1.4 角平分線 北師版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)課件

第1章三角形的證明

1.4角平分線角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)？導(dǎo)入新課角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.你能證明這一結(jié)論嗎？結(jié)合我們前面學(xué)習(xí)的定理的證明方法，你能寫出這個(gè)性質(zhì)的證明過(guò)程嗎？新課學(xué)習(xí)已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.證明：∵

∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.ACBODPE12新課學(xué)習(xí)角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.幾何語(yǔ)言：∵OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.ACBODPE想一想：你能寫出這個(gè)定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？新課學(xué)習(xí)如果有一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)必在這個(gè)角的平分線上.這個(gè)命題是假命題.角平分線是角內(nèi)的一條射線，而角的外部也存在到角兩邊距離相等的點(diǎn).此命題增加什么條件可變?yōu)檎婷}呢？在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.新課學(xué)習(xí)已知：如圖，在∠AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE.求證：OP平分∠AOB.證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠1=∠2（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.∴OP平分∠AOB.ACBODPE12新課學(xué)習(xí)角平分線的判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.幾何語(yǔ)言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.ACBODPE新課學(xué)習(xí)例1.如圖，在△ABC中，∠BAC=60°,點(diǎn)D在BC上，AD=10，DE⊥AB，

DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長(zhǎng).ABCFE解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E,F,且DE=DF，∴AD平分∠BAC（在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）.又∵∠BAC=60°,∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中

，∠AED=90°,

AD=10，∴DE=AD=5（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）.D例2.求證：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.新課學(xué)習(xí)已知：如圖，在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).求證：∠A的平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且PD=PE=PF.ABCFNDMEP新課學(xué)習(xí)解：∵BM是△ABC的角平分線

，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等）.同理PE=PF.∴PD=PE=PF，∴點(diǎn)P在∠A的平分線上（在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）.已知：如圖，在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).求證：∠A的平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且PD=PE=PF.ABCFNDMEP新課學(xué)習(xí)定理：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.幾何語(yǔ)言：如圖，在△ABC中，∵BM，CN，AH分別是△ABC的三條角平分線，

且PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，∴BM，CN，AH相交于一點(diǎn)P，且PD=PE=PF.ABCFNDMEPH例3.如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=

90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB,

垂足為E.（1）已知CD=4cm，求AC的長(zhǎng)；（2）求證：AB=AC+CD.（1）解：AD是△ABC的角平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足為E，∴DE=CD=4

cm（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等）.∵AC=BC，∴∠B=∠BAC（等邊對(duì)等角）.∵∠C=

90°，∴∠B=

45°.

∴∠BDE=

45°.∴BE=DE.∴BD=cm.∴AC=BC=CD+BD=(4+)cm.探究新知ACDBE例3.如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=

90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB,

垂足為E.（1）已知CD=4cm，求AC的長(zhǎng)；（2）求證：AB=AC+CD.（2）證明：

由（1）的求解過(guò)程易知，

Rt△ACD≌△Rt△AED（HL）.∴AC=AE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD.探究新知ACDBE鞏固練習(xí)1.在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于點(diǎn)D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cmABCDEB鞏固練習(xí)2.如圖，∠A=90°，BC邊的垂直平分線DE分別交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且DE=AE,則∠B=

.BCADE30°鞏固練習(xí)3.如圖，∠B=∠C=90°，DE平分∠ADC，AE平分∠DAB，求證：E是BC的中點(diǎn).證明：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，∵∠B=∠C=90°，∴CD⊥BC，AB⊥BC.∵DE平分∠ADC，AE平分∠DAB，∴CE=EF，EF=BE.∴CE=BE.即E是BC的中點(diǎn).CEDBAF談?wù)勥@節(jié)課你有什么收獲？1.角平分線的性質(zhì)和判定定理：性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等