新高考數(shù)學(xué)一輪練習(xí)專練56高考大題專練（六）概率與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用

專練56高考大題專練(六)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用1．[2021·全國(guó)新高考Ⅰ卷]某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．2．[2020·全國(guó)卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為eq\f(1,2).(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率；(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率．3．為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．4．某科技公司新研制生產(chǎn)一種特殊疫苗，為確保疫苗質(zhì)量，定期進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．某次檢驗(yàn)中，從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測(cè)量產(chǎn)品質(zhì)量體系中某項(xiàng)指標(biāo)值，根據(jù)測(cè)量結(jié)果得到頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)技術(shù)分析人員認(rèn)為，本次測(cè)量的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N(μ，12.22)，若同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，計(jì)算μ，并計(jì)算測(cè)量數(shù)據(jù)落在(187.8,212.2)內(nèi)的概率；(3)設(shè)生產(chǎn)成本為y元，質(zhì)量指標(biāo)值為x，生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)值之間滿足函數(shù)關(guān)系y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.4x，x≤205，,0.8x－100，x>205.))假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，試計(jì)算生產(chǎn)該疫苗的平均成本．參考數(shù)據(jù)：X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.

5.[2021·全國(guó)乙卷]某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，樣本方差分別記為seq\o\al(2,1)和seq\o\al(2,2).(1)求eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果eq\x\to(y)－eq\x\to(x)≥2eq\r(,\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)．6.[2021·廣東深圳模擬]“2020弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化經(jīng)驗(yàn)交流大會(huì)”于2020年11月26日在深圳舉行，會(huì)議同期舉行了“深圳市中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化公益講堂”啟動(dòng)儀式．從2021年1月起到12月，深圳市文化和健康發(fā)展促進(jìn)會(huì)將連續(xù)舉辦52場(chǎng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化公益講堂，邀請(qǐng)多位名家名師現(xiàn)場(chǎng)開講．某學(xué)校文學(xué)社為響應(yīng)這次活動(dòng)，舉辦了中華古詩詞背誦比賽，統(tǒng)計(jì)的比賽成績(jī)(單位：分)的數(shù)據(jù)如頻率分布直方圖所示，已知成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)的有50人．(1)求a的值及參加比賽的總?cè)藬?shù)．(2)分別從[80,90)，[90,100]分?jǐn)?shù)段中選取1人和2人組成“優(yōu)勝”隊(duì)，與另一學(xué)校的“必勝”隊(duì)的3人進(jìn)行友誼賽，兩隊(duì)的選手每人均比賽1局，共比賽3局，勝1局得1分，輸1局得0分，沒有平局．已知“優(yōu)勝”隊(duì)中成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)的選手獲勝的概率為eq\f(2,5)，在[90,100]內(nèi)的2名選手獲勝的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(3,7)，記“優(yōu)勝”隊(duì)的得分為隨機(jī)變量X，求X的分布列和期望．

7.[2020·全國(guó)卷Ⅱ]某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得eq\i\su(i＝1,20,x)i＝60，eq\i\su(i＝1,20,y)i＝1200，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝80，eq\i\su(i＝1,20,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝9000，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝800.(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，eq\r(2)≈1.414.8．11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成1010平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方1010平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．專練56高考大題專練(六)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用1.解析：(1)由題可知，X的所有可能取值為0,20,100.Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝0))＝1－0.8＝0.2；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝20))＝0.8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－0.6))＝0.32；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝100))＝0.8×0.6＝0.48.所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)由(1)知，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.若小明先回答B(yǎng)問題，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0,80,100.Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y＝0))＝1－0.6＝0.4；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y＝80))＝0.6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－0.8))＝0.12；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝100))＝0.8×0.6＝0.48.所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y))＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因?yàn)?4.4<57.6，所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．2．解析：(1)甲連勝四場(chǎng)的概率為eq\f(1,16).(2)根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽，至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽．比賽四場(chǎng)結(jié)束，共有三種情況：甲連勝四場(chǎng)的概率為eq\f(1,16)；乙連勝四場(chǎng)的概率為eq\f(1,16)；丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為eq\f(1,8).所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).(3)丙最終獲勝，有兩種情況：比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)；比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場(chǎng)開始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為eq\f(1,16)，eq\f(1,8)，eq\f(1,8).因此丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,16).3．解析：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.4．解析：(1)由10×(a＋0.009＋0.022＋0.033＋0.024＋0.008＋a)＝1，解得a＝0.002.(2)依題意，μ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，故X～N(200,12.22)，所以P(187.8≤X≤212.2)＝P(200－12.2≤X≤200＋12.2)≈0.6827，故測(cè)量數(shù)據(jù)落在(187.8，212.2)內(nèi)的概率約為0.6827.(3)根據(jù)題意得平均成本為0.4×170×0.02＋0.4×180×0.09＋0.4×190×0.22＋0.4×200×0.33＋(0.8×210－100)×0.24＋(0.8×220－100)×0.08＋(0.8×230－100)×0.02＝75.04，故生產(chǎn)該疫苗的平均成本為75.04元．5．解析：(1)由表格中的數(shù)據(jù)易得：eq\x\to(x)＝eq\f(－0.2＋0.3＋0＋0.2－0.1－0.2＋0＋0.1＋0.2－0.3,10)＋10.0＝10.0，eq\x\to(y)＝eq\f(0.1＋0.4＋0.1＋0＋0.1＋0.3＋0.6＋0.5＋0.4＋0.5,10)＋10.0＝10.3，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,10)×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,10)×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.(2)由(1)中數(shù)據(jù)可得eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝10.3－10.0＝0.3，而2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))＝eq\r(\f(2,5)s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2))＝eq\r(0.0304)，顯然有eq\x\to(y)－eq\x\to(x)>2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))成立，所以認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高．6．解析：(1)由題意得(0.01＋a＋0.02＋0.03)×10＝1，得a＝0.04.∵成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)的有50人，且成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)的頻率為0.02×10＝0.2，∴參加比賽的總?cè)藬?shù)為eq\f(50,0.2)＝250.(2)X的所有可能取值為3,2,1,0，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,7)＝eq\f(4,35)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(4,7)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,7)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,7)＝eq\f(8,21)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(4,7)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,7)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(4,7)＝eq\f(41,105)，P(X＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(4,7)＝eq\f(4,35).∴X的分布列為X0123Peq\f(4,35)eq\f(41,105)eq\f(8,21)eq\f(4,35)E(X)＝0×eq\f(4,35)＋1×eq\f(41,105)＋2×eq\f(8,21)＋3×eq\f(4,35)＝eq\f(157,105).7．解析：(1)由已知得樣本平均數(shù)eq\o(y,\s\up