2019年北京初中數(shù)學(xué)期中匯編：二次函數(shù)綜合題（教師版）

2019年北京初中數(shù)學(xué)期中匯編：二次函數(shù)綜合題

解答題(共22小題)

1.(2019秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中)平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)(趣，-2)的拋物線C可由拋物線y=平移得到，其

對(duì)稱軸為直線x=l.

2

(1)求拋物線C的解析式;

(2)若平行于x軸的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓恰與x軸相切，求機(jī)的值.

1111A

1234x

2.(2019秋?西城區(qū)校級(jí)期中)已知拋物線y=-必+以+小將拋物線在y軸左側(cè)部分沿x軸翻折，翻折后的部分和

拋物線在y軸右側(cè)部分組成圖形G,已知M(-3，1),N(1,1)

(1)求拋物線y=-必+?+〃的對(duì)稱軸；

(2)當(dāng)”=0時(shí)，

①若點(diǎn)A(-1,m)在圖形G上，求機(jī)的值；

②直接寫出線段MN與圖形G的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

(3)當(dāng)〃<0時(shí)，若線段例N與圖形G恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出”的取值范圍.

3.(2019秋?西城區(qū)校級(jí)期中)關(guān)于x的一元二次方程渥+云+,=()(4>0)有兩個(gè)不相等且非零的實(shí)數(shù)根，探究a,

b,c滿足的條件.

小華根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程，下面是小華的探究過(guò)程，第一步，設(shè)一

元二次方程〃/+法+°=0(a>0)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為y=ax2+%x+c(?>0)；

(2)參考小華的做法，解決問(wèn)題：

若關(guān)于x的一元二次方程(，〃+5)x-2機(jī)=0有一個(gè)負(fù)實(shí)根和一個(gè)正實(shí)根，且負(fù)實(shí)根大于-1,求實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍.

4.(2019秋?西城區(qū)校級(jí)期中)定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy上的點(diǎn)P(a,b)和拋物線丫=/+以+4我們稱P

(a,b)是拋物線尸=/+以+匕的相伴點(diǎn)，拋物線y=x2+ax+b是點(diǎn)P(a,b)的相伴拋物線.

如圖，已知點(diǎn)A(-2,-2),B(4,-2),C(1,4).

(1)點(diǎn)A的相伴拋物線的解析式為；過(guò)A,8兩點(diǎn)的拋物線y=x2+ax+b的相伴點(diǎn)坐標(biāo)

為;

(2)設(shè)點(diǎn)P(a,b)在直線AC上運(yùn)動(dòng)：

①點(diǎn)尸(a,6)的相伴拋物線的頂點(diǎn)都在同一條拋物線。上，求拋物線。的解析式；

②當(dāng)點(diǎn)尸(a,b)的相伴拋物線的頂點(diǎn)落在aABC內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)直接寫出。的取值范圍.

5.（2019秋?西城區(qū)校級(jí)期中）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)例>0,對(duì)于任意的函數(shù)值y,都滿足-

M0WW,則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值.例如，右圖中

的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.

（1）分別判斷函數(shù)丫=工（x>0）和y=x+2（-4<x<2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；

x

（2）若函數(shù)y=-x+2Ca<x<b,b>a）的邊界值是3,且這個(gè)函數(shù)的最大值也是3,求6的取值范圍;

（3）將函數(shù)y=N（-\<x<m,m>0）的圖象向下平移機(jī)個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值是3

當(dāng)機(jī)在什么范圍時(shí)，滿足旦5江1?

6.（2019秋?西城區(qū)校級(jí)期中）拋物線Fi：y=ax2+hx-11）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸

于點(diǎn)C,已知點(diǎn)4的坐標(biāo)為（-工，0）,

a

（1）直接寫出6=（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線F,的頂點(diǎn)為Pi,將該拋物線平移后得到拋物線B，拋物線F2的頂點(diǎn)B滿足P^Pi//BC,并且拋

物線尸2過(guò)點(diǎn)8,

①設(shè)拋物線尸2與直線8c的另一個(gè)交點(diǎn)為。判斷線段BC與CD的數(shù)量關(guān)系（不需證明），并直接寫出點(diǎn)。的

坐標(biāo);

②求出拋物線尸2與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.

JA

5-

4-

3-

2-

1-

j1__?>

-5-4-3-2-10~12345%

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

7.（2019秋?海淀區(qū)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=f+6x+c與直線y=x+l交于A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A

在x軸上.

（1）用含有6的代數(shù)式表示C；

（2）①若點(diǎn)2在第一象限，且AB=3b,求拋物線的解析式:

②若A生3加，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出h的取值范圍.

8.【概念認(rèn)識(shí)】

城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走.可

以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy,對(duì)兩點(diǎn)A（xi，yi）和8（范，”），用以下方式定義兩點(diǎn)

間距離：d（A,B）=ki-刈+M-

【數(shù)學(xué)理解】

(1)①已知點(diǎn)A(-2,1),則dCO,A)=.

②函數(shù)y=-2x+4(0。a2)的圖象如圖①所示，B是圖象上一點(diǎn)，d(O,B)=3,則點(diǎn)8的坐標(biāo)是

(2)函數(shù)>=匹(x>0)的圖象如圖②所示.求證：該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)C,使d(0,C)=3.

x

(3)函數(shù)>=爐-5/7(x>0)的圖象如圖③所示，。是圖象上一點(diǎn)，求"(0,D)的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。的坐

標(biāo).

【問(wèn)題解決】

(4)某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點(diǎn)，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直

角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？(要求：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫出示意圖并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由)

9.(2019?門頭溝區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，拋物線>=加-2依-3〃(存0)頂點(diǎn)為P,且該拋物線與x軸

交于48兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).我們規(guī)定：拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域稱為“G區(qū)域”(不包含邊界);

橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn).

(1)求拋物線了=,4-2ax-3〃頂點(diǎn)P的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)如果拋物線y=ar2-2ax-3a經(jīng)過(guò)(1,3).

①求a的值；

②在①的條件下，直接寫出“G區(qū)域”內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(3)如果拋物線yna/Tax-3a在“G區(qū)域”內(nèi)有4個(gè)整點(diǎn)，直接寫出”的取值范圍.

10.（2019春?昌平區(qū)期中）學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)后，可以借助函數(shù)的知識(shí)解決方程或不等式的相關(guān)問(wèn)題，如“解方程：2x-

2=0"，既可以直接解方程求解，也可以用函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解，解題思路如下：方程Zt-2=0可以看成是函數(shù)

y=2x-2的函數(shù)值y=0的情況，該方程的解則是對(duì)應(yīng)的自變量x的取值，解為x=l：該問(wèn)題也可以借助函數(shù)圖

象解決，如圖1,方程2%-2=0的解對(duì)應(yīng)的是函數(shù)y=2x-2的圖象與x軸交點(diǎn)（點(diǎn)A）的橫坐標(biāo)所以x=I.

同樣，不等式的問(wèn)題也可以借助函數(shù)知識(shí)解決，如“解不等式2x-2>0"，既可以直接解不等式進(jìn)行求解，也可以

把不等式微-2>0看成是函數(shù)y=2x-2的函數(shù)值y>0的情況，該不等式的解集就是對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范

圍，所以x>l：借助函數(shù)圖象，如圖1,不等式2x-2>0的解集對(duì)應(yīng)的是函數(shù)y=2x-2的圖象在x軸上方的部

分點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍，所以該不等式的解集是x>l請(qǐng)解決如下問(wèn)題：

（1）函數(shù)尸加（〃人"為常數(shù)）的圖象如圖2所示，請(qǐng)回答：

①方程mx-n=0的解為；

②不等式mx-n>3的解集為；

（2）函數(shù)y=/-左的圖象如圖3所示，請(qǐng)回答：

①方程N(yùn)-版=0的解為；

②不等式爐-2r>0的解集為；

③不等式x2-2%-3<0的解集為；

（3）知不等式（標(biāo)+1）犬+3>0的解集是x>-2,請(qǐng)?jiān)趫D4中畫出y=）》+3的圖象.

11.在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，直線y=fcr+匕(原0)與拋物線-4or+3a的對(duì)稱軸交于點(diǎn)A(m,7),點(diǎn)A

關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)恰為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的對(duì)稱軸及a的值；

(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記直線(厚0)與拋物線圍成的封閉區(qū)域(不含邊界)為W.

①當(dāng)％=1時(shí)，直接寫出區(qū)域卬內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若區(qū)域W內(nèi)恰有3個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求〃的取值范圍.

12.在平面直角坐標(biāo)系，中，點(diǎn)A(-4,-2),將點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)B.

(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)若拋物線y=+版+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,求拋物線的表達(dá)式；

(3)若拋物線y=+法+c的頂點(diǎn)在直線y=x+2上移動(dòng)，當(dāng)拋物線與線段AB有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求拋物

線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)f的取值范圍.

珞

5-

4-

3-

2-

1-

1IIIIIII11,

-5-4-3-2-1012345x

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

13.在平面直角坐標(biāo)系x。)，中，已知拋物線-4or+3a.

(1)求拋物線的對(duì)稱軸；

(2)當(dāng)。>0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，頂點(diǎn)為C,若△ABC為等邊三角形，求

。的值；

(3)過(guò)T(0,f)(其中-IS合2)且垂直y軸的直線/與拋物線交于M,N兩點(diǎn).若對(duì)于滿足條件的任意“直,

線段的長(zhǎng)都不小于1,結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出”的取值范圍.

5-

4-

3-

2-

1-

?????______??????

-5-4-3-2-1O12345x

-1-

-2-

-3-

-4-

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線>=〃上一4nx+4〃-1(〃邦)，與無(wú)軸交于點(diǎn)C,。(點(diǎn)。在點(diǎn)。的左側(cè))，與

y軸交于點(diǎn)A.

(1)求拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),A3〃x軸，交拋物線于點(diǎn)3,求點(diǎn)3的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，將拋物線在B,C兩點(diǎn)之間的部分沿y軸翻折，翻折后的圖象記為G,若直線y='+〃?

與圖象G有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求機(jī)的取值范圍.

15.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點(diǎn)P(x,y)的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差_y-x稱為P點(diǎn)的“坐標(biāo)差”,

而圖形G上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”.

(1)①點(diǎn)A(1,3)的“坐標(biāo)差”為；

②拋物線y=-/+3x+3的“特征值”為；

(2)某二次函數(shù)y=-必+bx+c(c￥0)的“特征值''為-1,點(diǎn)8(m,0)與點(diǎn)C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸

和y軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)8與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等.

①直接寫出〃2=；(用含c的式子表示)

②求此二次函數(shù)的表達(dá)式.

(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以M(2,3)為圓心，2為半徑的圓與直線y=x相交于點(diǎn)￡＞、E,請(qǐng)直

接寫出。M的“特征值”為.

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx1-4mx+4m+3的頂點(diǎn)為A.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)將線段04沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段OW.

①直接寫出點(diǎn)。，和的坐標(biāo)；

②若拋物線尸如2-4〃?x+4m+3與四邊形AOO4有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求皿的取值范圍.

'x-y（當(dāng)x>y時(shí)）

17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x,y）,如果點(diǎn)Q（x,的縱坐標(biāo)滿足？=<

.y-x（當(dāng)x〈yB寸）

稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)（3,5）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)；

（2）如果點(diǎn)P在函數(shù)y=x-2的圖象上，其“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”。與點(diǎn)P重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如果點(diǎn)例0”，n）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)"N在函數(shù)y二源的圖象上，當(dāng)把團(tuán)立時(shí)、求線段MN的最大值.

18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-爐+，加+”與x軸交于點(diǎn)A,8（A在8的左側(cè)）.

（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-3,AB=4.求拋物線的表達(dá)式；

（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,且與x正半軸交于點(diǎn)C,記平移后的拋物線頂點(diǎn)為P,

若△OCP是等腰直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)初=4時(shí)，拋物線上有兩點(diǎn)M（xi,yi）和N（必以），若無(wú)i<2,及>2,XI+^2>4,試判斷yi與”的大

小，并說(shuō)明理由.

19.閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該

點(diǎn)的“特征線”.例如，點(diǎn)M（1,3）的特征線有：x=l,y=3,y=x+2,y=-x+4.

問(wèn)題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形04BC,點(diǎn)8在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物

線yn3x-m)24n經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)。在正方形內(nèi)部.

(1)直接寫出點(diǎn)。(機(jī)，")所有的特征線；

(2)若點(diǎn)。有一條特征線是y=x+l,求此拋物線的解析式；

(3)點(diǎn)P是A8邊上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接0P,將△0A尸沿著0P折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)4的位置，當(dāng)點(diǎn)A，

在平行于坐標(biāo)軸的。點(diǎn)的特征線上時(shí)，滿足(2)中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點(diǎn)落在OP上？

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=--/疼+1的對(duì)稱軸是直線x=l.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。(“，》)，E(3,丫2)在拋物線上，若%＜以，請(qǐng)直接寫出〃的取值范圍；

(3)設(shè)點(diǎn)M(p,1?)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)都在直線y=fcc-4的上

方，求k的取值范圍.

21.對(duì)于二次函數(shù)y=/-3x+2和一次函數(shù)y=-2r+4,把丫=，(x2-3x+2)+(1-r)(-2r+4)稱為這兩個(gè)函數(shù)的

“再生二次函數(shù)”，其中，是不為零的實(shí)數(shù)，其圖象記作拋物線L.現(xiàn)有點(diǎn)A(2,0)和拋物線L上的點(diǎn)8(-1,

〃)，請(qǐng)完成下列任務(wù)：

【嘗試】

(1)當(dāng)t—2時(shí)，拋物線y—t(x2-3x+2)+(1-r)(-2x+4)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(2)判斷點(diǎn)A是否在拋物線L上；

(3)求〃的值;

【發(fā)現(xiàn)】

通過(guò)(2)和(3)的演算可知，對(duì)于r取任何不為零的實(shí)數(shù)，拋物線乙總過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)為

【應(yīng)用】

二次函數(shù)y=-3/+5x+2是二次函數(shù)y=x2-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個(gè)“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求

出，的值；如果不是，說(shuō)明理由.

22.已知：〃?、〃是方程x2-6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且mV",拋物線y=-x2+fov+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(,〃，0)、B

(0,M).

(1)求這個(gè)拋物線的解析式；

(2)設(shè)(1)中拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為O,試求出點(diǎn)C、。的坐標(biāo)和△BCD的面積；

(3)P是線段OC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作軸，與拋物線交于4點(diǎn)，若直線BC把△「＜?//分成面積之比為

2：3的兩部分，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

2019年北京初中數(shù)學(xué)期中匯編：二次函數(shù)綜合題

參考答案與試題解析

解答題（共22小題）

1.（2019秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)（尚，-2）的拋物線C可由拋物線y=平移得到，其

對(duì)稱軸為直線

2

（1）求拋物線C的解析式；

（2）若平行于x軸的直線＞=，"與拋物線C交于A、8兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓恰與x軸相切，求機(jī)的值.

【分析】⑴設(shè)拋物線C的解析式為尸-（x-1）2+%,將點(diǎn)-2）代入解析式，可求解;

（2）可設(shè)圓心M坐標(biāo)為（工，機(jī)），可得點(diǎn)A（工+口,機(jī)），代入解析式可求解.

22

【解答】解：⑴設(shè)拋物線C的解析式為y=-（x-1）^+k,過(guò)點(diǎn)（,，-2）,

...-2=-（0-』）2+k,

22

:*k=2.

...拋物線C的解析式為y=-（X-2）2+2；

2

（2）設(shè)AB為直徑的圓的圓心為點(diǎn)M，則點(diǎn)M在對(duì)稱軸上,

.,.點(diǎn)M（A,〃?），

2

V以AB為直徑的圓恰與x軸相切,

，點(diǎn)A(―+/M,m),

2

???點(diǎn)A在拋物線C上,

.".m—-（,—+m-—）2+2,

22

?'?mi—~2,m2—1.

【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，要充分運(yùn)用拋物線及圓

的對(duì)稱性解答本題.

2.（2019秋?西城區(qū)校級(jí)期中）已知拋物線y=-/+4X+小將拋物線在），軸左側(cè)部分沿x軸翻折，翻折后的部分和

拋物線在y軸右側(cè)部分組成圖形G,已知1）,N（-1,1）

（1）求拋物線y=-爐+4》+”的對(duì)稱軸；

（2）當(dāng)〃=0時(shí)，

①若點(diǎn)A（-1,機(jī)）在圖形G上，求機(jī)的值;

②直接寫出線段與圖形G的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

（3）當(dāng)〃<0時(shí)，若線段MN與圖形G恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出〃的取值范圍.

【分析】（1）由對(duì)稱軸公式直接可求;

（2）①由函數(shù)的對(duì)稱性可知，點(diǎn)A（-1,?。┰趫D形G上，則點(diǎn)（-1,-m）在）=-/+4x上；②畫出圖象，

可知線段與圖形G的公共點(diǎn)有三個(gè)；

（3）y—x2-4x-〃與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，當(dāng)（0,1）在y=/-4x-n上時(shí)，，n=-1,止匕時(shí)-r+氧-

1=1時(shí)N-我+2=0解得》=2+我，x=2-a，此時(shí)-4x-〃與線段A8有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；當(dāng)-r+4》+”

=1,即/-?+1-"=0,△=16-4（1-〃）=12+4〃=0時(shí)，此時(shí)G與線段A8有一個(gè)交點(diǎn)，則可確定在這兩

種情況之間時(shí)，G與線段A8有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

【解答】解：（1）y=-r+4x+〃的對(duì)稱軸為1=2；

(2)當(dāng)〃=0時(shí)，y=-N+4x,

①點(diǎn)A(-1,m)在圖形G上，則點(diǎn)(-1,-機(jī))在產(chǎn)-x2+4x±,

-m=-1-4=-5,

7W=5；

②畫出圖象，可知線段MN與圖形G的公共點(diǎn)有三個(gè)；

（3）拋物線y=-/+4x+〃的左側(cè)沿x軸翻折后的解析式為丫=3-4x-

V/t<0,

???-7?>0,

??.y=/-4x-九與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，

如圖1：當(dāng)(0,1)在y=x2-Ax-n上時(shí)，n=-1,

此時(shí)-x2+4x-1=1時(shí)/-4x+2=0,

解得x=2+&,x=2-V2>

/.y=x2-4x-n與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

如圖2：當(dāng)-x2+4x+n—1>BR%2-4x+l-n—0,

△=16-4(1-?)=12+4〃=0時(shí)，

n--3,

此時(shí)G與線段AB有一個(gè)交點(diǎn),

A-3<n<-1時(shí)線段MN與圖形G恰有兩個(gè)公共點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵.

3.（2019秋?西城區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于x的一元二次方程渥+云+,=（）（4>0）有兩個(gè)不相等且非零的實(shí)數(shù)根，探究a,

b,c滿足的條件.

小華根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程，下面是小華的探究過(guò)程，第一步，設(shè)一

元二次方程+匕x+c=o（?>0）對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為y=ox2+/；x+c（?>0）；

第二步：借助二次函數(shù)圖象.可以得到相應(yīng)的一元二次方程中a,b,c滿足的條件，列表如下:

方程兩根的情況對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的大致圖象a,b,c滿足的條件

方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根'a>0

A=b2_4ac^>0

4。

Na

c>0

①方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根'a>0

*

c<0

方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根'a>0

△>0

③「書〉0—

2a

②―1c〉0

（1）請(qǐng)幫助小華將上述表格補(bǔ)充完整;

（2）參考小華的做法，解決問(wèn)題：

若關(guān)于x的一元二次方程（〃計(jì)5）x-2m=0有一個(gè)負(fù)實(shí)根和一個(gè)正實(shí)根，且負(fù)實(shí)根大于-1,求實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍.

【分析】（1）有題意即可求解；

（2）由討論中的第二種情況，可得：c>0,且x=-l時(shí);y>0,即可求解.

【解答】解：（1）有題意得：①答案為：方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根；

②答案如圖所示；

③答案為：a>0,A>0,一旦>0,c>0；

2a

(2)由討論中的第二種情況，可得：c<0,且x=-l時(shí)，y>0,

即-2mV0且y=l+(〃?+5)-2m>0,

解得：0<%<6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，主要考查的是函數(shù)的基本性質(zhì)，關(guān)鍵在于理解題意，按照題設(shè)的思路

和邏輯求解即可.

4.(2019秋?西城區(qū)校級(jí)期中)定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系X。了上的點(diǎn)尸(a,b)和拋物線y=x2+nx+Z>,我們稱P

(a>b)是拋物線產(chǎn)好+"+方的相伴點(diǎn)，拋物線y=x2+ax+b是點(diǎn)P(a,b)的相伴拋物線.

如圖，已知點(diǎn)A(-2,-2),B(4,-2),C(1,4).

(1)點(diǎn)A的相伴拋物線的解析式為y=?-2x-2；過(guò)A,2兩點(diǎn)的拋物線y=/+or+8的相伴點(diǎn)坐標(biāo)為—上

2,-10)；

(2)設(shè)點(diǎn)P(a,b)在直線AC上運(yùn)動(dòng)：

①點(diǎn)尸(?,b)的相伴拋物線的頂點(diǎn)都在同一條拋物線。上，求拋物線。的解析式；

②當(dāng)點(diǎn)P(?,h)的相伴拋物線的頂點(diǎn)落在aABC內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍.

【分析】(1)a=h=-2,故拋物線的表達(dá)式為：y=/-2x-2,故答案為：y=/-2x-2：將點(diǎn)A、8坐標(biāo)代入

y—x2+ax+h并解得：a=-2,b=-10；

(2)①直線AC的表達(dá)式為：y=2x+2,設(shè)點(diǎn)P(m,2m+2),則拋物線的表達(dá)式為：y=x2+ntx+2m+2,頂點(diǎn)為：

(--m,--W2+2/M+2),即可求解；

24

②如圖所示，。拋物線落在△ABC內(nèi)部為EF段，即可求解.

【解答】解：⑴a=b=-2,故拋物線的表達(dá)式為：y=N-2x-2,

故答案為：y=x2-2x-2；

將點(diǎn)A、8坐標(biāo)代入y=/+ar+b并解得：a—-2,b--10,

故答案為:(-2,-10)；

(2)①由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達(dá)式為：y=2x+2,

設(shè)點(diǎn)PCm,2m+2),則拋物線的表達(dá)式為：y=x2+mx+2m+2,

頂點(diǎn)為：--m2+2m+2),

24

令x=--in,則m--2x,

2

則y=--m2+2m+2=-x2-4x+2,

4

即拋物線。的解析式為：y=-/-4x+2；

拋物線與直線AC的交點(diǎn)為點(diǎn)E(0,2)；

當(dāng)y=-2時(shí)，即y=-/-4x+2=-2,解得：x=-2±2?,

故點(diǎn)尸(-2+2加，-2)；

故0<x<-2+2&,由①知：a=m=-2x,

故：4-4^/2<?<0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等，這種新定義類題目，通常按照

題設(shè)的順序逐次求解.

5.(2019秋?西城區(qū)校級(jí)期中)對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M>0,對(duì)于任意的函數(shù)值y,都滿足-

則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值.例如，右圖中

的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.

(1)分別判斷函數(shù)>=工(x>0)和)，=x+2(-4<x<2)是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；

x

(2)若函數(shù)y=-x+2(a<x<b,b>a')的邊界值是3,且這個(gè)函數(shù)的最大值也是3,求b的取值范圍；

(3)將函數(shù)y=/(-i<x<m,,?>0)的圖象向下平移m個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值是

當(dāng)，〃在什么范圍時(shí)，滿足旦W曰？

4

【分析】⑴在x的取值范圍內(nèi)，尸工(x>0)的y無(wú)最大值，不是有界函數(shù)；y=x+2(-4<x<2)是有界函數(shù)，

x

其邊界值是4；

(2)由一次函數(shù)的增減性，可得當(dāng)x=“時(shí)，加3=3,當(dāng)x=6時(shí)，y=-6+2,由邊界值定義可列出不等式，即

可求解；

(3)先設(shè)m>1,函數(shù)向下平移機(jī)個(gè)單位后，x=0時(shí).，y=-m<-\,此時(shí)邊界值與題意不符，故，

判斷出函數(shù)所過(guò)的點(diǎn)，結(jié)合平移，可求04m4［或

【解答】解：(1)；y,(x>0)的y無(wú)最大值，

了。不是有界函數(shù)；

??〉=x+2(-4<x<2)是有界函數(shù)，

當(dāng)x=-4時(shí)，y=-2,

當(dāng)x=2時(shí)，y=4,

對(duì)于-4心2時(shí)，任意函數(shù)值都滿足-4〈產(chǎn)4,

?,?邊界值為4；

(2)?.?y=-x+2,y隨工的增大而減小，

???當(dāng)x=a時(shí)，％皿=3,當(dāng)x=Z?時(shí)，y=-b+2,

???邊界值是3,b>a9

：.-3<-b+2<3

：.-l<b<5

（3）若m>\,圖象向下平移m個(gè)單位后，x=0時(shí)，y=-m<-1,此時(shí)函數(shù)的邊界值,不合題意，故m<\.

函數(shù)y=X^（-1夕3^，〃?20），當(dāng)X=-1時(shí)，y〃iax=1，當(dāng)X—0時(shí)，ymin=0

，向下平移m個(gè)單位后，為加=1-6，ymin=~m

???邊界值

1-irtC1或-1<-irtC停

1q

。411144或了^1^r

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合新定義，弄清函數(shù)邊界值的定義，同時(shí)要熟悉平移變換的性質(zhì).

6.（2019秋?西城區(qū)校級(jí)期中）拋物線>=以2+法-1（°>1）與x軸交于點(diǎn)A、3（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與），軸

于點(diǎn)C,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-工，0）,

a

（1）直接寫出6=1-a（用含。的代數(shù)式表示）；

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線R的頂點(diǎn)為P,將該拋物線平移后得到拋物線尸2,拋物線Fi的頂點(diǎn)P2滿足P\Pi〃BC,并且拋

物線尸2過(guò)點(diǎn)B,

①設(shè)拋物線尸2與直線BC的另一個(gè)交點(diǎn)為￡>,判斷線段BC與CD的數(shù)量關(guān)系（不需證明），并直接寫出點(diǎn)。的

坐標(biāo)；

②求出拋物線B與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.

端

5-

4-

3-

2-

1-

j-------1_?----->

-5-4-3-2-10~12345x

-1-

-2-

-3-

-4-

【分析】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-衛(wèi)，0),將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并整理得：b=\-a,即可求解；

a

(2)拋物線的表達(dá)式為：y=ajc2+(1-a)x-1,令y=0,貝ljx=l或-工，故點(diǎn)8(1,0)；

a

(3)①?gòu)膱D象可以看出：BC=BD,即CQ=2BC；

②平移后的圖象過(guò)點(diǎn)8(1,0),點(diǎn)。(2,I),將點(diǎn)8、D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y=ar2+〃x+c得：c=2a>

1,即可求解.

【解答】解：(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-工，0),

a

將點(diǎn)4的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并整理得：b=l-a,

故答案為：1-4；

(2)拋物線的表達(dá)式為：丫=加+(I-6f)X-1

令y=0,貝!]x=l或-工，

a

故點(diǎn)8(1,0)；

(3)①?gòu)膱D象可以看出：BC=BD,即CZ)=2BC；

則點(diǎn)8是C、。的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式得：點(diǎn)0(2,1)；

②平移后的圖象過(guò)點(diǎn)8(1,0),點(diǎn)。(2,1),

將點(diǎn)8、。的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：尸加+〃x+c得：Ja+b'+c=0,

14a+2b'+c=l

解得：c=2a>2,

拋物線尸2與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為：c>2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圖象的平移等，其中(3)②，解題的關(guān)鍵是利用

中點(diǎn)公式求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，進(jìn)而求解.

7.（2019秋嗨淀區(qū)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線丫=爐+公+。與直線y=x+l交于A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)4

在x軸上.

（1）用含有b的代數(shù)式表示c；

（2）①若點(diǎn)2在第一象限，且A8=3點(diǎn),求拋物線的解析式；

②若A生3加，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出力的取值范圍.

4-

3-

2-

1-

iiii11111A

-4-3-2-1012345x

-1-

【分析】（1）由題意直線y=x+l與x軸交于點(diǎn)A,可得點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1,0）,將點(diǎn)A坐標(biāo)（-1,0）代入拋物

線解析式，即可求解；

（2）①設(shè)y=x+l與y軸交于點(diǎn)C,可得：A（-1,0）,C（0,1）,ZOAC=45°,90°,則點(diǎn)B的坐

標(biāo)為（2,3）,即可求解；

②（I）當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，如上圖所示，A8=3近,則%=0,AB>3正時(shí)，拋物線對(duì)稱軸從x=0隨4B的

增加向右側(cè)移動(dòng)，拋物線的對(duì)稱軸x=-山->0,則6<0,

2a

故厄0；（II）當(dāng)點(diǎn)8在點(diǎn)A的左側(cè)，同理可得：b>6,即可求解.

【解答】解：（1）由題意直線y=x+l與x軸交于點(diǎn)A

可得點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1,0）,

拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A

所以將點(diǎn)A坐標(biāo)（-1,0）代入拋物線解析式可得

1-6+c=0,B|1c=b-1.

（2）①設(shè)y=x+l與），軸交于點(diǎn)C,可得：

A(-1,0),C(0,1).

可知OA=OC=].

又因NAOC=90°,

所以N。4c=45。.

如圖，已知AB=3J5，過(guò)B作軸于點(diǎn)Q,

則/A￡>B=90。.

又因NBAO=45。，48=3料，

所以4D=BO=3.

所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,3）.

將點(diǎn)B的坐標(biāo)（2,3）代入拋物線丁=爐+法+'的解析式可得26+c=-1.

9h+r=—1

{c=b-l.

解得嚴(yán)，

Ic=_l.

得拋物線的解析式為〉=始-1；

②（I）當(dāng)點(diǎn)3在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，

如上圖所示，AB=3?,貝!Ib=0,

A8>3y歷時(shí)，拋物線對(duì)稱軸從x=0隨A8的增加向右側(cè)移動(dòng)，

拋物線的對(duì)稱軸x=-旦>0,則b<0,

2a

故后0；

（II）當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè),

當(dāng)48=3加時(shí),

同理可得：拋物線的表達(dá)式為：y=/+6x+5,

故：6=6,

故A生3M時(shí)，h>6；

綜上，后0或佗6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、等腰直角三角形的性質(zhì)等，其中(2)②，要注意

分類求解，避免遺漏.

8.【概念認(rèn)識(shí)】

城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走.可

以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy,對(duì)兩點(diǎn)A(M，yi)和B(X2,>2)，用以下方式定義兩點(diǎn)

間距離：d(A,B)=ki-刈+M-冽.

【數(shù)學(xué)理解】

(1)①已知點(diǎn)A(-2,1),則d(。，A)=3.

②函數(shù)y=-2x+4(0<x<2)的圖象如圖①所示，B是圖象上一點(diǎn)，d(0,B)=3,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1,2)

(2)函數(shù)>=且(x>0)的圖象如圖②所示.求證：該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)C,使d(O,C)=3.

x

(3)函數(shù)y=/-5x+7(x>0)的圖象如圖③所示，。是圖象上一點(diǎn)，求d(0,D)的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。的坐

標(biāo).

【問(wèn)題解決】

(4)某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點(diǎn)，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直

角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？(要求：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫出示意圖并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由)

【分析】(1)①根據(jù)定義可求出d(0,A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；②由兩點(diǎn)間距離:d(A,B)=ln-x2|+|yi-

"I及點(diǎn)8是函數(shù)y=-2JC+4的圖象上的一點(diǎn)，可得出方程組，解方程組即可求出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)由條件知x>0,根據(jù)題意得x+魚=3,整理得f-3x+4=0,由AVO可證得該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)C,

x

使4(。，C)=3.

(3)根據(jù)條件可得國(guó)+M-5X+7],去絕對(duì)值后由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最小值；

(4)以M為原點(diǎn)，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,將函數(shù)y=-x的圖象沿了軸正方向平移，

直到與景觀湖邊界所在曲線有交點(diǎn)時(shí)停止，設(shè)交點(diǎn)為E,過(guò)點(diǎn)E作EH_LMN,垂足為“，修建方案是：先沿MN

方向修建到“處，再沿方向修建到E處，可由d(。，P)>d(0,E)證明結(jié)論即可.

【解答】解：(1)①由題意得：d(O,A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；

②設(shè)8(x,y),由定義兩點(diǎn)間的距離可得：|0-x|+|0-y|=3,

V0<x<2,

3,

.?什3,

ly=-2x+4

解得：卜=1,

1y=2

：.B(1,2),

故答案為：3,(1,2)；

(2)假設(shè)函數(shù)y=生(x>0)的圖象上存在點(diǎn)C(x,>)使4(0,C)=3,

根據(jù)題意，得|x-0|+|?-0|=3，

Vx>0,

.?.且>0，|x-0|+|--0|=x+-^)

XXX

x-^=3,

x

.*.x2+4=3x,

Ax2-3x+4=0,

.?.△=按-4ac=-7<0,

?方程N(yùn)-3尤+4=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根,

，該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)C,使d(O,C)=3.

(3)設(shè)。(x,y),

根據(jù)題意得，"(O,D)=|x-0|+k2-5x+7-0|=卜|+廿-5x+7|,

?'X2-5X+7=(X4)2+^-〉0，

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又xK),

：.dCO,D)=因+4-5x+7|=x+N-5x+7=/-4x+7=(x-2)2+3,

.,.當(dāng)x=2時(shí)，cl(O,D)有最小值3,此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)是(2,1).

(4)如圖，以M為原點(diǎn)，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xO?將函數(shù)y=-x的圖象沿y軸正方向

平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點(diǎn)時(shí)停止，

設(shè)交點(diǎn)為E,過(guò)點(diǎn)E作EH1MN,垂足為H,修建方案是：先沿MN方向修建到H處，再沿HE方向修建到E

處.

理由：設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線人與x軸相交于點(diǎn)F.在景觀湖邊界所在曲線上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線/2〃伍/2與x

,：ZEFH=45°,

：.EH=HF,dCO,E)=OH+EH=OF,

同理d(O,P)=0G,

'：OG>OF,

：.d(O,P)>d(O,E),

???上述方案修建的道路最短.

【點(diǎn)評(píng)】考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有新定義，解方程(組)，二次函數(shù)的性質(zhì)等.

9.(2019?門頭溝區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線>=加-2依-34加)頂點(diǎn)為P,且該拋物線與x軸

交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè)).我們規(guī)定：拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域稱為“G區(qū)域”(不包含邊界);

橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn).

(1)求拋物線y=ax2-2*-3”頂點(diǎn)P的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)如果拋物線、=浸-2以-3a經(jīng)過(guò)(1,3).

①求?的值；

②在①的條件下，直接寫出“G區(qū)域”內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(3)如果拋物線〉=加-2公-34在“6區(qū)域”內(nèi)有4個(gè)整點(diǎn)，直接寫出。的取值范圍.

【分析】(1)利用配方法將拋物線的解析式變形為頂點(diǎn)式，由此即可得出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)將點(diǎn)(1,3)代入拋物線解析式中，即可求出〃值，再分析當(dāng)》=0、1、2時(shí)，在“G區(qū)域”內(nèi)整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo),

由此即可得出結(jié)論；

(3)分〃<0及兩種情況考慮，依照題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出關(guān)于a的不等式組，解之即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)'."y=ax2-lax-3a=a(x+1)(x-3)=a(x-1)2-4a,

頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-4a).

(2):拋物線y=a(x+1)(x-3)經(jīng)過(guò)(1,3),

；.3=a