線性代數(shù)向量

2024-01-24線性代數(shù)向量延時符Contents目錄向量基本概念與性質向量的線性組合與線性相關性向量空間的基與維數(shù)內(nèi)積空間與正交性特征值與特征向量二次型及其標準形延時符01向量基本概念與性質向量的定義向量是既有大小又有方向的量，通常用一個有向線段來表示。向量的表示方法向量可以用一個有序數(shù)組來表示，如二維向量可以表示為(x,y)，三維向量可以表示為(x,y,z)。向量的定義及表示方法向量的加法滿足交換律和結合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。向量的數(shù)乘滿足分配律和結合律，即k(a+b)=ka+kb，(k+l)a=ka+la。向量的線性組合若干個向量的線性組合可以表示為這些向量的加權和，即c1a1+c2a2+...+cnan。向量的線性運算性質030201向量的模向量的模定義為向量的長度，記作|a|，對于二維向量a=(x,y)，其模為√(x^2+y^2)；對于三維向量a=(x,y,z)，其模為√(x^2+y^2+z^2)。向量的方向角向量的方向角是指向量與坐標軸之間的夾角，對于二維向量，其與x軸正方向的夾角記作α，滿足cosα=x/|a|；對于三維向量，其與x、y、z軸正方向的夾角分別記作α、β、γ，滿足cosα=x/|a|，cosβ=y/|a|，cosγ=z/|a|。向量的模與方向角123向量空間是由一組向量構成的集合，滿足加法和數(shù)乘的封閉性、結合律、交換律和分配律等性質。向量空間向量空間的基是指該空間中的一個極大線性無關組，其包含的向量個數(shù)稱為向量空間的維數(shù)。向量空間的基與維數(shù)向量空間的子空間是指該空間的一個子集，且滿足向量空間的性質。任何一個向量空間都包含零空間和本身這兩個子空間。向量空間的子空間向量空間及其性質延時符02向量的線性組合與線性相關性線性組合與線性表示對于向量組$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_m$，若存在一組數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_m$使得$k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_malpha_m=beta$，則稱向量$beta$是向量組$A$的線性組合。線性組合若向量$beta$能由向量組$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_m$線性表示，則存在一組數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_m$使得上式成立。線性表示線性相關若向量組$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_m$中存在不全為零的數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_m$使得$k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_malpha_m=0$，則稱向量組$A$線性相關。線性無關若向量組$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_m$中只有當$k_1=k_2=ldots=k_m=0$時，才有$k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_malpha_m=0$，則稱向量組$A$線性無關。線性相關與線性無關極大線性無關組：設向量組$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_m$，若存在$r$個向量$alpha_{i1},alpha_{i2},ldots,alpha_{ir}$滿足向量組$A$中任意$r+1$個向量都線性相關，則稱$alpha_{i1},alpha_{i2},ldots,alpha_{ir}$是向量組$A$的一個極大線性無關組。秩：極大線性無關組所含向量的個數(shù)稱為向量組的秩，記作$R(A)$。$alpha_{i1},alpha_{i2},ldots,alpha_{ir}$線性無關；極大線性無關組與秩01020304等價向量組若兩個向量組可以互相線性表示，則稱這兩個向量組等價。反身性任何向量組都與自身等價；對稱性若向量組$A$與向量組$B$等價，則向量組$B$與向量組$A$也等價；傳遞性若向量組$A$與向量組$B$等價，且向量組$B$與向量組$C$等價，則向量組$A$與向量組$C$也等價。向量組的等價性延時符03向量空間的基與維數(shù)向量空間V的一組線性無關的向量，若它能生成V，則稱它為V的一個基?；亩x基中的向量線性無關，即它們不能通過線性組合得到零向量。線性無關性基能生成整個向量空間，即向量空間中的任意向量都可以通過基的線性組合得到。生成性基的概念及性質維數(shù)的定義：向量空間的維數(shù)是指它的一個基所含向量的個數(shù)，記作dimV。確定一組線性無關的向量，并驗證它們是否能生成整個向量空間。這組向量的個數(shù)即為向量空間的維數(shù)。通過求解向量空間的一組基，并計算基的向量個數(shù)來確定維數(shù)。維數(shù)的計算方法維數(shù)的定義及計算方法子空間的基子空間的基是指子空間中的一個線性無關且能生成子空間的向量組。子空間維數(shù)與原空間維數(shù)的關系子空間的維數(shù)一定小于或等于原空間的維數(shù)。當子空間與原空間維數(shù)相等時，子空間就是原空間本身。子空間的基與維數(shù)關系設α1,α2,...,αs和β1,β2,...,βs是n維向量空間V的兩組基，若向量γ在基α1,α2,...,αs下的坐標為(x1,x2,...,xs)，在基β1,β2,...,βs下的坐標為(y1,y2,...,ys)，則坐標變換公式為(x1,x2,...,xs)=(y1,y2,...,ys)T，其中T為過渡矩陣。過渡矩陣是從一組基到另一組基的坐標變換矩陣，記作T。若α1,α2,...,αs到β1,β2,...,βs的過渡矩陣為T，則有(β1,β2,...,βs)=(α1,α2,...,αs)T。坐標變換與過渡矩陣過渡矩陣坐標變換延時符04內(nèi)積空間與正交性01定義對于向量空間V中的任意兩個向量α和β，存在一個實數(shù)<α,β>，滿足以下性質02對稱性<α,β>=<β,α>03線性性<kα,β>=k<α,β>，<α+β,γ>=<α,γ>+<β,γ>04正定性<α,α>≥0，且<α,α>=0當且僅當α=005內(nèi)積與向量的模||α||=sqrt(<α,α>)06柯西-施瓦茨不等式|<α,β>|≤||α||||β||內(nèi)積的定義及性質正交基：若一個正交向量組線性無關且能夠生成整個向量空間，則稱該正交向量組為正交基。性質正交基的每個向量都是單位向量。正交向量組的線性組合仍為正交向量組。正交向量組：若向量組中的任意兩個不同向量都正交，則稱該向量組為正交向量組。正交向量組與正交基正交變換與正交矩陣正交變換：若線性變換T保持向量的內(nèi)積不變，即對任意α,β都有<Tα,Tβ>=<α,β>，則稱T為正交變換。正交矩陣：若n階方陣A滿足A'A=E（E為單位矩陣），則稱A為正交矩陣。性質正交矩陣的逆矩陣等于其轉置矩陣。正交矩陣的行列式值為±1。正交變換的矩陣表示是正交矩陣。目的：將線性無關的向量組轉化為正交向量組。步驟1.選取線性無關的向量組{α1,α2,...,αn}。2.利用公式β1=α1，β2=α2-<α2,β1>/<β1,β1>β1，...，βn=αn-Σ<αn,βi>/<βi,βi>βi（i從1到n-1）進行正交化。3.將得到的正交向量組{β1,β2,...,βn}單位化，得到正交基{e1,e2,...,en}。0102030405施密特正交化過程延時符05特征值與特征向量特征值與特征向量的概念特征值設A是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量x，使得Ax=mx成立，則稱m是A的一個特征值。特征向量對應于特征值m的非零n維列向量x稱為矩陣A的對應于特征值m的特征向量。設A為n階矩陣，λ是一個字母，則行列式|A-λE|稱為A的特征多項式。特征多項式通過求解特征多項式|A-λE|=0的根，可以得到矩陣A的特征值。對于每個特征值，通過求解齊次線性方程組(A-λE)X=0，可以得到對應的特征向量。求解方法特征多項式及求解方法01特征值的和等于矩陣主對角線上元素的和。02特征值的積等于矩陣的行列式值。03不同特征值對應的特征向量線性無關。04若λ是A的特征值，α是A的屬于特征值λ的特征向量，則kα(k≠0)仍是A的屬于特征值λ的特征向量。特征值的性質定理VS設A、B都是n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P^(-1)AP=B，則稱B是A的相似矩陣，或說A和B相似。對角化如果n階矩陣A能與對角矩陣相似，則稱A可對角化。實現(xiàn)對角化的條件是A有n個線性無關的特征向量，此時可以通過可逆矩陣P將A對角化，即P^(-1)AP=Λ，其中Λ是對角矩陣，對角線上的元素是A的特征值。相似矩陣相似矩陣及其對角化延時符06二次型及其標準形二次型是一個二次齊次多項式，可以表示為$f(x_1,x_2,ldots,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$是系數(shù)，$x_i$和$x_j$是變量。二次型可以表示為矩陣形式$f=x^TAx$，其中$A$是對稱矩陣，其元素為$a_{ij}$，$x$是列向量，其元素為$x_i$。二次型的定義矩陣表示二次型的定義及矩陣表示配方法通過配方的方法將二次型化為標準形。具體步驟包括將二次型中的每一項配成完全平方項，然后合并同類項得到標準形。要點一要點二正交變換法通過正交變換將二次型化為標準形。具體步驟包括求出二次型的特征值和特征向量，將特征向量正交化得到正交矩陣，然后用正交矩陣對二次型進行變換得到標準形?；涡蜑闃藴市蔚姆椒☉T性定