遼寧省部分重點中學協(xié)作體2023-2024學年高三數(shù)學新題型調研卷05（解析版）

PAGE4絕密★啟用并使用完畢前測試時間：年月日時分——時分遼寧省部分重點中學協(xié)作體2024年高考新題型調研卷05本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設集合、集合，且，則實數(shù)的取值范圍為（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】由題意可知且，解得，故選D。2．在復平面內，復數(shù)滿足，則復數(shù)對應的點位于（）。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】C【解析】由已知得：，則，∴復數(shù)對于的點為，位于第三象限，故選C。3．如圖所示的函數(shù)圖像，對應的函數(shù)解析式可能是（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】A選項，，當時，，不符合，B選項，為偶函數(shù)，其圖像關于軸對稱，不符合，C選項，的定義域為，不符合，故選D。4．從名大學畢業(yè)生中選人擔任村長助理，則甲、乙至少有人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】依題意，丙沒有入選，當甲、乙兩人都入選的種數(shù)，當甲、乙兩人只有1人入選的種數(shù)，因此，滿足條件的不同選法的種數(shù)為種，故選B。5．已知定義在上的可導函數(shù)滿足，令（），，則必有（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】設，定義域為，，∴為單調遞增函數(shù)，∵，∴，即，∴，即，故選A。6．過圓：上的動點作圓：的兩條切線，兩個切點之間的線段稱為切點弦，則圓內不在任何切點弦上的點形成的區(qū)域的面積為（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】如下圖所示，過圓：上一動點作圓的兩條切線、，切點分別為、，則、、，則且為銳角，∴，同理可得，∴，則為等邊三角形，連接交于點，∵為的角平分線，則為的中點，∴，且，∴，若圓內的點不在任何切點弦上，則該點到圓的圓心的距離應小于，即圓內的這些點構成了以原點為圓心，半徑為的圓的內部，∴圓內不在任何切點弦上的點形成的區(qū)域的面積為，故選A。7．如圖所示，邊長為的正方形中，點、分別是、的中點，將、、分別沿、、折起，使得、、三點重合于點，若四面體的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積為（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】由題意可知四面體為底面為等腰，頂點為的三棱錐，則，，，，則，，則平面，又，則為直角三角形，設的外接圓的半徑為，則，三棱錐的外接球的半徑為，則，∴該球的表面積為，故選B。8．函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且當時，（），若，則（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵為偶函數(shù)，∴的圖像關于直線軸對稱，∵為奇函數(shù)，∴，∴，∴的圖像關于點中心對稱，∴周期，又，解得，又，則，，、、、、、、、、…∴，故選A。二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得分，部分選對的得部分分，有選錯的得分。9．已知、，，則下列選項中正確的是（）。A、的最大值為B、的最大值為C、的最大值為D、的最小值為【答案】BC【解析】∵、，，∴，∴、，A選項，∵，∴，錯，B選項，，當且僅當即、時等號成立，對，C選項，∵，∴，當且僅當即、時等號成立，對，D選項，∵，當且僅當即、時等號成立，不符合條件，錯，故選BC。10．意大利人斐波那契于年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：、、、、、、、……即從第三項開始，每一項都是它前兩項的和。后人為了紀念他，就把這列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列。下面關于斐波那契數(shù)列說法錯誤的是（）。A、B、是偶數(shù)C、D、【答案】BCD【解析】A選項，、、，對，B選項，由該數(shù)列的性質可得只有的倍數(shù)項是偶數(shù)，錯，C選項，，錯，D選項，、、、……、、，各式相加得，∴，錯，故選BCD。11．中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積。把以上文字寫成公式，即（為三角形的面積，、、為三角形的三邊）?，F(xiàn)有滿足，且的面積，則下列結論正確的是（）。A、的周長為B、的三個內角、、成等差數(shù)列C、的外接圓半徑為D、的中線的長為【答案】AB【解析】A選項，設的內角、、所對的邊分別為、、，∵，∴由正弦定理可得，設、、（），∵，∴，解得，則、、，故的周長為，對，B選項，∵，∴，，∴的三個內角、、成等差數(shù)列，對，C選項，∵，∴，由正弦定理得，，錯，D選項，由余弦定理得，在中、，由余弦定理得，解得，錯，故選AB。三、填空題：本題共小題，每小題分，共分。12．某人設計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為個單位）的頂點處，然后通過拋擲一枚質地均勻的硬幣來確定棋子的走向，若硬幣正面朝上，則沿正方形的邊按逆時針方向行走個單位，若硬幣反面朝上，則沿正方形的邊按順時針方向行走個單位，一直循環(huán)下去。則某人拋擲次硬幣后棋子恰好又回到點處的概率為。【答案】【解析】棋子恰好又回到點處為：四正，四反，兩正兩反，共有，∴概率。13．已知是的重心，過點做直線與、分別交于點、，且，，（，），則的最小值是?！敬鸢浮俊窘馕觥俊呤堑闹匦?，∴，又∵、、三點共線，則，∴，∴，又∵、，則。14．如圖所示，半徑為的半圓有一內接梯形，它的下底為圓的直徑，上底的端點在圓周上，若雙曲線以、為焦點，且過、兩點，則當梯形周長最大時，雙曲線的實軸長為。【答案】【解析】，設，作于點，則，，∴，則梯形周長，當，即時周長有最大值，這時，，，∴雙曲線的實軸長為。四、解答題：本題共小題，共分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本小題滿分分）設向量、向量，且，其中、是的兩個內角。（1）求的取值范圍；（2）試確定的取值范圍?！窘馕觥浚?）∵、，，∴，即，2分又，、，∴，即，4分，5分∵，∴，∴，∴的取值范圍為；7分（2）由（1）得，∴，8分設，則由（1）得，則，10分∴可化為（），11分由定義可證在上是單調遞減函數(shù)，∴，∴的取值范圍為。13分16．（本小題滿分分）已知拋物線：（）上一點到其焦點的距離為，橢圓：（）的離心率，且過拋物線的焦點。（1）求拋物線和橢圓的標準方程；（2）過點的直線交拋物線交于、兩不同點，交軸于點，已知、，求證：為定值。【解析】（1）拋物線上一點到其焦點的距離為，又其準線為：，∴，解得，∴拋物線的標準方程為：，3分∵橢圓的焦點在軸上，離心率，且橢圓過拋物線的焦點，∴、，代入得、，∴橢圓的標準方程為：；6分（2）證明：由題意可知直線的斜率一定存在且一定不為，又直線過點，設直線：，7分聯(lián)立并化簡得，恒成立，設、，則、，11分∵直線交軸于點，∴，∵、，∴、，∴、，13分∴。15分17．（本小題滿分分）已知件不同的產(chǎn)品中共有件次品，現(xiàn)對它們進行一一測試，直到找出所有件次品為止。（1）求恰好在第次測試時件次品全部被測出的概率；（2）記恰好在第次測試時件次品全部被測出的概率為，求的最大值和最小值。【解析】（1）若恰好在第次測試時件次品全部被測出，則第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，則有種情況，2分從件產(chǎn)品中順序取出件，有種情況，3分則第次測試時件次品全部被測出的概率；4分（2）根據(jù)題意，分析可得的范圍是，當時，若恰好在第次測試時件次品全部被測出，則第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，而從件產(chǎn)品中順序取出件，有種情況，則，則、、、，8分當時，即恰好在第次測試時件次品全部被測出，有兩種情況：①是第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，②是前次沒有取出次品，此時也可以測出三件次品，則，10分當時，即恰好在第次測試時件次品全部被測出，有兩種情況：①是第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，②是前次恰有次次品，第次取出為合格品，則，12分當時，即恰好在第次測試時件次品全部被測出，有兩種情況：①是第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，②是第次取出第件正品，前次中有次是次品，次是正品，則，14分∴、。15分18．（本小題滿分分）現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐，下部的形狀是正四棱柱（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的倍。（1）若，，則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱錐的側棱長為，則當為多少時，倉庫的容積最大？（3）在（2）的條件下求直線與平面的夾角的余弦值?！窘馕觥浚?）由知，∵，∴正四棱錐的體積（），2分正四棱柱的體積（），4分∴倉庫的容積（）；5分（2）設，，則，，如圖所示，連接，∵在中，，∴，即，7分∴倉庫的容積，，從而，令，得或（舍），9分當時，，是單調遞增函數(shù)，當時，，是單調遞減函數(shù)，∴當時，取得極大值，也是最大值，∴當時，倉庫的容積最大；11分（3）以為原點，、、為、、軸建系，則，則、、，，，∴、、，13分設平面的法向量為，則，即，設，則、，則，15分設直線與平面的夾角為，則，16分∴。17分19．（本小題滿分分）已知正項數(shù)列，，，，證明：（1）；（2）；（3）。【解析】（1）先證明對恒成立，記，則，∴在上單調遞減，∴當時，，∴當時，，3分又，∴，即，即；4分（2）要證成立，只需證成立，即成立，