2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 動點最值問題-胡不歸

動點最值問題一一胡不歸

1.△ABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若點。是BC邊上的動點，則24O+OC的最小值為（）

A.4B.A/3+3C.6D.273+3

對角線0B的長為4娓,P為0B上一動點，則AP+返。戶的最小值為

2.如圖所示，菱形ABC。的邊長為5,

5

()

0CX

A.4B.5C.2加D.3巡

=6,BC=2,P為邊CD上的一動點，則PB+叵PD的最小值等于（）

3.如圖，12ABe。中，ZDAB=60°,AB

2

DP_________C

/\/

AB

A.V3B.3C.3&D.2+273

4.如圖，團(tuán)ABC。中，N￡)AB=30°,AE1=6,BC=2,P為邊C￡＞上的一動點，則P8+2PO的最小值等于（）

2

DPC

AB

A.2B.4C.3D.5

LAC于點E,AE=2爬,。是線段BE上的一個動點，貝ljCD+返的最

5.如圖，△ABC中，AB=AC=\O,BE.

5

小值是（)

C.10D.既

6.已知等邊△ABC中AO_LBC,AD=12,若點P在線段AO上運(yùn)動，當(dāng)［AP+BP的值最小時，AP的長為（）

2

A.4B.8C.10D.12

7.如圖，ZSABC中，48=AC=10,/A=45°,是△ABC的邊4c上的高，點P是80上動點，則上■BP+CP

的最小值是（）

B.572C.10D.1072

8.如圖.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A坐標(biāo)為（0,3?）,點C坐標(biāo)為（2,0）,點B為線段OA上一個動點,

貝讓A8+8C的最小值為（）

2

A

B.5C.3巡

9.如圖，在△ABC中，ZA=\5°,A8=10,P為AC邊上的一個動點（不與A、C重合），連接BP,AP+PB

的最小值是（）

』

A.572c10D.8

3

10.如圖，△ABC中，AB=AC=10,tan4=2,BEJ_AC于點E,D是線段BE上的一個動點，則CD+恒BD的最

5

小值是（）

C.5遮D.10

11.如圖，A8CO中，ND48=60°,A8=6,8C=1,P為邊CD上的一動點，則尸8+返產(chǎn)。的最小值等于

2

D

B

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+4的圖象分別與y軸和x軸交于點A和點用若定點P的坐標(biāo)為（0,

6?）,點。是y軸上任意一點，則/PQ+QB的最小值為

13.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=2,8c=6.點。是在邊8c上的動點，則ZsO+AO的最小值是

3

14.如圖，E1ABC。中，ND4B=30°,AB=8,BC=3,P為邊CD上的一動點，則的最小值等于

2

15.如圖，菱形ABC。的邊長為6,NB=120°.點尸是對角線AC上一點（不與端點A重合），則lAP+尸力的最

2

小值為.

B

16.如圖，△ABC中，AB=AC=IO,tanA-3,CDJ_4B于點。，點E是線段CD的一個動點，則8E+且°CE的

10

最小值是.

17.如圖，二次函數(shù)y=-7+2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點。，若點

P為y軸上的一個動點，連接PD,則考■PC+P。的最小值為.

18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，A（2、歷，0）,C（0,-1）,若尸為線段04上一動點，則CP+LAP的最小值

3

為

練習(xí):

1.如圖，在△A8C中，ZA=90°,ZB=60°,A8=2,若。是BC邊上的動點，則2AO+OC的最小值是（）

BC

A.2yf^-6B.6C.V3+3D.4

2.如圖，在△ABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若。是BC邊上一動點，則A￡>+」￡>C的最小值為（）

2

A.2"\/3+6B.6C.“+3D.3

3.如圖在△ABC中.NB=45°.AB=4.點P為直線BC上一點.當(dāng)BP+2Ap有最小值時，NBAP的度數(shù)為

4.如圖，回ABC。中，/D4B=60°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動點，則尸8+出9的最小值等于

2

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+2心的頂點為A點，且與x軸的正半軸交于點B,P點為該拋

物線對稱軸上一點，則20P+AP的最小值為

動點最值問題一一胡不歸（有答案）

1.△ABC中，ZA=90°,/B=60°,AB=2,若點。是邊上的動點，則2AO+OC的最小值為（）

A.4B.V3+3C.6D.273+3

【解答】解：過點C作射線CE,使NBCE=30°,再過動點。作。FLCE,垂足為點F,連接A。，如圖所示:

：：

在Rt^OFC中，ZDCF=30°,.DF^^DC,2AO+OC=2(AD+^DC)=2CAD+DF),

22

...當(dāng)A,D,尸在同一直線上，即AFJ_CE時，4。+力尸的值最小，最小值等于垂線段4尸的長,

此時，/B=NAO8=60°,.?.△A3。是等邊三角形，：.AD^BD=AB=2,

在RtZXABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,AB=2,：,BC=4,：.DC=2,：.DF=^DC=\,

2

：.AF=AD+DF=2+\=3,：.2(AD+DF)=2AF=6,；.2AD+DC的最小值為6,故選：C.

2.如圖所示，菱形ABCO的邊長為5,對角線0B的長為4娓,P為0B上一動點，則AP+^OP的最小值為

5

)

【解答】解：如圖，過點A作于點H,過點尸作尸尸，0C于點F,連接AC交08于點J.

:四邊形0A8C是菱形，...ACLOB,.?.OJuJBuZ泥，0/=<℃2一。j2=在'-（2后））=而

:.AC=2CJ=2娓,\"AHLOC,：.OC*AH^—*OB*AC,；.AH=2X當(dāng)&必醫(yī)=4,

225

.?.sinNPOF=^="=返，:.PF=^OP,：.AP+^-OP=AP+PF,

OPOC555

?：AP+PF^AH,；.AP+迤?0P>4,.?.AP+匹0P的最小值為4,故選：A.

55

3.如圖，回ABCO中，/D4B=60°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動點，則依+但j。的最小值等于（）

2

【解答】解：如圖，過點P作尸交AQ的延長線于點E,

'CAB//CD,：.ZEDP=-ZDAB=f)Oa,：.sinZEDP=^-^^.,：.EP=?PD

DP22

:.PB+叵PD=PB+PE,；.當(dāng)點8,點P,點E三點共線且BELA力時，PB+PE有最小值，即最小值為BE,

2

?；sinN4=^=返，:.BE=3g故選：C.

AB2

4.如圖，團(tuán)A8C。中，ND48=30°,AB=6,BC=2,P為邊C。上的一動點，則PB+』P￡＞的最小值等于（）

2

A.2B.4C.3D.5

【解答】解：作PQLA。的延長線于Q,作的延長線于凡

VSABCD,J.AB//CD,：.ZQDC=ZA,VZDAB=30°,：.ZQDC=30°,.?.史」，

PD2

：.QP=^p,：.PB+^PD=PB+QP,.?.當(dāng)B、P、Q三點共線時，PB+QP最小,即PB+QP最小為BH,

'：AB=6,的最小值等于3.故選：C.

22

5.如圖，/XABC中，AB=AC=10,BELAC于點E,AE=2正,￡＞是線段BE上的一個動點，則CD+金B(yǎng)￡＞的最

5

BB

A.2V5B.5V3c.10D.4V5

【解答】解：如圖，作。H_LAB于"，CM_LAB于M.

?JBELAC,：.ZAEB^90°,：?BE={/=52_曾亞）2=4后

'：AB=AC,BE±AC,CM±AB,：.CM=BE=^（等腰三角形兩腰上的高相等），

■:NBHD=NBEA=90°,sinZDBH=,:.DH=在BD,

BDAB55

/.CD+J^-BD=CD+DH,：.CD+DH^CM,：.CD+恒BD>4娓,，CC+在8。的最小值為4旄.

555

故選：D.

6.已知等邊△4BC中4OJ_BC,A￡>=12,若點P在線段AD上運(yùn)動，當(dāng)工AP+8P的值最小時，AP的長為（）

A.4B.8C.10D.12

【解答】解：如圖，作BEJ_AC于點E,交AD于點P,「△ABC是等邊三角形，ADA.BC,：.ZDAC=30°

.?.PE=24P當(dāng)BPJ_AC時，上■AP+BPuPE+BP的值最小，此時，AP=2AO=8.故選：B.

223

7.如圖，△ABC中，AB=AC=\0,NA=45°,8。是△A8C的邊AC上的高，點P是8。上動點,BP+CP

的最小值是（）

D.1072

【解答】解：；N4=45°,BD1AC,：.ZABD=45°.過點P作PE_LAB于點E,由勾股定理得PE=苧BP-

.?.學(xué)BP+PC=PE+PC?當(dāng)C、P、E三點共線，且CE1AB時，乎BP+PC=PE+PC的值最小為CE.

「△ABC中，AB=AC=10,BDLAC,CELAB,由等腰三角形腰上的高相等，：.BD=CE,

在RtZ\AB。中，勇=早=5&=CE.故返BP+PC=PE+PC=CE=5&.故選：B.

V2V22

8.如圖.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A坐標(biāo)為（0,3?）,點C坐標(biāo)為（2,0）,點B為線段OA上一個動點,

則的最小值為（

2A8+8C)

2

B.

【解答】解：如圖，在x軸上取點。（-3,0）,連接A。,

過8作BELAD于E,過C作CF1AD于F,

?.抽11/。4。=毀=—^=返，ZD/A(9=30°,NADO=60。，：.EB=^AB,:AAB+BC=EB+BC2CF,

0A373322

：CD=OZ)+OC=3=5,.,.CF=CZ)sin60°=-^S,.?.」A8+BC的最小值為故選：A.

222

9.如圖，在aABC中，ZA=I5°,4B=10,P為AC邊上的一個動點（不與4、C重合），連接8P,則返A(chǔ)P+PB

2

的最小值是（）

「10日

D.8

3

【解答】解：如圖，以4P為斜邊在AC下方作等腰RtZXAOP,過B作8EJ_A。于E,

VZfi4D=45°,；.sinN如。=更=返，:.DP=?AP,：."H-AP+PB=DP+PBBE,

AP222

...*AP+PB的最小值為5y.故選：B.

：N8AC=15°,；,NBAD=60°,：.BE=ABsin6Qo=5“,

D是線段BE上的一個動點，則CD+&BD的最

10.如圖，△ABC中，4B=AC=10,tan4=2,BEJ_AC于點E,

5

小值是（）

【解答】解：如圖，作。H_LA8于H,CM_L48于M.

1

"：BEVAC,：.ZA￡B=90°,VtanA=^=2,設(shè)AE=a,BE=2a,則有：100=/+4/,,\a=2(),

AE

."=27^-2娓（舍棄），：.BE=2a=4疾,

,：AB=AC,BE±AC,CMVAB,：.CM=BE=^（等腰三角形兩腰上的高相等）,

；NDBH=NABE,ZBHD=ZBEA,AsinZDB^—=—=^,：.DH=^-BD,：.CD+J^-BD=CD+DH,

BDAB555

:.CD+D心CM,，C￡>+逅泥，CD+&BD的最小值為4遍.

55

方法二：作CMJ_AB于M,交BE于點、D,則點。滿足題意.通過三角形相似或三角函數(shù)證得返BZ）=OM,從

5

而得到CD+金B(yǎng)Q=CM=4泥.故選：B.

5

11.如圖，ABC。中，ZDAB=60°,AB=6,BC=\,P為邊CO上的一動點，則PB+返PO的最小值等于3

2-

【解答】解：如圖，過點P作PELAD,交AZ）的延長線于點E,

a

'：Mi//CD,：.ZEDP=ZDAB=-6Q,：.sinZEDP=^-=J^-,.3返皿PB+叵PD=PB+PE,

DP222

當(dāng)點B,點P,點E三點共線且BELA。時，P8+PE有最小值，即最小值為BE,

?.?雷必=些=返，.?.8E=3相，故答案為：3M.

AE2

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+4的圖象分別與y軸和x軸交于點A和點B.若定點P的坐標(biāo)為（0,

6f），點。是y軸上任意一點，則*PQ+QB的最小值為二?_.

【解答】解：過點P作直線P。與y軸的夾角/。。。=30°,作8點關(guān)于)，軸的對稱點8,過點作

交于點E、交y軸于點Q,

VB'ELPD,NOPE=30°,AQE=^PQ,VBQ=B'Q,

：.^PQ+QB=QE+B'Q=B'E,此時上PQ+QB取最小值,

22

：NOPO=30°,ZPOD=90",:.PD=20D,ZODP=60°,?尸的坐標(biāo)為（0,6?）,；.尸。=6?,

OD2+（673）2=（20。）2,：.OD=6,

?.?直線y=-x+4的圖象分別與)，軸和x軸交于點A和點B,(0,4),B(4,0),；.OB=4,

.,.OB'=4,：.B'D^\0,'：B'EVPD,ZODP=60°,/EB'D=30°,：.DE^—B'D^5,

：.B'E^^D2_DE2=^102_52=5V3-，/PQ+QB取最小值為5y，故答案為：5我.

13.如圖，在aABC中，ZC=90°,AC=2,BC=6.點。是在邊BC上的動點，則2BO+AQ的最小值是4+

_3一

2后

D

【解答】解：過B點作MB1AD交于AD的延長線于點M,

VZC=90°,：.MD=BD'sinZMBD,：.ZMBD=ZDAC,

當(dāng)sinNC4D=Z時，MD=&BD,此時取最小值,

333

：AC=2,sin/C4￡>=Z,8=&氏；.BD=6-

3555

?.?2BO+AO=4+2Z豆，故答案為：4+冬區(qū).

333

14.如圖，團(tuán)ABCD中，ND4B=30°,AB=8,BC=3,尸為邊C。上的一動點，則PB+工尸。的最小值等于4.

2

【解答】解：如圖過點尸作A力的垂線交4。延長線于點E,

:四邊形ABC。是平行四邊形，J.AB//CD,.?./EZ)P=/D4B=30°,：.EP^—DP,

2

要求PB+JLPO的最小值，即求P8+EP的最小值，當(dāng)點B、P、E三點共線時,

2

PB+EP取最小值，最小值為BE的長,

?.?在Rt/XABE中，ZEAB=30°,AB=8,：.BE=^AB=4.故答案為：4.

2

15.如圖，菱形43CD的邊長為6,ZB=120°.點P是對角線AC上一點（不與端點A重合），貝4AP+P力的最

2

小值為3遙.

【解答】解：如圖，過點P作PEJ_AB于點￡過點。作。以L4B于點尸，

:四邊形ABCD是菱形，且/8=120°,二/D4c=/C4B=30°,...PE=2AP,

2

VZDAF=60°,AZADF=30°,，4尸=工4。=工X6=3,:.DF=3&,

22

'：^AP+PD=PE+PD,...當(dāng)點。，P,E三點共線且力EJ_AB時，PE+DP的值最小，最小值為。尸的長,

2

.?./AP+PQ的最小值為3T.故答案為：3

16.如圖，ZVIBC中，AB=AC=10,tanA=3,CC_LAB于點。，點E是線段CO的一個動點，則BE+YIOcE的

10

最小值是_3萬_.

【解答】解：如圖，作EF_LAC于尸，

'：CDLAB,：.ZADC=9O0,VtanA=-^,=3，設(shè)4O=a,CD=3a,'：AD1+Cb1=AC2,.\a2+9a2=100,

ADJ

.,.“2=10,.,.a=<yi5或-A/15（舍去），-,?AD-a—y[lQ,CD=3a—3>flQ,.,.sinZACD=,

EF=CE,sinNECF=^?CE,，BE+J^CE=BE+EF,

1010

當(dāng)B、E、F三點共線時，BE+J^CE=BE+EF=BF,

此時BFA.AC,則根據(jù)垂線段最短性質(zhì)知BE+IGCEMB尸值最小,

10

此時B尸=48?sin/A=10X型=iox^?=3x/Tii-

ACiU10W1U

17.如圖，二次函數(shù)y=-f+2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點。，若點

P為y軸上的一個動點，連接皿則嚅PC+"的最小值為一爭一

【解答】解：y=-/+2x+3--（x-3）（x+1）=-（x-1）2+4,

???當(dāng)x=O時，>=3,當(dāng)y=O時，x=3或x=l,該函數(shù)的對稱軸是直線x=1,

???二次函數(shù)y=-/+2x+3的圖象與x軸交于A、3兩點，與y軸交于點C對稱軸與無軸交于點Q,

???點A的坐標(biāo)為（-1,0）,點3的坐標(biāo)為（3,0）,點C的坐標(biāo)為（0,3）,點。的坐標(biāo)為（1,0）,

連接CD，作AEJ_C。于點E,交y軸于點尸，

；0。=1,OC=3,ZCOD=90°,ACD=JlQ.".sinZOCD=-1==^32,B|JsinZPCE=2^12,

Vio1010

：.PE=^^-PC,?.?點A和點D關(guān)于點。對稱，...PE+P。的最小值就是AE的長，

10

ZEAD+ZEDA=ZDCO+ZEDA=90°,：.ZEAD^ZDCO,?'?sin/￡4。=2^,：.cosZEAD

1010

；4￡>=2,；.AE=2X至頁=至頁，即義邁pc+尸。的最小值為生叵，故答案為：名叵.

1051055

18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，A(2&,0),C(0,-1),若P為線段OA上一動點，則CP+」AP的最小值為

3

~3~

【解答】解:如圖,

D

O

取一點。(0,1),連接AO,作CALLAO于點N,PM_LA￡)于點M,在RtZ\AO￡>中,

：0A=2&,0P=1ADJ。人2+QD2=3/臥丘2%。，NAMP=NAO￡>=90°/\APM^/XADO

APM=AP即n=空...PM=LP,,\PC+1AP=PC+PM

0DAD,13,33

當(dāng)CP_L4。時，CP+—AP^CP+PM的值最小,最小值為CN的長.

3

'：/\CND^^AOD,/.CN=CD即_2^=2:.CN=?2.所以CP+2AP的最小值為生

AOAD,2723,333

練習(xí):

1.如圖，在△ABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若。是BC邊上的動點，則2AO+QC的最小值是()

D.4

【解答】解：過點C作射線CE,使/BCE=30°,再過動點。作QFLCE,垂足為點F,連接AQ,如圖所示:

在RtZiOFC中，NDCF=30°,：.DF=^DC,'：2AD+DC=2(AD+^DC)=2(AD+DF),

22

...當(dāng)A,D,尸在同一直線上，即AFLCE時，AD+力產(chǎn)的值最小，最小值等于垂線段A尸的長,

此時，N8=NAO8=60°,...△48。是等邊三角形，：.AD^BD^AB=2,

在RtZXABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=2,；.BC=4,.'.DC=2,：.DF=^DC=\,

2

：.AF=AD+DF=^2+\=3,A2(AD+DF)=2AF=6,；.2AD+DC的最小值為6,故選：B.

2.如圖，在△ABC中，NA=90°,ZB=60°,AB=2,若。是BC邊上一動點，則AD+」DC的最小值為（）

A.2A/^6B.6C.V3+3D.3

【解答】解：過點C作射線CE,使/BCE=30°,再過動點。作。尸，CE,垂足為點凡連接40，如圖所示:

在RtaCFC中，NDCF=30°,：.DF=^DC,"：AD+^DC=AD+DF,

22

...當(dāng)A,D,F在同一直線上，即