高考數(shù)學(xué)理北師大版一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練3-5定積分與微積分基本定理

核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一定積分的計(jì)算

1.QUOTE|x22x|dx= ()A.5 B.6 C.7 D.82.QUOTE(sinx+QUOTE)dx等于 ()A.QUOTE B.π+2cos2C.2π+2cos2 D.2π3.若S1=QUOTEx2dx,S2=QUOTEdx,S3=QUOTEexdx,則S1,S2,S3的大小關(guān)系為 ()A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3C.S2<S3<S1 D.S3<S2<S14.若QUOTEdx=3+ln2(a>1),則a的值是____________.

【解析】1.選D.QUOTE|x22x|dx=QUOTE(x22x)dx+QUOTE=QUOTE=QUOTE+4+4QUOTE=8.2.選D.因?yàn)镼UOTE(sinx+QUOTE)dx=QUOTEsinxdx+QUOTE,因?yàn)閥=sinx為奇函數(shù),所以QUOTE.又QUOTEdx表示半圓x2+y2=4(y≥0)的面積.所以QUOTEdx=QUOTE×π×22=2π,所以QUOTE(sinx+QUOTE)dx=2π.3.選B.S1=QUOTEx2dx=QUOTEx3QUOTE=QUOTE,S2=QUOTEdx=lnxQUOTE=ln2<lne=1,S3=QUOTEexdx=exQUOTE=e2e=(e1)e>e>QUOTE,所以S2<S1<S3.4.QUOTEdx=QUOTE2xdx+QUOTEdx=x2QUOTE+lnxQUOTE=a21+lna=3+ln2,所以QUOTE解得a=2.答案:2題3中,若將“S1=QUOTEx2dx,S2=QUOTEdx,S3=QUOTEexdx,”改為“S1=QUOTEx2dx,S2=QUOTEx3dx,S3=QUOTE”,試判斷S1,S2,S3的大小關(guān)系.【解析】由微積分基本定理得S1=QUOTEx2dx=QUOTE=QUOTE,S2=QUOTEx3dx=QUOTE=4,S3=QUOTEsinxdx=(cosx)QUOTE=1cos2<2,則S3<S1<S2.1.運(yùn)用微積分基本定理求定積分時(shí)的注意點(diǎn)(1)被積函數(shù)要先化簡,再求積分.(2)求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分,依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”,分段積分再求和.(3)對于含有絕對值符號(hào)的被積函數(shù),要先去掉絕對值符號(hào),再求積分.(4)注意用“F′(x)=f(x)”檢驗(yàn)積分的對錯(cuò).2.根據(jù)定積分的幾何意義,可利用面積求定積分.3.函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,a]上連續(xù),則有(1)若f(x)為偶函數(shù),則QUOTEf(x)dx=2QUOTEf(x)dx.(2)若f(x)為奇函數(shù),則QUOTEf(x)dx=0.【秒殺絕招】圖像法解T3,如圖,根據(jù)定積分的幾何意義知,S1,S2,S3分別是函數(shù)y=x2,y=QUOTE,y=ex與x=1,x=2及x軸所圍成的面積,顯然S2<S1<S3.考點(diǎn)二應(yīng)用定積分求平面圖形的面積

【典例】1.(2019·廈門模擬)二次函數(shù)f(x)=x2nx+m(n,m∈R)的圖像如圖所示,則定積分QUOTEf(x)dx=()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.32.(2019·武漢模擬)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線C:y=ex的切線l,則曲線C,直線l與y軸所圍成的封閉圖形的面積為 ()A.QUOTE1 B.e-1 C.e2 D.QUOTE3.由曲線y=QUOTE,y=2x,y=QUOTEx所圍成圖形的面積為________________. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由函數(shù)圖像想到求n,m,進(jìn)而求定積分2由曲線C的切線想到導(dǎo)數(shù)的幾何意義,借助圖形形狀設(shè)置被積函數(shù)3由曲線y=QUOTE,y=2x,y=QUOTEx想到畫圖求解【解析】1.選B.由圖像可知,n=3,m=2.QUOTEf(x)dx=QUOTE(x23x+2)dx=QUOTE=QUOTE0=QUOTE.2.選A.根據(jù)題意,過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線C:y=ex的切線l,設(shè)切點(diǎn)為(m,em),y=ex,其導(dǎo)數(shù)y=ex,則切線的斜率k=em,則直線l的方程為:yem=em(xm),又由直線l經(jīng)過原點(diǎn),則有em=em(m),所以em(1m)=0,所以m=1,則直線l的方程為ye=e(x1),即y=ex,切點(diǎn)為(1,e);曲線C、直線l與y軸所圍成的封閉圖形的面積S=QUOTE=QUOTE=QUOTE(10)=QUOTE1.3.方法一:畫出草圖,如圖所示.解方程組QUOTE及QUOTE得交點(diǎn)分別為(1,1),(0,0),(3,1),所以所求圖形的面積S=QUOTEdx+QUOTEdx=QUOTEdx+QUOTEdx=QUOTE+QUOTE=QUOTE+6QUOTE×92+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE方法二:如圖所求陰影的面積就是三角形OAB的面積減去由y軸,y=QUOTE,y=2x圍成的曲邊三角形的面積,即S=QUOTE×2×3QUOTE(2xQUOTE)dx=3QUOTE=3QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE利用定積分求平面圖形面積的四個(gè)步驟曲線y=QUOTE與直線y=5x圍成的平面圖形的面積為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE4ln2 D.QUOTE8ln2【解析】選D.作出曲線y=QUOTE與直線y=5x圍成的平面圖形如圖:由QUOTE,解得x=1或x=4,所以曲線y=QUOTE與直線y=5x圍成的平面圖形的面積為S=QUOTEdx=QUOTE=(20-8-4ln4)QUOTE=QUOTE8ln2.考點(diǎn)三定積分在物理中的應(yīng)用

【典例】1.一輛汽車在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度v(t)=73t+QUOTE(t的單位:s,v的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位:m)是 ()A.1+25ln5 B.8+25lnQUOTEC.4+25ln5 D.4+50ln22.設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點(diǎn)M上,使M沿x軸正向從x=1運(yùn)動(dòng)到x=10,已知F(x)=x2+1且方向和x軸正向相同,則變力F(x)對質(zhì)點(diǎn)M所做的功為________________J(x的單位:m;力的單位:N). 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由汽車?yán)^續(xù)行駛的距離想到積分變量為時(shí)間,被積函數(shù)為速度2由變力F(x)對質(zhì)點(diǎn)M所做的功想到積分變量為位移,被積函數(shù)為力【解析】1.選C.令v(t)=0得,3t24t32=0,解得t=4QUOTE.汽車的剎車距離是QUOTEdt=QUOTEQUOTE=4+25ln5.2.變力F(x)=x2+1使質(zhì)點(diǎn)M沿x軸正向從x=1運(yùn)動(dòng)到x=10所做的功為:W=QUOTEF(x)dx=QUOTE(x2+1)dx=QUOTE=342(J).答案:342定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用(1)求物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,如果變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為v=v(t),那么從時(shí)刻t=a到t=b所經(jīng)過的路程s=QUOTEv(t)dt.(2)變力做功,一物體在變力F(x)的作用下,沿著與F(x)相同方向從x=a移動(dòng)到x=b時(shí),力F(x)所做的功是W=QUOTEF(x)dx.某人吃完飯后散步,在0到3小時(shí)內(nèi)速度與時(shí)間的關(guān)系為v=t33t2+2t(km/h),這3小時(shí)內(nèi)他走過的路程為 ()A.QUOTEkm B.QUOTEkm C.