四川廣安市代市中學高三適應性考試數(shù)學（理）試卷

數(shù)學（理科）試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合,,則（）A． B． C． D．2.設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)i3－eq\f(2,i)等于（）A.－iB.－3iC.iD.3i3.若向量,則()A.(2，4)B.(2，4)C.(6,10)D.(6,10)4.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，n∈N*，如果以an＋1和an分別為長和寬得到一個矩形，其長寬之比等于1.618時，就把這個矩形定義為黃金矩形，那么時，最接近黃金矩形的n的值是（）A.2B.3C.4D.55.已知QUOTE，則QUOTE的值為()A.2 B.-2 C.QUOTE D.QUOTE6.將正方形（如圖所示）截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為（）用列表法將函數(shù)表示如下，則（

）A.為奇函數(shù)

B.為偶函數(shù)C.為奇函數(shù)D.為偶函數(shù)

8.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底），則的大致圖象是（）ABCD9.A．1B．2C．4D．不能確定10.已知定義在上的函數(shù)，設兩曲線與在公共點處的切線相同，則值等于（）A．3B．1C．3D．511.已知雙曲線（）的一條漸近線被圓截得的弦長為2，則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D.12.已知函數(shù)對任意的，滿足（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下列不等式成立的是（）A．B． C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若的展開式中第三項的系數(shù)等于6，則n=．14.已知函數(shù)，滿足，則的最小值為.15.若拋物線y2＝2px（p＞0）上任意一點到焦點的距離恒大于1，則p的取值范圍是．16.在棱長為1的正方體中，，在面中取一個點，使最小，則這個最小值為．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答．17.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求：（1）a2，a3，a4的值及數(shù)列{an}的通項公式；（2）的值.18.在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD.(1)證明：BC⊥PB；(2)若PA⊥PD，PB＝AB，求二面角A－PB－C的余弦值．19.“地攤經(jīng)濟”是李克強總理在本屆政府工作報告中向全國人民發(fā)出的口號，某生產(chǎn)企業(yè)積極響應號召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)（），如表所示：試銷單價（元）456789產(chǎn)品銷量（件）8483807568已知，，，（1）試求q,若變量，具有線性相關關系，求產(chǎn)品銷量（件）關于試銷單價（元）的線性回歸方程；（2）用表示用（Ⅰ）中所求的線性回歸方程得到的與對應的產(chǎn)品銷量的估計值．當銷售數(shù)據(jù)對應的殘差的絕對值時，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個“好數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從6個銷售數(shù)據(jù)中任取3個，求“好數(shù)據(jù)”個數(shù)的分布列和數(shù)學期望。（參考公式：線性回歸方程中，的最小二乘估計分別為，）20.已知橢圓E：(a>b>0)的離心率是，點P在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程；（2）過點P且斜率為k的直線l交橢圓E于點Q(xQ，yQ)(點Q異于點P)，若0<xQ<1，求直線l的斜率k的取值范圍.21.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）求證：.選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22.在直角坐標中，圓，圓.（1）在以O為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓的極坐標方程，并求出圓的交點坐標(用極坐標表示)；（2）求圓的公共弦的參數(shù)方程.23.（1）已知不等式的解集為，若，試比較與的大小.（并說明理由）；（2）已知對于任意非零實數(shù)和，不等式恒成立，試求實數(shù)的取值范圍．數(shù)學理科答案答案：DCADB,BACCD,DA1、設集合,,則（D）A．B．C．D．解析:.故選D2、設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)i3－eq\f(2,i)等于(C)A.－iB.－3iC.iD.3i解析i3－eq\f(2,i)＝－i－eq\f(2i,i2)＝－i＋2i＝i.故選C.3.若向量,,則A.(2，4)B.(2，4)C.(6,10)D.(6,10)答案：A4.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，n∈N*，如果以an＋1和an分別為長和寬得到一個矩形，其長寬之比等于1.618時，就把這個矩形定義為黃金矩形，那么時，最接近黃金矩形的n的值是（D）A.2B.3C.4D.5答案：D5.已知QUOTE，則QUOTE的值為QUOTEBQUOTEA.2 B.-2 C.QUOTE D.QUOTE【解析】解：由QUOTE，得QUOTE，QUOTE．QUOTE．

故選：B

6.將正方形（如圖所示）截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為（B）7.用列表法將函數(shù)表示如下，則（

A）

為奇函數(shù)

B.

為偶函數(shù)C.為奇函數(shù)D.

為偶函數(shù)

8.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底），則的大致圖象是（C）ABCDCA．1 B．2C．4 D．不能確定解析當函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點時，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，當函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點的概率是eq\f(1,2)時，μ＝4.10.已知定義在上的函數(shù)，設兩曲線與在公共點處的切線相同，則值等于（D）A．3B．1C．3D．5【解析】設函數(shù)在公共點（a,b）處的切線相同（a＞0），由題得所以，解之得a=1,b=4,m=5.故答案為：D.11、已知雙曲線（）的一條漸近線被圓截得的弦長為2，則該雙曲線的離心率為(D)A.B.C.D.解析:由題意得圓方程即為，故圓心為（3,0），半徑為2.雙曲線的一條漸近線為，即，故圓心到漸近線的距離為?！邼u近線被圓截得的弦長為2,∴，整理得.∴.12、已知函數(shù)對任意的，滿足（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下列不等式成立的是A．B．C． D．【解答】解：構造函數(shù)，則，對任意的，滿足，，即函數(shù)在，單調(diào)遞增，則，即，，即，故A正確．13.若的展開式中第三項系數(shù)等于6，則n=．答案：1214、已知函數(shù)，滿足，則的最小值為.15.若拋物線y2＝2px（p＞0）上任意一點到焦點的距離恒大于1，則p的取值范圍是∵設P為拋物線的任意一點，則P到焦點的距離等于到準線：xQUOTE的距離，顯然當P為拋物線的頂點時，P到準線的距離取得最小值QUOTE．∴QUOTE，即p＞2．16.在棱長為1的正方體中，，在面中取一個點，使最小，則這個最小值為．解：將正方體補全成長方體，點關于面的對稱點為，連接交平面于一點，即為所求點，使最?。渥钚≈稻褪牵B接，計算可得，所以為直角三角形，所以17.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求（=1\*ROMANI）a2，a3，a4的值及數(shù)列{an}的通項公式；（=2\*ROMANII）的值.解：（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得，，，······················3分由（n≥2），得（n≥2），又a2=，所以an=(n≥2),································································5分∴數(shù)列{an}的通項公式為；·································7分（缺少第一項分段形式扣2分）（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）可知是首項為，公比為項數(shù)為n的等比數(shù)列，····························9分∴=····································12分18.在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD.1)證明：BC⊥PB；(2)若PA⊥PD，PB＝AB，求二面角A－PB－C的余弦值．(1)證明取AD中點為E，連接PE，BE，BD，∵PA＝PD，∴PE⊥AD，∵底面ABCD為菱形，且∠BAD＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴BE⊥AD，∵PE∩BE＝E，PE，BE?平面PBE，∴AD⊥平面PBE，又PB?平面PBE，∴AD⊥PB，∵AD∥BC，∴BC⊥PB.····················································5分（缺少線線相交扣1分）(2)解設AB＝2，∴AD＝PB＝2，BE＝eq\r(3)，∵PA⊥PD，E為AD中點，∴PE＝1，∵PE2＋BE2＝PB2，（沒有證明建系扣2份）∴PE⊥BE.則A(1，0，0)，B(0，eq\r(3)，0)，P(0，0，1)，C(－2，eq\r(3)，0)，········8分∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，0，1)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(3)，1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，0，0)．設平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AP,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋\r(3)y＝0，,－x＋z＝0，))令y＝eq\r(3)，則n＝(3，eq\r(3)，3)．同理可得平面PBC的一個法向量m＝(0，eq\r(3)，3)．cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(2\r(7),7).設二面角A－PB－C的平面角為θ，由圖易知θ為鈍角，則cosθ＝－cos〈m，n〉＝－eq\f(2\r(7),7).∴二面角A－PB－C的余弦值為－eq\f(2\r(7),7).········12分(正值扣一分）19.“地攤經(jīng)濟”是李克強總理在本屆政府工作報告中向全國人民發(fā)出的口號，某生產(chǎn)企業(yè)積極響應號召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)（），如表所示：試銷單價（元）456789產(chǎn)品銷量（件）8483807568已知，，，（Ⅰ）試求q,若變量，具有線性相關關系，求產(chǎn)品銷量（件）關于試銷單價（元）的線性回歸方程；（Ⅱ）用表示用（Ⅰ）中所求的線性回歸方程得到的與對應的產(chǎn)品銷量的估計值．當銷售數(shù)據(jù)對應的殘差的絕對值時，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個“好數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從6個銷售數(shù)據(jù)中任取3個，求“好數(shù)據(jù)”個數(shù)的分布列和數(shù)學期望。（參考公式：線性回歸方程中，的最小二乘估計分別為，）解析：（Ⅰ），可求得．···················································2分，，所以所求的線性回歸方程為．··································································7分（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的線性回歸方程可得：當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，．與銷售數(shù)據(jù)對比可知滿足（1,2，…，6）的共有3個“好數(shù)據(jù)”：、、．于是的所有可能取值為，，，．········9分；；；，∴的分布列為：0123于是．·················································12分20.已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率是eq\f(\r(3),2)，點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程；(2)過點P且斜率為k的直線l交橢圓E于點Q(xQ，yQ)(點Q異于點P)，若0<xQ<1，求直線l的斜率k的取值范圍.解(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,c＝\r(3)，))∴橢圓E的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.········4分(2)設直線l的方程為y－eq\f(\r(3),2)＝k(x－1)，代入方程eq\f(x2,4)＋y2＝1.消去y得(1＋4k2)x2＋(4eq\r(3)k－8k2)x＋4k2－4eq\r(3)k－1＝0，········6分∴xQ·1＝eq\f(4k2－4\r(3)k－1,1＋4k2)，∵0<xQ<1，∴0<eq\f(4k2－4\r(3)k－1,1