專題09 數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和及綜合應用（練習）（解析版）-2024年高考數(shù)學二輪復習講練測（新教材新高考）

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】專題09數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和及綜合應用目錄01等差、等比數(shù)列的基本量問題 102證明等差等比數(shù)列 403等差等比數(shù)列的交匯問題 704數(shù)列的通項公式 1105數(shù)列求和 1706數(shù)列性質(zhì)的綜合問題 3007實際應用中的數(shù)列問題 3708以數(shù)列為載體的情境題 4109數(shù)列的遞推問題 4401等差、等比數(shù)列的基本量問題1．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習）已知數(shù)列滿足，，記，則有（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A項，由已知可得，故A項錯誤；對于B項，由已知可得，，，故B錯誤；對于C項，由已知可得，，，即，所以.故C項錯誤；對于D項，因為，，所以，是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以，.故D正確.故選：D.2．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中學校聯(lián)考一模）已知等比數(shù)列的前項和為，，，則（

）A．29 B．31 C．33 D．36【答案】B【解析】因為數(shù)列是等比數(shù)列，，所以，即，則.又因為，故有.所以，則，所有，所有，故B項正確.故選：B.3．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）已知等差數(shù)列，其前項和為，若，且滿足，，成等比數(shù)列，則等于（

）A．或 B． C． D．2【答案】C【解析】由已知可得，設的公差為，且，即，故.故選：C4．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習）在等比數(shù)列中，已知，，則（

）A． B．42 C． D．【答案】C【解析】設的公比為，則，解得，所以，解得，所以.故選：C.5．（2023·全國·模擬預測）已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，且，，則（

）A．63 B．72 C．135 D．144【答案】C【解析】設等差數(shù)列的公差為，則，則．由，得，解得．又因為，所以，所以．故選：C．6．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列對任意滿足，則（

）A．3032 B．3035 C．3038 D．3041【答案】C【解析】因為，所以，兩式相減得：，令得，所以，所以，當時，.故選：C.02證明等差等比數(shù)列7．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谥校┮阎獢?shù)列中，，(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項公式；【解析】（1）當時，由可得，易知；兩邊同時取倒數(shù)可得，即，由等差數(shù)列定義可得是以為首項，公差的等差數(shù)列，所以，即，可得，顯然時，符合上式，即的通項公式為；8．（2023·上?！じ呷虾Ｊ幸舜ㄖ袑W?？计谥校┮阎獢?shù)列、的各項均為正數(shù)，且對任意，都有，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，且，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列、的通項公式．【解析】（1）因為、、成等差數(shù)列，、、成等比數(shù)列，所以①，②，又數(shù)列、的各項均為正數(shù)，則由②可得③，將③代入①，得對任意，有，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）設數(shù)列的公差為，由，得，，所以，由已知，當時，，而也滿足此式，所以，.9．（2023·福建廈門·高三廈門外國語學校?？茧A段練習）設是數(shù)列的前項和，已知(1)求，并證明：是等比數(shù)列；(2)求滿足的所有正整數(shù).【解析】（1）由可得，所以，可得；由已知得，所以，其中，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知，所以，所以，所以，由二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知當時，單調(diào)遞減，其中，所以滿足的所有正整數(shù)為1，2.10．（2023·山東日照·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的各項均為非零實數(shù)，其前項和為，且.(1)若，求的值；(2)若，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其前項和.【解析】（1）中令得：，因為數(shù)列的各項均為非零實數(shù)，所以，因為，所以，即，解得：；（2），即，所以，，，……，，以上式子相乘得：，因為數(shù)列的各項均為非零實數(shù)，且，所以，即，當時，，所以，因為，所以，所以，，故數(shù)列為等差數(shù)列，首項為，公差為，數(shù)列為等差數(shù)列，首項為，公差為，，所以，所以，，故，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和.03等差等比數(shù)列的交匯問題11．（2023·高二課時練習）已知數(shù)列的前n項和為，若，，，成等差數(shù)列，則．【答案】【解析】由題意得，所以，因為，所以，所以，所以，所以是首項為6，公比為的等比數(shù)列，所以，所以．故答案為：.12．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的前n項和為．且，是公差為的等差數(shù)列，則．【答案】【解析】，則，∵是公差為的等差數(shù)列，∴，則，當時，，，當時，，∴數(shù)列自第二項起構(gòu)成公比為3的等比數(shù)列，可得．故答案為：．13．（2023?甲卷）記為數(shù)列的前項和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若，，成等比數(shù)列，求的最小值．【解析】（1）證明：由已知有：①，把換成，②，②①可得：，整理得：，由等差數(shù)列定義有為等差數(shù)列；（2）由已知有，設等差數(shù)列的首項為，由（1）有其公差為1，故，解得，故，所以，故可得：，，，故在或者時取最小值，，故的最小值為．14．（2023?乙卷）設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前項和．證明：．【解析】（1），，成等差數(shù)列，，是首項為1的等比數(shù)列，設其公比為，則，，，．（2）證明：由（1）知，，，，①，②①②得，，，，．15．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，設，若存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，則的值為.【答案】【解析】當時，.若存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，則，記，則有，化簡得，這與矛盾，故此時不存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列.當時，(其中).因為數(shù)列為等比數(shù)列，對任意，恒有(為常數(shù)且)，即，所以，所以對任意正整數(shù)恒成立，所以解得或(舍)，所以數(shù)列為等比數(shù)列時，.故答案為：04數(shù)列的通項公式16．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，．求數(shù)列的通項公式．【解析】依題，記，令，求出不動點或3；由定理3知：，，∴，又，所以，……，，，∴．又，令，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．∴．由，得．∴．17．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，設，求數(shù)列的通項公式.【解析】依題，記，令，求出不動點；由定理2知：，；兩式相除得到，∴是以為公比，為首項的等比數(shù)列，∴，從而．18．（2023·全國·高三專題練習）已知：，時，，求的通項公式．【解析】設，所以，∴，解得：，又，∴是以3為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，∴．19．（2023·全國·高二專題練習）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．【解析】為等差數(shù)列，首項，公差為，.20．（2023·江西·高一統(tǒng)考期中）設數(shù)列的前n項和為Sn，滿足，且成等差數(shù)列．(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項公式．【解析】（1）因為，所以令得：，即：①，令得：，即：②，又因為，，成等差數(shù)列，所以，即③，將③代入①②可得，即由①②③得：，，故的值為1.（2）因為，當時，，兩式作差可得：，所以，，由（1）知，，所以，即：，，將代入得：，符合，綜上，.故數(shù)列的通項公式為.21．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足遞推關系：，且，，求數(shù)列的通項公式.【解析】由于且，，故數(shù)列發(fā)生函數(shù)為于是數(shù)列的通項為：，.22．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：求.【解析】因為所以兩邊同時加上得：，所以，當時，故，故，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.于是23．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{an}的前n項和為，，，求{an}的通項.【解析】∵……①∴……②②-①得：……③∵{an}的特征函數(shù)為：，由x=1.設，……④將④代入③得：，∴，∵，∴，∴.24．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．【解析】令，整理得，故或，由可得，令并將代入，可得，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，整理得.25．（2023·全國·高三專題練習）已知，，求的通項公式．【解析】由題意，，所以，則，而，故是以為首項，3為公比的等比數(shù)列．于是．26．（2023·全國·高三專題練習）設，數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．【解析】，，兩邊取倒數(shù)得到，令，則，當時，，，，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．，，．當時，，則，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．，，，，，27．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的遞推公式，且首項，求數(shù)列的通項公式．【解析】令．先求出數(shù)列的不動點，解得．將不動點代入遞推公式，得，整理得，，∴．令，則，．∴數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列．∴的通項公式為．將代入，得．∴．28．（2023·廣東江門·高三江門市第一中學?？茧A段練習）數(shù)列中，，且，則等于.【解析】由題意可知：，顯然有，由累乘法可得.故答案為：29．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，，求【解析】法1：已知，所以，則是首項為，公比為3的等比數(shù)列，故，則，得，當n為奇數(shù)時，，，，，，累加可得，，所以，當n為偶數(shù)時，，綜上，；法2：由特征根方程得，，，所以，其中，解得，，.05數(shù)列求和30．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足：（），數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求.【解析】（1）當時，；當時，①，②，①－②得：，∴，當時，，∴.（2）∵，∴∴①，②，又∵∴①＋②得：∴.31．（2023·天津河東·高三校考階段練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，是公比不為0的等比數(shù)列，，，，．(1)求，；(2)設，求數(shù)列{cn}的前n項的和；(3)設，求數(shù)列的前n項的和【解析】（1）設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，依題意有，解得，故，.（2），，①，②①-②得，即.（3），所以，即.32．（2023·四川成都·四川省成都列五中學?？家荒＃┮阎獢?shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，且是關于的方程的根.其中為常數(shù).(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求使的的最大值.【解析】（1）因為是關于的方程的根，所以.又因為數(shù)列為等比數(shù)列，，公比.所以，解得：或（負值舍去），故：（2）由（1）得：，所以：，所以：因為，所以，解得：（），故：的最大值為48.33．（2023·山西臨汾·?？寄M預測）已知數(shù)列的前項和為，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，證明：．【解析】（1）因為是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，則，故當時，，當時，，故，顯然，滿足上式，所以.（2）因為，所以.34．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)若，記數(shù)列的前99項和為，求.【解析】（1）因為，所以，，累加得，所以.（2）因為，所以.當時，；當時，；當時，.所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列.故.35．（2023·四川自貢·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前頂和為.且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在數(shù)列中，，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）當時，可得：；當時，，，兩式相減，得：，即，所以：.（2）當時，；當時，，所以，所以：，時，，上式也成立.所以：，36．（2023·全國·模擬預測）已知數(shù)列中，，且．(1)求的通項公式；(2)求的前項和．【解析】（1）當為奇數(shù)時，由可得，所以數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，且公差為2，又由，故；當為偶數(shù)時，由，可得，所以數(shù)列的偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比為4，又由，故，所以數(shù)列的通項公式為.（2）當為奇數(shù)時，則，當為偶數(shù)時，則，綜上可得，.37．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，求證：.【解析】（1）因為數(shù)列滿足．當時，；當時，，所以,所以.當時，，上式也成立.所以.（2）由（1）知，所以.令，所以，又，所以.所以是遞增數(shù)列，所以，所以.38．（2023·黑龍江大慶·高三?？茧A段練習）為數(shù)列的前項和.已知，.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和為，證明.【解析】（1）由可得，兩式做差得，即，因為，所以，時，或（舍去）所以是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）知，所以，所以數(shù)列的前項和為，，因為且單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，所以，又因為，所以，所以得證.39．（2023·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，，設的前項積為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，求證：．【解析】（1）由題意知，為正項數(shù)列的前項的積，且，當時，，所以，解得；又①，②，②÷①得，，即，所以，即，所以，則，結(jié)合，可知數(shù)列是常數(shù)列，所以，所以，所以．（2）由（1）可得，則，又，所以，所以．40．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┮阎獢?shù)列和滿足：，，，，其中．(1)求證：；(2)求數(shù)列的前項和．【解析】（1）證明：因為①，②，①②可得，且，所以，數(shù)列為常數(shù)列，且③，①②可得，且，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項為，公比為，所以，④，③④可得，則，所以，.（2）由（1）可知，，則.41．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)求證：函數(shù)的圖象關于點對稱；(2)求的值．【解析】（1）因為，所以，所以，即函數(shù)的圖象關于點對稱.（2）由（1）知與首尾兩端等距離的兩項的和相等，使用倒序相加求和.因為，所以（倒序），又由（1）得，所以，所以.42．（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項和.【解析】（1）證明：因為，所以.又，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為4，公比為2.（2）由（1）知，即，則.，，則，所以.43．（2023·山東濰坊·高三?？茧A段練習）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，數(shù)列的前項和為，求使得的最小正整數(shù).【解析】（1）因為，所以①當時，，所以；當時，②①-②得，即，則，而，所以數(shù)列構(gòu)成以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，則，所以.（2），，的前項和的前項和單調(diào)遞增且，所以使得最小正整數(shù)為4.44．（2023·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)已知數(shù)列滿足求數(shù)列的前項和．【解析】（1）依題意，設數(shù)列的公差為，因為，所以，則，因為，即，所以，所以，所以，即．所以，所以，又因為，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以．（2）由（1）知，，可得，所以．45．（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項和，，．（1）求的通項公式；（2）證明：當時，．【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，，為的前項和，，，則，即，解得，故；（2）證明：由（1）可知，，，當為偶數(shù)時，，，，當為奇數(shù)時，，，，故原式得證．46．（2023?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）證明：．【解析】（1）已知，是公差為的等差數(shù)列，所以，整理得，①，故當時，，②，①②得：，故，化簡得：，，，，；所以，故（首項符合通項）．所以．證明：（2）由于，所以，所以．06數(shù)列性質(zhì)的綜合問題47．（2023·浙江·高三校聯(lián)考階段練習）已知單調(diào)遞增的數(shù)列滿足、、成等比數(shù)列，、、成等差數(shù)列，則的取值范圍是.【答案】【解析】設等差數(shù)列、、的公差為，設等比數(shù)列、、的公比為，推導出，然后分和兩種情況討論，分別得出和，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可求得的取值范圍.設等差數(shù)列、、的公差為，則，，且，設等比數(shù)列、、的公比為，則，，且，.由題意可得，即，由不等式的基本性質(zhì)可得，.①當時，則，可得，，即，此時，，由可得，又，此時；②當時，則，可得，，即，此時，由可得，，則，此時.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.48．（2023·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足，，若對于任意正整數(shù)，都有，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以恒成立，即恒成立.因為，所以.因為恒成立，整理得恒成立.因為，所以.當時，由，得在上有解，故的取值范圍是.故選：C49．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期中）設是公差為2的等差數(shù)列，為其前n項和，若為遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，可得，則，因為數(shù)列為遞增數(shù)列，可得對恒成立，即對恒成立，令，則，令，可得在為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，當時，取得最大值，所以，即的取值范圍為.故選：A.50．（2023·陜西榆林·高三校考期中）已知數(shù)列滿足，若，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】據(jù)題設知，對一切恒成立，所以對一切恒成立，即對一切恒成立．又當時，，所以，所以所求實數(shù)k的取值范圍是．故選:．51．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，對任意的，均有成立，則的值的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知是等差數(shù)列的前n項和中的最小值，必有，公差，若，此時，，是等差數(shù)列的前n項和中的最小值，此時，即，則；若，，此時是等差數(shù)列的前n項和中的最小值，此時，，即，則，綜上可得：的取值范圍是，故選:B．52．（2023·陜西榆林·高三校考期中）已知數(shù)列中，其前項和為，且滿足，數(shù)列的前項和為，若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以當時，，得，當時，，，兩式相減得（常數(shù)），所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列.因為，則（常數(shù)），又，所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，，由，得，所以，所以.又，所以，所以，即對恒成立，當為偶數(shù)時，，則，即，所以，令，則，因為，所以，則，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，則的最小值為，則所以；當為奇數(shù)時，，所以，則，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以的最小值為，所以，所以，綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.53．（2023·陜西西安·高三校考階段練習）首項為的等差數(shù)列，從第項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為首項為的等差數(shù)列，從第項起開始為正數(shù)，所以，即，解得，故選：C54．（2023·北京·高三強基計劃）設三個實數(shù)a，b，c組成等比數(shù)列，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．前三個答案都不對【答案】B【解析】設，則，則，由題設有，故，因比的取值范圍是．故選：B.55．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學?？计谥校┰O數(shù)列的前項和為，，且，若存在，使得成立，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，則有對任意成立，又，則，故，且則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，由得，，分離參數(shù)得，，令則令，則當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；由，則當時，當時，恒有，又，故的最小值為.若存在，使得成立，則，則有，即實數(shù)的最小值為.故選：D.56．（2023·湖北荊州·高三公安縣車胤中學?？茧A段練習）已知數(shù)列通項公式為，若對任意，都有則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，，由，得，即，∵且，，∴，解得.當時，單調(diào)遞增，若對任意，都有，則且，即且，解得，則實數(shù)的取值范圍是.故選：B.07實際應用中的數(shù)列問題57．（2023·湖北·高二湖北省鄂州高中校聯(lián)考期中）某人從2023年起，每年1月1日到銀行新存入2萬元（一年定期），若年利率為2%保持不變，且每年到期存款均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的線數(shù)約為（

）（單位：萬元）參考數(shù)據(jù)：A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3【答案】C【解析】由題意，2023年存的2萬元共存了10年，本息和為萬元，2024年存的2萬元共存了9年，本息和為萬元，2032年存的2萬元共存了1年，本息和為萬元，所以到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的錢數(shù)約為萬元，故選：C.58．（2023·河南南陽·高二統(tǒng)考期中）小李年初向銀行貸款萬元用于購房，購房貸款的年利率為，按復利計算，并從借款后次年年初開始歸還，分次等額還清，每年次，問每年應還（）萬元.A． B． C． D．【答案】B【解析】設每年應還萬元，則有，得，解得．故選：B．59．（2023·江西吉安·高三吉安三中?？茧A段練習）某公司有10名股東，其中任何六名股東所持股份之和不少于總股份的一半，則下列選項錯誤的是（

）A．公司持股最少的5位股東所持股份之和可以等于總股份的B．公司持股較多的5位股東所持股份均不少于總股份的C．公司持股最大的股東所持股份不超過總股份的D．公司持股較多的2位股東所持股份之和可以超過總股份的【答案】D【解析】不妨設10名股東所持股份為，總股份為1，∵，，的最小值為，若，此時，又因為，此時，A正確；由于，且，故公司持股較多的5位股東所持股份均不少于總股份的，B正確；因為，所以，∴，C正確；因為，所以，又，所以，D錯誤，故選：D．60．（2023·河南·高二校聯(lián)考期末）中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京召開，二十大報告提出：尊重自然、順應自然、保護自然，是全面建設社會主義現(xiàn)代化國家的內(nèi)在要求．必須牢固樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，站在人與自然和諧共生的高度謀劃發(fā)展．某市為了改善當?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，計劃通過五年時間治理市區(qū)湖泊污染，并將其建造成環(huán)湖風光帶，預計第一年投入資金81萬元，以后每年投入資金是上一年的倍；第一年的旅游收入為20萬元，以后每年旅游收入比上一年增加10萬元，則這五年的投入資金總額與旅游收入總額分別為（

）．A．781萬元，60萬元 B．525萬元，200萬元C．781萬元，200萬元 D．1122萬元，270萬元【答案】C【解析】由題意知這五年投入的資金構(gòu)成首項為81，公比為，項數(shù)為5的等比數(shù)列，所以這五年投入的資金總額是（萬元）．由題意知這五年的旅游收入構(gòu)成首項為20，公差為10，項數(shù)為5的等差數(shù)列，所以這五年的旅游收入總額是（萬元）．故選：C．61．（2023·山東·高二山東師范大學附中?？计谀┤鐖D甲是第七屆國際數(shù)學家大會（簡稱ICME-7）的會徽圖案，會徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知為直角頂點，設這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令為數(shù)列的前項和，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】由，可得，，，，所以，所以，所以前項和，所以，故選：C.62．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）核電站只需消耗很少的核燃料，就可以產(chǎn)生大量的電能，每千瓦時電能的成本比火電站要低20%以上.核電無污染，幾乎是零排放，對于環(huán)境壓力較大的中國來說，符合能源產(chǎn)業(yè)的發(fā)展方向，2021年10月26日，國務院發(fā)布《2030年前碳達峰行動方案》，提出要積極安全有序發(fā)展核電.但核電造福人類時，核電站的核泄漏核污染也時時威脅著人類，如2011年，日本大地震導致福島第一核電站發(fā)生爆炸，核泄漏導致事故所在地被嚴重污染，主要的核污染物是鍶90，它每年的衰減率為2.47%.專家估計，要基本消除這次核事故對自然環(huán)境的影響至少需要800年，到那時，原有的鍶90大約剩（

）（參考數(shù)據(jù)）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，設一開始鍶90質(zhì)量為1，則每年的剩余量構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，則經(jīng)過800年鍶90剩余質(zhì)量為，兩邊取常用對數(shù)可得：，所以，故選：B08以數(shù)列為載體的情境題63．（2023·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）若項數(shù)為n的數(shù)列，滿足：，我們稱其為n項的“對稱數(shù)列”．例如：數(shù)列1，2，2，1為4項的“對稱數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項的“對稱數(shù)列”．設數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”，其中，，，是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最小項等于，記數(shù)列的前項和為，若，則的值為．【答案】5或4【解析】由于，是公差為的等差數(shù)列，故，單調(diào)遞減，所以，故，則，．又，故，即，由等差數(shù)列前項和公式有，化簡得，解得或．故答案為：5或4．64．（2023·上?！じ呷虾Ｖ袑W?？计谥校┙o定一張的數(shù)表（如下表），0123n統(tǒng)計，，，中各數(shù)出現(xiàn)次數(shù)．若對任意，1，，n，均滿足數(shù)k恰好出現(xiàn)次，則稱之為階自指表，舉例來說，下表是一張4階自指表．01231210對于如下的一張7階自指表．記，N的所有可能值為．0123456【答案】3211000【解析】由題意可得，7階自指表為:0123456此時，，，，，所以.故答案為：.65．（2023·山東德州·德州市第一中學校聯(lián)考模擬預測）對于數(shù)列，由作通項得到的數(shù)列，稱為數(shù)列的差分數(shù)列，已知數(shù)列為數(shù)列的差分數(shù)列，且是以1為首項以2為公差的等差數(shù)列，則．【答案】65【解析】由題意得，累加得，即，則．故答案為：65.66．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習），為一個有序?qū)崝?shù)組，表示把A中每個-1都變?yōu)椋?，每個0都變?yōu)椋?，每個1都變?yōu)?，1所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，例如：，則．定義，，若，中有項為1，則的前項和為．【答案】【解析】因為，依題意得，，，顯然，中有2項，其中1項為，1項為1，中有4項，其中1項為，1項為1，2項為0，中有8項，其中3項為，3項為1，2項為0，由此可得中共有項，其中1和的項數(shù)相同，設中有項為0，所以，，從而①，因為表示把A中每個都變?yōu)椋?，每個0都變?yōu)椋?，每個1都變?yōu)?，1所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，則②，①+②得，③，所以④，④-③得，，所以當為奇數(shù)且時，，經(jīng)檢驗時符合，所以（為奇數(shù)），當為偶數(shù)時，則為奇數(shù)，又因為，所以，所以，當為奇數(shù)時，，所以的前項和為.故答案為：.67．（2023·山東·高三校聯(lián)考階段練習）若項數(shù)為的數(shù)列滿足：我們稱其為項的“對稱數(shù)列”．例如：數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”；數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”．設數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”，其中是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項等于，記數(shù)列的前項和為，若，則．【答案】3或4【解析】由題意，，又是公差為的等差數(shù)列，故，則，.又，故，即，由等差數(shù)列前項和公式有，化簡得，解得或.故答案為：3或409數(shù)列的遞推問題68．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學?？寄M預測）如圖，有三根針和套在一根針上的若干金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上．規(guī)則：1．每次只能移動1個金屬片；2．較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．請你試著推測：把n個金屬片從1號針移到3號針，最少需要移動次？【答案】【解析】設把個金屬片從1號針移到3號針，最少需要移動次.則把n個金屬片從1號針移到3號針，最少