC=ZACB=ZAFC=90°,

，NGBC+NBCG=N8CG+NACF=90。，

.\ZGBC=ZACF,

：.△ACFs[\C8G,

.BGCG

??彳-7F'

；A(4,3),C(0,〃)

BG_n+2

即

4

BG=——(n+2)(3-M)=——(n——)2+—,

44216

V-2<n<3

125

.?.當(dāng)〃=:時，BG最大值=7

216

故！.

2

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線證得

△ACF^^CBG是解題的關(guān)鍵.

24.（2021.浙江寧波市.中考真題試卷）如圖，在矩形ABC。中，點E在邊AB上，ABEC與AFEC關(guān)于

直線EC對稱，點8的對稱點尸在邊AO上，G為C。中點，連結(jié)BG分別與CE,C尸交于M,N兩點，若

由△BEC與#EC關(guān)于直線EC對稱，矩形ABCD,證明ABEC咨AFEC,再證明ABCN%CFD,可得

4/7FF

BN=CD,再求解CO=2,即可得BN的長；先證明AAFESACBG,可得：——=——,設(shè)BM=x,

CGBG

則BE=BM=EE=x,BG=x+l,A￡=2-x,再列方程，求解修即可得到答案.

解：???△BEC與AFEC關(guān)于直線EC對稱，矩形ABCD,

:.ABEC'FEC,ZABC=ZADC=ZBCD=90°,

NEBC=ZEFC=90°,NBEC=4FEC,BE=FE,BC=FC,

BM=BE,

/BEM=NBME,

:"FEC=NBME,

：.EF//MN,

:.ZBNC=ZEFC=90°,

:"BNC=/FDC=9U。,

-.ZBCD=90°,

：./NBC+/BCN=90°=/BCN+ZDCF,

:"NBC=/DCF,

:.ABCNACFD,

：.BN=CD,

矩形ABCD

:.AB//CD,AD//BC,

/BEM=NGCM,

Z.BEM=/BME-NCMG,MG=1,G為CD的中點，

：.ZGMC=ZGCM,

；.CG=MG=1,CD=2,

BN=2.

如圖，BM=BEFE,MN//EF,四邊形ABC。都是矩形,

;.AB=CD,AD//BC,ZA=NBCG=90°,ZAEF=ZABG,

?NAFE+ZAEF=90°=NABG+Z.CBG,

:.ZAFE=/CBG,

:.AAFESACBG,

,AEEF

,,司一而

設(shè)BM=x,則BE=BM=FE=x,BG=x+1,AE=2—x,

2-xx

?,?_____一____9

1x+1

解得：x=±>/2,

經(jīng)檢驗：工=±0是原方程的根，但工=_近不合題意，舍去，

,AE=2-C,EF=&

??醺2-夜r-

..sin4AFE==—7=—=72—1.

EFV2

故2,夜-1.

【點評】本題考查的是矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)

的應(yīng)用，分式方程的解法，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

25.（2021.湖南岳陽市?中考真題試卷）某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建

一座步行觀光橋，如圖，該河旁有一座小山，山高BC=8（）m,坡面A8的坡度i=1:0.7（注：從山頂B

處測得河岸E和對岸F的俯角分別為NDBE=45°,NDBF=31。.

BD

（2）若在此處建橋，試求河寬EF的長度.（結(jié)果精確到0.1m）

（參考數(shù)據(jù)：sin31°M）.52,cos3—.86,tan31°?0.60）

（1）24，〃；（2）53.3m

（1）先利用等角對等邊和坡度值分別求出CE和AC,最后相減即可得到AE的長；

（2）利用三角函數(shù)值求出CF的長后，利用線段之間的和差關(guān)系即可求出EF的長.

解：（1）VBC^SOm,坡面AB的坡度i=l：0.7,

04=80x0.7=56m,

:NDBE=45。,

NCBE=45。,

二NCBE=NBEC=45。,

：?CE=CB=8（）m,

/.AE=CE-C4=80—56=24?),

???山腳A至ij河岸E的距離為24如

(2)；ZDBF=31°,BD//CF,

：.ZBFC=31°,

CB80

，CF=X--X133.3(m),

tan310.6

EF^CF-CE^133.3-80=53.3㈣，

二河寬EF的長度約為53.3〃?.

【點評】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，要求學(xué)生能正確理解題意，能建立文字與圖形之間的關(guān)聯(lián),

能用數(shù)學(xué)符號表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系等，解決本題的關(guān)鍵是能正確利用坡比值和利用三角函數(shù)值求線

段的長等.

26.（2021?江蘇無錫市?中考真題試卷）如圖，己知銳角中，AC^BC.

BB

（圖1）（圖2）

（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作NAC8的平分線CO；作AABC的外接圓OO；（不寫

作法，保留作圖痕跡）

48

（2）在（1）的條件下，若=。。的半徑為5,則sin8=.（如需畫草圖，請使用圖2）

4

（1）見詳解；（2）j

（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的步驟，即可作NACB的平分線CD,作出AC的中垂線交CD于點。，再以點

O為圓心，OC為半徑，畫圓，即可；

24

（2）連接04根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得4。=8。=行，CDLAB,利用勾股定理求出。力，BC,進而即可

求解.

解：（1）如圖所示：

（2）連接。A,

VAC^BC,NA。的平分線CO,

.,14n14824,

..AD=BD=—AB——x—=—,CDS_AB1

2255

OO的半徑為5,

：.OD=y/OA2-AD2=7

5

sinB-CD_5_4.

5C-T-5

4

故答案是：

【點評】本題主?？疾槌咭?guī)基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，理解三角形

外接圓的圓心是三角形各條邊中垂線的交點，是解題的關(guān)鍵.

27.（2021?內(nèi)蒙古通遼市?中考真題試卷）計算；

+(萬-3)。-2cos30。+|3一配|

利用負(fù)整數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)以及零指數(shù)幕的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、代入特殊角的三角函數(shù)值分別化簡計算即

可得答案.

(1y*

-+(%-3)°-2cos30。+|3-屈|

12,

=2+l-2x電+2百—3

2

=6

【點評】本題考查了實數(shù)的計算，包含負(fù)整數(shù)指數(shù)基、0指數(shù)幕、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值，熟練掌握

運算法則并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

28.（遼寧省營口市2021年中考真題試卷）先化簡，再求值：2,￡二--------7十±一7,其中

[￡-2x+lx-1Jx-1

x=V27+|-2|-3tan60°.

X1

x+2'2

先約分，再算分式的減法以及除法運算，進行化簡，再代入求值，即可.

(x+l)(x-l)1

解：原式二-——之———-x—1

(x-1)X-1x+2

x+1_x-l

x—1x—1)x+2

---x----x----1-

x-1x+2

X

x+2

當(dāng)》=扃+卜2|—3tan6（r=3百+2-36=2時，原式=白=3?

【點評】本題主要考查分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則以及特殊角三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵.

29.（2021?青海中考真題試卷）在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個數(shù)學(xué)活動，若身旁沒有量角器或三角

尺，又需要作60。,30°,15。等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：對折矩形紙片ABC。，使AO與8c重合，得到折痕瓦把紙片展開（如圖13-1）.

第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點8,得到折痕同時得到線段BN（如

圖13-2).

猜想論證:

（1）若延長交8c于點尸，如圖13-3所示，試判定△BMP的形狀，并證明你的結(jié)論.

拓展探究:

（2）在圖13-3中，若AB=a,BC=b,當(dāng)a,Z?滿足什么關(guān)系時，才能在矩形紙片ABCD中剪出符（I）