2023-2024學(xué)年云南大學(xué)附中九年級（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年云南大學(xué)附中九年級（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（共14小題）1．下列交通標(biāo)志中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．如圖，直線c與直線a、b都相交．若a∥b，∠1＝55°，則∠2＝（）A．60° B．55° C．50° D．45°3．作為世界文化遺產(chǎn)的長城，其總長大約為6700000m．將6700000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．6.7×105 B．6.7×106 C．0.67×107 D．67×1084．下列計算正確的是（）A．2a×3a＝5a B．（﹣a3）2＝a6 C．6a÷2a＝3a D．（﹣2a）3＝﹣6a35．已知一個多邊形的內(nèi)角和是900°，則這個多邊形是（）A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形6．某校隨機(jī)抽查了10名參加2017年云南省初中學(xué)業(yè)水平考試學(xué)生的體育成績，得到的結(jié)果如表：成績（分）4647484950人數(shù)（人）12124下列說法正確的是（）A．這10名同學(xué)的體育成績的平均數(shù)為48 B．這10名同學(xué)的體育成績的中位數(shù)為48 C．這10名同學(xué)的體育成績的方差為50 D．這10名同學(xué)的體育成績的眾數(shù)為507．由5個完全相同的正方體組成的幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．8．不等式組，的解集在以下數(shù)軸表示中正確的是（）A． B． C． D．9．按一定規(guī)律排列的單項式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n個單項式是（）A．（﹣2）n﹣1a B．（﹣2）na C．2n﹣1a D．2na10．如圖，在△ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點，設(shè)△ABC的面積為S1，△EBD的面積為S2，則＝（）A． B． C． D．11．某地開展建設(shè)綠色家園活動，活動期間，計劃每天種植相同數(shù)量的樹木．該活動開始后，實際每天比原計劃每天多植樹50棵，實際植樹400棵所需時間與原計劃植樹300棵所需時間相同．設(shè)實際每天植樹x棵，則下列方程正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝12．如圖，C，D是以AB為直徑的半圓周的三等分點，CD＝6，則陰影部分的面積是（）A．π B．2π C．3π D．6π13．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP交AC于點D．若AC＝12，則在△ABD中AB邊上的高為（）A．3 B．4 C．5 D．614．如果矩形ABCD滿足，那么矩形ABCD叫做“黃金矩形”．如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，對角線AC，BD相交于O且BC＝2，則關(guān)于黃金矩形ABCD，下列結(jié)論不正確的是（）A．AC＝BD B．S△AOB＝ C．AC＝8﹣2 D．矩形ABCD的周長C＝2+2二.填空題（共5小題）15．若式子有意義，則x的取值范圍是．16．分解因式：3m2﹣2m﹣16＝．17．如圖，已知，OC⊥AB，∠1＝58°24′，則∠2＝．18．計算：＝．19．已知四邊形ABCD是矩形，點E是矩形ABCD的邊上的點，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，則DE的長是．三.解答題（共8小題）20．（1）計算：（2）解方程：．21．如圖，已知AD＝BC，BD＝AC．求證：∠ADB＝∠BCA．22．有一個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，被分成了三個大小相同的扇形，分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6；另有一個不透明的瓶子，裝有分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5的三個完全相同的小球．小杰先轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，停止后記下指針指向的數(shù)字（若指針指在分界線上則重轉(zhuǎn)），小玉再從瓶子中隨機(jī)取出一個小球，記下小球上的數(shù)字．（1）請用列表或畫樹狀圖的方法（選其中一種）表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）若得到的兩數(shù)字之和是3的倍數(shù)，則小杰贏；若得到的兩數(shù)字之和是7的倍數(shù)，則小玉贏，此游戲公平嗎？為什么？23．某學(xué)校要購買甲、乙兩種消毒液，用于預(yù)防新型冠狀病毒．若購買9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，則一共需要615元；若購買8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，則一共需要780元．（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的價格分別是多少元？（2）若該校計劃購買甲、乙兩種消毒液共30桶，其中購買甲消毒液a桶，且甲消毒液的數(shù)量至少比乙消毒液的數(shù)量多5桶，又不超過乙消毒液的數(shù)量的2倍．怎樣購買，才能使總費用W最少？并求出最少費用．24．為積極落實“雙減”政策，讓作業(yè)布置更加精準(zhǔn)高效，某市教育部門對友誼中學(xué)九年級部分學(xué)生每天完成作業(yè)所用的時間進(jìn)行調(diào)查，并用得到的數(shù)據(jù)繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）本次共調(diào)查了名學(xué)生，并補(bǔ)全上面條形統(tǒng)計圖．（2）本次抽查學(xué)生每天完成作業(yè)所用時間的中位數(shù)為；眾數(shù)為．（3）該校九年級有1700名學(xué)生，請你估計九年級學(xué)生中，每天完成作業(yè)所用時間為2小時的學(xué)生約有多少人？25．如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF＝90°．（1）求證：四邊形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S．26．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）求證：BC＝AB；（3）點M是的中點，CM交AB于點N，若AB＝4，求MN?MC的值．27．已知拋物線y＝﹣2x2+bx+c經(jīng)過點（0，﹣2），當(dāng)x＜﹣4時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞﹣4時，y隨x的增大而減?。O(shè)r是拋物線y＝﹣2x2+bx+c與x軸的交點（交點也稱公共點）的橫坐標(biāo)，m＝．（1）求b、c的值；（2）求證：r4﹣2r2+1＝60r2；（3）以下結(jié)論：m＜1，m＝1，m＞1，你認(rèn)為哪個正確？請證明你認(rèn)為正確的那個結(jié)論．

參考答案一.選擇題（共14小題）1．下列交通標(biāo)志中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，符合題意；B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意．故選：A．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱的定義，根據(jù)定義得出圖形形狀是解決問題的關(guān)鍵．2．如圖，直線c與直線a、b都相交．若a∥b，∠1＝55°，則∠2＝（）A．60° B．55° C．50° D．45°【分析】由對頂角相等可得，∠3＝∠1＝55°，又a∥b，由兩直線平行，同位角相等可得，∠2＝∠3＝55°．解：如圖，∵∠1＝55°，∠1和∠3是對頂角，∴∠3＝∠1＝55°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝55°．故選：B．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，對頂角相等等內(nèi)容，題目比較簡單，掌握相關(guān)定理可快速解答．3．作為世界文化遺產(chǎn)的長城，其總長大約為6700000m．將6700000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．6.7×105 B．6.7×106 C．0.67×107 D．67×108【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，據(jù)此判斷即可．解：6700000＝6.7×106．故選：B．【點評】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關(guān)鍵．4．下列計算正確的是（）A．2a×3a＝5a B．（﹣a3）2＝a6 C．6a÷2a＝3a D．（﹣2a）3＝﹣6a3【分析】直接利用整式乘除運(yùn)算法則以及積的乘方運(yùn)算法則分別化簡得出答案．解：A、2a×3a＝6a2，故此選項錯誤；B、（﹣a3）2＝a6，正確；C、6a÷2a＝3，故此選項錯誤；D、（﹣2a）3＝﹣8a3，故此選項錯誤；故選：B．【點評】此題主要考查了整式乘除運(yùn)算以及積的乘方運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．5．已知一個多邊形的內(nèi)角和是900°，則這個多邊形是（）A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形【分析】設(shè)這個多邊形是n邊形，內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，這樣就得到一個關(guān)于n的方程，從而求出邊數(shù)n的值．解：設(shè)這個多邊形是n邊形，則（n﹣2）?180°＝900°，解得：n＝7，即這個多邊形為七邊形．故選：C．【點評】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，求邊數(shù)的問題就可以轉(zhuǎn)化為解方程的問題來解決．6．某校隨機(jī)抽查了10名參加2017年云南省初中學(xué)業(yè)水平考試學(xué)生的體育成績，得到的結(jié)果如表：成績（分）4647484950人數(shù)（人）12124下列說法正確的是（）A．這10名同學(xué)的體育成績的平均數(shù)為48 B．這10名同學(xué)的體育成績的中位數(shù)為48 C．這10名同學(xué)的體育成績的方差為50 D．這10名同學(xué)的體育成績的眾數(shù)為50【分析】結(jié)合表格給出的數(shù)據(jù)，再根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的概念分別進(jìn)行求解即可得出答案．解：A、這10名同學(xué)的體育成績的平均數(shù)為＝48.6，故本選項錯誤；B、這10名同學(xué)的體育成績的中，第5和第6名同學(xué)的成績的平均值為中位數(shù)，中位數(shù)為：＝49，故本選項錯誤；C、方差＝[（46﹣48.6）2+2×（47﹣48.6）2+（48﹣48.6）2+2×（49﹣48.6）2+4×（50﹣48.6）2]≠50，故本選項錯誤；D、10名學(xué)生的體育成績中50分出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)為50，故本選項正確；故選：D．【點評】本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的知識，掌握各知識點的概念是解答本題的關(guān)鍵．7．由5個完全相同的正方體組成的幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)從正面看得到的視圖是主視圖，可得答案．解：由5個完全相同的正方體組成的幾何體的主視圖是．故選：A．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的視圖是主視圖．8．不等式組，的解集在以下數(shù)軸表示中正確的是（）A． B． C． D．【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出來即可．解：，∵解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤3，∴不等式組的解集是﹣1＜x≤3，在數(shù)軸上表示為：，故選：B．【點評】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，能求出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．9．按一定規(guī)律排列的單項式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n個單項式是（）A．（﹣2）n﹣1a B．（﹣2）na C．2n﹣1a D．2na【分析】根據(jù)題意，找出規(guī)律：單項式的系數(shù)為（﹣2）的冪，其指數(shù)為比序號數(shù)少1，字母為a．解：∵a＝（﹣2）1﹣1a，﹣2a＝（﹣2）2﹣1a，4a＝（﹣2）3﹣1a，﹣8a＝（﹣2）4﹣1a，16a＝（﹣2）5﹣1a，﹣32a＝（﹣2）6﹣1a，…由上規(guī)律可知，第n個單項式為：（﹣2）n﹣1a．故選：A．【點評】本題主要考查了單項式的有關(guān)知識，在解題時要能通過觀察得出規(guī)律是本題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點，設(shè)△ABC的面積為S1，△EBD的面積為S2，則＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，相似三角形的面積比等于相似比的平方解答即可．解：在△ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△BED∽△BAC，∵＝，∴＝，即＝，故選：B．【點評】本題主要考查了三角形的中位線定理和相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)和定理是解決本題的關(guān)鍵．11．某地開展建設(shè)綠色家園活動，活動期間，計劃每天種植相同數(shù)量的樹木．該活動開始后，實際每天比原計劃每天多植樹50棵，實際植樹400棵所需時間與原計劃植樹300棵所需時間相同．設(shè)實際每天植樹x棵，則下列方程正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根據(jù)實際植樹400棵所需時間與原計劃植樹300棵所需時間相同，可以列出相應(yīng)的分式方程，本題得以解決．解：由題意可得，，故選：B．【點評】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程．12．如圖，C，D是以AB為直徑的半圓周的三等分點，CD＝6，則陰影部分的面積是（）A．π B．2π C．3π D．6π【分析】連接OC、OD，根據(jù)C，D是以AB為直徑的半圓周的三等分點，可得∠COD＝60°，△OCD是等邊三角形，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OCD的面積求解即可．解：如圖，連接OC、OD．∵C，D是以AB為直徑的半圓周的三等分點，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，又∵OC＝OD，∴△OCD是等邊三角形，∴∠OCD＝∠AOC＝60°，OC＝CD＝6，∴CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∴S陰影＝S扇形OCD＝＝6π．故選：D．【點評】本題考查了扇形面積的計算，解答本題的關(guān)鍵是將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OCD的面積，難度一般．13．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP交AC于點D．若AC＝12，則在△ABD中AB邊上的高為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】作DE⊥AB于E，利用BD是角平分線以及直角三角形30°所對的直角邊是斜邊的一半即可求解．解：作DE⊥AB于E．如圖：由作圖可知，BD是△ABC的角平分線，∴DE＝CD，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2DE，∵AC＝12，∴AD+DC＝2DE+DE＝12，∴DE＝4．故選：B．【點評】本題主要考查了含30°角的直角三角形，以及30°角的直角三角形三邊的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵在于利用其性質(zhì)進(jìn)行解答．14．如果矩形ABCD滿足，那么矩形ABCD叫做“黃金矩形”．如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，對角線AC，BD相交于O且BC＝2，則關(guān)于黃金矩形ABCD，下列結(jié)論不正確的是（）A．AC＝BD B．S△AOB＝ C．AC＝8﹣2 D．矩形ABCD的周長C＝2+2【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠ABC＝90°，AC＝BD，再利用黃金矩形的定義求出求出AB的長，從而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的長，然后利用矩形的周長公式求出矩形的周長，再求出△AOB的面積，逐一判斷即可解答．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，∵四邊形ABCD是黃金矩形，且，BC＝2，∴AB＝﹣1，∴AC＝＝＝，∴矩形ABCD的周長＝2（AB+BC）＝2×（﹣1+2）＝2+2，△AOB的面積＝矩形ABCD的面積＝AB?BC＝×（﹣1）×2＝，故A、B、D都不符合題意，C符合題意；故選：C．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，黃金分割，三角形的面積，熟練掌握矩形的性質(zhì)，以及黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．二.填空題（共5小題）15．若式子有意義，則x的取值范圍是x≥﹣1．【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．解：∵式子有意義，∴x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案為：x≥﹣1．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)大于等于0．16．分解因式：3m2﹣2m﹣16＝（m+2）（3m﹣8）．【分析】直接利用ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．解：原式＝（m+2）（3m﹣8）．故答案為：（m+2）（3m﹣8）．【點評】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確將常數(shù)項以及二次項系數(shù)分解得出是解題關(guān)鍵．17．如圖，已知，OC⊥AB，∠1＝58°24′，則∠2＝31°36′．【分析】根據(jù)垂直定義求出∠BOC＝90°，進(jìn)而求出∠2的度數(shù)．解：∵OC⊥AB，∴∠BOC＝90°，∵∠1＝58°24′，∴∠2＝90°﹣58°24′＝31°36′．故答案為：31°36′．【點評】本題考查垂線和度分秒的換算，理解互相垂直的意義是解決問題的關(guān)鍵．18．計算：＝a﹣1．【分析】根據(jù)分式的除法法則先把除法轉(zhuǎn)化成乘法，再進(jìn)行約分即可．解：原式＝?＝a﹣1．故答案為：a﹣1．【點評】此題考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．19．已知四邊形ABCD是矩形，點E是矩形ABCD的邊上的點，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，則DE的長是或．【分析】由勾股定理可求BC＝2，分點E在CD上或在AB上兩種情況討論，由勾股定理可求解．解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴BC＝＝＝2，∴AD＝2，當(dāng)點E在CD上時，∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，∴（6﹣DE）2＝DE2+4，∴DE＝；當(dāng)點E'在AB上時，∵CE'2＝BE'2+BC2＝E'A2，∴AE'2＝（6﹣AE'）2+4，∴AE'＝，∴DE'＝＝＝，綜上所述：DE＝或，故答案為：或．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．三.解答題（共8小題）20．（1）計算：（2）解方程：．【分析】（1）原式第一項化為最簡二次根式，第二項利用特殊角的三角函數(shù)值計算，第三項利用零指數(shù)冪法則計算，最后一項利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計算即可得到結(jié)果；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．解：（1）原式＝2﹣2×+1﹣9＝﹣8；（2）去分母得：4﹣6x+2＝3，解得：x＝，經(jīng)檢驗x＝是分式方程的解．【點評】此題考查了實數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．21．如圖，已知AD＝BC，BD＝AC．求證：∠ADB＝∠BCA．【分析】根據(jù)SSS推出△ADB和△BCA全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可．【解答】證明：在△ADB和△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（SSS），∴∠ADB＝∠BCA．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．22．有一個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，被分成了三個大小相同的扇形，分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6；另有一個不透明的瓶子，裝有分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5的三個完全相同的小球．小杰先轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，停止后記下指針指向的數(shù)字（若指針指在分界線上則重轉(zhuǎn)），小玉再從瓶子中隨機(jī)取出一個小球，記下小球上的數(shù)字．（1）請用列表或畫樹狀圖的方法（選其中一種）表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）若得到的兩數(shù)字之和是3的倍數(shù)，則小杰贏；若得到的兩數(shù)字之和是7的倍數(shù)，則小玉贏，此游戲公平嗎？為什么？【分析】（1）利用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況，（2）列出兩次得數(shù)之和的所有可能的結(jié)果，得出“和為3的倍數(shù)”“和為7的倍數(shù)”的概率即可．解：（1）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：共有9種不同結(jié)果，即（2，1）（2.3）（2，5）（4，1）（4，3）（4，5）（6，1）（6，3）（6，5）；（2）列出兩次得數(shù)之和的所有可能的結(jié)果如下：共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中“和為3的倍數(shù)”的有3種，“和為7的倍數(shù)”的有3種，∴P（小杰勝）＝＝，P（小玉勝）＝＝，因此游戲是公平的．【點評】本題考查列表法或樹狀圖法求等可能事件發(fā)生的概率，使用此方法一定注意每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等的，即為等可能事件．23．某學(xué)校要購買甲、乙兩種消毒液，用于預(yù)防新型冠狀病毒．若購買9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，則一共需要615元；若購買8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，則一共需要780元．（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的價格分別是多少元？（2）若該校計劃購買甲、乙兩種消毒液共30桶，其中購買甲消毒液a桶，且甲消毒液的數(shù)量至少比乙消毒液的數(shù)量多5桶，又不超過乙消毒液的數(shù)量的2倍．怎樣購買，才能使總費用W最少？并求出最少費用．【分析】（1）根據(jù)購買9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，則一共需要615元；若購買8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，則一共需要780元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)題意，可以寫出W與a的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)甲消毒液的數(shù)量至少比乙消毒液的數(shù)量多5桶，又不超過乙消毒液的數(shù)量的2倍，可以得到a的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到W的最小值．解：（1）設(shè)每桶甲消毒液價格為x元，每桶乙消毒液的價格為y元，由題意可得：，解得，答：每桶甲消毒液價格為45元，每桶乙消毒液的價格為35元；（2）由題意可得，W＝45a+35（30﹣a）＝10a+1050，∴W隨a的增大而增大，∵甲消毒液的數(shù)量至少比乙消毒液的數(shù)量多5桶，又不超過乙消毒液的數(shù)量的2倍，∴，解得17.5≤a≤20，∵a為整數(shù)，∴當(dāng)a＝18時，W取得最小值，此時W＝1230，30﹣a＝12，答：購買甲消毒液18桶，乙消毒液12桶時，才能使總費用W最少，最少費用是1230元．【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組和不等式組，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值．24．為積極落實“雙減”政策，讓作業(yè)布置更加精準(zhǔn)高效，某市教育部門對友誼中學(xué)九年級部分學(xué)生每天完成作業(yè)所用的時間進(jìn)行調(diào)查，并用得到的數(shù)據(jù)繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）本次共調(diào)查了100名學(xué)生，并補(bǔ)全上面條形統(tǒng)計圖．（2）本次抽查學(xué)生每天完成作業(yè)所用時間的中位數(shù)為1.5；眾數(shù)為1.5．（3）該校九年級有1700名學(xué)生，請你估計九年級學(xué)生中，每天完成作業(yè)所用時間為2小時的學(xué)生約有多少人？【分析】（1）用天完成作業(yè)所用時間為1小時的學(xué)生人數(shù)除以30%可得樣本容量，再用樣本容量分別減去其他三組的人數(shù)可得“1.5小時”的人數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖即可；（2）根據(jù)條形統(tǒng)計圖分析出中位數(shù)和眾數(shù)；（3）用樣本中每天完成作業(yè)所用時間為2小時的學(xué)生的比例乘總?cè)藬?shù)即可．解：（1）本次調(diào)查的人數(shù)為：30÷30%＝100（人），完成作業(yè)時間為1.5小時的有：100﹣12﹣30﹣18＝40（人），補(bǔ)全的條形統(tǒng)計圖如圖所示：故答案為：100；（2）由（1）中的條形統(tǒng)計圖可知，抽查學(xué)生完成作業(yè)所用時間的眾數(shù)是1.5，∵100÷2＝50，則中位數(shù)是1.5，故答案為：1.5，1.5；（3）1700×＝306（名），答：估計九年級學(xué)生中，每天完成作業(yè)所用時間為2小時的學(xué)生約有306人．【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?5．如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF＝90°．（1）求證：四邊形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S．【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得∠BAE＝∠FDE，而點E是AD的中點，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，從而四邊形ABDF是平行四邊形，又∠BDF＝90°，即得四邊形ABDF是矩形；（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDF＝DF?AF＝12，四邊形ABCD是平行四邊形，得CD＝AB＝3，從而S△BCD＝BD?CD＝6，即可得四邊形ABCF的面積S為18．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵點E是AD的中點，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∵∠BDF＝90°．∴四邊形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四邊形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝＝＝4，∴S矩形ABDF＝DF?AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝3，∴S△BCD＝BD?CD＝×4×3＝6，∴四邊形ABCF的面積S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，答：四邊形ABCF的面積S為18．【點評】本題考查平行四邊形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及矩形的判定，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理，證明△BEA≌△FED．26．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）求證：BC＝AB；（3）點M是的中點，CM交AB于點N，若AB＝4，求MN?MC的值．【分析】（1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可；根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；（2）AB是直徑；故只需證明BC與半徑相等即可；（3）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM＝∠BCM，進(jìn)而可得△MBN∽△MCB，故BM2＝MN?MC；代入數(shù)據(jù)可得MN?MC＝BM2＝8．【解答】（1）證明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半徑．∴PC是⊙O的切線．（2）