2019年湖南省永州市中考數(shù)學試卷

2019年湖南省永州市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（每小題4分，本大題共10個小題，每個小題只有一個正確選項，請將正確的

選項涂填到答題卡上.每小題4分，共40分）

1.（4分）-2的絕對值為（）

A.--B.-C.-2D.2

22

2.（4分）改革開放以來，我國眾多科技實體在各自行業(yè)取得了舉世矚目的成就，大疆科技、

華為集團、太極股份和鳳凰光學等就是其中的杰出代表.上述四個企業(yè)的標志是軸對稱圖形

的是（）

chi

A.B.Z一%?C.?D.Q

3.（4分）2019年‘'五一”假期期間，我市共接待國內(nèi)、外游客140.42萬人次，實現(xiàn)旅游

綜合收入8.94億元，則“旅游綜合收入”用科學記數(shù)法表示正確的是（）

A.1.4042xl06B.14.042x10sC.8.94xlO8D.0.894xlO9

4.（4分）某同學家買了一個外形非常接近球的西瓜，該同學將西瓜均勻切成了8塊，并將

其中一塊（經(jīng)抽象后）按如圖所示的方式放在自已正前方的水果盤中，則這塊西瓜的三視圖

是（）

A.B.

bb

5.（4分）下列運算正確的是（）

A.a2+a3=a5B.（a3）2=a7'C.（a?Z>）2=?2th2D.y/a+>fb=-Ja+b

6.（4分）現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)：1,4,3,2,4,x.若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3,則x的值為（

）

A.1B.2C.3D.4

7.（4分）下列說法正確的是（）

A.有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等

B.有一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是矩形

C.如果一個角的補角等于它本身，那么這個角等于45。

D.點到直線的距離就是該點到該直線的垂線段的長度

8.（4分）如圖，四邊形AfiCZ）的對角線相交于點O,且點O是如的中點，若他=45=5,

BD=8,ZABD=Z.CDB,則四邊形ABC￡）的面積為（）

A.40B.24C.20D.15

9.（4分）某公司有如圖所示的甲、乙、丙、丁四個生產(chǎn)基地.現(xiàn)決定在其中一個基地修建

總倉庫，以方便公司對各基地生產(chǎn)的產(chǎn)品進行集中存儲.已知甲、乙、丙、丁各基地的產(chǎn)量

之比等于45:4:2,各基地之間的距離之比a:6:c:":e=2:3:4:3:3（因條件限制,只有圖

示中的五條運輸渠道），當產(chǎn)品的運輸數(shù)量和運輸路程均相等時，所需的運費相等.若要使

總運費最低，則修建總倉庫的最佳位置為（）

T

乙

A.甲B.乙C.丙D.丁

10.（4分）若關于x的不等式組[2x-6+"，（°有解，則在其解集中，整數(shù)的個數(shù)不可能是

[4x一機>0

（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（本大題共8個小題，請將答案填在答題卡的答案欄內(nèi).每小題4分，共32分）

11.（4分）分解因式：X2+2X+1=.

12.（4分）方程二一='的解為x=—.

x-\X

13.（4分）使代數(shù)式G萬有意義的x取值范圍是.

14.（4分）下表是甲、乙兩名同學近五次數(shù)學測試（滿分均為100分）的成績統(tǒng)計表:

同學第一次第二次第三次第四次第五次

甲9088929491

乙9091939492

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，成績較好且比較穩(wěn)定的同學是.

15.（4分）已知NAO8=60。，OC是NAO8的平分線，點。為OC上一點，過。作直線

￡>￡±04,垂足為點E,且直線上交OB于點尸，如圖所示.若DE=2,則￡方=.

16.（4分）如圖，己知點尸是A4BC的重心，連接8尸并延長，交AC于點E,連接CF并

延長，交AB于點。，過點/作FG//BC,交4c于點G.設三角形EFG,四邊形在3CG

的面積分別為S2,則S1：S?=.

念

BC

17.（4分）如圖，直線y=4-x與雙曲線y=3交于A,3兩點，過3作直線8cl.y軸，

X

垂足為C,則以。4為直徑的圓與直線8C的交點坐標是—.

K

"of

18.（4分）我們知道，很多數(shù)學知識相互之間都是有聯(lián)系的.如圖，圖一是“楊輝三角”

數(shù)陣，其規(guī)律是：從第三行起，每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的

數(shù)之和；圖二是二項和的乘方（〃+與”的展開式（按b的升幕排列）.經(jīng)觀察：圖二中某個二

項和的乘方的展開式中，各項的系數(shù)與圖一中某行的數(shù)一一對應，且這種關系可一直對應下

去.將（S+X）”的展開式按R的升基排列得：（S+X）"=4+4%+生工2+…+弓5/.

依上述規(guī)律，解決下列問題：

（1）若S=1,則。2=；

(2)若s=2,貝!J4+4+生+…+。15=

圖一1：圖二

11：(a-^b)1=a^b

力而+/

121?(a—2=42+2

32

1331；(a+b)3=a+3ab+3就一斤

14641?(a*b)4=a4-H4a35-+-6zz2d2-4ab34

245

15101051；(a+b)5=a5+5"b+10a3y-10a^+5ai-b

三、解答題（本大題共8個小題，解答題要求寫出證明步驟或解答過程.共78分）

19.（8分）計算：（一1）2°19+舊乂§山60。一（一3）.

2i

20.（8分）先化簡，再求值：.巴二1—其中q=2.

21.（8分）為了測量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂A測得C處的俯角為45。，D處

的俯角為30。，乙在山下測得C,。之間的距離為400米.已知8,C,。在同一水平面

的同一直線上，求山高45.（可能用到的數(shù)據(jù)：72?1.414,百~1.732）

22.（10分）在一段長為1000的筆直道路上，甲、乙兩名運動員均從A點出發(fā)進行往返

跑訓練.已知乙比甲先出發(fā)30秒鐘，甲距A點的距離y（米）與其出發(fā)的時間x（分鐘）的

函數(shù)圖象如圖所示，乙的速度是150米分鐘，且當乙到達3點后立即按原速返回.

（1）當x為何值時，兩人第一次相遇？

（2）當兩人第二次相遇時，求甲的總路程.

23.（10分）如圖，已知:。是A4BC的外接圓，且為.。的直徑，在劣弧AC上取一點

D,使C￡）=AB,將AADC沿4）對折，得到A4DE,連接CE.

（1）求證：CE是；。的切線;

（2）若CE=/CD,劣弧8的弧長為開，求O的半徑.

24.（10分）如圖，已知拋物線經(jīng)過兩點A（-3,0）,8（0,3）,且其對稱軸為直線x=-l.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點尸是拋物線上點A與點3之間的動點（不包括點A,點8）,求的面積的最

大值，并求出此時點P的坐標.

25.（12分）某種機器使用若干年后即被淘汰，該機器有一易損零件，為調(diào)查該易損零件的

使用情況，隨機抽取了100臺已被淘汰的這種機器，經(jīng)統(tǒng)計：每臺機器在使用期內(nèi)更換的該

易損零件數(shù)均只有8,9,10,11這四種情況，并整理了這100臺機器在使用期內(nèi)更換的該

易損零件數(shù)，繪制成如圖所示不完整的條形統(tǒng)計圖.

（1）請補全該條形統(tǒng)計圖；

（2）某公司計劃購買一臺這種機器以及若干個該易損零件，用上述100臺機器更換的該易

損零件數(shù)的頻率代替一臺機器更換的該易損零件數(shù)發(fā)生的概率.

①求這臺機器在使用期內(nèi)共更換了9個該易損零件的概率；

②若在購買機器的同時購買該易損零件，則每個200元：若在使用過程中，因備用該易損零

件不足，再購買，則每個500元.請你幫該公司用花在該易損零件上的費用的加權平均數(shù)進

行決策：購買機器的同時應購買幾個該易損零件，可使公司的花費最少？

26.（12分）（1）如圖1,在平行四邊形中，ZA=30°,AB=6,4）=8,將平行四

邊形ABCD分割成兩部分，然后拼成一個矩形，請畫出拼成的矩形，并說明矩形的長和

寬.（保留分割線的痕跡）

（2）若將一邊長為I的正方形按如圖2-1所示剪開，恰好能拼成如圖2-2所示的矩形，則

m的值是多少？

（3）四邊形ABC。是一個長為7,寬為5的矩形（面積為35）,若把它按如圖3-1所示的方

式剪開，分成四部分，重新拼成如圖3-2所示的圖形，得到一個長為9,寬為4的矩形（面

積為36).問：重新拼成的圖形的面積為什么會增加？請說明理由.

（圖3-2）

2019年湖南省永州市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題4分，本大題共10個小題，每個小題只有一個正確選項，請將正確的

選項涂填到答題卡上.每小題4分，共40分）

1.（4分）-2的絕對值為（）

A.--B.-C.-2D.2

22

【考點】15：絕對值

【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)化簡得出答案.

【解答】解：-2的絕對值為：2.

故選：D.

【點評】此題主要考查了絕對值，正確掌握相關定義是解題關鍵.

2.（4分）改革開放以來，我國眾多科技實體在各自行業(yè)取得了舉世矚目的成就，大疆科技、

華為集團、太極股份和鳳凰光學等就是其中的杰出代表.上述四個企業(yè)的標志是軸對稱圖形

的是（）

chiZ歷?Q

A.B.=。C.D.

【考點】P3：軸對稱圖形

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

3、是軸對稱圖形，故本選項正確；

C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

。、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對

稱軸折疊后可重合.

3.（4分）2019年“五一”假期期間，我市共接待國內(nèi)、外游客140.42萬人次，實現(xiàn)旅游

綜合收入8.94億元，則“旅游綜合收入”用科學記數(shù)法表示正確的是（）

A.1.4042xl06B.14.042xlO5C.8.94xlO8D.0.894xlO9

【考點】1/：科學記數(shù)法-表示較大的數(shù)

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為4X10"的形式，其中L,W為整數(shù).確定”的值

時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當

原數(shù)絕對值＞10時，〃是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，〃是負數(shù).

【解答】解：將8.94億用科學記數(shù)法表示為8.94X10"

故選：C.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中

L,〃為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定。的值以及”的值.

4.（4分）某同學家買了一個外形非常接近球的西瓜，該同學將西瓜均勻切成了8塊，并將

其中一塊（經(jīng)抽象后）按如圖所示的方式放在自己正前方的水果盤中，則這塊西瓜的三視圖

【考點】C72：簡單組合體的三視圖

【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形；認真

觀察實物圖，按照三視圖的要求畫圖即可，注意看得到的棱長用實線表示，看不到的棱長用

虛線的表示.

【解答】解：觀察圖形可知，這塊西瓜的三視圖是I-----J

故選：B.

【點評】此題主要考查了三視圖的畫法，注意實線和虛線在三視圖的用法.

5.（4分）下列運算正確的是（）

A.cr+<^=a5B.（a3）2=a5C.（a-b）2=a2>b2D.4a+4b=4a+h

【考點】47：嘉的乘方與積的乘方；49：單項式乘單項式；78：二次根式的加減法；35：合

并同類項

【分析】各項計算得到結果，即可作出判斷.

【解答】解：A、原式不能合并，不符合題意；

B、原式=*,不符合題意；

C、原式=/層，符合題意：

。、原式不能合并，不符合題意，

故選：C.

【點評】此題考查了二次根式的加減法，合并同類項，幕的乘方與積的乘方，以及單項式乘

多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

6.（4分）現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)：1,4,3,2,4,x.若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3,則x的值為（

）

A.1B.2C.3D.4

【考點】W4：中位數(shù)

【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義，數(shù)據(jù)：1,4,3,2,4,x共有6個數(shù)，最中間的數(shù)只能為x和

4,然后根據(jù)它們的中位數(shù)為3,即可求出x的值.

【解答】解：數(shù)據(jù)1,4,3,2,4,x中共有6個數(shù)，

該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3,

x+3.

------=3

2

解得x=3.

故選：C.

【點評】本題考查了中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)

據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù),

則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

7.（4分）下列說法正確的是（）

A.有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等

B.有一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是矩形

C.如果一個角的補角等于它本身，那么這個角等于45。

D.點到直線的距離就是該點到該直線的垂線段的長度

【考點】J5：點到直線的距離；LC：矩形的判定；KB：全等三角形的判定

【分析】根據(jù)去全等三角形的判定方法得出A不正確；由矩形的判定方法得出8不正確；

由補角的定義得出C不正確：由點到直線的距離的定義得出。正確；即可得出結論.

【解答】解：A.有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等；不正確；

B.有一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是矩形；不正確；

C.如果一個角的補角等于它本身，那么這個角等于45。；不正確；

。.點到直線的距離就是該點到該直線的垂線段的長度；正確：

故選：D.

【點評】本題考查了矩形的判定、全等三角形的判定方法、點到直線的距離以及補角的定義;

熟記各個判定方法和定義是解題的關鍵.

8.（4分）如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O,且點O是瓦）的中點，若AB=A￡>=5,

BD=8,ZABD=NCDB,則四邊形的面積為（）

A.40B.24C.20D.15

【考點】M：菱形的判定與性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AC_L8￡>,ZBAO=ZDAO,得到AD=C￡）,推出四

邊形436是菱形，根據(jù)勾股定理得到AO=3,于是得到結論.

【解答】解：49=4）,點O是9的中點，

:.ACVBD,Z&4O=ZZMO,

ZABD=NCDB,

.\AB//CD,

:.ZBAC=ZACD,

ZDAC=ZACD,

:.AD=CD,

：.AB=CD,

四邊形ABCD是菱形，

AB=5,BO=-BD=4,

2

/.AO=3，

AC=2A0=6,

四邊形的面積='x6x8=24,

2

故選：B.

【點評】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，

正確的識別圖形是解題的關鍵.

9.（4分）某公司有如圖所示的甲、乙、丙、丁四個生產(chǎn)基地.現(xiàn)決定在其中一個基地修建

總倉庫，以方便公司對各基地生產(chǎn)的產(chǎn)品進行集中存儲.已知甲、乙、丙、丁各基地的產(chǎn)量

之比等于4:5:4:2,各基地之間的距離之比a:6:c:d:e=2:3:4:3:3（因條件限制，只有圖

示中的五條運輸渠道），當產(chǎn)品的運輸數(shù)量和運輸路程均相等時，所需的運費相等.若要使

總運費最低，則修建總倉庫的最佳位置為（）

T

乙

A.甲B.乙C.丙D.丁

【考點】95：二元一次方程的應用

【分析】設甲基地的產(chǎn)量為4x噸，則乙、丙、丁基地的產(chǎn)量分別為5x噸、4x噸、2x噸，

設a=2y千米，則b、c、d、e分別為3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，設運輸?shù)?/p>

運費每噸為z元/千米，

①設在甲處建總倉庫，則運費最少為：(5xx2y+4xx3y+2xx3y)z=28xyz；

②設在乙處建總倉庫，則運費最少為：(4%x2y+4xx3y+2xx5y)z=30斗；

③設在丙處建總倉庫，則運費最少為：(4xx3y+5xx3y+2xx4y)z=35A)，z；

④設在丁處建總倉庫，則運費最少為：(4xx3y+5xx5y+4xx4y)z=53Ayz；

進行比較運費最少的即可.

【解答】解：甲、乙、丙、丁各基地的產(chǎn)量之比等于4:5:4:2,

設甲基地的產(chǎn)量為4x噸，則乙、丙、丁基地的產(chǎn)量分別為5x噸、4x噸、2x噸，

各基地之間的距離之比:e=2:3:4:3:3,

設〃=2y千米，則匕、c>d、e分別為3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，

設運輸?shù)倪\費每噸為z元/千米，

①設在甲處建總倉庫，

則運費最少為：(5xx2y+4xx3y+2xx3y)z=28A；

②設在乙處建總倉庫，

a+d=5yfb+c=7y,

:.a+d<b-\-Cy

則運費最少為：(4xx2y4-4xx3y+2xx5y)z=30xyz；

③設在丙處建總倉庫，

則運費最少為：(4xx3>,+5xx3y+2xx4y)z=35xyz；

④設在丁處建總倉庫，

則運費最少為：(4xx3y4-5xx5y4-4xx4j)z=53xyz；

由以上可得建在甲處最合適，

故選：A.

【點評】本題考查了三元一次方程的應用；設出未知數(shù)，求出各個運費是解題的關鍵.

10.(4分)若關于X的不等式組+有解，則在其解集中，整數(shù)的個數(shù)不可能是

[4工一機>0

()

A.1B.2C.3D.4

【考點】CB：解一元一次不等式組；CC：一元一次不等式組的整數(shù)解

【分析】先分別求出每一個不等式的解集，再根據(jù)不等式組有解，求出〃?<4,然后分別取

m=2,0,-1,得出整數(shù)解的個數(shù)，即可求解.

【解答】解：解不等式2x-6+m<0,得：x<2場,

2

解不等式4x-機>0,得：x>~,

4

不等式組有解，

m6—m

—v----,

42

解得m<4,

如果帆=2,則不等式組的解集為1<機<2,整數(shù)解為x=l,有1個；

2

如果帆=0,則不等式組的解集為0</<3,整數(shù)解為x=l,2,有2個；

如果帆=一1,則不等式組的解集為—〈機<工，整數(shù)解為x=0,1,2,3,有4個；

42

故選：C.

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同

大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

二、填空題（本大題共8個小題，請將答案填在答題卡的答案欄內(nèi).每小題4分，共32分）

11.（4分）分解因式：x2+2x+l=_（x+l）2_.

【考點】54：因式分解-運用公式法

【分析】本題中沒有公因式，總共三項，其中有兩項能化為兩個數(shù)的平方和，第三項正好為

這兩個數(shù)的積的2倍，直接運用完全平方和公式進行因式分解.

【解答】解：x2+2x+l=（x+l）2.

故答案為：。+1）2.

【點評】本題考查了公式法分解因式，熟記完全平方公式的結構是解題的關鍵.

（1）三項式；

（2）其中兩項能化為兩個數(shù)（整式）平方和的形式；

（3）另一項為這兩個數(shù)（整式）的積的2倍（或積的2倍的相反數(shù)）.

12.（4分）方程二-=_L的解為x=-1.

x-1x一一

【考點】B3：解分式方程

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到

方程的解.

【解答】解：去分母得：2x=x-l,

解得：X=—\f

經(jīng)檢驗x=-l是分式方程的解，

故答案為：-1

【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗.

13.(4分)使代數(shù)式有意義的x取值范圍是

【考點】72：二次根式有意義的條件

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負數(shù)求解即可.

【解答】解：代數(shù)式7^1有意義，

.,.X-1..0，

解得：X..1.

故答案為：X..1.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，解答本題的關鍵是掌握被開方數(shù)為非負數(shù).

14.(4分)下表是甲、乙兩名同學近五次數(shù)學測試(滿分均為100分)的成績統(tǒng)計表：

同學第一次第二次第三次第四次第五次

甲9088929491

乙9091939492

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，成績較好且比較穩(wěn)定的同學是乙.

【考點】W7：方差

【分析】根據(jù)平均數(shù)的計算公式先求出甲和乙同學的平均數(shù)，再代入方差公式求出甲和乙同

學的方差，然后根據(jù)方差的意義即可得出答案.

【解答】解：甲同學的平均數(shù)是：((90+88+92+94+91)=91(分)，

22

甲同學的方差是：：[(90-91>+(88-91y+(92-91>+(94-91)+(91-91)]=4,

乙同學的平均數(shù)是：1(90+91+93+94+92)=92(分)，

乙同學的方差是：#(90-92)2+(91-92)2+(93-92)2+(94-92f+(92-92>]=2,

S：,=4>S；=2,方差小的為乙，

成績較好且比較穩(wěn)定的同學是乙.

故答案為：乙.

【點評】本題考查方差的定義：一般地設〃個數(shù)據(jù)，X,,占，…%的平均數(shù)為于，則方差

52=i[(x,-%)2+(^-%)2+...+(x?-x)2],它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動

n

性越大，反之也成立.

15.(4分)已知/4O3=60。，OC是NAO3的平分線，點。為OC上一點，過。作直線

DEVOA,垂足為點E,且直線DE交08于點F,如圖所示.若DE=2,則￡>1=4.

【考點】KF-.角平分線的性質(zhì)

【分析】過點。作DM_L03,垂足為M,則Z)M=0E=2,在RtAOEF中，利用三角形內(nèi)

角和定理可求出N￡>R0=3O。，在RtADMF中，由30。角所對的直角邊等于斜邊的一半可求

出DF的長，此題得解.

【解答】解：過點。作/W_LO8,垂足為“，如圖所示.

OC是NAOB的平分線，

：.DM=DE=2.

在RtAOEF中，ZO￡F=90°.NEO=60。，

/.NOFE=30°,即NDFM=30°.

在RtADMF中，ZDMF=90°,ZDFM=30°,

：.DF=2DM=4.

故答案為:4.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及含30度角的直角三角形，利

用角平分線的性質(zhì)及30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出方的長是解題的關鍵.

16.(4分)如圖，已知點尸是AABC的重心，連接8尸并延長，交AC于點￡,連接CF并

延長，交他于點。，過點F作尸G//BC,交AC于點G.設三角形EFG,四邊形用CG

的面積分別為S1,S2,則岳：$2=_-

8

【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；K5：三角形的重心

【分析】由三角形的重心定理得出防=2￡F,得出砥=3￡F,由平行線得出

q11

△EFeAEBC,.,.得出一!—=(-)2=-,即可得出結果.

S4fBe39

【解答】解：點F是AABC的重心，

:.BF=2EF,

:.BE=3EF,

FG!IBC,

AEFSAEBC,

1

故答案為:8-

【點評】本題考查了三角形的重心定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握三角形的重心

定理，證明三角形相似是解題的關鍵.

a

17.(4分)如圖，直線y=4—x與雙曲線y=±交于A,8兩點，過3作直線8CJ,y軸，

X

垂足為C,則以。4為直徑的圓與直線3c的交點坐標是_(-1,1)和(2,1)_.

【考點】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

【分析】求得交點A、8的坐標，即可求得直徑鉆的長度和P點的坐標，從而求得PE的

長度,利用勾股定理求得EM=EN=t,結合P的坐標即可求得以。4為直徑的圓與直線BC

的交點坐標.

y=4-x

【解答】解：由3求得

，A(1,3),3(3,1),

OA=5/3-+r=>/To,

設04的中點為P,以45為直徑的P與直線8C的交點為“、N,

過P點作P￡>_Lx軸于￡>,交BC于E,連接PN,

P是。4的中點，

3C_Ly軸，垂足為C,

.-.PD1.BC,

在RtAPEN中，EM=EN=PN1-PE2=’(等產(chǎn)~(^)2=

以為直徑的圓與直線BC的交點坐標是(-1,1)和(2,1),

故答案為(-1,1)和(2,1).

【點評】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，垂徑定理,

勾股定理的應用，求得圓心的坐標是解題的關鍵.

18.(4分)我們知道，很多數(shù)學知識相互之間都是有聯(lián)系的.如圖，圖一是“楊輝三角”

數(shù)陣，其規(guī)律是：從第三行起，每行兩端的數(shù)都是“I”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的

數(shù)之和；圖二是二項和的乘方（。+6）”的展開式（按6的升基排列）.經(jīng)觀察：圖二中某個二

項和的乘方的展開式中，各項的系數(shù)與圖一中某行的數(shù)一一對應，且這種關系可一直對應下

去.將（s+x尸的展開式按X的升幕排列得：（s+x）*=%+qx+/x2+…+%產(chǎn).

依上述規(guī)律，解決下列問題：

（1）若s=1,貝1]a,=105；

（2）若s=2,貝!I4+4+。2+…+/=-

圖一1圖二

11(a*b)1=a^b

121

3加一夕

1331(a-b/=a+3a?b+3

14641(a+b)4=a4^4a3b^6a2b2-4ab34

554325

15101051(a+b)=a+5ad+10at-10a"'+5而"-d

【考點】4C：完全平方公式；43：多項式；1O：數(shù)學常識；37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】（1）根據(jù)圖形中的規(guī)律即可求出（1+x）"的展開式中第三項的系數(shù)為前14個數(shù)的和;

（2）根據(jù)x的特殊值代入要解答，即把x=l代入時，得到結論.

【解答】解：（1）由圖2知：（”+份1的第三項系數(shù)為0,

（。+32的第三項的系數(shù)為：1,

S+力3的第三項的系數(shù)為：3=1+2,

5+與4的第三項的系數(shù)為：6=1+2+3,

???發(fā)現(xiàn)（l+x）3的第三項系數(shù)為：3=1+2；

（1+x）4的第三項系數(shù)為6=1+2+3;

（l+x）5的第三項系數(shù)為10=1+2+3+4;

不難發(fā)現(xiàn)（1+x）"的第三項系數(shù)為1+2+3+…+（〃一2）+（〃-1）,

5=1,則a,=1+2+3+…+14=105.

故答案為：105：

15215

(2)(i'+x)=?(,+atx+a2x+...+al5x.

當x=l時，/+q+/+…+a”=(2+1)"=3"，

故答案為：3,5.

【點評】本題考查了完全平方式，也是數(shù)字類的規(guī)律題，首先根據(jù)圖形中數(shù)字找出對應的規(guī)

律，再表示展開式：對應(a+與"中，相同字母a的指數(shù)是從高到低，相同字母6的指數(shù)是

從低到高.

三、解答題(本大題共8個小題，解答題要求寫出證明步驟或解答過程.共78分)

19.(8分)計算:(-1)2019+V12xsin600-(-3).

【考點】2C：實數(shù)的運算；T5：特殊角的三角函數(shù)值

【分析】首先計算乘方、開方，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值是多

少即可.

【解答】解：(-l)202+ViIxsin60°-(-3)

=-l+2^x—+3

2

=—1+3+3

=5

【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數(shù)

運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減,

有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.另外，有理數(shù)的運算律

在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

20.(8分)先化簡，再求值：,其中。=2.

a-aa—\

【考點】6D：分式的化簡求值

【分析】根據(jù)分式的乘法和減法可以化簡題目中的式子，然后將a的值代入化簡后的式子即

可解答本題.

a1

【解答】解：2/-—g-

ar-aa+1a-\

a(a+l)(a-1)a

—■----

Cl{ci-1)4+1Cl—\

a-\

a-\-a

a-\

=----1-f

a-\

當67=2時,原式==—1.

2-1

【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確分式化簡求值的方法.

21.（8分）為了測量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂A測得。處的俯角為45。，D處

的俯角為30。，乙在山下測得C,。之間的距離為400米.已知B,C,。在同一水平面

的同一直線上，求山高他.（可能用到的數(shù)據(jù)：夜“1.414,75?1.732）

【考點】TA-.解直角三角形的應用-仰角俯角問題

【分析】設鉆=x,然后根據(jù)等腰直角三角形以及特殊角銳角三角函數(shù)的值即可求出答案.

【解答】解：設鉆=x,

由題意可知：ZACB=45°,ZADB=30°,

AB=BC=x,

BD=BC+CD=x+400，

在RtAADB中,

An

tan30°=—

BD

Gx+400'

解得：x=?546.4,

V3-1

山高4?為546.4米

【點評】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是熟練運用銳角三角函數(shù)以及一元一次方程的

解法，本題屬于中等題型.

22.（10分）在一段長為1000的筆直道路鉆上，甲、乙兩名運動員均從A點出發(fā)進行往返

跑訓練.已知乙比甲先出發(fā)30秒鐘，甲距A點的距離y（米）與其出發(fā)的時間x（分鐘）的

函數(shù)圖象如圖所示，乙的速度是150米分鐘，且當乙到達3點后立即按原速返回.

（1）當x為何值時，兩人第一次相遇？

（2）當兩人第二次相遇時，求甲的總路程.

伊米

1000■……

o45

【考點】FH-.一次函數(shù)的應用

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以計算出當x為何值時，兩人第一次相遇;

（2）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以計算出當兩人第二次相遇時，甲行駛的總路程.

【解答】解：（1）甲的速度為：100+4=250米/分鐘，

3（）

令250x=150（x+'）,

解得，x=0.75,

答：當x為0.75分鐘時，兩人第一次相遇;

(2)當x=5時,

乙行駛的路程為：150x（5+—）=825<1000,

60

100825

甲乙第二次相遇的時間為：5+---0------==35—^-（分鐘）,

150+250---16

則當兩人第二次相遇時，甲行駛的總路程為：1000+（55-5）x250=1109.375（米），

答：當兩人第二次相遇時，甲行駛的總路程是1109.375米.

【點評】本題考查一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)

形結合的思想解答.

23.（10分）如圖，已知。是AABC的外接圓，且8c為的直徑，在劣弧AC上取一點

D,使CO=4B,將AAZJC沿4）對折，得到AWE,連接CE.

（1）求證：CE是O的切線；

（2）若CE=Ga>,劣弧C3的弧長為萬，求.O的半徑.

【考點】PB-.翻折變換（折疊問題）；MN：弧長的計算；MA：三角形的外接圓與外心;

ME：切線的判定與性質(zhì)；M5：圓周角定理

【分析】（1）在A4CE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。，則2a+2/7+2y=180°,即可求解；

（2）證明四邊形AMCN為矩形，CN^-CE=—x=AM,而=則sinNA3M=正,

222

即NASM=60。，即可求解.

【解答】解：（1）CD=AB,.\ZCAD=ZBCA=a=ZEAD,

設：ZDCA=ZDEA=p,ZDCE=ZDEC=y,

則MCE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。，

2c+2尸+27=180。，

a+￡+y=90°，

:.CE是O的切線；

（2）過點4作40，3。，延長AD交CE于點N,

則DN1CE,.?.四邊形AMCN為矩形，

設：AB=CD=x,則CE=N5X,

則CN=，CE=^x=AM,而=

22

則sinZABM=—,ZABM=60°,

2

.?.△048為等邊三角形，即NAO8=60。，

CD=AB=----x2萬尸=7T，

360°

解得：廠=3,

故圓的半徑為3.

【點評】本題主要考查的是圓切線的基本性質(zhì)，涉及到弧長的計算、三角形內(nèi)角和知識等，

綜合性較強，難度較大.

24.(10分)如圖，已知拋物線經(jīng)過兩點A(-3,0),8(0,3),且其對稱軸為直線x=-l.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點尸是拋物線上點A與點B之間的動點(不包括點A,點B),求AfAB的面積的最

大值，并求出此時點P的坐標.

【考點】H5：二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；H3：二次函數(shù)的性質(zhì)；H8：待定系數(shù)法

求二次函數(shù)解析式；H7：二次函數(shù)的最值

【分析】(1)因為對稱軸是直線x=-l,所以得到點4-3,0)的對稱點是(1,0),因此利用交

點式y(tǒng)=a(x-X1)(x-X2)，求出解析式.

(2)根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得最大值，根據(jù)自變量與

函數(shù)值的對應關系，可得答案.

【解答】解：(I)拋物線對稱軸是直線x=-l且經(jīng)過點4-3,0)

由拋物線的對稱性可知：拋物線還經(jīng)過點(1,0)

設拋物線的解析式為y=a(x-Xi)(x-X2)(4#°)

即：y=a(x-1)(%+3)

把8(0,3)代入得：3=-3a

?"=-1

二拋物線的解析式為：y=-/-2x+3.

(2)設直線鉆的解析式為y=fcr+b,

A(-3,0),B(0,3),

一3攵+Z?=0

b=3

直線AB為y=x+3,

作PQ_Lx軸于Q,交直線AB于M,

設P(x,-x2-2x+3),則M(x,尤+3),

PM=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x,

當x=-|時,y=Y—|）2—2x（—1）+3=?,

.?.AftW的面積的最大值為此時點P的坐標為（-T，?）

【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，利用面積的和得出二次函數(shù)是解題

關鍵，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì).

25.（12分）某種機器使用若干年后即被淘汰，該機器有一易損零件，為調(diào)查該易損零件的

使用情況，隨機抽取了100臺已被淘汰的這種機器，經(jīng)統(tǒng)計：每臺機器在使用期內(nèi)更換的該

易損零件數(shù)均只有8,9,10,11這四種情況，并整理了這100臺機器在使用期內(nèi)更換的該

易損零件數(shù)，繪制成如圖所示不完整的條形統(tǒng)計圖.

（1）請補全該條形統(tǒng)計圖；

（2）某公司計劃購買一臺這種機器以及若干個該易損零件，用上述100臺機器更換的該易

損零件數(shù)的頻率代替一臺機器更換的該易損零件數(shù)發(fā)生的概率.

①求這臺機器在使用期內(nèi)共更換了9個該易損零件的概率；

②若在購買機器的同時購買該易損零件，則每個200元；若在使用過程中，因備用該易損零

件不足，再購買，則每個500元.請你幫該公司用花在該易損零件上的費用的加權平均數(shù)進

行決策：購買機器的同時應購買幾個該易損零件，可使公司的花費最少？

S91011更換的易損零件

【考點】X6：列表法與樹狀圖法；X4：概率公式；VC：條形統(tǒng)計圖；W2：加權平均數(shù)

【分析】（1）共抽查100臺機器，更換8個零件的有20臺，更換9個零件的有50臺，更換

11個零件的有20臺，可以計算出更換10個零件的有100-20-50-20=10臺，進而補全統(tǒng)

計圖；

（2）①用樣本的頻數(shù)估計總體的概率，即求出抽查的100臺機器中更換9個零件的頻率即

可；

②利用加權平均數(shù)計算各種情況下的花費，比較得出答案.

【解答】解：（1）100-20-50-20=10,補全的條形統(tǒng)計圖如圖所示：

（2）①這臺機器在使用期內(nèi)共更換了9個該易損零件的概率為：P=--------------=-；

20+50+10+202

②購買機器的同時購買8個該易損零件200x20%+500x80%=440元，

購買機器的同時購買9個該易損零件200*50%+500x50%=350元，

購買機器的同時購買10個該易損零件200xl0%+500x90%=470元，

購買機器的同時購買11個該易損零件200x20%+500x80%=440元，

因此，購買機器的同時應購買9個該易損零件，可使公司的花費最少.

酢二科二二；

s91011更換的易損零件

【點評】考查條形統(tǒng)計圖的制作方法，理解條形統(tǒng)計圖的特點以及加權平均數(shù)的意義等知識,

用樣本估計總體時統(tǒng)計中常用的方法，要深刻領會和應用.

26.（12分）（1）如圖1,在平行四邊形中，ZA=30°,AB=6,AD=8,將平行四

邊形ABCD分割成兩部分，然后拼成一個矩形，請畫出拼成的矩形，并說明矩形的長和

寬.（保留分割線的痕跡）

（2）若將一邊長為1的正方形按如圖2-1所示剪開，恰好能拼成如圖2-2所示的矩形，則

m的值是多少？

（3）四邊形是一個長為7,寬為5的矩形（面積為35）,若把它按如圖3-1所示的方

式剪開，分成四部分，重新拼成如圖3-2所示的圖形，得到一個長為9,寬為4的矩形（面

積為36）.問：重新拼成的圖形的面積為什么會增加？請說明理由.

2_______,C1m

m

27

（圖3-2）

【考點】PC：圖形的剪拼；LD-.矩形的判定與性質(zhì)：KQ：勾股定理；LE：正方形的性

質(zhì)

【分析】（1）過。作￡>E_L3C于E,將ACDE進行平移即可求解；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：（1）如圖所示：

（2）依題意有

1_\-m

---------,

1+機tn

解得叫=1；"，嗎=1J（負值舍去）,

經(jīng)檢驗，叫=上6是原方程的解.

12

故m的值是二比5；

.?.直角三角形的斜邊與直角梯形的斜腰不在一條直線上，

故重新拼成的圖形的面積會增加.

【點評】考查了圖形的剪拼，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，注意（3）中直角梯

形與原來圖形的直角梯形不一致.

2019年黑龍江省大慶市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的序號填涂在答題卡上）

1.（3分）有理數(shù)-8的立方根為（）

A.-2B.2C.±2D.±4

2.（3分）在下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.B,J-C