2019年寧夏中考數(shù)學(xué)試卷

2019年寧夏中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本共8小題，每小題3分，共24分在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一個是符

合目要求的）

L（3分）港珠澳大橋被英國《衛(wèi)報(bào)》譽(yù)為“新世界七大奇跡”之一，它是世界總體跨度最

長的跨海大橋，全長55000米.數(shù)字55000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.5.5X104B.55X104C.5.5X105D.0.55X106

2.（3分）下列各式中正確的是（）

A.次=±2B.^（_3）2=-3C.3^=2后我

3.（3分）由若干個大小形狀完全相同的小立方塊所搭幾何體的俯視圖如圖所示，其中小正

方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體的主視圖是（）

4.（3分）為了解學(xué)生課外閱讀時間情況，隨機(jī)收集了30名學(xué)生一天課外閱讀時間，整理

如下表:

閱讀時間/小時0.5及以下0.70.91.11.31.5及以上

人數(shù)296544

則本次調(diào)查中閱讀時間的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.0.7和0.7B.0.9和0.7C.1和0.7D.0.9和1.1

5.（3分）如圖，在△ABC中AC=BC,點(diǎn)。和E分別在AB和AC上，iLAD=AE.連接

DE,過點(diǎn)A的直線G4與OE平行，若NC=40°,則NGA。的度數(shù)為（)

AH

G

A.40°B.45°C.55°D.70°

6.（3分）如圖，四邊形A3CO的兩條對角線相交于點(diǎn)O,且互相平分.添加下列條件，仍

不能判定四邊形A8C。為菱形的是（)

ADC.AC=BDD.NABD=NCBD

7.（3分）函數(shù)y=K和y=ki+2（ZW0）在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（）

8.（3分）如圖，正六邊形48。?！晔倪呴L為2,分別以點(diǎn)A,。為圓心，以AB,OC為半

徑作扇形ABF,扇形。CR則圖中陰影部分的面積是（）

B

A.6A/3-—nB.6?一招1C.I2V3-AnD.1273-—n

3333

二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）

9.（3分）分解因式：2。3-8。=.

10.（3分）計(jì)算：（-工）一1+|2-刈尸.

2

11.（3分）在一個不透明的盒子里裝有除顏色外其余均相同的2個黃色乒乓球和若干個白

色乒乓球，從盒子里隨機(jī)摸出一個乒乓球，摸到白色乒乓球的概率為2,那么盒子內(nèi)白

3

色乒乓球的個數(shù)為.

12.（3分）已知一元二次方程37+4x-k=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍.

13.（3分）為了解某班學(xué)生體育鍛煉的用時情況，收集了該班學(xué)生一天用于體育鍛煉的時

間（單位：小時），整理成如圖的統(tǒng)計(jì)圖.則該班學(xué)生這天用于體育鍛煉的平均時間為

小時.

14.（3分）如圖，是的弦，OC_LA3,垂足為點(diǎn)C,將劣弧AB沿弦折疊交于OC

的中點(diǎn)。，若A8=2/i，則。。的半徑為

15.（3分）如圖，在RtZXABC中，/C=90°,以頂點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，

分別交A3,BC于點(diǎn)M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩

2

s

弧交于點(diǎn)P,作射線8P交AC于點(diǎn)D若乙4=30°,則.>BCD=_____

2AABD

16.（3分）你知道嗎，對于一元二次方程，我國古代數(shù)學(xué)家還研究過其幾何解法呢！以方

程/+5x-14=0即x（x+5）=14為例加以說明.數(shù)學(xué)家趙爽（公元3?4世紀(jì)）在其所

著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是:構(gòu)造圖（如下面左圖）中大正方形的面積是（x+x+5）

2,其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4X14+52,據(jù)此易得》=

2.那么在下面右邊三個構(gòu)圖（矩形的頂點(diǎn)均落在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上）中，

能夠說明方程/-4x-12=0的正確構(gòu)圖是.（只填序號）

x+5

X

x+5”①②③

三、解答題（本題共有6個小題，每小題6分，共36分）

17.（6分）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（5,4）,B（0,

3）,C（2,1）.

（1）畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的△43iCi，并寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）畫出將A181G繞點(diǎn)。按順時針旋轉(zhuǎn)90°所得的AA282cl.

x+2

三上＞＞1

93y

19.（6分）解不等式組：

年＜x+2

2

20.（6分）學(xué)校在“我和我的祖國”快閃拍攝活動中，為學(xué)生化妝.其中5名男生和3名

女生共需化妝費(fèi)190元；3名男生的化妝費(fèi)用與2名女生的化妝費(fèi)用相同.

（1）求每位男生和女生的化妝費(fèi)分別為多少元；

（2）如果學(xué)校提供的化妝總費(fèi)用為2000元，根據(jù)活動需要至少應(yīng)有42名女生化妝，那

么男生最多有多少人化妝.

21.（6分）如圖，已知矩形ABCO中，點(diǎn)E,尸分別是AO,AB上的點(diǎn)，EF±EC,且AE

=CD.

(1)求證：AF=DE；

(2)若DE=2AD,求tan/AF￡

5

22.（6分）為了創(chuàng)建文明城市，增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識.隨機(jī)抽取8名學(xué)生，對他們的垃圾

分類投放情況進(jìn)行調(diào)查，這8名學(xué)生分別標(biāo)記為A,B,C,D,E,F,G,H,其中“J”

表示投放正確，“義”表示投放錯誤，統(tǒng)計(jì)情況如下表.

學(xué)生ABCDEFGH

垃圾類別

廚余垃圾VVVVVV

可回收垃圾XVXXVVV

有害垃圾XXVVXXV

其他垃圾XVVXXVVV

（1）求8名學(xué)生中至少有三類垃圾投放正確的概率；

（2）為進(jìn)一步了解垃圾分類投放情況，現(xiàn)從8名學(xué)生里“有害垃圾”投放錯誤的學(xué)生中

隨機(jī)抽取兩人接受采訪，試用標(biāo)記的字母列舉所有可能抽取的結(jié)果.

四、解答題（本共4道題，其中23、24題每題8分，25、28題每題10分，共38分）

23.（8分）如圖在△ABC中，AB=BC,以AB為直徑作。。交AC于點(diǎn)。，連接0￡）.

（1）求證：0D〃BC；

（2）過點(diǎn)D作。。的切線，交8c于點(diǎn)E,若N4=30°,求CD的值.

BE

24.（8分）將直角三角板ABC按如圖1放置，直角頂點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，直角邊AC、

BC分別與x軸和y軸重合，其中NABC=30°.將此三角板沿y軸向下平移，當(dāng)點(diǎn)B平

移到原點(diǎn)0時運(yùn)動停止.設(shè)平移的距離為〃?，平移過程中三角板落在第一象限部分的面

積為s,s關(guān)于根的函數(shù)圖象（如圖2所示）與機(jī)軸相交于點(diǎn)尸（?,0）,與s軸相交

于點(diǎn)Q.

（1）試確定三角板ABC的面積；

（2）求平移前48邊所在直線的解析式；

（3）求s關(guān)于"的函數(shù)關(guān)系式，并寫出。點(diǎn)的坐標(biāo).

25.（10分）在綜合與實(shí)踐活動中，活動小組對學(xué)校400米的跑道進(jìn)行規(guī)劃設(shè)計(jì)，跑道由兩

段直道和兩端是半圓弧的跑道組成.其中400米跑道最內(nèi)圈為400米，兩端半圓弧的半

徑為36米.（TT取3.14）.

（1）求400米跑道中一段直道的長度；

（2）在活動中發(fā)現(xiàn)跑道周長（單位：米）隨跑道寬度（距最內(nèi)圈的距離，單位：米）的

變化而變化.請完成下表：

跑道寬度/米012345???

跑道周長/米400???

若設(shè)x表示跑道寬度（單位：米），y表示該跑道周長（單位：米），試寫出y與x的函數(shù)

關(guān)系式：

（3）將446米的跑道周長作為400米跑道場地的最外沿，那么它與最內(nèi)圈（跑道周長400

米）形成的區(qū)域最多能鋪設(shè)道寬為1.2米的跑道多少條？

26.（10分）如圖，在△ABC中，ZA=90°,AB=3,AC=4,點(diǎn)M,。分別是邊48,BC

上的動點(diǎn)（點(diǎn)M不與4,8重合），且MQJ_8C,過點(diǎn)M作BC的平行線MN,交AC于

點(diǎn)、N,連接NQ,設(shè)BQ為x.

（1）試說明不論x為何值時，總有△QBA/s/vlBC；

（2）是否存在一點(diǎn)Q,使得四邊形BMN。為平行四邊形，試說明理由；

（3）當(dāng)x為何值時，四邊形BMNQ的面積最大，并求出最大值.

BOC

2019年寧夏中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本共8小題，每小題3分，共24分在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一個是符

合目要求的）

1.（3分）港珠澳大橋被英國《衛(wèi)報(bào)》譽(yù)為“新世界七大奇跡”之一，它是世界總體跨度最

長的跨海大橋，全長55000米.數(shù)字55000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.5.5X104B.55X104C.5.5X105D.0.55X106

【考點(diǎn)】II：科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中〃為整數(shù).確定〃

的值時，要看把原數(shù)變成〃時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，”是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值VI時，”是負(fù)數(shù).

【解答】解：數(shù)字55000用科學(xué)記數(shù)法表示為5.5X104.

故選:A.

【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aXIV的形式，其

中l(wèi)W|a|V10,”為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及"的值.

2.（3分）下列各式中正確的是（）

A.V4=±2B.^（_3）2=-3C.3^=2D?遍-岳近

【考點(diǎn)】22：算術(shù)平方根；24：立方根.

【分析】分別根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的性質(zhì)化簡即可判斷.

【解答】解：A.?=2,故選項(xiàng)A不合題意；

區(qū)夜7示=3,故選項(xiàng)B不合題意；

2

C.調(diào)=2甘，故選項(xiàng)C不合題意；

D.五他二詬他班,故選項(xiàng)O符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了算術(shù)平方根和立方根的定義，熟練掌握算術(shù)平方根和立方根的

性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

3.（3分）由若干個大小形狀完全相同的小立方塊所搭幾何體的俯視圖如圖所示，其中小正

方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體的主視圖是（）

【考點(diǎn)】U2：簡單組合體的三視圖；U3：由三視圖判斷幾何體.

【分析】由俯視圖知該幾何體共3歹U,其中第1列前一排3個正方形、后1排1個正方

形，第2列只有后排2個正方形，第三列只有1個正方形，據(jù)此可得.

【解答】解：由俯視圖知該幾何體共3歹其中第1列前一排3個正方形、后1排1個

正方形，第2列只有后排2個正方形，第三列只有1個正方形，

所以其主視圖為：

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

4.（3分）為了解學(xué)生課外閱讀時間情況，隨機(jī)收集了30名學(xué)生一天課外閱讀時間，整理

如下表：

閱讀時間/小時0.5及以下0.70.91.11.31.5及以上

人數(shù)296544

則本次調(diào)查中閱讀時間的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.0.7和0.7B.0.9和0.7C.1和0.7D.0.9和1.1

【考點(diǎn)】W4：中位數(shù)：W5：眾數(shù).

【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知共有30人參與調(diào)查，從而可以得到全班學(xué)生平均每天閱

讀時間的中位數(shù)和眾數(shù)，本題得以解決.

【解答】解：由表格可得，30名學(xué)生平均每天閱讀時間的中位數(shù)是：°。9+0.9=09

2

30名學(xué)生平均每天閱讀時間的是0.7,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查眾數(shù)、中位數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和

中位數(shù).

5.（3分）如圖，在△ABC中AC=8C,點(diǎn)。和E分別在A8和AC1上，S.AD=AE.連接

DE,過點(diǎn)A的直線GH與。E平行，若/C=40°,則NGA。的度數(shù)為（）

【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)；KH：等腰三角形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)等腰三角形和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：；AC=CB,ZC=40°,

：.ZBAC^ZB=1.（180°-40°）=70°,

2

'：AD=AE,

：.ZADE^ZAED^k（180°-70°）=55°,

2

,JGH//DE,

.?./GAD=NAOE=55°,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

6.（3分）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O,且互相平分.添加下列條件，仍

不能判定四邊形ABCD為菱形的是（)

D

A.AC.LBDB.AB=ADC.AC=BDD.NABD=NCBD

【考點(diǎn)】L9：菱形的判定.

【分析】根據(jù)菱形的定義及其判定、矩形的判定對各選項(xiàng)逐一判斷即可得.

【解答】解：?..四邊形ABC￡?的兩條對角線相交于點(diǎn)0,且互相平分，

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,

當(dāng)AB=A?；驎r，均可判定四邊形A8C。是菱形；

當(dāng)AC=B。時，可判定四邊形ABCZ）是矩形；

當(dāng)時，

由A￡?〃8C得：ZCBD=ZADB,

：.ZABD^ZADB,

J.AB^AD,

，四邊形ABC。是菱形；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的定義和各判定及矩形的判

定.

7.（3分）函數(shù)y=k和y=fcv+2（kWO）在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（）

【考點(diǎn)】F3：一次函數(shù)的圖象：G2：反比例函數(shù)的圖象.

【分析】根據(jù)題目中函數(shù)的解析式，利用一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)，可以解答

本題.

【解答】解：在函數(shù)丁=工和丁=履+2（kWO）中，

x

當(dāng)k>0時，函數(shù)y=k的圖象在第一、三象限，函數(shù)、=履+2的圖象在第一、二、三象

X

限，故選項(xiàng)4、。錯誤，選項(xiàng)8正確,

當(dāng)上<0時，函數(shù)y=k的圖象在第二、四象限，函數(shù)y=fcr+2的圖象在第一、二、四象

X

限，故選項(xiàng)C錯誤,

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意,

利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答.

8.（3分）如圖，正六邊形ABC3E尸的邊長為2,分別以點(diǎn)A,。為圓心，以AB,DC為半

徑作扇形A8F,扇形OCE.則圖中陰影部分的面積是（）

1TC.12A/3-—TTD.12^/3

33

【考點(diǎn)】MM：正多邊形和圓；M0：扇形面積的計(jì)算.

【分析】根據(jù)題意和圖形可知陰影部分的面積是正六邊形的面積減去兩個扇形的面積,

從而可以解答本題.

【解答】解：???正六邊形ABCQEF的邊長為2,

正六邊形ABCDEF的面積是：2X（2sin600）X6=6X2X乎=6加,

2

￡￡>C=120°,

...圖中陰影部分的面積是：6、后-儂遼2L咳X2=6V^WL，

3604*3

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查正多邊形和圓、扇形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用

數(shù)形結(jié)合的思想解答.

二、填空題(本題共8小題，每小題3分，共24分)

9.(3分)分解因式：-8a=2a(a+2)(a-2).

【考點(diǎn)】55：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.

【分析】原式提取2a,再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=2”(?2-4)=2a(〃+2)(a-2),

故答案為：2a(a+2)(a-2)

【點(diǎn)評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方程是解本

題的關(guān)鍵.

10.(3分)計(jì)算：(-5)-'+|2-xf?\=-.

【考點(diǎn)】2C：實(shí)數(shù)的運(yùn)算：6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)第.

【分析】分別化簡每一項(xiàng)可得(-1)-'+12-73=-2+2-亞；

2

【解答】解:(_力"+|2-721=-2+2-72=-瓜

故答案為-

【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算；掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指

數(shù)哥的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

11.(3分)在一個不透明的盒子里裝有除顏色外其余均相同的2個黃色乒乓球和若干個白

色乒乓球，從盒子里隨機(jī)摸出一個乒乓球，摸到白色乒乓球的概率為2,那么盒子內(nèi)白

3

色乒乓球的個數(shù)為4.

【考點(diǎn)】X4：概率公式.

【分析】設(shè)盒子內(nèi)白色乒乓球的個數(shù)為x,根據(jù)摸到白色乒乓球的概率為2列出關(guān)于x的

3

方程，解之可得.

【解答】解：設(shè)盒子內(nèi)白色乒乓球的個數(shù)為X,

根據(jù)題意，得：上=2,

2+x3

解得：x=4,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=4是原分式方程的解，

???盒子內(nèi)白色乒乓球的個數(shù)為4,

故答案為：4.

【點(diǎn)評】此題主要考查了概率公式，關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能

出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

12.（3分）已知一元二次方程3/+4x-A=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍」

-3_-

【考點(diǎn)】AA：根的判別式.

【分析】方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則△>（）,建立關(guān)于女的不等式，求出”的取值范

圍.

【解答】解：?方程3/+4x-左=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

.*.△>0,即42-4X3X（-k）>0,

解得k>-1,

3

故答案為：人>-&

3

【點(diǎn)評】本題考查根的判別式，總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）

△>0o方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=（）=方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）△<

00方程沒有實(shí)數(shù)根.

13.（3分）為了解某班學(xué)生體育鍛煉的用時情況，收集了該班學(xué)生一天用于體育鍛煉的時

間（單位:小時）,整理成如圖的統(tǒng)計(jì)圖.則該班學(xué)生這天用于體育鍛煉的平均時間為

小時.

學(xué)生個

24

20

16

12

0.511.52鉗問

【考點(diǎn)】VC：條形統(tǒng)計(jì)圖；W2：加權(quán)平均數(shù).

【分析】首先根據(jù)條形圖得出該班學(xué)生的總?cè)藬?shù)以及一天用于體育鍛煉的時間，再利用

加權(quán)平均數(shù)的公式列式計(jì)算即可.

【解答】解：由圖可知，該班一共有學(xué)生：8+16+12+4=40（人），

該班學(xué)生這天用于體育鍛煉的平均時間為：（0.5X8+1X16+1.5X12+2X4）+40=1.15（小

時）.

故答案為1.15.

【點(diǎn)評】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用.讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信

息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個項(xiàng)目的數(shù)據(jù).也考查了加權(quán)平均

數(shù).

14.（3分）如圖，AB是。。的弦，OCLAB,垂足為點(diǎn)C,將劣弧篇沿弦折疊交于0C

的中點(diǎn)。，若AB=2伍，則。。的半徑為衣

【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；M2：垂徑定理；M5：圓周角定理；PB：翻折變換（折疊問題）.

【分析】連接04設(shè)半徑為x,用x表示0C,根據(jù)勾股定理建立x的方程，便可求得

結(jié)果.

【解答】解：連接0A,設(shè)半徑為達(dá)

,/將劣弧金沿弦AB折疊交于0C的中點(diǎn)。，

.?.0C=2T，OC1AB,

3

?,*=去研=/，

VOA2-OC2=AC2,

x2-（-|-x）2=10,

解得，x=3加.

故答案為：3M.

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列

出半徑的方程.

15.（3分）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,以頂點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧,

分別交A3,8c于點(diǎn)M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩

2

S1

弧交于點(diǎn)P,作射線B尸交4C于點(diǎn)。.若/A=30°,則他1）=」一

2AABD.2

【考點(diǎn)】KF：角平分線的性質(zhì)；K0：含30度角的直角三角形；N2：作圖一基本作圖.

【分析】利用基本作圖得80平分NABC,再計(jì)算出NA8O=/CBO=30°,所以D4=

s

DB,利用8￡>=28得到AD=2C￡>,然后根據(jù)三角形面積公式可得到的值.

^AABD

【解答】解：由作法得8。平分NABC,

VZC=90°,ZA=30°,

/.ZABC=60°,

AZABD^ZCBD=30°,

：.DA=DB,

在RtZ\BCZ）中，BD=2CD,

：.AD=2CD,

.SABCD_J

,△ABD2

故答案為

2

【點(diǎn)評】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；

作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知

直線的垂線）.

16.（3分）你知道嗎，對于一元二次方程，我國古代數(shù)學(xué)家還研究過其幾何解法呢！以方

程f+5x-14=0即x（x+5）=14為例加以說明.數(shù)學(xué)家趙爽（公元3?4世紀(jì)）在其所

著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是:構(gòu)造圖(如下面左圖)中大正方形的面積是(x+x+5)

2,其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4X14+52,據(jù)此易得x=

2.那么在下面右邊三個構(gòu)圖(矩形的頂點(diǎn)均落在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上)中，

能夠說明方程？-4x-12=0的正確構(gòu)圖是g).(只填序號)

x+5

x

x+5”①②③

【考點(diǎn)】AD：一元二次方程的應(yīng)用.

【分析】仿造案例，構(gòu)造面積是(x+x-4)2的大正方形，由它的面積為4X12+42,可求

出x=6,此題得解.

【解答】解：-4x-12=0即x(x-4)=12,

二構(gòu)造如圖②中大正方形的面積是(x+x-4)2,其中它又等于四個矩形的面積加上中間

小正方形的面積，即4X12+42,

據(jù)此易得x=6.

故答案為：②.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，仿造案例，構(gòu)造出合適的大正方形是解題的

關(guān)鍵.

三、解答題(本題共有6個小題，每小題6分，共36分)

17.(6分)已知：在平面直角坐標(biāo)系中，aABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(5,4),B(0,

3),C(2,1).

(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的△481C1,并寫出點(diǎn)Ci的坐標(biāo);

(2)畫出將4BC1繞點(diǎn)Ci按順時針旋轉(zhuǎn)90°所得的282cl.

【考點(diǎn)】R8：作圖-旋轉(zhuǎn)變換.

【分析】（1）分別作出三頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，再順次連接即可得；

（2）分別作出點(diǎn)4、Bi繞點(diǎn)。按順時針旋轉(zhuǎn)90°所得的對應(yīng)點(diǎn)，再順次連接即可得.

【解答】解：（1）如圖所示，△48C1即為所求，其中點(diǎn)Ci的坐標(biāo)為（-2,-1）.

（2）如圖所示，△A2B2C1即為所求.

【點(diǎn)評】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，正確得出對應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.

18.（6分）解方程：二:+1=^」.

x+2x-l

【考點(diǎn)】B3：解分式方程.

【分析】方程兩邊同時乘以（x+2）（x-1）,得x=4；

【解答】解：2+1=上，

x+2x-l

方程兩邊同時乘以（x+2）（x-1）,得

2（x-1）+（x+2）（x-l）—x（x+2）,

?.x=4,

將檢驗(yàn)x=4是方程的解；

二方程的解為x=4；

【點(diǎn)評】本題考查分式方程的解；掌握分式方程的求解方法，驗(yàn)根是關(guān)鍵.

三工）1

93

19.（6分）解不等式組：＜.

爍＜x+2

2

【考點(diǎn)】CB：解一元一次不等式組.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小無解了確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式三一911,得：x24,

23

解不等式三空<x+2,得：x>-7,

2

則不等式組的解集為x》4.

【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知

“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

20.（6分）學(xué)校在“我和我的祖國”快閃拍攝活動中，為學(xué)生化妝.其中5名男生和3名

女生共需化妝費(fèi)190元；3名男生的化妝費(fèi)用與2名女生的化妝費(fèi)用相同.

（1）求每位男生和女生的化妝費(fèi)分別為多少元；

（2）如果學(xué)校提供的化妝總費(fèi)用為2000元，根據(jù)活動需要至少應(yīng)有42名女生化妝，那

么男生最多有多少人化妝.

【考點(diǎn)】9A：二元一次方程組的應(yīng)用；C9：一元一次不等式的應(yīng)用.

【分析】（1）設(shè)每位男生的化妝費(fèi)是x元，每位女生的化妝費(fèi)是y元.關(guān)鍵描述語：5

名男生和3名女生共需化妝費(fèi)190元；3名男生的化妝費(fèi)用與2名女生的化妝費(fèi)用相同.

（2）設(shè)男生有?人化妝，根據(jù)女生人數(shù)=2°°°一男生化妝費(fèi)用242列出不等式并解

3

答.

【解答】解：（1）設(shè)每位男生的化妝費(fèi)是x元，每位女生的化妝費(fèi)是y元，

依題意得：儼+3尸19°.

\3x=2y

解得：卜=2°.

ly=30

答：每位男生的化妝費(fèi)是20元，每位女生的化妝費(fèi)是30元；

（2）設(shè)男生有“人化妝，

依題意得：2000-20a心42.

30

解得aW37.

即?的最大值是37.

答：男生最多有37人化妝.

【點(diǎn)評】考查了一元一次不等式的應(yīng)用和二元一次方程組的應(yīng)用.解決問題的關(guān)鍵是讀

懂題意，找到關(guān)鍵描述語，找到所求的量的數(shù)量關(guān)系.

21.（6分）如圖，已知矩形ABCO中，點(diǎn)E,尸分別是AO,AB上的點(diǎn)，EF1EC,且AE

=CD.

(1)求證：AF=DE；

(2)若。E=X4。，求tanNA尸E.

5

【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LB：矩形的性質(zhì)；T7：解直角三角形.

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NA=NO=90°,由垂直的定義得到/FEC=90°,

根據(jù)余角的性質(zhì)得到根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)由已知條件得到45=心。￡,由根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

2

【解答】(1)證明：???四邊形ABCQ是矩形，

.?./4=/￡>=90°,

VEF1CE,

AZFEC=90°,

：.NAFE+NAEF=NAEF+NDEC=90°,

：.NAFE=ZDEC,

2A=ND

在尸與△OCE中，，ZAFE=ZDEC-

AE=CD

.?.△AEF絲△OCE(AAS),

：.AF=DE；

(2)解：'：DE=^AD,

5

：.AE=^-DE,

2

'：AF=DE,

DE2

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，正確的

識別圖形是解題的關(guān)鍵.

22.（6分）為了創(chuàng)建文明城市，增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識.隨機(jī)抽取8名學(xué)生，對他們的垃圾

分類投放情況進(jìn)行調(diào)查，這8名學(xué)生分別標(biāo)記為A,B,C,D,E,F,G,H,其中“J”

表示投放正確，“X”表示投放錯誤，統(tǒng)計(jì)情況如下表.

學(xué)生4BCDEFGH

垃圾類別

廚余垃圾VVVVVV

可回收垃圾VXVXXVVV

有害垃圾XVXVVXXV

其他垃圾XXXVVV

（1）求8名學(xué)生中至少有三類垃圾投放正確的概率；

（2）為進(jìn)一步了解垃圾分類投放情況，現(xiàn)從8名學(xué)生里“有害垃圾”投放錯誤的學(xué)生中

隨機(jī)抽取兩人接受采訪，試用標(biāo)記的字母列舉所有可能抽取的結(jié)果.

【考點(diǎn)】VA：統(tǒng)計(jì)表；X6：列表法與樹狀圖法.

【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；

（2）利用列表法可得所有等可能結(jié)果.

【解答】解：（1）8名學(xué)生中至少有三類垃圾投放正確的概率為§；

8

（2）列表如下:

ACFG

4CAFAGA

CACFCGC

FAFCFGF

GAGCGFG

【點(diǎn)評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所

有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用

到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

四、解答題（本共4道題，其中23、24題每題8分，25、28題每題10分，共38分）

23.（8分）如圖在AABC中，AB=BC,以AB為直徑作。。交AC于點(diǎn)。，連接OD

(1)求證：0D〃BC；

(2)過點(diǎn)。作。。的切線，交8c于點(diǎn)E,若/A=30°,求型的值.

BE

【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì)；M5：圓周角定理；MC：切線的性質(zhì)；S9：相似三角

形的判定與性質(zhì).

【分析】(1)由邊等得角等，再由同位角相等，可證得平行；

(2)連接由NA=30°得NC,由切線得。。_LDE,由0Q〃8C,得DE上BC,再

利用三角函數(shù)可求得CD與BE的比值.

【解答】解：(1)證明

ZA=ZC

'：OD=OA

：.ZC=ZADO

J.OD//BC

(2)如圖，連接BD,

AZC=30°

為。。的切線,

：.DEA.OD

"：OD//BC

：.DE±BC

：.ZBED=90°

'：AB為。。的直徑

：.ZBDA=9O°,ZCBD=60°

/.BD_=tanZC=tan30°=2/1.

CD3

：.BD=^CD

3

-^5.=cosZCBD-cos600=—

BD2

:.BE=LBD=?CD

26

.?.生=273

BE

【點(diǎn)評】本題屬于圓的綜合題，考查了平行線的判定，切線的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識點(diǎn)，

綜合性較強(qiáng)，難度中等略大.

24.（8分）將直角三角板ABC按如圖1放置，直角頂點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，直角邊AC、

8C分別與x軸和y軸重合，其中/A8C=30°.將此三角板沿y軸向下平移，當(dāng)點(diǎn)B平

移到原點(diǎn)0時運(yùn)動停止.設(shè)平移的距離為，〃，平移過程中三角板落在第一象限部分的面

積為s,s關(guān)于,"的函數(shù)圖象（如圖2所示）與,"軸相交于點(diǎn)P（遮，0）,與s軸相交

于點(diǎn)。.

（1）試確定三角板A8C的面積；

（2）求平移前A8邊所在直線的解析式；

（3）求s關(guān)于機(jī)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出。點(diǎn)的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】FI：一次函數(shù)綜合題.

【分析】（1）與，〃軸相交于點(diǎn)P（、巧，0）,可知08=T，04=1；

（2）設(shè)48的解析式＞=依+6,將點(diǎn)8（0,炳）,A（1,0）代入即可；

（3）在移動過程中0B=/-加，則。A=tan30°XOB=J&義（?-〃?）=1-西n,

33

所以s=_Lx（5/3~/n^X（1-）=Y^m2-根+Y^，當(dāng)m=0時,

2362

s=2sS,即可求Q（0,2iS）.

22

【解答】解：（1）???與〃2軸相交于點(diǎn)尸（5，0）,

：.OB=M，

VZABC=30°,

，OA=1,

A5=yX1XV3=^;

(2),:B(0,后，A(1,0),

設(shè)AB的解析式y(tǒng)=kx+bf

.fb=V3；

-lk+b=0，

.Jk=S,

lb=V3

???y=-心+F；

(3)在移動過程中OB=&-m,則OA=tan30°XOB=里X(?-tn)=1-

_33

/.5=—X(>/3-tn)X-m+jL±9

2362

當(dāng)m=0時，s=y^~,

_2

：.Q(0,返).

2

【點(diǎn)評】本題考查直角三角形平移，一次函數(shù)的性質(zhì)；能夠通過函數(shù)圖象得到3(0,V3)

是解題的關(guān)鍵.

25.(10分)在綜合與實(shí)踐活動中，活動小組對學(xué)校400米的跑道進(jìn)行規(guī)劃設(shè)計(jì)，跑道由兩

段直道和兩端是半圓弧的跑道組成.其中400米跑道最內(nèi)圈為400米，兩端半圓弧的半

徑為36米.(1T取3.14).

(1)求400米跑道中一段直道的長度；

(2)在活動中發(fā)現(xiàn)跑道周長(單位：米)隨跑道寬度(距最內(nèi)圈的距離，單位：米)的

變化而變化.請完成下表：

跑道寬度/米012345…

跑道周長/米400…

若設(shè)x表示跑道寬度(單位：米)，y表示該跑道周長(單位：米)，試寫出y與x的函數(shù)

關(guān)系式：

(3)將446米的跑道周長作為400米跑道場地的最外沿，那么它與最內(nèi)圈(跑道周長400

米)形成的區(qū)域最多能鋪設(shè)道寬為1.2米的跑道多少條？

【考點(diǎn)】38：規(guī)律型：圖形的變化類；FH：一次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】(1)根據(jù)周長的意義：直道長度+彎道長度=400求出，

(2)跑道寬度增加，就是半圓的半徑增加，依據(jù)圓的周長公式可求當(dāng)跑道寬度為1、2、

3、4、5、……時，跑道的周長，填寫表格.并求出函數(shù)關(guān)系式.

(3)依據(jù)關(guān)系式，可求當(dāng)跑道周長為446米時，對應(yīng)的跑道的寬度，再根據(jù)每道寬1.2

米，求出可以設(shè)計(jì)幾條跑道.

【解答】解:(1)400米跑道中一段直道的長度=(400-2X36X3,14)+2=86.96”

(2)表格如下:

y=2TLT+400=6.28x+400；

(3)當(dāng)y=446時，即6.28x+400=446,

解得:x&732m

7.32+1*6條

,最多能鋪設(shè)道寬為1.2米的跑道6條.

跑道宏度/米012345......

跑道周長/米400406413419425431......

【點(diǎn)評】體會跑道周長怎樣隨著跑道寬度的變化而變化的關(guān)系，進(jìn)而得出寬度周長y與

跑道寬度x之間的函數(shù)關(guān)系式，其中圓的周長公式、一次函數(shù)性質(zhì)是解決問題必需的知

識.

26.(10分)如圖，在△ABC中，乙4=90°,AB=3,4c=4,點(diǎn)M,。分別是邊48,BC

上的動點(diǎn)(點(diǎn)“不與A,B重合)，且過點(diǎn)"作BC的平行線MN,交AC于

點(diǎn)N,連接NQ,設(shè)8Q為x.

(1)試說明不論x為何值時，總有

(2)是否存在一點(diǎn)。，使得四邊形8MN。為平行四邊形，試說明理由；

(3)當(dāng)x為何值時，四邊形8MNQ的面積最大，并求出最大值.

【考點(diǎn)】SO：相似形綜合題.

【分析】(1)根據(jù)題意得到NMQB=NCAB,根據(jù)相似三角形的判定定理證明；

(2)根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；

(3)根據(jù)勾股定理求出BC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用x表示出。M、BM,根據(jù)梯形面

積公式列出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】解：(1)

.?./MQ8=90°,

:.NMQB=NCAB,又NQBM=NABC,

(2)當(dāng)8Q=MN時，四邊形BMNQ為平行四邊形，

'：MN//BQ,BQ=MN,

四邊形BMNQ為平行四邊形；

(3)VZA=90°,AB=3,AC=4,

A/?C=VAB2+AC2=5,

?QB-QM-BM即x=QM=BM

**ABACBC?yTT

解得，Q