結(jié)構(gòu)力學(xué)Ⅱ課件：矩陣位移法

結(jié)構(gòu)力學(xué)II

STRUCTUREMECHANICSII矩陣位移法研究對象求解桿件結(jié)構(gòu)在靜荷載作用下的位移和內(nèi)力。方法特點(diǎn)以結(jié)構(gòu)力學(xué)經(jīng)典理論為基礎(chǔ)，以矩陣作為數(shù)學(xué)工具，面向計(jì)算機(jī)的方法。本章主要內(nèi)容§9.1

概述§9.2

單元?jiǎng)偠确匠毯蛦卧獎(jiǎng)偠染仃嚒?.3

坐標(biāo)變換§9.4結(jié)構(gòu)剛度方程和結(jié)構(gòu)總剛度矩陣§9.5荷載向量的計(jì)算§9.6

支座約束條件的引進(jìn)§9.7

剛度方程的求解及內(nèi)力計(jì)算4§9.1概述矩陣位移法特點(diǎn)：矩陣位移法以結(jié)點(diǎn)位移為未知量，以矩陣為數(shù)學(xué)工具，易于編寫通用的計(jì)算機(jī)程序，對于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計(jì)算，該法具有很大的優(yōu)越性，大大減少手算的工作量，是面向計(jì)算機(jī)的計(jì)算方法。適用于靜定結(jié)構(gòu)及超靜定結(jié)構(gòu)，是有限元法的雛形，也稱為桿件有限元法；矩陣位移法基本概念123結(jié)構(gòu)離散化坐標(biāo)系單元桿端力單元桿端位移46概念一、結(jié)構(gòu)離散化

結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)計(jì)算的第一步。把結(jié)構(gòu)假想地劃分成若干小單元，

單元與單元之間用結(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)。

用離散化的單元集合體來代替原結(jié)構(gòu)。原結(jié)構(gòu)：分析對象：1234①②③①②③④⑤1234圖1圖2圖3分析的對象離散化的單元集合體。結(jié)點(diǎn)位移是未知量。荷載按位移等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上去。7§9.1概述矩陣位移法的要點(diǎn)：單元分析：離散化后的每個(gè)小單元內(nèi)部展開，在單元范圍內(nèi)分析桿端內(nèi)力與位移之間的關(guān)系（即單元?jiǎng)偠确匠蹋?，位移未知時(shí)，單元分析是為了建立單元?jiǎng)偠染仃?；整體分析：結(jié)構(gòu)整體層面展開，考慮整個(gè)結(jié)構(gòu)的幾何條件和平衡條件，建立整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度方程，求解基本未知量，即結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移。8概念二、坐標(biāo)系

整體坐標(biāo)系整個(gè)結(jié)構(gòu)唯一的坐標(biāo)系。用于整體分析，描述結(jié)構(gòu)整體的變形和受力。

yxθ符號沒有統(tǒng)一規(guī)定，根據(jù)位置判定

12345

θ

θ

θ

θ9注意：

xyθ矩陣位移法中力和位移分量的正負(fù)號都要參照坐標(biāo)系。整體坐標(biāo)系沒有統(tǒng)一的規(guī)定等價(jià)于

12345

θ

θ

θ

θ注意：

xyθ矩陣位移法中力和位移的正負(fù)號都要參照坐標(biāo)系。整體坐標(biāo)系沒有統(tǒng)一的規(guī)定xyθxyθxyθ常用的整體坐標(biāo)系還有11概念三、單元桿端力

空間梁單元的桿端力向量？平面鏈桿單元的桿端力向量？12由桿端力的主矢量和主矩沿單元坐標(biāo)分解得到的分量按順序排成一列。其元素相當(dāng)傳統(tǒng)意義上的內(nèi)力，即分別

為單元兩端截面的軸力、剪力、彎矩，只是正負(fù)號規(guī)定不同5KN9KN9KN5KN30KN.m15KN.m

θ單元坐標(biāo)描述的桿端力向量

95593015FN圖KN）FS圖（KN）M圖（KN.m）13由桿端力的主矢量和主矩沿整體坐標(biāo)分解得到的分量按順序排成一列。分別為單元始端、終端桿端力沿整體坐標(biāo)x、y軸分量及力矩。整體坐標(biāo)系描述的桿端力向量

平面梁單元整體坐標(biāo)描述的桿端力向量：14概念四、單元桿端位移

空間梁單元的桿端位移向量？平面鏈桿單元的桿端位移向量？15單元桿端位移向量與桿端力向量一一對應(yīng)桿端位移沿單元坐標(biāo)分解得到的分量按順序排成一列。沿整體坐標(biāo)系分解得到的分量按順序排成一列。

整體坐標(biāo)系表示的桿端位移

單元坐標(biāo)系表示的桿端位移16例1：已知某單元在單元坐標(biāo)下的桿端力：單元坐標(biāo)系如圖，單元內(nèi)部無荷載作用，作出單元的內(nèi)力圖。1.241.52.61.241.53.4jiyxΘ--1.241.52.63.4FN圖（KN）FS圖（KN）M圖（KN.m）單元受力圖*已知單元坐標(biāo)下的桿端力向量，才能畫出單元的內(nèi)力圖。注意：無論是在單元坐標(biāo)系下描述，還是在結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系下描述，單元的桿端力和桿端位移向量沒有統(tǒng)一的符號規(guī)定。如何區(qū)分各符號是表示哪個(gè)坐標(biāo)系下描述的量？請你一定用文字注明坐標(biāo)系！183.044.381.240.43M(KN.m)FS(KN)FN(KN)例2：已知單元內(nèi)力圖，列出單元的桿端力向量xyθ1.240.434.381.240.433.04整體坐標(biāo)描述：受力圖yxθ單元坐標(biāo)描述：ijij192020701234(1)(2)(3)xy作業(yè)1：已知單元和結(jié)點(diǎn)的離散如圖，給定荷載作用下各結(jié)點(diǎn)整體坐標(biāo)下的位移：要求：1.寫出單元坐標(biāo)及整體坐標(biāo)表示的單元桿端位移向量，整體坐標(biāo)表示的單元桿端力向量，2.畫出整個(gè)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。單元坐標(biāo)下：各單元的桿端力向量如下：20思考題請你思考后歸納總結(jié)：位移法和矩陣位移法有哪些的異同點(diǎn)？21位移法要點(diǎn)位移法的基本未知量：獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移（不包括支座結(jié)點(diǎn)的位移和鉸點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移。位移法典型方程：結(jié)點(diǎn)位移對應(yīng)的平衡方程（轉(zhuǎn)角位移對應(yīng)于結(jié)點(diǎn)的力矩方程，線位移對應(yīng)于桿件的投影方程）?；倔w系把結(jié)構(gòu)分劃為若干獨(dú)立的超靜定梁（單元），典型方程把它們組合在一起。等截面直桿的剛度方程——單元分析是關(guān)鍵。ABDCP22位移法和矩陣位移法異同點(diǎn)未知量都是結(jié)點(diǎn)位移。都要進(jìn)行單元分析和整體分析?；痉匠潭际俏灰茖?yīng)的力平衡條件。位移法只取獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移作為未知量。忽略梁式桿的軸向變形，不考慮支座結(jié)點(diǎn)的位移和鉸結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移。矩陣位移法的未知量考慮所有結(jié)點(diǎn)的位移（包括支座結(jié)點(diǎn)），除非注明，一般都要考慮桿的軸向變形。位移法：矩陣位移法：？基于不同基本假定條件下的未知量數(shù)目往往不同。相同點(diǎn)不同點(diǎn)23矩陣位移法未知量—先處理法計(jì)算中首先將支座約束結(jié)點(diǎn)已知的零位移剔除。先處理法大大地減少了未知數(shù)的數(shù)目，減少了計(jì)算工作量。適合于手算。

例3：判斷圖示結(jié)構(gòu)矩陣位移法求解(先處理法)的未知量。1234F24計(jì)算過程中將支座結(jié)點(diǎn)的0位移同樣視為基本未知量求解，后面再對整個(gè)結(jié)構(gòu)剛度方程作支承條件處理。后處理法的未知量數(shù)僅決定于結(jié)點(diǎn)數(shù)。平面每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)3個(gè)、鉸結(jié)點(diǎn)2個(gè)未知量。易于編寫通用計(jì)算機(jī)程序。矩陣位移法未知量—后處理法例3：判斷圖示結(jié)構(gòu)矩陣位移法求解(后處理法)的未知量。1234F25例4.判斷圖示結(jié)構(gòu)矩陣位移法求解的基本未知量數(shù)。先處理法后處理法一般情況：14*3=42忽略軸向變形：14+5=19忽略軸向變形：19+9=28先處理法：14*2=28后處理法：17*2=34一般情況：17*3=5126ABDCP矩陣位移法未知量：——先處理法矩陣位移法和位移法的不同點(diǎn)位移法未知量：基于不同基本假定條件下的未知量數(shù)目往往不同。一般情況：忽略軸向變形：矩陣位移法未知量：——后處理法一般情況：忽略軸向變形：27位移法——有四種基本結(jié)構(gòu)（兩端固定梁，一端固定一端簡支梁，一端固定一端定向梁，兩端簡支桿）。矩陣位移法——可用兩種基本結(jié)構(gòu)（兩端固定梁，兩端簡支的桿）。單元對應(yīng)的基本結(jié)構(gòu)不同位移法——簡單問題的手算方法。矩陣位移法——大型復(fù)雜問題的計(jì)算機(jī)方法。面向?qū)ο蟛煌灰品ā鷶?shù)方程作為數(shù)學(xué)工具。矩陣位移法——矩陣作為數(shù)學(xué)表達(dá)形式。數(shù)學(xué)表達(dá)形式不同矩陣位移法和位移法的不同點(diǎn)單元?jiǎng)偠确匠毯?/p>

單元?jiǎng)偠染仃?9掌握單元?jiǎng)偠确匠痰母拍罴捌湓趩卧徒Y(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的描述;掌握單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x和特點(diǎn)；能根據(jù)概念直接列出單元及結(jié)構(gòu)坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃?。本?jié)內(nèi)容要求30單元?jiǎng)偠确匠?/p>

(e)

θ(e)單元坐標(biāo)系描述：單元桿端位移單元桿端力單元坐標(biāo)系下(e)已知自由梁單元注意元素排序和正方向

θyxθ(e)yxθ(e)31單元?jiǎng)偠确匠?/p>

結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系描述：單元桿端位移單元桿端力結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下(e)已知自由梁單元32單元?jiǎng)偠确匠?/p>

自由梁單元的剛度方程：矩陣表達(dá)形式：

θ(e)自由梁單元桿端力桿端位移(e)(e)

代數(shù)表達(dá)形式：33矩陣展開如果位移第s項(xiàng)uS=0時(shí),

第S列元素的值對桿端力有影響嗎？那第S列元素是否可以不用寫出來？——無影響。u2=0時(shí)

單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x34矩陣展開假想把位移拆分，每次只作用一項(xiàng)第2列元素:表示單元第2個(gè)位移u2=1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)引起的各桿端力。

單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x僅u2單獨(dú)作用且u2=1時(shí)35矩陣展開剛度矩陣中的每一列元素的物理意義？第s列的元素:表示單元第s個(gè)位移us=1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)引起的相應(yīng)桿端力。如何得到單元基本結(jié)構(gòu)？把單元結(jié)點(diǎn)位移全部約束住即可.

單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x36

單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x剛度系數(shù)krs：表示僅us=1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)引起的桿端力Fr的值。剛度系數(shù)都是力或力矩。矩陣展開僅第5個(gè)位移u5=1作用,對應(yīng)第4個(gè)桿端力F4=k45的值。剛度矩陣中每個(gè)元素的物理意義？根據(jù)單元?jiǎng)偠认禂?shù)的物理意義,由概念可以直接列出單元?jiǎng)偠染仃嚒?u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

u1=1第1列平面自由梁單元的剛度矩陣平面自由梁單元的剛度矩陣u2=1第2列根據(jù)位移法形常數(shù)根據(jù)平衡條件數(shù)值的正負(fù)號與坐標(biāo)系有關(guān)。u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

u3=1第3列根據(jù)位移法形常數(shù)根據(jù)平衡條件平面自由梁單元的剛度矩陣u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

u4=1第4列根據(jù)拉壓胡克定律根據(jù)平衡條件平面自由梁單元的剛度矩陣u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

u5=1第5列根據(jù)位移法形常數(shù)根據(jù)平衡條件平面自由梁單元的剛度矩陣u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

u6=1第6列平面自由梁單元的剛度矩陣u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

單元?jiǎng)偠染仃嚨奶攸c(diǎn)主元素：Kii>0,副元素正負(fù)與坐標(biāo)軸正向有關(guān)2.對稱性1.奇異性krs=ksr

第i行元素和第

i列元素對應(yīng)相等44平面一般梁單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠染仃嚳砂唇Y(jié)點(diǎn)分塊表示:其中每個(gè)都是3×3的方陣，子塊

Kij(e)

表示：單元終端作用一單位位移向量時(shí),在始端引起的桿端力向量。3.可分塊45平面一般梁單元?jiǎng)偠确匠梯S向變形和彎曲變形彼此獨(dú)立無關(guān)！特點(diǎn):對稱性奇異性可分塊不考慮軸向變形的梁單元46獨(dú)立位移相應(yīng)桿端力不考慮軸向變形的梁單元47

獨(dú)立位移相應(yīng)桿端力單元?jiǎng)偠确匠蹋褐豢紤]轉(zhuǎn)角位移的梁單元48

獨(dú)立位移相應(yīng)桿端力單元?jiǎng)偠确匠蹋褐豢紤]轉(zhuǎn)角位移的梁單元49單元?jiǎng)偠确匠蹋合忍幚矸筛鶕?jù)單元非零位移的數(shù)目來確定單元的剛度矩陣的階數(shù)，只計(jì)算非零位移對應(yīng)的剛度系數(shù)。已知位移最后計(jì)算單元桿端內(nèi)力時(shí)，可根據(jù)所求桿端內(nèi)力數(shù)確定單元?jiǎng)偠染仃嚨碾A數(shù)。獨(dú)立位移相應(yīng)桿端力50梁結(jié)構(gòu)，沒有水平荷載，消除各結(jié)點(diǎn)的零位移。未知量是2、3、4結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移。例題5：列出先處理法各單元的剛度矩陣思考中…2.各單元結(jié)點(diǎn)位移向量：

1.先對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散。確定未知量。513.各單元對應(yīng)的桿端力向量：2.各單元結(jié)點(diǎn)位移向量：例題5：列出先處理法各單元的剛度矩陣

524.各單元的剛度矩陣：12(1)23(2)23(2)例題5：列出先處理法各單元的剛度矩陣

534.各單元的剛度矩陣：(3)34(3)34例題5：列出先處理法各單元的剛度矩陣

§9.2單元?jiǎng)偠确匠毯?/p>

單元?jiǎng)偠染仃嚕ɡm(xù)）55單元?jiǎng)偠确匠?單元?jiǎng)偠认禂?shù)的物理意義和特點(diǎn)；根據(jù)概念直接列出單元及結(jié)構(gòu)坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃?。本?jié)任務(wù)：根據(jù)概念直接列出整體坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃嚒！?.2單元?jiǎng)偠确匠毯?/p>

單元?jiǎng)偠染仃噧?nèi)容回顧

56不同坐標(biāo)系描述的單元?jiǎng)偠染仃?e)整體分析——用整體坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃?；最后?nèi)力計(jì)算——用單元坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃嚒＠?.列出圖示自由梁單元兩類坐標(biāo)系下的剛度矩陣。1.單元坐標(biāo)下自由梁單元的剛度矩陣第2列(e)單元坐標(biāo)系第3列利用對稱性和平衡條件單位位移施加、元素排序及正負(fù)號都參照單元坐標(biāo)系。2.整體坐標(biāo)下自由梁單元的剛度矩陣第1列(e)整體坐標(biāo)系第3列利用對稱性和平衡條件單位位移施加、元素排序及正負(fù)號都參照結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系。59例7.列出各單元先處理法的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

已知各桿EI、EA均為常量。yΘx

解：先對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，結(jié)構(gòu)未知量。第1列第2列第3列第4列單元坐標(biāo)系描述60例7.列出各單元先處理法的剛度矩陣。

已知各桿EI、EA均為常量。yΘx

解：先對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，結(jié)構(gòu)未知量。第1列第2列第3列第4列整體坐標(biāo)系描述61例7.列出各單元先處理法的剛度矩陣。

已知各桿EI、EA均為常量。yΘx

解：先對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，結(jié)構(gòu)未知量。第2列第3列單元、整體坐標(biāo)系相同第1列62平面鏈桿單元

平面桁架中的鏈桿單元只有軸力和軸向變形；

矩陣表示：單元?jiǎng)偠染仃嚕?3平面鏈桿單元

為了后面結(jié)構(gòu)整體分析和坐標(biāo)變換

鏈桿單元的剛度方程表示：鏈桿單元的剛度矩陣也可以寫出：64例5.列出圖示鏈桿單元的剛度矩陣。已知桿長I、剛度EA。單元坐標(biāo)系下，單元的剛度矩陣不變單元坐標(biāo)系描述第1列第3列yx鏈桿——垂直桿軸方向施加位移不產(chǎn)生內(nèi)力。65第1列：i端施加水平位移ui=1，分解為：第1列yx整體坐標(biāo)系下，單元的剛度矩陣軸力沿整體坐標(biāo)分解為：把沿x、y軸施加的位移1分解為軸向和切向的位移。軸向位移分量才會(huì)產(chǎn)生軸力。最后再把軸力沿整體坐標(biāo)分解。66第2列：i端施加豎向位移vi=1，分解為：軸力沿整體坐標(biāo)分解為：第2列yx可利用對稱性和平衡條件列出另外兩列整體坐標(biāo)系下，單元的剛度矩陣67例題8：列出各單元先處理法的剛度矩陣桁架結(jié)構(gòu)，未知量即2結(jié)點(diǎn)的線位移。1.各單元結(jié)點(diǎn)位移向量：2.相應(yīng)的桿端力向量：3.單元坐標(biāo)下各單元的剛度矩陣：68例題8：列出各單元先處理法的剛度矩陣4.整體坐標(biāo)下各單元的剛度矩陣：3.單元坐標(biāo)下各單元的剛度矩陣：直接取剛度矩陣終端子塊69第1列：2點(diǎn)施加水平位移u2=1，分解出軸向位移：第1列或按概念寫（2）單元整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣第2列第2列：2點(diǎn)施加豎向位移v2=1，分解出軸向位移：70第2列第3列第1列特殊單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)?.寫出下列約束梁單元的剛度矩陣，已知l、EA、EI。

θ

i(e)j

解：單元桿端位移向量：根據(jù)概念列出單元?jiǎng)偠染仃嚕?1第2列第3列第1列特殊單元的剛度矩陣?yán)?0.寫出下列約束梁單元的剛度矩陣，已知l、EA、EI。

θ

解：單元桿端位移向量：根據(jù)概念列出單元?jiǎng)偠染仃嚕篿j

(e)特殊單元的剛度矩陣?yán)?寫出圖示折桿單元的剛度矩陣。已知EI為常量，忽略軸向變形。72l(e)l

θ

解：確定單元桿端位移向量：在單元基本結(jié)構(gòu)上依次施加位移1，把位移對應(yīng)約束解除，用力法求解。支座約束力就是剛度矩陣對應(yīng)的列元素。第1列l(wèi)l第一列對應(yīng)的力法方程：基本體系73

θ

單元?jiǎng)偠染仃嚕涸趩卧窘Y(jié)構(gòu)上依次施加位移1，把位移對應(yīng)約束解除，用力法求解。支座約束力就是剛度矩陣對應(yīng)的列元素。第2列第3列第4列第1列74

θ

單元?jiǎng)偠染仃嚕旱?列第1列那可否只按概念計(jì)算第一列？75作業(yè)2圖示一端剛接一端鉸接平面梁單元，長度l，抗拉剛度EA，抗彎剛度EI。要求列出單元及整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠确匠獭?e)提示：1.鉸點(diǎn)的轉(zhuǎn)角作未知量2.鉸點(diǎn)的轉(zhuǎn)角不作未知量76寫出圖示連續(xù)梁各單元的剛度矩陣。已知EI=常量。作業(yè)312

2ll3

①

②

77作業(yè)4求圖示剛架用矩陣位移法（先處理）求解，列出用單元坐標(biāo)及整體坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃?。已知：各桿剛度EI、EA均為常量。ll

l②①③yΘx作業(yè)5根據(jù)概念寫出下列約束梁單元的剛度矩陣。已知各桿的長度L、剛度EA、EI均相同。78yΘxij

(e)79作業(yè)6求圖示剛架用矩陣位移法（先處理）求解，忽略各桿的軸向變形。列出各單元用整體坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃?。作業(yè)7寫出下列折桿單元的剛度矩陣。

已知截面抗彎剛度均為EI。忽略桿件軸向變形。80yθx(e)ll81思考題已知坐標(biāo)系，各桿長均為l、EI、EA均為常量。

列出：單元及整體坐標(biāo)下各單元的剛度矩陣。

yθx②①③2143yθx如果修改結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系會(huì)有何不同？82②①③2143yθxyθx單元單元yθx單元一、考慮軸向變形，單元坐標(biāo)下各單元?jiǎng)偠染仃?/p>

83②①③2143yθx單元單元不變單元二、考慮軸向變形，整體坐標(biāo)下各單元?jiǎng)偠染仃?/p>

84②①③2143yθxyθx單元單元yθx單元三、忽略軸向變形，單元坐標(biāo)下各單元?jiǎng)偠染仃?/p>

結(jié)構(gòu)未知量：yθx85②①③2143yθx單元單元單元四、忽略軸向變形，整體坐標(biāo)下各單元?jiǎng)偠染仃?/p>

結(jié)構(gòu)未知量：86②①③2143yθx單元單元yθx單元五、改變整體坐標(biāo)系，單元坐標(biāo)下各單元?jiǎng)偠染仃?/p>

yθx87②①③2143單元單元單元六、改變整體坐標(biāo)系，整體坐標(biāo)下各單元?jiǎng)偠染仃?/p>

yθx坐標(biāo)變換89在整體分析時(shí)，所有力和位移都要遵循整體坐標(biāo)系，這樣同一結(jié)點(diǎn)來自不同單元的力分量才可以代數(shù)相加;最后單元分析求內(nèi)力時(shí)，力和位移都要遵循單元坐標(biāo)系。力和位移均為矢量，在不同坐標(biāo)系下分解。各分量不同?！?.3坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換描述單元?jiǎng)偠确匠讨懈髁吭趦蓚€(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系。90單元桿端力和桿端位移的坐標(biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換本節(jié)主要內(nèi)容§9.3坐標(biāo)變換91

矢量的坐標(biāo)變換矩陣形式：坐標(biāo)變換矩陣：單元整體92矢量的坐標(biāo)變換

坐標(biāo)變化矩陣：單元整體坐標(biāo)變換矩陣λ是正交矩陣yθxyθxyθxyθx93桁架單元的坐標(biāo)變換矩陣

組合一起:坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣：單元整體桿端力變換桿端位移變換單元坐標(biāo)變換矩陣正交矩陣已知整體坐標(biāo)求單元坐標(biāo)系94梁單元坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣：假設(shè)已知整體坐標(biāo)求單元坐標(biāo)：桿端力變換桿端位移變換單元坐標(biāo)變換矩陣正交矩陣95單元桿端力和桿端位移的坐標(biāo)變換若已知整體坐標(biāo)求單元坐標(biāo)桿端力變換桿端位移變換桿端力變換桿端位移變換若已知單元坐標(biāo)求整體坐標(biāo)？平面剛架梁單元平面桁架鏈桿單元單元的坐標(biāo)變換矩陣是正交矩陣單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換對單元坐標(biāo)下的桿端力、桿端位移進(jìn)行坐標(biāo)變換：單元坐標(biāo)描述：代入單元坐標(biāo)下的剛度方程

兩邊同時(shí)左乘：整體坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃嚕?單元?jiǎng)偠确匠陶w坐標(biāo)描述：數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)每個(gè)塊可以單獨(dú)坐標(biāo)變換，而且變換后塊的位置不變;可根據(jù)需要只變換需要的剛度子塊。剛度子塊單獨(dú)變換時(shí)，元素要完整。分塊形式：單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換整體坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃嚱Y(jié)構(gòu)整體分析時(shí)，要用整體坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃嚒＝⒄w坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃嚨耐緩剑?2對于一般的桿，可根據(jù)單元坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃囃ㄟ^坐標(biāo)變換得到。對于水平、豎直的桿，可根據(jù)桿端位移和桿端力之間的關(guān)系，按概念直接寫出。例8.平面桁架如圖所示，各桿截面EA均為常數(shù)。試求桁架各單元的剛度矩陣。

1.單元坐標(biāo)描述的剛度矩陣一、后處理法2.整體坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃噯卧?）單元坐標(biāo)和整體坐標(biāo)一致，無需變換單元（2）兩坐標(biāo)系之間a=300，需要變換單元（2）整體坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃嚱猓?.單元坐標(biāo)描述的剛度矩陣2.整體坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)?.桁架各桿EA均為常數(shù)。求先處理法的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。

3.裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣斜桿單元的桿端位移可以通過坐標(biāo)變換得到：列出各單元桿端位移向量，求內(nèi)力。若已經(jīng)求得2結(jié)點(diǎn)的位移：1.各單元整體坐標(biāo)描述的桿端位移：2.各單元坐標(biāo)描述的桿端位移：單元(2)的桿端位移通過坐標(biāo)變換：也可以通過幾何關(guān)系直接求2點(diǎn)的軸向位移：3.單元坐標(biāo)下，利用剛度方程求各單元的桿端內(nèi)力（一般方法）3.單元坐標(biāo)下，利用剛度方程求各單元的桿端內(nèi)力

（快捷方法）（1）單元軸力為拉力：（2）單元軸力為壓力：例11.

平面剛架如圖所示，各桿截面相同。E=1×107kN/m2,A=0.24m2,I=0.0072m4，求各單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

解：結(jié)構(gòu)離散化，各單元參數(shù)；單元①單元③單元②a=45°1.單元坐標(biāo)表示的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

一、先處理法1234①②③yθx2.整體坐標(biāo)表示的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

單元（1）(3)的單元坐標(biāo)和整體坐標(biāo)一致，所以無需變換單元（2）的單元坐標(biāo)和整體坐標(biāo)成450角，要坐標(biāo)變換1234①②③yθx一、先處理法1.單元坐標(biāo)描述的剛度矩陣

將各單元的參數(shù)代入自由梁單元的剛度矩陣：二、后處理法2.整體坐標(biāo)表示的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

二、后處理法110小結(jié)單元的坐標(biāo)變換矩陣都是正交矩陣平面梁單元平面鏈桿單元整體坐標(biāo)桿端力單元坐標(biāo)桿端力整體坐標(biāo)桿端位移單元坐標(biāo)桿端位移單元坐標(biāo)剛度矩陣整體坐標(biāo)剛度矩陣α正負(fù)號規(guī)定？作業(yè)8求圖示桁架（先處理法）各單元的剛度矩陣。

已知各桿EA=常量。111yθxll1234①②③

結(jié)構(gòu)剛度方程和

總剛度矩陣本節(jié)主要內(nèi)容：23結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量Δ結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量F結(jié)構(gòu)的剛度矩陣K1返回結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量Δ結(jié)點(diǎn)位移向量Δ：所有的結(jié)點(diǎn)位移按順序排成一列；先處理法不包含已知的零位移（支座等約束的位移）；后處理法包含支座零位移在內(nèi)的所有的結(jié)點(diǎn)位移，按結(jié)點(diǎn)排列；剛架每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有3個(gè)未知位移，桁架每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有2個(gè)未知位移。結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量F結(jié)點(diǎn)力向量F:作用在結(jié)點(diǎn)上的外力按順序排成一列;結(jié)點(diǎn)力向量F的元素和結(jié)點(diǎn)位移向量Δ是一一對應(yīng)的。返回結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量Δ結(jié)點(diǎn)位移向量Δ：所有的結(jié)點(diǎn)位移按順序排成一列；先處理法不包含已知的零位移（支座等約束的位移）；后處理法包含支座零位移在內(nèi)的所有的結(jié)點(diǎn)位移，按結(jié)點(diǎn)排列；剛架每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有3個(gè)未知位移，桁架每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有2個(gè)未知位移。結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量F結(jié)點(diǎn)力向量F:作用在結(jié)點(diǎn)上的外力按順序排成一列;結(jié)點(diǎn)力向量F的元素和結(jié)點(diǎn)位移向量Δ是一一對應(yīng)的。返回115結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移Δ和結(jié)點(diǎn)力向量F例12。寫出圖示結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量Δ和結(jié)點(diǎn)力向量F。先處理法：后處理法：支座反力支座反力自由結(jié)點(diǎn)外力返回116例13。寫出圖示結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量和結(jié)點(diǎn)力向量。先處理法后處理法如果忽略軸向變形，則：返回yθx117寫出圖示結(jié)構(gòu)矩陣位移法的基本未知量。先處理法后處理法寫出圖示結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量Δ。先處理法：后處理法：一般情況：14*3=42忽略軸向變形：14+5=19忽略軸向變形：19+9=28一般情況：17*3=51118結(jié)構(gòu)的剛度方程結(jié)構(gòu)剛度方程：反映結(jié)點(diǎn)力向量F與結(jié)點(diǎn)位移向量Δ之間的關(guān)系，即：KΔ=FK為結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。由各單元?jiǎng)偠染仃囇b配疊加而成。結(jié)點(diǎn)位移Δ和結(jié)點(diǎn)力向量F是按結(jié)點(diǎn)位移的順序排列的；總剛度矩陣K也按結(jié)點(diǎn)位移順序排列的。如果結(jié)構(gòu)有n個(gè)未知量，則總剛度矩陣為nxn方陣。以上所有的量都要用整體坐標(biāo)表示。返回先處理法結(jié)構(gòu)剛度矩陣直接剛度法：直接由整體坐標(biāo)下單元?jiǎng)偠染仃囇b配成結(jié)構(gòu)總剛度矩陣。具體做法：根據(jù)單元的定位向量把各元素依次裝配到總剛度矩陣K對應(yīng)的位置中去。整個(gè)擴(kuò)展迭加的過程，就是“元素搬家，對號入座”?！疤枴笔侵附Y(jié)點(diǎn)位移編號。先處理法形成的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣特點(diǎn)：對稱、帶狀稀疏、非奇異矩陣。先處理法

返回120例14：寫出圖示連續(xù)梁的整體剛度矩陣。xy(0,1,0)(0,0,2)(0,0,3)(0,4,0)121

2定位向量232

3343

412341234裝配總剛矩陣：單元?jiǎng)偠染仃嚕合禂?shù)合并空位補(bǔ)零。121例14：寫出圖示連續(xù)梁的整體剛度矩陣。xy(0,1,0)(0,0,2)(0,0,3)(0,4,0)121

2定位向量232

312341234裝配總剛矩陣：單元?jiǎng)偠染仃嚕?43

4解：1.單元坐標(biāo)描述的剛度矩陣2.整體坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)?5.桁架各桿EA均為常數(shù)。求先處理法的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。（例8）

3.裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣(1,2)例16.

平面剛架如圖所示，各桿截面相同。E=1×107kN/m2,A=0.24m2,I=0.0072m4，求先處理法的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。（例8）

單元①③a=0°單元②a=45°1.單元坐標(biāo)表示的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

yΘx(1,2,3)2.整體坐標(biāo)表示的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

3.裝配結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣

(1,2,3)125例17.

求先處理法的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。各桿EI、EA、l均為常量。2.整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?.位移編碼及定位向量②①③

yθx126②①③

yθx1271234567812345678123412343.根據(jù)定位向量裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣12812345678123456783.根據(jù)定位向量裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣23456723456712912345678123456783.根據(jù)定位向量裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣5675

6

713012345678123456783.根據(jù)定位向量裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣56785678空位補(bǔ)零。最終先處理法的結(jié)構(gòu)剛度矩陣為：②①③

yθx1.列出圖示連續(xù)梁先處理法的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。EI=常量。12

2ll3

①

②

2.已知?jiǎng)偧芨鳁U剛度EI、EA均為常量。列出矩陣位移法（先處理法）的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。ll

l②①③yΘx1334.求圖示桁架（先處理法）的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。

已知各桿EA=常量。ll1234①②③

1343.求圖示剛架用矩陣位移法（先處理）求解，忽略各桿的軸向變形。列出結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。135后處理法具體做法：把整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚫鶕?jù)單元兩端結(jié)點(diǎn)的編號把各子塊送到總剛度矩陣K對應(yīng)的位置中去。裝配過程：“子塊搬家，對號入座”。

整體和單元的剛度的矩陣都按結(jié)點(diǎn)分塊結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣：即后處理法未考慮支座約束條件的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣。后處理法結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣如單元整體坐標(biāo)下的剛度矩陣：例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成先求出整體坐標(biāo)下各單元的剛度矩陣：123456123456結(jié)構(gòu)總剛矩陣K按結(jié)點(diǎn)分塊1212根據(jù)單元結(jié)點(diǎn)編碼把各子塊搬入總剛K中的對應(yīng)位置123456123456同一位置各子塊的對應(yīng)元素相加2424結(jié)構(gòu)總剛矩陣K按結(jié)點(diǎn)分塊根據(jù)單元結(jié)點(diǎn)編碼把各子塊搬入總剛K中的對應(yīng)位置先求出整體坐標(biāo)下各單元的剛度矩陣：例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成1234561234563434同一位置各子塊的對應(yīng)元素相加結(jié)構(gòu)總剛矩陣K按結(jié)點(diǎn)分塊根據(jù)單元結(jié)點(diǎn)編碼把各子塊搬入總剛K中的對應(yīng)位置先求出整體坐標(biāo)下各單元的剛度矩陣：例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成1234561234564646同一位置各子塊的對應(yīng)元素相加結(jié)構(gòu)總剛矩陣K按結(jié)點(diǎn)分塊根據(jù)單元結(jié)點(diǎn)編碼把各子塊搬入總剛K中的對應(yīng)位置先求出整體坐標(biāo)下各單元的剛度矩陣：例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成1234561234565656同一位置各子塊的對應(yīng)元素相加結(jié)構(gòu)總剛矩陣K按結(jié)點(diǎn)分塊根據(jù)單元結(jié)點(diǎn)編碼把各子塊搬入總剛K中的對應(yīng)位置先求出整體坐標(biāo)下各單元的剛度矩陣：例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成123456123456空位均為0結(jié)原始構(gòu)剛度矩陣是對稱、稀疏、帶狀矩陣。只需存儲(chǔ)下（或上）半帶元素。需存儲(chǔ)的子塊不相關(guān)結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的剛度子塊均為0。例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成按結(jié)點(diǎn)順序分行和列子塊，找列比行小的子塊。根據(jù)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)編碼可以直接判斷需要存儲(chǔ)的剛度矩陣子塊及元素。下三角的相關(guān)結(jié)點(diǎn)子塊和不相關(guān)零子塊均可以判斷。需存儲(chǔ)的子塊例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成按結(jié)點(diǎn)順序，找列比行小的子塊。下三角的相關(guān)結(jié)點(diǎn)子塊和不相關(guān)零子塊均可以判斷。需存儲(chǔ)的子塊根據(jù)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)編碼可以直接判斷需要存儲(chǔ)的剛度矩陣子塊及元素。例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成按結(jié)點(diǎn)順序，找列比行小的子塊。根據(jù)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)編碼可以直接判斷需要存儲(chǔ)的剛度矩陣子塊及元素。下三角的相關(guān)結(jié)點(diǎn)子塊和不相關(guān)零子塊均可以判斷。需存儲(chǔ)的子塊需存儲(chǔ)的元素123456123789123789半帶寬：每行要存儲(chǔ)的元素個(gè)數(shù)。最大半帶寬：d=3*3=9至少存儲(chǔ)81個(gè)元素例18：圖示平面剛架的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的集成如果僅修改各結(jié)點(diǎn)編號123456123456根據(jù)單元結(jié)點(diǎn)編碼分塊裝配總剛度矩陣K。整體坐標(biāo)下，各單元的剛度矩陣均不變：每行都從第一個(gè)非零子塊存到對角線元素。需要存儲(chǔ)的子塊如果僅修改各結(jié)點(diǎn)編號根據(jù)單元結(jié)點(diǎn)編碼分塊裝配總剛度矩陣K。半帶寬=（相關(guān)結(jié)點(diǎn)編號差+1）*結(jié)點(diǎn)自由度；描述結(jié)點(diǎn)離散的優(yōu)化程度。每行都從第一個(gè)非零子塊存到對角線元素。需要存儲(chǔ)的子塊123123123101112101112101112每行半帶寬：最大半帶寬：d=4*3=12至少存儲(chǔ)117個(gè)元素結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的元素和存儲(chǔ)空間取決于結(jié)點(diǎn)編碼。147結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣特點(diǎn)對稱矩陣；即處于與矩陣主對角線對稱位置的兩個(gè)元素是相等的，即kij=kji

。帶狀稀疏矩陣；大片的區(qū)域都是零元素，它的非零元素只分布在主對角線兩側(cè)的帶狀區(qū)域內(nèi)。

結(jié)點(diǎn)半帶寬d=（相關(guān)結(jié)點(diǎn)差+1)*每個(gè)結(jié)點(diǎn)自由度數(shù);相關(guān)結(jié)點(diǎn)：在同一個(gè)單元中同時(shí)出現(xiàn)過的結(jié)點(diǎn)。不相關(guān)結(jié)點(diǎn)：未在一個(gè)單元中同出現(xiàn)過的結(jié)點(diǎn)。不相關(guān)結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的剛度子塊均為0。相關(guān)結(jié)點(diǎn)才存在非零子會(huì)。奇異矩陣；沒有引進(jìn)支座約束條件的情況下，結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣|K|=0，不存在逆矩陣。返回例19.判斷圖示結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣的最大半帶寬。d=(3+1)*3=12148d=(6+1)*3=21總剛矩陣中元素的排列與結(jié)點(diǎn)的順序直接相關(guān)。d=(7+1)*2=16返回最大相關(guān)結(jié)點(diǎn)差3最大相關(guān)結(jié)點(diǎn)差6最大相關(guān)結(jié)點(diǎn)差7149例20.

列出后處理法的總剛度矩陣。各桿l、EI、EA均為常量。121

22.整體坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃?3231.結(jié)構(gòu)離散如圖1②①231233.裝配總剛矩陣：123121

21②①23123裝配總剛矩陣：1232

3返回1②①2323152例21.若已知圖示剛架各桿EA=常量，整體坐標(biāo)描述的各單元?jiǎng)偠染仃嚕阂螅?）寫出矩陣位移法（后處理法）求解分塊形式的結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣。2）根據(jù)概念求出剛度子塊各元素值。3）求剛度矩陣中元素值：解：1）矩陣位移法（后處理法）分塊形式的結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣。123456712345671542）根據(jù)概念求出剛度子塊各元素值。1553）求剛度矩陣中元素值：代表僅在基本結(jié)構(gòu)的4結(jié)點(diǎn)施加單位轉(zhuǎn)角引起的4結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩,來自(1)(4)單元的4結(jié)點(diǎn)力矩疊加：代表僅在基本結(jié)構(gòu)的4結(jié)點(diǎn)施加單位轉(zhuǎn)角引起的6結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩,

6、4結(jié)點(diǎn)不相關(guān)：代表僅在基本結(jié)構(gòu)的7結(jié)點(diǎn)施加單位水平位移引起的7結(jié)點(diǎn)水平力,來自(5)(6)單元7結(jié)點(diǎn)水平力的疊加：156思考題已知各桿長均為l、EI、EA均為常量。列出圖示結(jié)構(gòu)矩陣位移法先處理法的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣。

②①③2143yθx157支座條件的引進(jìn)結(jié)構(gòu)原始剛度方程沒有考慮支座約束條件，包含任意大小的剛體位移。結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣是奇異矩陣；方程P=K

沒有唯一解。必須引進(jìn)約束條件，消除

剛體位移，才能得到唯一解。后處理法先處理法未知量直接剔除支座0位移，剛度方程已經(jīng)考慮了支座約束條件，消除剛體位移。不再需要任何處理。支座條件引進(jìn)使：后處理法支座約束條件的引進(jìn)自由結(jié)點(diǎn)和約束結(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系：自由結(jié)點(diǎn)（位移未知）上的作用力（荷載）是已知的；而約束結(jié)點(diǎn)（位移已知（為零））上的作用力（約束反力）是未知的；約束結(jié)點(diǎn)，位移為0,約束反力未知。

自由結(jié)點(diǎn)，荷載已知,位移是未知量。返回結(jié)構(gòu)剛度方程：K11(1)K12(1)0000K21(1)K22(1)+K22(2)0K24(4)0000K33(3)K34(2)0000K43(2)K44(2)+K44(3)+K44(4)0K46(4)0K52(4)00K55(5)K56(5)000K64(4)K65(5)K66(4)+K66(5)

1

2

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17

18P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18對總剛度方程P=KΔ初等變換--行列交換K11(1)00K12(1)000K33(3)00K34(2)000K55(5)K52(4)0K56(5)K21(1)00K22(1)+K22(2)K24(4)00K43(2)00K44(2)+K44(3)+K44(4)K46(4)00K65(5)0K64(4)K66(4)+K66(5)

1

2

3

7

8

9

13

14

15

4

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6

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16

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18P1P2P3P7P8P9P13P14P15P4P5P6P10P11P12P16P17P18Px

未知支座反力P1已知節(jié)點(diǎn)

荷載Δ1支座位移Δx求解的未知量Kx1KxxK11K1x把初等變換后的總剛度方程P=KΔ可寫成將方程式展開得:未知結(jié)點(diǎn)位移（未知量）已知結(jié)點(diǎn)位移（支座位移）已知結(jié)點(diǎn)力（結(jié)點(diǎn)荷載）未知結(jié)點(diǎn)力（支座反力）求解未知節(jié)點(diǎn)位移Δx計(jì)算未知約束反力Px對于剛性支座：支座反力對位移的計(jì)算沒有影響，但位移決定支座反力。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

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18P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18如果直接劃掉0位移對應(yīng)的行和列：163

4

5

6

10

11

12

16

17

18P4P5P6P10P11P12P16P17P18得到先處理法的剛度方程：結(jié)構(gòu)剛度矩陣Kxx非奇異，可直接解剛度方程可得結(jié)點(diǎn)位移△x?？捎?jì)算支座約束反力PxK22(1)+K22(2)K24(4)00K44(2)+K44(3)+K44(4)K46(4)0K64(4)K66(4)+K66(5)代入方程：返回支座反力對位移沒影響，結(jié)點(diǎn)荷載P1可替換結(jié)點(diǎn)力向量P。后處理法-面向計(jì)算機(jī)處理方法后處理法是面向計(jì)算機(jī)的邊界處理方法，劃掉約束0位移的方法會(huì)改變剛度方程的階數(shù)，一般計(jì)算機(jī)計(jì)算不采用。常用的處理方法有：

1.主元素置1法2.主元素置大數(shù)法。主元素置1法作法：相應(yīng)主元素置1，副元素置0，荷載置0.主元素置大數(shù)法作法：相應(yīng)主元素置（或乘）大數(shù)。返回后處理法-面向計(jì)算機(jī)處理方法主元素置1法若編號為i的位移為0，應(yīng)保證剛度方程解得Δi=0。

將總剛度矩陣K中第i行的主元素（第i行的主對角線元素）改為1，即令K（i，i）=1。將第i行、i列的所有副元素都改為零。即令K（i，j）=0，K（j，i）=0(i≠j)。將荷載向量中的第i元素置為零，即令Pi=0。

經(jīng)過這三步改動(dòng)后，便可實(shí)現(xiàn)Δi=0的目標(biāo)。

第3步第2步第1步剛度方程

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18主元素置1法引進(jìn)支座條件：

P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18000P4P5P6000P10P11P12000P16P17P18根據(jù)約束結(jié)點(diǎn)的位移修改剛度矩陣；根據(jù)約束結(jié)點(diǎn)的位移修改荷載向量。(1)(2)(3)(4)(5)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

返回168非結(jié)點(diǎn)荷載處理剛度方程K△=F

反應(yīng)結(jié)點(diǎn)力F和結(jié)點(diǎn)位移△之間的關(guān)系。結(jié)點(diǎn)力向量:結(jié)點(diǎn)力向量F：與結(jié)點(diǎn)位移對應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力，包括荷載和支座約束反力。荷載向量P：不考慮約束反力，只由外荷載引起的結(jié)點(diǎn)力。荷載向量:169§9.6非結(jié)點(diǎn)荷載處理非結(jié)點(diǎn)荷載:等效移置到結(jié)點(diǎn)上。

荷載結(jié)點(diǎn)荷載結(jié)點(diǎn)力、力矩非結(jié)點(diǎn)荷載單元內(nèi)分布力

集中力溫度作用

慣性力等荷載向量P=PD+PE直接結(jié)點(diǎn)荷載PD非結(jié)點(diǎn)荷載的等

效結(jié)點(diǎn)荷載PE1432Plh/2h/2qQ首先求出基本結(jié)構(gòu)在非結(jié)點(diǎn)荷載作用下引起的固端力；然后將各固端力反向作用到單元的結(jié)點(diǎn)上去；最終借助荷載等效圖確定荷載向量。荷載向量:2312畫荷載等效圖兩端固定梁非結(jié)點(diǎn)荷載等效方法：yθxqP1432Q1432Plh/2h/2qQ例：計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的荷載向量。

荷載等效圖

xy2420kN.m4615kN.m12120kN例：計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的荷載向量。

荷載等效圖

原始荷載向量：

2.先處理法1.后處理法主元素置1法修正邊界后荷載向量：

考慮軸向變形：

忽略軸向變形：

xy荷載向量：

例22：計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的荷載向量。

荷載等效圖

原始荷載向量：

2.先處理法1.后處理法主元素置1法修正邊界后荷載向量：

忽略軸向變形：

xy對應(yīng)的剛度方程？

例22：寫出圖示結(jié)構(gòu)先處理法的剛度方程。

1.位移向量：

3.總剛度矩陣：

2.

荷載向量：

荷載等效圖

途徑1：由每列元素的概念直接寫出各元素值

(1,0,2)(1,0,3)(0,0,4)(1,0,5)xy例23：寫出圖示結(jié)構(gòu)先處理法的剛度方程。

xy(1,0,2)(1,0,3)(0,0,4)(1,0,5)1.位移向量：

3.總剛度矩陣：

2.

荷載向量：

途徑1：由每列元素的概念直接寫出各元素值

（續(xù)）

3.總剛度矩陣：

xy途徑2：由各單元整體坐標(biāo)下剛度矩陣裝配

(1,0,2)(1,0,3)(0,0,4)(1,0,5)1.位移向量：

121

2②①③

131

31451

45232

3353

5123451

23452.

荷載向量：

各單元元素按位移編碼搬到總剛度矩陣中

去。

（續(xù)）

4.結(jié)構(gòu)剛度方程:xy(1,0,2)(1,0,3)(0,0,4)(1,0,5)1.位移向量：

3.總剛度矩陣：

2.荷載向量：

即:例23：寫出圖示結(jié)構(gòu)先處理法的剛度方程。

（續(xù)）

例24：用矩陣位移法求解，畫出彎矩圖。xy解：1)先處理法自由度編碼及結(jié)構(gòu)的位移向量：

2)各單元?jiǎng)偠染仃嚕?)裝配結(jié)構(gòu)的剛度矩陣：4)結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載：5)結(jié)構(gòu)剛度方程：先處理法的剛度方程直接求解，或后處理法剛度方程引進(jìn)支座條件后求解：求即可得到結(jié)點(diǎn)位移△。這就轉(zhuǎn)化為大型線性方程組K△=P求解問題（數(shù)學(xué)問題）。線性方程式組的解法：直接法和迭代法。直接解法：如高斯消去法，及其派生的LU、LDLT三角分解法。迭代法：塞德爾迭代法等?！?.7剛度方程求解及內(nèi)力計(jì)算一、剛度方程求解求單元坐標(biāo)描述的結(jié)點(diǎn)位移向量

（坐標(biāo)變換）180根據(jù)單元結(jié)點(diǎn)的自由度編碼從結(jié)構(gòu)位移向量△中取出該單元的結(jié)點(diǎn)位移（整體坐標(biāo)系描述）。最后代入單元?jiǎng)偠确匠?，求各單元的桿端力如果梁單元內(nèi)有非結(jié)點(diǎn)荷載，則要疊加非結(jié)點(diǎn)荷載引起的固端力，得到真正的桿端內(nèi)力：二、單元桿端內(nèi)力計(jì)算——單元坐標(biāo)描述——單元坐標(biāo)描述——也可以直接按幾何關(guān)系寫出單元桿端內(nèi)力——即單元坐標(biāo)下的桿端力向量。計(jì)算步驟：此時(shí)可以根據(jù)桿端內(nèi)力確定單元?jiǎng)偠确匠痰碾A數(shù)。

例25：計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。

忽略軸向變形，已知求得結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量：1.單元坐標(biāo)描述的桿端位移向量根據(jù)給定的結(jié)點(diǎn)位移（整體坐標(biāo)）解：因?yàn)闂U件只考慮彎曲變形，包括桿端結(jié)點(diǎn)的側(cè)移和轉(zhuǎn)角位移，對應(yīng)的內(nèi)力為桿端剪力和彎矩，根據(jù)內(nèi)力，單元的剛度方程取四階。

①②③④⑤單元信息x