模型38 梅涅勞斯定理、塞瓦定理（教師版）

PAGE1梅涅勞斯定理：任何一條直線截三角形的各邊，都使得三條不相鄰線段之積等于另外三條線段之積．當直線交三角形ABC三邊所在直線BC、AB、AC于D、E、F點時，則有AE×BD×CF＝EB×CD×AF塞瓦定理：塞瓦定理是指在△ABC內任取一點O，延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則BD×CE×AF＝DC×EA×FB．例題精講例題精講考點一：梅涅勞斯定理【例1】．如圖，等邊△ABC的邊長為2，F(xiàn)為AB中點，延長BC至D，使CD＝BC，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為．解：∵DEF是△ABC的梅氏線，∴由梅涅勞斯定理得，??＝1，即??＝1，則＝，連FC，S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，于是SBCEF＝S△BCF+S△CEF＝S△ABC＝××2×2sin60°＝×＝．故答案為．變式訓練【變式1-1】．如圖，D、E、F內分正△ABC的三邊AB、BC、AC均為1：2兩部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面積是△ABC的面積的（）A． B． C． D．解：對△ADC用梅涅勞斯定理可以得：??＝1，則＝．設S△BCF＝，S△BCQ＝S△BCE＝，SBPRF＝S△ABD＝，∴S△PQR＝S△BCF﹣S△BCQ﹣SBPRF＝S△ABC．故選：D．【變式1-2】．梅涅勞斯定理梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內容是：如圖（1），如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有??＝1．下面是利用相似三角形的有關知識證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點A作AG∥BC，交DF的延長線于點G，則有＝．任務：（1）請你將上述材料中的剩余的證明過程補充完整；（2）如圖（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，點D為BC的中點，點F在AB上，且BF＝2AF，CF與AD交于點E，則AE＝6．解：（1）補充的證明過程如下：∵AG∥BD，∴△AGE∽△CDE．∴，∴；（2）根據(jù)梅涅勞斯定理得：．又∵，，∴DE＝AE．在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，∠ADB＝90°，則由勾股定理知：AD＝＝＝12．∴AE＝6．故答案是：6．考點二：塞瓦定理【例2】．如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點．若AP，BQ，CR相交于一點M，求證：．證明：如圖，由三角形面積的性質，有，，．以上三式相乘，得．變式訓練【變式2-1】．請閱讀下列材料，并完成相應任務如圖，塞瓦定理是指在△ABC內任取一點O，延長AO，BO，CO分別交對邊D，E，F(xiàn)于，則××＝1．任務：（1）當點D，E分別為邊BC，AC的中點時，求證：點F為AB的中點；（2）若△ABC為等邊三角形，AB＝12，AE＝4，點D是BC邊的中點，求BF的長．解：（1）證明：∵D，E分別為邊BC，AC的中點，∴BD＝CD，EA＝CE，∴，由塞瓦定理，得，∴，∴AF＝BF，∴點F為AB的中點；（2）解：∵△ABC為等邊三角形，AB＝12，∴AB＝AC＝BC＝12，∵AE＝4，∴EC＝12﹣4＝8，∵點D是BC的中點，∴BD＝CD＝6，∵AB＝12，∴AF＝AB﹣BF＝12﹣BF，由賽瓦定理，得，∴，∴BF＝8．【變式2-2】．請閱讀下列材料，并完成相應任務塞瓦定理定理內容：如圖1，塞瓦定理是指在△ABC內任取一點O，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，E，F(xiàn)，則．數(shù)學意義：使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理，具有重要的作用．任務解決：（1）如圖2，當點D，E分別為邊BC，AC的中點時，求證：點F為AB的中點；（2）若△ABC為等邊三角形（如圖3），AB＝12，AE＝4，點D是BC邊的中點，求BF的長，并直接寫出△BOF的面積．（1）證明：∵點D，E分別為邊BC，AC的中點，∴BD＝CD，CE＝AE，由賽瓦定理可得：，∴，∴AF＝BF，即點F為AB的中點；（2）∵△ABC為等邊三角形，AB＝12，∴BC＝AC＝12，∵點D是BC邊的中點，∴BD＝DC＝6，∵AE＝4，∴CE＝8，由賽瓦定理可得：BF＝8；△BOF的面積為．1．如圖，在△ABC中，M是AC的中點，E是AB上一點，AE＝AB，連接EM并延長，交BC的延長線于D，則＝（）A． B．2 C． D．解：如圖，過C點作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中點，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．故選：B．2．如圖，在△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，AD與BE相交于點G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，則AE：EC的值是（）A． B． C． D．解：過D作DH∥AC交BE于H，∴△DHG∽△AEG，△BDH∽△CBE，∴，，∴AE＝4DH，CE＝DH，∴，故選：B．3．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上一點．射線CF交AB于點E，且，則等于．解：如圖：過點D作DG∥EC交AB于G，∵AD是BC邊上的中線，∴GD是△BEC的中位線，∴BD＝CD，BG＝GE．∵＝，∴＝∵DG∥EC，∴＝＝．故答案是：．4．如圖，在△ABC中，點D是AB邊上的一點，且AD＝3BD，連接CD并取CD的中點E，連接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，則AB的長為4．解：如圖，取AD中點F，連接EF，過點D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，設BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵點E為CD中點，點F為AD中點，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四邊形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四邊形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴∠BDH＝∠DFG，∴△BDH∽△DFG，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案為：4．5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，AD是邊BC的中線，過點C作CE⊥AD于點E，連接BE并延長交AC于點F，則AD的長是16，EF的長是．解：過點G作DG∥AC，交BF于點G，∵D為BC的中點，BC＝16，∴CD＝BD＝8，∵∠ACB＝90°，AC＝8，∴AD＝＝16，∴sin∠CAD＝，∴CE＝＝，∴AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝4，∵DG∥AC，∴，設DG＝x，則CF＝2x，AF＝，∵DG∥AC，∴∠DGE＝∠AFE，∠EDG＝∠EAF，∴△DEG∽△AEF，∴，即，解得：x＝，∴CF＝2x＝∴BF＝，∵，∴，∵，∴EF＝＝．故答案為：16，．6．如圖，△ABC中，D、E是BC邊上的點，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC邊上，CM：MA＝1：2，BM交AD、AE于H、G，則BH：HG：GM等于51：24：10．解：過M作MQ∥BC交AE于N，交AD于F，交AB于Q，∵BD：DE：EC＝3：2：1，∴設EC＝a，DE＝2a，BD＝3a，∵MQ∥BC，∴△AMN∞△ACE，∵CM：MA＝1：2，∴＝＝，∴MN＝a，同理MF＝2a，MQ＝4a，∵MQ∥BC，∴△MNG∽△BEG，∴＝，∴＝＝，∴＝＝同理＝＝＝，＝＝，∴＝，＝＝∴BH：HG：GM＝51：24：10，故答案為：51：24：10．7．如圖，?ABCD的對角線相交于點O，在AB的延長線上任取一點E，連接OE交BC于點F．若AB＝a，AD＝c，BE＝b，則BF＝．解：取AB的中點M，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴OM∥AD∥BC，OM＝AD＝c，∴△EFB∽△EOM，∴，∵AB＝a，AD＝c，BE＝b，∴ME＝MB+BE＝AB+BE＝a+b，∴，∴BF＝．故答案為：．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AM為BC邊上的中線，CD⊥AM于點D，CD的延長線交于點，求的值．解：過點B作BF⊥BC，交EC的延長線于點F，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BCF+∠ACD＝90°，又∵BF⊥BC，CD⊥AM，∴∠BCF+∠F＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠F，∠BCF＝∠CAD，∴△ACM≌△CBF（AAS），∴BF＝CM，又∵AM為BC邊上的中線，∴BF＝CM＝BC，∵∠AEC＝∠BEF，∴△ACE∽△BFE，∴＝2．9．如圖，在△ABC中，M是AC的中點，E、F是BC上的兩點，且BE＝EF＝FC，求BN：NQ：QM的值．解：連接MF，如圖，∵M是AC的中點，EF＝FC，∴MF為△CEA的中位線，∴AE＝2MF，AE∥MF，∵NE∥MF，∴＝＝1，＝＝，∴BN＝NM，MF＝2NF，設BN＝a，NE＝b，則NM＝a，MF＝2b，AE＝4b，∴AN＝3b，∵AN∥MF，∴＝＝＝，∴NQ＝a，QM＝a，∴BN：NQ：QM＝a：a：a＝5：3：2．10．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，E為BC上一點，AE交CD于點F，EH⊥AB于點H，若CF＝2FD，EH＝，求CE?BE的值．解：對于△CBD和截線AFE，由梅涅勞斯定理可知：，∵CF＝2FD，∴，∴，易知△ADC∽△EHB，∴，∴，由射影定理可知AC2＝AD?AB，∴BE?CE＝＝＝，∵EH＝，∴BE?CE＝4．11．如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，E是AB上一點，連接DE，2∠C+∠BDE＝180°．（1）求證：∠BDE＝2∠CAD；（2）若AC＝BD，∠AED＝∠ACB，求證BE＝2CD；（3）若AE＝kBE，BD＝mCD，則的值為．（用含m，k的式子表示）．（1）證明：∵2∠C+∠BDE＝180°，∴∠C+∠BDE＝90°，∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BDE，∴∠BDE＝2∠CAD；（2）證明：如圖，延長DE至F，使DF＝BD，連接BF，在DB上截取DG＝CD，連接AG，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADG＝90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（SAS），∴AG＝AC，∠GAD＝∠CAD，∠AGC＝∠ACB，∴∠CAG＝2∠CAD，∵∠BDF＝2∠CAD，∴∠BDF＝∠CAG，∵AC＝BD，∴AC＝BD＝AG＝DF，∴△BDF≌△CAG（SAS），∴BF＝CG，∠DFB＝∠AGC＝∠ACB，∵∠AED＝∠ACB，∠AED＝∠BEF，∴∠DFB＝∠BEF，∴BF＝BE，∴BE＝CG，∵CG＝2CD，∴BE＝2CD；（3）解：如圖，記AG與DE的交點為H，設CD＝y(tǒng)，則BD＝my，延長DE至F，使DF＝BD＝my，連接BF，在DB上截取DG＝CD＝y(tǒng)，連接AG，則CG＝CD＝2y，由（2）知，△ADC≌△ADG，∴AC＝AG，∠CAD＝∠GAD，∴∠CAG＝2∠CAD，由（1）知，∠BDE＝2∠CAD，∴∠BDE＝∠CAG，∵DF＝BD，AC＝AG，∴，∵△DBF∽△ACG，∴∠DBF＝∠AGC，∴AG∥BF，∴△DHG∽△DFB，∴，∴DH＝DG＝y(tǒng)，∵AG∥BF，∴△BEF∽△AEH，∴，∵AE＝kBE，∴＝＝，∴EH＝kEF，∵DF＝DH+EH+EF＝y(tǒng)+kEF+EF＝my，∴EF＝，∴EH＝，∴DE＝EH+DH＝+y＝，∴＝＝，故答案為：．12．如圖1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，BE⊥AD，垂足為E，點F在AD上，∠ACF＝∠DBE．（1）求證：∠ABD＝∠CFD；（2）探究線段AF，DE的數(shù)量關系，并證明你的結論；（3）如圖2，延長BE交CF于點P，AB＝AF，求的值．（1）證明：設∠DBE＝∠CFD＝α，∵BE⊥AD，∴∠BED＝90°，∴∠ADB+α＝90°，又∵∠BAC＝90°，AD是中線，∴AD＝BD＝CD，∴∠BAD＝∠ABD，∴∠ADB+2∠BAD＝180°，∴2∠BAD＝90°+α，又∵∠CFD＝∠DAC+∠ACF＝∠DAC+α＝90°﹣∠BAD+α＝2∠BAD﹣∠BAD＝∠BAD，∵∠ABD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠CFD；（2）解：AF＝2DE．理由：過點C作CM⊥AD交AD的延長線于點M，∵AD是中線，∴BD＝CD，∵∠CMD＝∠BED＝90°，∠CDM＝∠BDE，∴△CDM≌△BDE（AAS），∴DM＝DE，CM＝BE，又∵∠BAD＝∠CFM，∠AEB＝∠CMF，∴△CMF≌△BEA（AAS），∴AE＝MF，∴AE﹣EF＝MF﹣EF，∴AF＝EM，又∵EM＝2DE，∴AF＝2DE；（3）解：過點C作CM⊥AD交AD的延長線于點M，由（2）可知，AF＝2DE，AD＝CD，設DE＝x，則AF＝2x，∵AB＝AF，∴AB＝2x，∴AB＝2x，設EF＝y(tǒng)，∴AE＝y(tǒng)+2x，AD＝CD＝y(tǒng)+3x，由（2）可知，BE＝CM，∴AB2﹣AE2＝CD2﹣DM2，∴＝（y+3x）2﹣x2，解得y＝3x，y＝﹣8x（舍去），∴AE＝5x，∵∠BDE＝∠CFE，∠AEB＝∠PEF，∴△BEA∽△PEF，∴．13．如圖1，△ABC中，AB＝AC，點D在BA的延長線上，點E在BC上，DE＝DC，點F是DE與AC的交點，且DF＝FE．（1）圖1中是否存在與∠BDE相等的角？若存在，請找出，并加以證明，若不存在，說明理由；（2）求證：BE＝EC；（3）若將“點D在BA的延長線上，點E在BC上”和“點F是DE與AC的交點，且DF＝FE”分別改為“點D在AB上，點E在CB的延長線上”和“點F是ED的延長線與AC的交點，且DF＝kFE”，其他條件不變（如圖2）．當AB＝1，∠ABC＝a時，求BE的長（用含k、a的式子表示）．解：（1）∠DCA＝∠BDE．證明：∵AB＝AC，DC＝DE，∴∠ABC＝∠ACB，∠DEC＝∠DCE．∴∠BDE＝∠DEC﹣∠DBC＝∠DCE﹣∠ACB＝∠DCA．（2）過點E作EG∥AC，交AB于點G，如圖1，則有∠DAC＝∠DGE．在△DCA和△EDG中，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA＝EG，CA＝DG．∴DG＝AB．∴DA＝BG．∵AF∥EG，DF＝EF，∴DA＝AG．∴AG＝BG．∵EG∥AC，∴BE＝EC．（3）過點E作EG∥AC，交AB的延長線于點G，如圖2，∵AB＝AC，DC＝DE，∴∠ABC＝∠ACB，∠DEC＝∠DCE．∴∠BDE＝∠DBC﹣∠DEC＝∠ACB﹣∠DCE＝∠DCA．∵AC∥EG，∴∠DAC＝∠DGE．在△DCA和△EDG中，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA＝EG，CA＝DG∴DG＝AB＝1．∵AF∥EG，∴△ADF∽△GDE．∴．∵DF＝kFE，∴DE＝EF﹣DF＝（1﹣k）EF．∴．∴AD＝．∴GE＝AD＝．過點A作AH⊥BC，垂足為H，如圖2，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH．∴BC＝2BH．∵AB＝1，∠ABC＝α，∴BH＝AB?cos∠ABH＝cosα．∴BC＝2cosα．∵AC∥EG，∴△ABC∽△GBE．∴．∴．∴BE＝．∴BE的長為．14．閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學家，塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》一書，塞瓦定理是指如圖1，在△ABC內任取一點O，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，F(xiàn)，E，則．下面是該定理的部分證明過程：如圖2，過點A作BC的平行線分別交BE，CF的延長線于點M，N．則∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得△NOA∽△COD．∴②．任務一：（1）請分別寫出與△MOA，△MEA相似的三角形；（2）寫出由（1）得到的比例線段；任務二：結合①②和（2），完成該定理的證明；任務三：如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足為D，點E為DC的中點，連接AE并延長，交BC于點F，連接BE并延長，交AC于點G．小明同學自學了上面定理之后解決了如圖3所示的問題，并且他用所學知識已經求出了BF與FC的比是25：16，請你直接寫出△ECG與△EAG面積的比．解：任務一：（1）△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；（2）；；任務二：證明：如圖所示：由任務一可得：；；同理可得△OAN∽△ODC；△AFN∽△BFC；∴；；∴；∴．任務三：由任務一和任務二可得：在△ABC中，＝1；∵Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB＝；∴cos∠BAC＝；∴；∴AD＝；∴BD＝AB﹣AD＝；∵＝1；∴＝1；解得＝；過點E作EH⊥AC于H；∴＝＝＝．15．問題提出如圖（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點，延長BC至點E，使DE＝DB，延長ED交AB于點F，探究的值．問題探究（1）先將問題特殊化．如圖（2），當∠BAC＝60°時，直接寫出的值；（2）再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結論仍然成立．問題拓展如圖（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點，G是邊BC上一點，＝（n＜2），延長BC至點E，使DE＝DG，延長ED交AB于點F．直接寫出的值（用含n的式子表示）．解：（1）如圖，取AB的中點G，連接DG，∵點D是AC的中點，∴DG是△ABC的中位線，∴DG∥BC，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵點D是AC的中點，∴∠DBC＝30°，∵BD＝ED，∴∠E＝∠DBC＝30°，∴DF⊥AB，∵∠AGD＝∠ADG＝60°，∴△ADG是等邊三角形，∴AF＝AG，∵AG＝AB，∴AF＝AB，∴；（2）取BC的中點H，連接DH，∵點D為AC的中點，∴DH∥AB，DH＝AB，∵AB＝AC，∴DH＝DC，∴∠DHC＝∠DCH，∵BD＝DE，∴∠DBH＝∠DEC，∴∠BDH＝∠EDC，∴△DBH≌△DEC（ASA），∴BH＝EC，∴，∵DH∥AB，∴△EDH∽△EFB，∴，∴，∴；問題拓展取BC的中點H，連接DH，由（2）同理可證明△DGH≌△DEC（ASA），∴GH＝CE，∴HE＝CG，∵＝，∴，∴，∴