結(jié)構(gòu)力學(xué)Ⅱ課件：矩陣位移法

結(jié)構(gòu)力學(xué)II

STRUCTUREMECHANICSII矩陣位移法研究對象求解桿件結(jié)構(gòu)在靜荷載作用下的位移和內(nèi)力。方法特點以結(jié)構(gòu)力學(xué)經(jīng)典理論為基礎(chǔ)，以矩陣作為數(shù)學(xué)工具，面向計算機的方法。本章主要內(nèi)容§9.1

概述§9.2

單元剛度方程和單元剛度矩陣§9.3

坐標變換§9.4結(jié)構(gòu)剛度方程和結(jié)構(gòu)總剛度矩陣§9.5荷載向量的計算§9.6

支座約束條件的引進§9.7

剛度方程的求解及內(nèi)力計算4§9.1概述矩陣位移法特點：矩陣位移法以結(jié)點位移為未知量，以矩陣為數(shù)學(xué)工具，易于編寫通用的計算機程序，對于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計算，該法具有很大的優(yōu)越性，大大減少手算的工作量，是面向計算機的計算方法。適用于靜定結(jié)構(gòu)及超靜定結(jié)構(gòu)，是有限元法的雛形，也稱為桿件有限元法；矩陣位移法基本概念123結(jié)構(gòu)離散化坐標系單元桿端力單元桿端位移46概念一、結(jié)構(gòu)離散化

結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)計算的第一步。把結(jié)構(gòu)假想地劃分成若干小單元，

單元與單元之間用結(jié)點聯(lián)結(jié)。

用離散化的單元集合體來代替原結(jié)構(gòu)。原結(jié)構(gòu)：分析對象：1234①②③①②③④⑤1234圖1圖2圖3分析的對象離散化的單元集合體。結(jié)點位移是未知量。荷載按位移等效原則移置到結(jié)點上去。7§9.1概述矩陣位移法的要點：單元分析：離散化后的每個小單元內(nèi)部展開，在單元范圍內(nèi)分析桿端內(nèi)力與位移之間的關(guān)系（即單元剛度方程），位移未知時，單元分析是為了建立單元剛度矩陣；整體分析：結(jié)構(gòu)整體層面展開，考慮整個結(jié)構(gòu)的幾何條件和平衡條件，建立整個結(jié)構(gòu)的剛度方程，求解基本未知量，即結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移。8概念二、坐標系

整體坐標系整個結(jié)構(gòu)唯一的坐標系。用于整體分析，描述結(jié)構(gòu)整體的變形和受力。

yxθ符號沒有統(tǒng)一規(guī)定，根據(jù)位置判定

12345

θ

θ

θ

θ9注意：

xyθ矩陣位移法中力和位移分量的正負號都要參照坐標系。整體坐標系沒有統(tǒng)一的規(guī)定等價于

12345

θ

θ

θ

θ注意：

xyθ矩陣位移法中力和位移的正負號都要參照坐標系。整體坐標系沒有統(tǒng)一的規(guī)定xyθxyθxyθ常用的整體坐標系還有11概念三、單元桿端力

空間梁單元的桿端力向量？平面鏈桿單元的桿端力向量？12由桿端力的主矢量和主矩沿單元坐標分解得到的分量按順序排成一列。其元素相當傳統(tǒng)意義上的內(nèi)力，即分別

為單元兩端截面的軸力、剪力、彎矩，只是正負號規(guī)定不同5KN9KN9KN5KN30KN.m15KN.m

θ單元坐標描述的桿端力向量

95593015FN圖KN）FS圖（KN）M圖（KN.m）13由桿端力的主矢量和主矩沿整體坐標分解得到的分量按順序排成一列。分別為單元始端、終端桿端力沿整體坐標x、y軸分量及力矩。整體坐標系描述的桿端力向量

平面梁單元整體坐標描述的桿端力向量：14概念四、單元桿端位移

空間梁單元的桿端位移向量？平面鏈桿單元的桿端位移向量？15單元桿端位移向量與桿端力向量一一對應(yīng)桿端位移沿單元坐標分解得到的分量按順序排成一列。沿整體坐標系分解得到的分量按順序排成一列。

整體坐標系表示的桿端位移

單元坐標系表示的桿端位移16例1：已知某單元在單元坐標下的桿端力：單元坐標系如圖，單元內(nèi)部無荷載作用，作出單元的內(nèi)力圖。1.241.52.61.241.53.4jiyxΘ--1.241.52.63.4FN圖（KN）FS圖（KN）M圖（KN.m）單元受力圖*已知單元坐標下的桿端力向量，才能畫出單元的內(nèi)力圖。注意：無論是在單元坐標系下描述，還是在結(jié)構(gòu)整體坐標系下描述，單元的桿端力和桿端位移向量沒有統(tǒng)一的符號規(guī)定。如何區(qū)分各符號是表示哪個坐標系下描述的量？請你一定用文字注明坐標系！183.044.381.240.43M(KN.m)FS(KN)FN(KN)例2：已知單元內(nèi)力圖，列出單元的桿端力向量xyθ1.240.434.381.240.433.04整體坐標描述：受力圖yxθ單元坐標描述：ijij192020701234(1)(2)(3)xy作業(yè)1：已知單元和結(jié)點的離散如圖，給定荷載作用下各結(jié)點整體坐標下的位移：要求：1.寫出單元坐標及整體坐標表示的單元桿端位移向量，整體坐標表示的單元桿端力向量，2.畫出整個結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。單元坐標下：各單元的桿端力向量如下：20思考題請你思考后歸納總結(jié)：位移法和矩陣位移法有哪些的異同點？21位移法要點位移法的基本未知量：獨立的結(jié)點位移（不包括支座結(jié)點的位移和鉸點的轉(zhuǎn)角位移。位移法典型方程：結(jié)點位移對應(yīng)的平衡方程（轉(zhuǎn)角位移對應(yīng)于結(jié)點的力矩方程，線位移對應(yīng)于桿件的投影方程）?；倔w系把結(jié)構(gòu)分劃為若干獨立的超靜定梁（單元），典型方程把它們組合在一起。等截面直桿的剛度方程——單元分析是關(guān)鍵。ABDCP22位移法和矩陣位移法異同點未知量都是結(jié)點位移。都要進行單元分析和整體分析?；痉匠潭际俏灰茖?yīng)的力平衡條件。位移法只取獨立的結(jié)點位移作為未知量。忽略梁式桿的軸向變形，不考慮支座結(jié)點的位移和鉸結(jié)點的轉(zhuǎn)角位移。矩陣位移法的未知量考慮所有結(jié)點的位移（包括支座結(jié)點），除非注明，一般都要考慮桿的軸向變形。位移法：矩陣位移法：？基于不同基本假定條件下的未知量數(shù)目往往不同。相同點不同點23矩陣位移法未知量—先處理法計算中首先將支座約束結(jié)點已知的零位移剔除。先處理法大大地減少了未知數(shù)的數(shù)目，減少了計算工作量。適合于手算。

例3：判斷圖示結(jié)構(gòu)矩陣位移法求解(先處理法)的未知量。1234F24計算過程中將支座結(jié)點的0位移同樣視為基本未知量求解，后面再對整個結(jié)構(gòu)剛度方程作支承條件處理。后處理法的未知量數(shù)僅決定于結(jié)點數(shù)。平面每個剛結(jié)點3個、鉸結(jié)點2個未知量。易于編寫通用計算機程序。矩陣位移法未知量—后處理法例3：判斷圖示結(jié)構(gòu)矩陣位移法求解(后處理法)的未知量。1234F25例4.判斷圖示結(jié)構(gòu)矩陣位移法求解的基本未知量數(shù)。先處理法后處理法一般情況：14*3=42忽略軸向變形：14+5=19忽略軸向變形：19+9=28先處理法：14*2=28后處理法：17*2=34一般情況：17*3=5126ABDCP矩陣位移法未知量：——先處理法矩陣位移法和位移法的不同點位移法未知量：基于不同基本假定條件下的未知量數(shù)目往往不同。一般情況：忽略軸向變形：矩陣位移法未知量：——后處理法一般情況：忽略軸向變形：27位移法——有四種基本結(jié)構(gòu)（兩端固定梁，一端固定一端簡支梁，一端固定一端定向梁，兩端簡支桿）。矩陣位移法——可用兩種基本結(jié)構(gòu)（兩端固定梁，兩端簡支的桿）。單元對應(yīng)的基本結(jié)構(gòu)不同位移法——簡單問題的手算方法。矩陣位移法——大型復(fù)雜問題的計算機方法。面向?qū)ο蟛煌灰品ā鷶?shù)方程作為數(shù)學(xué)工具。矩陣位移法——矩陣作為數(shù)學(xué)表達形式。數(shù)學(xué)表達形式不同矩陣位移法和位移法的不同點單元剛度方程和

單元剛度矩陣29掌握單元剛度方程的概念及其在單元和結(jié)構(gòu)坐標系下的描述;掌握單元剛度矩陣的物理意義和特點；能根據(jù)概念直接列出單元及結(jié)構(gòu)坐標描述的單元剛度矩陣。本節(jié)內(nèi)容要求30單元剛度方程

(e)

θ(e)單元坐標系描述：單元桿端位移單元桿端力單元坐標系下(e)已知自由梁單元注意元素排序和正方向

θyxθ(e)yxθ(e)31單元剛度方程

結(jié)構(gòu)坐標系描述：單元桿端位移單元桿端力結(jié)構(gòu)坐標系下(e)已知自由梁單元32單元剛度方程

自由梁單元的剛度方程：矩陣表達形式：

θ(e)自由梁單元桿端力桿端位移(e)(e)

代數(shù)表達形式：33矩陣展開如果位移第s項uS=0時,

第S列元素的值對桿端力有影響嗎？那第S列元素是否可以不用寫出來？——無影響。u2=0時

單元剛度矩陣的物理意義34矩陣展開假想把位移拆分，每次只作用一項第2列元素:表示單元第2個位移u2=1單獨作用于基本結(jié)構(gòu)引起的各桿端力。

單元剛度矩陣的物理意義僅u2單獨作用且u2=1時35矩陣展開剛度矩陣中的每一列元素的物理意義？第s列的元素:表示單元第s個位移us=1單獨作用于基本結(jié)構(gòu)引起的相應(yīng)桿端力。如何得到單元基本結(jié)構(gòu)？把單元結(jié)點位移全部約束住即可.

單元剛度矩陣的物理意義36

單元剛度矩陣的物理意義剛度系數(shù)krs：表示僅us=1單獨作用于基本結(jié)構(gòu)引起的桿端力Fr的值。剛度系數(shù)都是力或力矩。矩陣展開僅第5個位移u5=1作用,對應(yīng)第4個桿端力F4=k45的值。剛度矩陣中每個元素的物理意義？根據(jù)單元剛度系數(shù)的物理意義,由概念可以直接列出單元剛度矩陣。 u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

u1=1第1列平面自由梁單元的剛度矩陣平面自由梁單元的剛度矩陣u2=1第2列根據(jù)位移法形常數(shù)根據(jù)平衡條件數(shù)值的正負號與坐標系有關(guān)。u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

u3=1第3列根據(jù)位移法形常數(shù)根據(jù)平衡條件平面自由梁單元的剛度矩陣u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

u4=1第4列根據(jù)拉壓胡克定律根據(jù)平衡條件平面自由梁單元的剛度矩陣u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

u5=1第5列根據(jù)位移法形常數(shù)根據(jù)平衡條件平面自由梁單元的剛度矩陣u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

u6=1第6列平面自由梁單元的剛度矩陣u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

單元剛度矩陣的特點主元素：Kii>0,副元素正負與坐標軸正向有關(guān)2.對稱性1.奇異性krs=ksr

第i行元素和第

i列元素對應(yīng)相等44平面一般梁單元剛度方程單元剛度矩陣可按結(jié)點分塊表示:其中每個都是3×3的方陣，子塊

Kij(e)

表示：單元終端作用一單位位移向量時,在始端引起的桿端力向量。3.可分塊45平面一般梁單元剛度方程軸向變形和彎曲變形彼此獨立無關(guān)！特點:對稱性奇異性可分塊不考慮軸向變形的梁單元46獨立位移相應(yīng)桿端力不考慮軸向變形的梁單元47

獨立位移相應(yīng)桿端力單元剛度方程：只考慮轉(zhuǎn)角位移的梁單元48

獨立位移相應(yīng)桿端力單元剛度方程：只考慮轉(zhuǎn)角位移的梁單元49單元剛度方程：先處理法可根據(jù)單元非零位移的數(shù)目來確定單元的剛度矩陣的階數(shù)，只計算非零位移對應(yīng)的剛度系數(shù)。已知位移最后計算單元桿端內(nèi)力時，可根據(jù)所求桿端內(nèi)力數(shù)確定單元剛度矩陣的階數(shù)。獨立位移相應(yīng)桿端力50梁結(jié)構(gòu)，沒有水平荷載，消除各結(jié)點的零位移。未知量是2、3、4結(jié)點的轉(zhuǎn)角位移。例題5：列出先處理法各單元的剛度矩陣思考中…2.各單元結(jié)點位移向量：

1.先對結(jié)構(gòu)進行離散。確定未知量。513.各單元對應(yīng)的桿端力向量：2.各單元結(jié)點位移向量：例題5：列出先處理法各單元的剛度矩陣

524.各單元的剛度矩陣：12(1)23(2)23(2)例題5：列出先處理法各單元的剛度矩陣

534.各單元的剛度矩陣：(3)34(3)34例題5：列出先處理法各單元的剛度矩陣

§9.2單元剛度方程和

單元剛度矩陣（續(xù)）55單元剛度方程:單元剛度系數(shù)的物理意義和特點；根據(jù)概念直接列出單元及結(jié)構(gòu)坐標描述的單元剛度矩陣。本節(jié)任務(wù)：根據(jù)概念直接列出整體坐標描述的單元剛度矩陣?！?.2單元剛度方程和

單元剛度矩陣內(nèi)容回顧

56不同坐標系描述的單元剛度矩陣(e)整體分析——用整體坐標描述的單元剛度矩陣；最后內(nèi)力計算——用單元坐標描述的單元剛度矩陣。例6.列出圖示自由梁單元兩類坐標系下的剛度矩陣。1.單元坐標下自由梁單元的剛度矩陣第2列(e)單元坐標系第3列利用對稱性和平衡條件單位位移施加、元素排序及正負號都參照單元坐標系。2.整體坐標下自由梁單元的剛度矩陣第1列(e)整體坐標系第3列利用對稱性和平衡條件單位位移施加、元素排序及正負號都參照結(jié)構(gòu)整體坐標系。59例7.列出各單元先處理法的單元剛度矩陣。

已知各桿EI、EA均為常量。yΘx

解：先對結(jié)構(gòu)進行離散，結(jié)構(gòu)未知量。第1列第2列第3列第4列單元坐標系描述60例7.列出各單元先處理法的剛度矩陣。

已知各桿EI、EA均為常量。yΘx

解：先對結(jié)構(gòu)進行離散，結(jié)構(gòu)未知量。第1列第2列第3列第4列整體坐標系描述61例7.列出各單元先處理法的剛度矩陣。

已知各桿EI、EA均為常量。yΘx

解：先對結(jié)構(gòu)進行離散，結(jié)構(gòu)未知量。第2列第3列單元、整體坐標系相同第1列62平面鏈桿單元

平面桁架中的鏈桿單元只有軸力和軸向變形；

矩陣表示：單元剛度矩陣：63平面鏈桿單元

為了后面結(jié)構(gòu)整體分析和坐標變換

鏈桿單元的剛度方程表示：鏈桿單元的剛度矩陣也可以寫出：64例5.列出圖示鏈桿單元的剛度矩陣。已知桿長I、剛度EA。單元坐標系下，單元的剛度矩陣不變單元坐標系描述第1列第3列yx鏈桿——垂直桿軸方向施加位移不產(chǎn)生內(nèi)力。65第1列：i端施加水平位移ui=1，分解為：第1列yx整體坐標系下，單元的剛度矩陣軸力沿整體坐標分解為：把沿x、y軸施加的位移1分解為軸向和切向的位移。軸向位移分量才會產(chǎn)生軸力。最后再把軸力沿整體坐標分解。66第2列：i端施加豎向位移vi=1，分解為：軸力沿整體坐標分解為：第2列yx可利用對稱性和平衡條件列出另外兩列整體坐標系下，單元的剛度矩陣67例題8：列出各單元先處理法的剛度矩陣桁架結(jié)構(gòu)，未知量即2結(jié)點的線位移。1.各單元結(jié)點位移向量：2.相應(yīng)的桿端力向量：3.單元坐標下各單元的剛度矩陣：68例題8：列出各單元先處理法的剛度矩陣4.整體坐標下各單元的剛度矩陣：3.單元坐標下各單元的剛度矩陣：直接取剛度矩陣終端子塊69第1列：2點施加水平位移u2=1，分解出軸向位移：第1列或按概念寫（2）單元整體坐標系下的剛度矩陣第2列第2列：2點施加豎向位移v2=1，分解出軸向位移：70第2列第3列第1列特殊單元剛度矩陣例9.寫出下列約束梁單元的剛度矩陣，已知l、EA、EI。

θ

i(e)j

解：單元桿端位移向量：根據(jù)概念列出單元剛度矩陣：71第2列第3列第1列特殊單元的剛度矩陣例10.寫出下列約束梁單元的剛度矩陣，已知l、EA、EI。

θ

解：單元桿端位移向量：根據(jù)概念列出單元剛度矩陣：ij

(e)特殊單元的剛度矩陣例.寫出圖示折桿單元的剛度矩陣。已知EI為常量，忽略軸向變形。72l(e)l

θ

解：確定單元桿端位移向量：在單元基本結(jié)構(gòu)上依次施加位移1，把位移對應(yīng)約束解除，用力法求解。支座約束力就是剛度矩陣對應(yīng)的列元素。第1列l(wèi)l第一列對應(yīng)的力法方程：基本體系73

θ

單元剛度矩陣：在單元基本結(jié)構(gòu)上依次施加位移1，把位移對應(yīng)約束解除，用力法求解。支座約束力就是剛度矩陣對應(yīng)的列元素。第2列第3列第4列第1列74

θ

單元剛度矩陣：第2列第1列那可否只按概念計算第一列？75作業(yè)2圖示一端剛接一端鉸接平面梁單元，長度l，抗拉剛度EA，抗彎剛度EI。要求列出單元及整體坐標系下的單元剛度方程。(e)提示：1.鉸點的轉(zhuǎn)角作未知量2.鉸點的轉(zhuǎn)角不作未知量76寫出圖示連續(xù)梁各單元的剛度矩陣。已知EI=常量。作業(yè)312

2ll3

①

②

77作業(yè)4求圖示剛架用矩陣位移法（先處理）求解，列出用單元坐標及整體坐標描述的單元剛度矩陣。已知：各桿剛度EI、EA均為常量。ll

l②①③yΘx作業(yè)5根據(jù)概念寫出下列約束梁單元的剛度矩陣。已知各桿的長度L、剛度EA、EI均相同。78yΘxij

(e)79作業(yè)6求圖示剛架用矩陣位移法（先處理）求解，忽略各桿的軸向變形。列出各單元用整體坐標描述的單元剛度矩陣。作業(yè)7寫出下列折桿單元的剛度矩陣。

已知截面抗彎剛度均為EI。忽略桿件軸向變形。80yθx(e)ll81思考題已知坐標系，各桿長均為l、EI、EA均為常量。

列出：單元及整體坐標下各單元的剛度矩陣。

yθx②①③2143yθx如果修改結(jié)構(gòu)坐標系會有何不同？82②①③2143yθxyθx單元單元yθx單元一、考慮軸向變形，單元坐標下各單元剛度矩陣

83②①③2143yθx單元單元不變單元二、考慮軸向變形，整體坐標下各單元剛度矩陣

84②①③2143yθxyθx單元單元yθx單元三、忽略軸向變形，單元坐標下各單元剛度矩陣

結(jié)構(gòu)未知量：yθx85②①③2143yθx單元單元單元四、忽略軸向變形，整體坐標下各單元剛度矩陣

結(jié)構(gòu)未知量：86②①③2143yθx單元單元yθx單元五、改變整體坐標系，單元坐標下各單元剛度矩陣

yθx87②①③2143單元單元單元六、改變整體坐標系，整體坐標下各單元剛度矩陣

yθx坐標變換89在整體分析時，所有力和位移都要遵循整體坐標系，這樣同一結(jié)點來自不同單元的力分量才可以代數(shù)相加;最后單元分析求內(nèi)力時，力和位移都要遵循單元坐標系。力和位移均為矢量，在不同坐標系下分解。各分量不同?！?.3坐標變換坐標變換描述單元剛度方程中各量在兩個坐標系之間的關(guān)系。90單元桿端力和桿端位移的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換本節(jié)主要內(nèi)容§9.3坐標變換91

矢量的坐標變換矩陣形式：坐標變換矩陣：單元整體92矢量的坐標變換

坐標變化矩陣：單元整體坐標變換矩陣λ是正交矩陣yθxyθxyθxyθx93桁架單元的坐標變換矩陣

組合一起:坐標轉(zhuǎn)換矩陣：單元整體桿端力變換桿端位移變換單元坐標變換矩陣正交矩陣已知整體坐標求單元坐標系94梁單元坐標變換矩陣坐標轉(zhuǎn)換矩陣：假設(shè)已知整體坐標求單元坐標：桿端力變換桿端位移變換單元坐標變換矩陣正交矩陣95單元桿端力和桿端位移的坐標變換若已知整體坐標求單元坐標桿端力變換桿端位移變換桿端力變換桿端位移變換若已知單元坐標求整體坐標？平面剛架梁單元平面桁架鏈桿單元單元的坐標變換矩陣是正交矩陣單元剛度矩陣的坐標變換對單元坐標下的桿端力、桿端位移進行坐標變換：單元坐標描述：代入單元坐標下的剛度方程

兩邊同時左乘：整體坐標描述的單元剛度矩陣：?單元剛度方程整體坐標描述：數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)每個塊可以單獨坐標變換，而且變換后塊的位置不變;可根據(jù)需要只變換需要的剛度子塊。剛度子塊單獨變換時，元素要完整。分塊形式：單元剛度矩陣的坐標變換整體坐標描述的單元剛度矩陣結(jié)構(gòu)整體分析時，要用整體坐標描述的單元剛度矩陣。建立整體坐標描述的單元剛度矩陣的途徑：12對于一般的桿，可根據(jù)單元坐標描述的單元剛度矩陣通過坐標變換得到。對于水平、豎直的桿，可根據(jù)桿端位移和桿端力之間的關(guān)系，按概念直接寫出。例8.平面桁架如圖所示，各桿截面EA均為常數(shù)。試求桁架各單元的剛度矩陣。

1.單元坐標描述的剛度矩陣一、后處理法2.整體坐標描述的單元剛度矩陣單元（1）單元坐標和整體坐標一致，無需變換單元（2）兩坐標系之間a=300，需要變換單元（2）整體坐標描述的單元剛度矩陣解：1.單元坐標描述的剛度矩陣2.整體坐標描述的單元剛度矩陣例8.桁架各桿EA均為常數(shù)。求先處理法的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。

3.裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣斜桿單元的桿端位移可以通過坐標變換得到：列出各單元桿端位移向量，求內(nèi)力。若已經(jīng)求得2結(jié)點的位移：1.各單元整體坐標描述的桿端位移：2.各單元坐標描述的桿端位移：單元(2)的桿端位移通過坐標變換：也可以通過幾何關(guān)系直接求2點的軸向位移：3.單元坐標下，利用剛度方程求各單元的桿端內(nèi)力（一般方法）3.單元坐標下，利用剛度方程求各單元的桿端內(nèi)力

（快捷方法）（1）單元軸力為拉力：（2）單元軸力為壓力：例11.

平面剛架如圖所示，各桿截面相同。E=1×107kN/m2,A=0.24m2,I=0.0072m4，求各單元剛度矩陣。

解：結(jié)構(gòu)離散化，各單元參數(shù)；單元①單元③單元②a=45°1.單元坐標表示的單元剛度矩陣

一、先處理法1234①②③yθx2.整體坐標表示的單元剛度矩陣

單元（1）(3)的單元坐標和整體坐標一致，所以無需變換單元（2）的單元坐標和整體坐標成450角，要坐標變換1234①②③yθx一、先處理法1.單元坐標描述的剛度矩陣

將各單元的參數(shù)代入自由梁單元的剛度矩陣：二、后處理法2.整體坐標表示的單元剛度矩陣

二、后處理法110小結(jié)單元的坐標變換矩陣都是正交矩陣平面梁單元平面鏈桿單元整體坐標桿端力單元坐標桿端力整體坐標桿端位移單元坐標桿端位移單元坐標剛度矩陣整體坐標剛度矩陣α正負號規(guī)定？作業(yè)8求圖示桁架（先處理法）各單元的剛度矩陣。

已知各桿EA=常量。111yθxll1234①②③

結(jié)構(gòu)剛度方程和

總剛度矩陣本節(jié)主要內(nèi)容：23結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移向量Δ結(jié)構(gòu)的結(jié)點力向量F結(jié)構(gòu)的剛度矩陣K1返回結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移向量Δ結(jié)點位移向量Δ：所有的結(jié)點位移按順序排成一列；先處理法不包含已知的零位移（支座等約束的位移）；后處理法包含支座零位移在內(nèi)的所有的結(jié)點位移，按結(jié)點排列；剛架每個結(jié)點都有3個未知位移，桁架每個結(jié)點都有2個未知位移。結(jié)構(gòu)的結(jié)點力向量F結(jié)點力向量F:作用在結(jié)點上的外力按順序排成一列;結(jié)點力向量F的元素和結(jié)點位移向量Δ是一一對應(yīng)的。返回結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移向量Δ結(jié)點位移向量Δ：所有的結(jié)點位移按順序排成一列；先處理法不包含已知的零位移（支座等約束的位移）；后處理法包含支座零位移在內(nèi)的所有的結(jié)點位移，按結(jié)點排列；剛架每個結(jié)點都有3個未知位移，桁架每個結(jié)點都有2個未知位移。結(jié)構(gòu)的結(jié)點力向量F結(jié)點力向量F:作用在結(jié)點上的外力按順序排成一列;結(jié)點力向量F的元素和結(jié)點位移向量Δ是一一對應(yīng)的。返回115結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移Δ和結(jié)點力向量F例12。寫出圖示結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移向量Δ和結(jié)點力向量F。先處理法：后處理法：支座反力支座反力自由結(jié)點外力返回116例13。寫出圖示結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移向量和結(jié)點力向量。先處理法后處理法如果忽略軸向變形，則：返回yθx117寫出圖示結(jié)構(gòu)矩陣位移法的基本未知量。先處理法后處理法寫出圖示結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移向量Δ。先處理法：后處理法：一般情況：14*3=42忽略軸向變形：14+5=19忽略軸向變形：19+9=28一般情況：17*3=51118結(jié)構(gòu)的剛度方程結(jié)構(gòu)剛度方程：反映結(jié)點力向量F與結(jié)點位移向量Δ之間的關(guān)系，即：KΔ=FK為結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。由各單元剛度矩陣裝配疊加而成。結(jié)點位移Δ和結(jié)點力向量F是按結(jié)點位移的順序排列的；總剛度矩陣K也按結(jié)點位移順序排列的。如果結(jié)構(gòu)有n個未知量，則總剛度矩陣為nxn方陣。以上所有的量都要用整體坐標表示。返回先處理法結(jié)構(gòu)剛度矩陣直接剛度法：直接由整體坐標下單元剛度矩陣裝配成結(jié)構(gòu)總剛度矩陣。具體做法：根據(jù)單元的定位向量把各元素依次裝配到總剛度矩陣K對應(yīng)的位置中去。整個擴展迭加的過程，就是“元素搬家，對號入座”?！疤枴笔侵附Y(jié)點位移編號。先處理法形成的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣特點：對稱、帶狀稀疏、非奇異矩陣。先處理法

返回120例14：寫出圖示連續(xù)梁的整體剛度矩陣。xy(0,1,0)(0,0,2)(0,0,3)(0,4,0)121

2定位向量232

3343

412341234裝配總剛矩陣：單元剛度矩陣：系數(shù)合并空位補零。121例14：寫出圖示連續(xù)梁的整體剛度矩陣。xy(0,1,0)(0,0,2)(0,0,3)(0,4,0)121

2定位向量232

312341234裝配總剛矩陣：單元剛度矩陣：343

4解：1.單元坐標描述的剛度矩陣2.整體坐標描述的單元剛度矩陣例15.桁架各桿EA均為常數(shù)。求先處理法的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。（例8）

3.裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣(1,2)例16.

平面剛架如圖所示，各桿截面相同。E=1×107kN/m2,A=0.24m2,I=0.0072m4，求先處理法的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。（例8）

單元①③a=0°單元②a=45°1.單元坐標表示的單元剛度矩陣

yΘx(1,2,3)2.整體坐標表示的單元剛度矩陣

3.裝配結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣

(1,2,3)125例17.

求先處理法的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。各桿EI、EA、l均為常量。2.整體坐標下的單元剛度矩陣1.位移編碼及定位向量②①③

yθx126②①③

yθx1271234567812345678123412343.根據(jù)定位向量裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣12812345678123456783.根據(jù)定位向量裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣23456723456712912345678123456783.根據(jù)定位向量裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣5675

6

713012345678123456783.根據(jù)定位向量裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣56785678空位補零。最終先處理法的結(jié)構(gòu)剛度矩陣為：②①③

yθx1.列出圖示連續(xù)梁先處理法的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。EI=常量。12

2ll3

①

②

2.已知剛架各桿剛度EI、EA均為常量。列出矩陣位移法（先處理法）的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。ll

l②①③yΘx1334.求圖示桁架（先處理法）的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。

已知各桿EA=常量。ll1234①②③

1343.求圖示剛架用矩陣位移法（先處理）求解，忽略各桿的軸向變形。列出結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。135后處理法具體做法：把整體坐標下的單元剛度矩陣根據(jù)單元兩端結(jié)點的編號把各子塊送到總剛度矩陣K對應(yīng)的位置中去。裝配過程：“子塊搬家，對號入座”。

整體和單元的剛度的矩陣都按結(jié)點分塊結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣：即后處理法未考慮支座約束條件的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣。后處理法結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣如單元整體坐標下的剛度矩陣：例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成先求出整體坐標下各單元的剛度矩陣：123456123456結(jié)構(gòu)總剛矩陣K按結(jié)點分塊1212根據(jù)單元結(jié)點編碼把各子塊搬入總剛K中的對應(yīng)位置123456123456同一位置各子塊的對應(yīng)元素相加2424結(jié)構(gòu)總剛矩陣K按結(jié)點分塊根據(jù)單元結(jié)點編碼把各子塊搬入總剛K中的對應(yīng)位置先求出整體坐標下各單元的剛度矩陣：例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成1234561234563434同一位置各子塊的對應(yīng)元素相加結(jié)構(gòu)總剛矩陣K按結(jié)點分塊根據(jù)單元結(jié)點編碼把各子塊搬入總剛K中的對應(yīng)位置先求出整體坐標下各單元的剛度矩陣：例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成1234561234564646同一位置各子塊的對應(yīng)元素相加結(jié)構(gòu)總剛矩陣K按結(jié)點分塊根據(jù)單元結(jié)點編碼把各子塊搬入總剛K中的對應(yīng)位置先求出整體坐標下各單元的剛度矩陣：例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成1234561234565656同一位置各子塊的對應(yīng)元素相加結(jié)構(gòu)總剛矩陣K按結(jié)點分塊根據(jù)單元結(jié)點編碼把各子塊搬入總剛K中的對應(yīng)位置先求出整體坐標下各單元的剛度矩陣：例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成123456123456空位均為0結(jié)原始構(gòu)剛度矩陣是對稱、稀疏、帶狀矩陣。只需存儲下（或上）半帶元素。需存儲的子塊不相關(guān)結(jié)點對應(yīng)的剛度子塊均為0。例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成按結(jié)點順序分行和列子塊，找列比行小的子塊。根據(jù)結(jié)構(gòu)的結(jié)點編碼可以直接判斷需要存儲的剛度矩陣子塊及元素。下三角的相關(guān)結(jié)點子塊和不相關(guān)零子塊均可以判斷。需存儲的子塊例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成按結(jié)點順序，找列比行小的子塊。下三角的相關(guān)結(jié)點子塊和不相關(guān)零子塊均可以判斷。需存儲的子塊根據(jù)結(jié)構(gòu)的結(jié)點編碼可以直接判斷需要存儲的剛度矩陣子塊及元素。例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成按結(jié)點順序，找列比行小的子塊。根據(jù)結(jié)構(gòu)的結(jié)點編碼可以直接判斷需要存儲的剛度矩陣子塊及元素。下三角的相關(guān)結(jié)點子塊和不相關(guān)零子塊均可以判斷。需存儲的子塊需存儲的元素123456123789123789半帶寬：每行要存儲的元素個數(shù)。最大半帶寬：d=3*3=9至少存儲81個元素例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成如果僅修改各結(jié)點編號123456123456根據(jù)單元結(jié)點編碼分塊裝配總剛度矩陣K。整體坐標下，各單元的剛度矩陣均不變：每行都從第一個非零子塊存到對角線元素。需要存儲的子塊如果僅修改各結(jié)點編號根據(jù)單元結(jié)點編碼分塊裝配總剛度矩陣K。半帶寬=（相關(guān)結(jié)點編號差+1）*結(jié)點自由度；描述結(jié)點離散的優(yōu)化程度。每行都從第一個非零子塊存到對角線元素。需要存儲的子塊123123123101112101112101112每行半帶寬：最大半帶寬：d=4*3=12至少存儲117個元素結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的元素和存儲空間取決于結(jié)點編碼。147結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣特點對稱矩陣；即處于與矩陣主對角線對稱位置的兩個元素是相等的，即kij=kji

。帶狀稀疏矩陣；大片的區(qū)域都是零元素，它的非零元素只分布在主對角線兩側(cè)的帶狀區(qū)域內(nèi)。

結(jié)點半帶寬d=（相關(guān)結(jié)點差+1)*每個結(jié)點自由度數(shù);相關(guān)結(jié)點：在同一個單元中同時出現(xiàn)過的結(jié)點。不相關(guān)結(jié)點：未在一個單元中同出現(xiàn)過的結(jié)點。不相關(guān)結(jié)點對應(yīng)的剛度子塊均為0。相關(guān)結(jié)點才存在非零子會。奇異矩陣；沒有引進支座約束條件的情況下，結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣|K|=0，不存在逆矩陣。返回例19.判斷圖示結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣的最大半帶寬。d=(3+1)*3=12148d=(6+1)*3=21總剛矩陣中元素的排列與結(jié)點的順序直接相關(guān)。d=(7+1)*2=16返回最大相關(guān)結(jié)點差3最大相關(guān)結(jié)點差6最大相關(guān)結(jié)點差7149例20.

列出后處理法的總剛度矩陣。各桿l、EI、EA均為常量。121

22.整體坐標描述的單元剛度矩陣23231.結(jié)構(gòu)離散如圖1②①231233.裝配總剛矩陣：123121

21②①23123裝配總剛矩陣：1232

3返回1②①2323152例21.若已知圖示剛架各桿EA=常量，整體坐標描述的各單元剛度矩陣：要求：1）寫出矩陣位移法（后處理法）求解分塊形式的結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣。2）根據(jù)概念求出剛度子塊各元素值。3）求剛度矩陣中元素值：解：1）矩陣位移法（后處理法）分塊形式的結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣。123456712345671542）根據(jù)概念求出剛度子塊各元素值。1553）求剛度矩陣中元素值：代表僅在基本結(jié)構(gòu)的4結(jié)點施加單位轉(zhuǎn)角引起的4結(jié)點轉(zhuǎn)動力矩,來自(1)(4)單元的4結(jié)點力矩疊加：代表僅在基本結(jié)構(gòu)的4結(jié)點施加單位轉(zhuǎn)角引起的6結(jié)點轉(zhuǎn)動力矩,

6、4結(jié)點不相關(guān)：代表僅在基本結(jié)構(gòu)的7結(jié)點施加單位水平位移引起的7結(jié)點水平力,來自(5)(6)單元7結(jié)點水平力的疊加：156思考題已知各桿長均為l、EI、EA均為常量。列出圖示結(jié)構(gòu)矩陣位移法先處理法的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣。

②①③2143yθx157支座條件的引進結(jié)構(gòu)原始剛度方程沒有考慮支座約束條件，包含任意大小的剛體位移。結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣是奇異矩陣；方程P=K

沒有唯一解。必須引進約束條件，消除

剛體位移，才能得到唯一解。后處理法先處理法未知量直接剔除支座0位移，剛度方程已經(jīng)考慮了支座約束條件，消除剛體位移。不再需要任何處理。支座條件引進使：后處理法支座約束條件的引進自由結(jié)點和約束結(jié)點之間的關(guān)系：自由結(jié)點（位移未知）上的作用力（荷載）是已知的；而約束結(jié)點（位移已知（為零））上的作用力（約束反力）是未知的；約束結(jié)點，位移為0,約束反力未知。

自由結(jié)點，荷載已知,位移是未知量。返回結(jié)構(gòu)剛度方程：K11(1)K12(1)0000K21(1)K22(1)+K22(2)0K24(4)0000K33(3)K34(2)0000K43(2)K44(2)+K44(3)+K44(4)0K46(4)0K52(4)00K55(5)K56(5)000K64(4)K65(5)K66(4)+K66(5)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18對總剛度方程P=KΔ初等變換--行列交換K11(1)00K12(1)000K33(3)00K34(2)000K55(5)K52(4)0K56(5)K21(1)00K22(1)+K22(2)K24(4)00K43(2)00K44(2)+K44(3)+K44(4)K46(4)00K65(5)0K64(4)K66(4)+K66(5)

1

2

3

7

8

9

13

14

15

4

5

6

10

11

12

16

17

18P1P2P3P7P8P9P13P14P15P4P5P6P10P11P12P16P17P18Px

未知支座反力P1已知節(jié)點

荷載Δ1支座位移Δx求解的未知量Kx1KxxK11K1x把初等變換后的總剛度方程P=KΔ可寫成將方程式展開得:未知結(jié)點位移（未知量）已知結(jié)點位移（支座位移）已知結(jié)點力（結(jié)點荷載）未知結(jié)點力（支座反力）求解未知節(jié)點位移Δx計算未知約束反力Px對于剛性支座：支座反力對位移的計算沒有影響，但位移決定支座反力。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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11

12

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17

18P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18如果直接劃掉0位移對應(yīng)的行和列：163

4

5

6

10

11

12

16

17

18P4P5P6P10P11P12P16P17P18得到先處理法的剛度方程：結(jié)構(gòu)剛度矩陣Kxx非奇異，可直接解剛度方程可得結(jié)點位移△x。可計算支座約束反力PxK22(1)+K22(2)K24(4)00K44(2)+K44(3)+K44(4)K46(4)0K64(4)K66(4)+K66(5)代入方程：返回支座反力對位移沒影響，結(jié)點荷載P1可替換結(jié)點力向量P。后處理法-面向計算機處理方法后處理法是面向計算機的邊界處理方法，劃掉約束0位移的方法會改變剛度方程的階數(shù)，一般計算機計算不采用。常用的處理方法有：

1.主元素置1法2.主元素置大數(shù)法。主元素置1法作法：相應(yīng)主元素置1，副元素置0，荷載置0.主元素置大數(shù)法作法：相應(yīng)主元素置（或乘）大數(shù)。返回后處理法-面向計算機處理方法主元素置1法若編號為i的位移為0，應(yīng)保證剛度方程解得Δi=0。

將總剛度矩陣K中第i行的主元素（第i行的主對角線元素）改為1，即令K（i，i）=1。將第i行、i列的所有副元素都改為零。即令K（i，j）=0，K（j，i）=0(i≠j)。將荷載向量中的第i元素置為零，即令Pi=0。

經(jīng)過這三步改動后，便可實現(xiàn)Δi=0的目標。

第3步第2步第1步剛度方程

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18主元素置1法引進支座條件：

P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18000P4P5P6000P10P11P12000P16P17P18根據(jù)約束結(jié)點的位移修改剛度矩陣；根據(jù)約束結(jié)點的位移修改荷載向量。(1)(2)(3)(4)(5)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

返回168非結(jié)點荷載處理剛度方程K△=F

反應(yīng)結(jié)點力F和結(jié)點位移△之間的關(guān)系。結(jié)點力向量:結(jié)點力向量F：與結(jié)點位移對應(yīng)的結(jié)點力，包括荷載和支座約束反力。荷載向量P：不考慮約束反力，只由外荷載引起的結(jié)點力。荷載向量:169§9.6非結(jié)點荷載處理非結(jié)點荷載:等效移置到結(jié)點上。

荷載結(jié)點荷載結(jié)點力、力矩非結(jié)點荷載單元內(nèi)分布力

集中力溫度作用

慣性力等荷載向量P=PD+PE直接結(jié)點荷載PD非結(jié)點荷載的等

效結(jié)點荷載PE1432Plh/2h/2qQ首先求出基本結(jié)構(gòu)在非結(jié)點荷載作用下引起的固端力；然后將各固端力反向作用到單元的結(jié)點上去；最終借助荷載等效圖確定荷載向量。荷載向量:2312畫荷載等效圖兩端固定梁非結(jié)點荷載等效方法：yθxqP1432Q1432Plh/2h/2qQ例：計算圖示結(jié)構(gòu)的荷載向量。

荷載等效圖

xy2420kN.m4615kN.m12120kN例：計算圖示結(jié)構(gòu)的荷載向量。

荷載等效圖

原始荷載向量：

2.先處理法1.后處理法主元素置1法修正邊界后荷載向量：

考慮軸向變形：

忽略軸向變形：

xy荷載向量：

例22：計算圖示結(jié)構(gòu)的荷載向量。

荷載等效圖

原始荷載向量：

2.先處理法1.后處理法主元素置1法修正邊界后荷載向量：

忽略軸向變形：

xy對應(yīng)的剛度方程？

例22：寫出圖示結(jié)構(gòu)先處理法的剛度方程。

1.位移向量：

3.總剛度矩陣：

2.

荷載向量：

荷載等效圖

途徑1：由每列元素的概念直接寫出各元素值

(1,0,2)(1,0,3)(0,0,4)(1,0,5)xy例23：寫出圖示結(jié)構(gòu)先處理法的剛度方程。

xy(1,0,2)(1,0,3)(0,0,4)(1,0,5)1.位移向量：

3.總剛度矩陣：

2.

荷載向量：

途徑1：由每列元素的概念直接寫出各元素值

（續(xù)）

3.總剛度矩陣：

xy途徑2：由各單元整體坐標下剛度矩陣裝配

(1,0,2)(1,0,3)(0,0,4)(1,0,5)1.位移向量：

121

2②①③

131

31451

45232

3353

5123451

23452.

荷載向量：

各單元元素按位移編碼搬到總剛度矩陣中

去。

（續(xù)）

4.結(jié)構(gòu)剛度方程:xy(1,0,2)(1,0,3)(0,0,4)(1,0,5)1.位移向量：

3.總剛度矩陣：

2.荷載向量：

即:例23：寫出圖示結(jié)構(gòu)先處理法的剛度方程。

（續(xù)）

例24：用矩陣位移法求解，畫出彎矩圖。xy解：1)先處理法自由度編碼及結(jié)構(gòu)的位移向量：

2)各單元剛度矩陣：3)裝配結(jié)構(gòu)的剛度矩陣：4)結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載：5)結(jié)構(gòu)剛度方程：先處理法的剛度方程直接求解，或后處理法剛度方程引進支座條件后求解：求即可得到結(jié)點位移△。這就轉(zhuǎn)化為大型線性方程組K△=P求解問題（數(shù)學(xué)問題）。線性方程式組的解法：直接法和迭代法。直接解法：如高斯消去法，及其派生的LU、LDLT三角分解法。迭代法：塞德爾迭代法等。§9.7剛度方程求解及內(nèi)力計算一、剛度方程求解求單元坐標描述的結(jié)點位移向量

（坐標變換）180根據(jù)單元結(jié)點的自由度編碼從結(jié)構(gòu)位移向量△中取出該單元的結(jié)點位移（整體坐標系描述）。最后代入單元剛度方程，求各單元的桿端力如果梁單元內(nèi)有非結(jié)點荷載，則要疊加非結(jié)點荷載引起的固端力，得到真正的桿端內(nèi)力：二、單元桿端內(nèi)力計算——單元坐標描述——單元坐標描述——也可以直接按幾何關(guān)系寫出單元桿端內(nèi)力——即單元坐標下的桿端力向量。計算步驟：此時可以根據(jù)桿端內(nèi)力確定單元剛度方程的階數(shù)。

例25：計算圖示結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。

忽略軸向變形，已知求得結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移向量：1.單元坐標描述的桿端位移向量根據(jù)給定的結(jié)點位移（整體坐標）解：因為桿件只考慮彎曲變形，包括桿端結(jié)點的側(cè)移和轉(zhuǎn)角位移，對應(yīng)的內(nèi)力為桿端剪力和彎矩，根據(jù)內(nèi)力，單元的剛度方程取四階。

①②③④⑤單元信息x