新設(shè)計(jì)一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)（理）通用版講義第二講解題的指導(dǎo)思想化歸尋舊

第二講解題的指導(dǎo)思想——化歸尋舊在數(shù)學(xué)習(xí)題的解答過(guò)程中，除了第一講中對(duì)信息加工的實(shí)踐操作活動(dòng)外，更重要的是大腦加工信息的思維活動(dòng)，它的規(guī)律就是化歸尋舊思想．“尋”即“尋找”“聯(lián)系”之意；“舊”指現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)．也就是說(shuō)信息加工的思維活動(dòng)規(guī)律就是尋找問(wèn)題的信息與現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，為加工信息的實(shí)踐操作活動(dòng)指明方向，即為化歸活動(dòng)確定方向．常見(jiàn)的化歸尋舊方法有以下幾種：一、求同求異，尋舊之規(guī)律(一)求同尋舊求同尋舊就是習(xí)題解答過(guò)程中人的思維活動(dòng)總是表現(xiàn)為尋找習(xí)題信息與已知的某項(xiàng)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的共性．特別是尋找問(wèn)題信息與已知的某個(gè)公式、某個(gè)定理或某個(gè)曾經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題等在表達(dá)形式上或內(nèi)容上的共同點(diǎn)．解題者在感知問(wèn)題的信息時(shí)，眼睛如照相機(jī)一樣將習(xí)題所呈現(xiàn)的信息符號(hào)拍攝下來(lái)，這些符號(hào)通過(guò)視覺(jué)神經(jīng)傳輸?shù)酱竽X，大腦對(duì)信息符號(hào)進(jìn)行識(shí)別、分類(lèi)，然后尋找信息符號(hào)在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，聯(lián)絡(luò)點(diǎn)一經(jīng)找到，就說(shuō)明習(xí)題信息與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某項(xiàng)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)存在一定的聯(lián)系．[例1]已知eq\f(sinθ,a2－1)＝eq\f(cosθ,2asin2φ)＝eq\f(1,1＋2acos2φ＋a2)，求證：sinθ＝eq\f(a2－1,a2＋1).[求同尋舊]由于條件和結(jié)論都是三角等式，而結(jié)論信息是不含角2φ的三角等式，根據(jù)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)“條件中含有2φ的三角函數(shù)，而結(jié)論是不含2φ的三角函數(shù)，說(shuō)明應(yīng)當(dāng)對(duì)條件信息進(jìn)行加工處理，消去2φ”．為了消去2φ的三角函數(shù)，聯(lián)系到熟悉結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)sin22φ＋cos22φ＝1，就會(huì)產(chǎn)生“先解出sin2φ，cos2φ，然后平方消去參數(shù)2φ”這一化歸方案．[證明]因?yàn)閑q\f(sinθ,a2－1)＝eq\f(cosθ,2asin2φ)，所以2asin2φ＝eq\f(a2－1cosθ,sinθ).①因?yàn)閑q\f(sinθ,a2－1)＝eq\f(1,1＋2acos2φ＋a2)，所以2acos2φ＝eq\f(a2－1,sinθ)－(1＋a2)．②由①2＋②2再化簡(jiǎn)得2(a2＋1)(a2－1)sinθ＝2(a2－1)2.因?yàn)閍2－1≠0，所以sinθ＝eq\f(a2－1,a2＋1).[反思?xì)w納]此題通過(guò)求同尋舊提出了消去角2φ的解題思路，顯然，解題的假設(shè)方案和化歸方案都是尋舊思想對(duì)大腦作用的產(chǎn)物．(二)求異尋舊求異尋舊就是習(xí)題解答過(guò)程中人的思維活動(dòng)總是表現(xiàn)為尋找問(wèn)題信息與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某項(xiàng)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的特征差異，以便化異為同，促使習(xí)題信息與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“網(wǎng)點(diǎn)”順利“鏈接”．求同尋舊與求異尋舊在解題過(guò)程中總是結(jié)伴而行．一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)事物總是存在著區(qū)別和聯(lián)系，相同之外有不同，不同之中有相同，沒(méi)有完全相同和完全不同的兩件事物．尋舊就是尋找習(xí)題信息與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系和區(qū)別，特別要善于在不同之中找到一點(diǎn)共性，在相似之間發(fā)現(xiàn)其中的差異．求同尋舊旨在尋找聯(lián)系，從而為處理信息或問(wèn)題解決提出假設(shè)方案；求異尋舊旨在發(fā)現(xiàn)差異，從而為信息加工指明方向，所以求同求異是不可分的．[例2]如果方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝k，,log3x2＋log3y2＝2))只有一組解，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_______．[求同尋舊]由于我們認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有這樣一項(xiàng)經(jīng)驗(yàn)——一元二次方程根的存在及判定，而這個(gè)問(wèn)題不是一元二次方程，它是求方程組的一組解．二者存在的共性都是與求解相關(guān)的問(wèn)題．[求異尋舊]認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)是“一元二次方程”，而此問(wèn)題是“二元二次對(duì)數(shù)方程組”，二者在元的個(gè)數(shù)和方程的個(gè)數(shù)上存在著差異，這就要求我們對(duì)原方程組進(jìn)行“消元”處理，化異為同，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝k，,log3x2＋log3y2＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x＋log3y＝log3k，,log3x2＋log3y2＝2))?2(log3x)2－2log3klog3x＋(log3k)2－2＝0.①[求異尋舊]認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中的熟悉結(jié)構(gòu)是“一元二次方程”，而方程①是“對(duì)數(shù)方程”，二者在方程形式上存在著差異，這就要求我們對(duì)方程①進(jìn)行“換元”處理，化異為同．[解析]因?yàn)閘og3x∈R，設(shè)log3x＝t(t∈R)，方程①化為2t2－2tlog3k＋(log3k)2－2＝0.②要使原方程組只有一組解，只需方程②只有一個(gè)根即可．所以Δ＝4(log3k)2－8(log3k)2＋16＝0?k＝9或k＝eq\f(1,9).[答案]9或eq\f(1,9)[反思領(lǐng)悟]此題通過(guò)求異尋舊找到了“二元二次對(duì)數(shù)方程組只有一組解”與“一元二次方程只有一個(gè)根”的差異，提出了“消元”的解題思路，得到了①.又通過(guò)求異尋舊找到了“對(duì)數(shù)方程”與“一元二次方程”的差異，提出了“換元”的解題思路，得到了熟悉的方程②.顯然，解題的假設(shè)方案和化歸方案都是尋舊思想對(duì)大腦作用的產(chǎn)物．二、上游下游，尋舊之方向?qū)τ趦身?xiàng)信息A，B，如果A是B的充分條件，我們稱(chēng)A是B的上游信息，B是A的下游信息．我們稱(chēng)從上游信息向下游信息聯(lián)想的思維活動(dòng)為順推尋舊，從下游信息向上游信息聯(lián)想的思維活動(dòng)為逆推尋舊．(一)下游順推信息法就是針對(duì)一項(xiàng)信息A，沿著熟悉結(jié)構(gòu)中的某條線(xiàn)進(jìn)行順推，順推得到的新信息是上一步信息的必要條件(或充要條件)，我們稱(chēng)這種尋舊為下游順推信息法，如圖所示．eq\x(信息A)→eq\x(信息A1)→eq\x(信息A2)→eq\x(信息A3)[例3]已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x，若存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(x＋t)≤x－1對(duì)任意的x∈[1，m](m>1)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]這個(gè)習(xí)題呈現(xiàn)的信息有2項(xiàng)：①存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(x＋t)≤x－1對(duì)任意的x∈[1，m](m>1)恒成立；②求實(shí)數(shù)m的取值范圍．此題信息②很清晰，而信息①雖然是一個(gè)不等式恒成立問(wèn)題，但不等式的結(jié)構(gòu)是隱性的，不直觀(guān)、不清晰，根據(jù)熟悉結(jié)構(gòu)的解題經(jīng)驗(yàn)(即尋舊)，首先對(duì)信息①進(jìn)行加工處理，使信息①清晰，這樣便于尋找與熟悉結(jié)構(gòu)的聯(lián)系．將信息①進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為①1：“存在實(shí)數(shù)t，使不等式(x＋t＋1)2≤x對(duì)任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①的充要條件；將信息①1進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為①2：“存在實(shí)數(shù)t，使不等式|x＋t＋1|≤eq\r(x)對(duì)任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①1的充要條件；將信息①2進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為①3：“存在實(shí)數(shù)t，使不等式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(x)＋1≤－t，,x＋\r(x)＋1≥－t))對(duì)任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①2的充要條件；將信息①3進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為①4：“存在實(shí)數(shù)t，使不等式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－\r(m)＋1≤－t，,1＋\r(1)＋1≥－t))成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①3的充要條件；將信息①4進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為①5：“不等式m－eq\r(m)＋1≤3”，即轉(zhuǎn)化為信息①4的必要條件；將信息①5進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為①6：“1＜m≤4”，即轉(zhuǎn)化為信息①5的充要條件．由此可見(jiàn)，此題的解答過(guò)程就是信息①的下游順推轉(zhuǎn)化過(guò)程，一次次將信息①向下游轉(zhuǎn)化為它的充要條件，建立一條從信息①到信息②的解題通道．[例4]已知a>0，b>0，a＋eq\r(b2＋8)＝4，求eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)的最小值．[解]這個(gè)習(xí)題呈現(xiàn)的信息有3項(xiàng)：①a>0，b>0；②a，b之間的關(guān)系式為a＋eq\r(b2＋8)＝4；③求eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)的最小值．此題兩個(gè)變量之間存在聯(lián)系，根據(jù)熟悉結(jié)構(gòu)的解題經(jīng)驗(yàn)(即尋舊)，一個(gè)自變量的問(wèn)題是函數(shù)問(wèn)題，求函數(shù)最小值有導(dǎo)數(shù)這個(gè)通法．此題如果能消去一個(gè)自變量，就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值問(wèn)題．于是可以采取以下兩種消元處理信息的方法．轉(zhuǎn)化為信息②的充要條件；將信息③轉(zhuǎn)化為求eq\f(3,4－\r(b2＋8))＋eq\f(1,b)的最小值，這也是下游順推信息法，即轉(zhuǎn)化為信息③的充要條件；此時(shí)，問(wèn)題結(jié)論信息轉(zhuǎn)化為“已知0＜b＜2eq\r(2)，求F(b)＝eq\f(3,4－\r(b2＋8))＋eq\f(1,b)的最小值”，這也是下游順推信息法，即轉(zhuǎn)化為結(jié)論信息的充要條件．由題意知a＝4－eq\r(b2＋8)(0＜b＜2eq\r(2))，令F(b)＝eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(3,4－\r(b2＋8))＋eq\f(1,b).因?yàn)镕′(b)＝eq\f(3b,\r(b2＋8)4－\r(b2＋8)2)－eq\f(1,b2)＝eq\f(1,b\r(b2＋8)4－\r(b2＋8)2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3b2－4－\r(b2＋8)2\r(1＋\f(8,b2)))).顯然，f(b)＝4－eq\r(b2＋8)和g(b)＝eq\r(1＋\f(8,b2))在(0,2eq\r(2))上單調(diào)遞減且恒正．所以u(píng)(b)＝3b2－(4－eq\r(b2＋8))2eq\r(1＋\f(8,b2))在(0,2eq\r(2))上單調(diào)遞增．列表如下：b(0,1)1(1,2eq\r(2))u(b)－0＋F′(b)－0＋所以F(b)min＝F(1)＝4，即eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)的最小值為4.(二)上游逆推信息法就是針對(duì)一項(xiàng)信息A，沿著熟悉結(jié)構(gòu)的某條線(xiàn)進(jìn)行逆推，即要得到信息A，只需要信息B.逆推得到的新信息都是上一步信息的充分條件(或充要條件)，我們稱(chēng)這種尋舊為上游逆推信息法，如圖所示．eq\x(信息A3)→eq\x(信息A2)→eq\x(信息A1)→eq\x(信息A)[例5]已知an＝2n－1，求證：eq\f(a1,a2)＋eq\f(a2,a3)＋…＋eq\f(an,an＋1)>eq\f(n,2)－eq\f(1,3).[證明]這個(gè)習(xí)題呈現(xiàn)的信息有2項(xiàng)：①an＝2n－1；②求證eq\f(a1,a2)＋eq\f(a2,a3)＋…＋eq\f(an,an＋1)>eq\f(n,2)－eq\f(1,3).信息②是一個(gè)不等式，根據(jù)熟悉結(jié)構(gòu)的解題經(jīng)驗(yàn)(即尋舊)，由于兩邊都是關(guān)于n的代數(shù)式，兩邊都是遞增的，容易想到放縮法．于是可以采取以下信息處理法．由eq\f(an,an＋1)＝eq\f(2n－1,2n＋1－1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2n＋2－2)，將信息②進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為信息②1：求證eq\i\su(k＝1,n,)eq\f(1,2k＋2－2)＜eq\f(1,3)，即轉(zhuǎn)化為信息②的充要條件；聯(lián)想一個(gè)公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，即eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))＜eq\f(1,3)，將信息②1進(jìn)行上游逆推轉(zhuǎn)化為②2：求證eq\i\su(k＝1,n,)eq\f(1,2k＋2－2)≤eq\i\su(k＝1,n,)eq\f(1,3·2k)，即轉(zhuǎn)化為信息②1的充分條件；將信息②2進(jìn)行上游逆推轉(zhuǎn)化為②3：求證eq\f(1,2n＋2－2)≤eq\f(1,3·2n)，即轉(zhuǎn)化為信息②2的充分條件；將信息②3向下順推轉(zhuǎn)化為②4：求證2n≥2(顯然成立)，即轉(zhuǎn)化為信息②3的充要條件．[反思領(lǐng)悟]顯然，此題的解答過(guò)程就是對(duì)信息②進(jìn)行下游順推信息和上游逆推信息相結(jié)合的過(guò)程，特別是將信息②1向上逆推轉(zhuǎn)化為②2是解答此題的關(guān)鍵，這就是常說(shuō)