高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019必修一）專題5.11函數(shù)y=Asin(ωxφ)（重難點題型精講）

專題5.11函數(shù)（重難點題型精講）1．勻速圓周運動的數(shù)學(xué)模型筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(圖5.62).明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖5.62).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.2．,A對函數(shù)的圖象的影響(1)對的圖象的影響函數(shù)（其中）的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點向左(當(dāng)>0時)或向右(當(dāng)<0時)平移||個單位長度而得到(可簡記為“左加右減”).(2)對的圖象的影響

函數(shù)的圖象，可以看作是把的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)>1時)或伸長(當(dāng)0<<1時)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到.(3)對的圖象的影響

函數(shù)的圖象，可以看作是把圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng)A>1時)或縮短(當(dāng)0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到.(4)由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象以上兩種方法的圖示如下：3．函數(shù)的圖象類似于正弦型函數(shù)，余弦型函數(shù)的圖象的畫法有以下兩種.

(1)“五點法”，令，求出相應(yīng)的x值及y值，利用這五個點，可以得到在一個周期內(nèi)的圖象，然后再把這一段上的圖象向左向右延伸，即得的圖象.

(2)“變換作圖法”的途徑有兩種.

一是類似于正弦型函數(shù)的變換作圖法，可由的圖象通過變換作圖法得到(>0,A>0)的圖象，即：二是由誘導(dǎo)公式將余弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，即，再由的圖象通過變換作圖法得到的圖象即可.【題型1“五點法”作函數(shù)的圖象】【方法點撥】用“五點法”畫函數(shù)(x∈R)的簡圖，先作變量代換，令X=，再用方程思想由X取來確定對應(yīng)的x值，最后根據(jù)x,y的值描點、連線、擴展，畫出函數(shù)的圖象.【例1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）用五點法作函數(shù)y=Asinxπ2πωx+φ0ππ3π2πy04040則A，ω，φ的值分別為（

）A．4，2，?π3 B．4，12，π3 C．4，2，π6【解題思路】由表中數(shù)據(jù)求出A、T的值，利用周期公式可求ω的值，根據(jù)圖象過(π6，0)，即可求得【解答過程】解：由表中的最大值為4，最小值為?4，可得A=4，由2π3?π6=∵y=4sin(2x+φ)，圖象過(π∴0=4sin(π6×2+φ)，∴π∵|φ|<π2，∴當(dāng)k=0時，故選：A．【變式11】（2022·全國·高一課時練習(xí)）用“五點法”作y=2cosx?1在[0,2π]的圖象時，應(yīng)取的五點為（A．(0,1),π2,0C．(0,1),(π,?3),(2π,1),(3π,?3),(4π,1) D．(0,1),【解題思路】取[0,2π]內(nèi)五個關(guān)鍵點，即分別令x＝0，π2，3π2，π，2【解答過程】∵y=2cos∴周期T＝2π．由“五點法”作圖可知:應(yīng)描出的五個點的橫坐標(biāo)分別是x＝0，π2，π，3π2，2π．代入解析式可得點的坐標(biāo)分別為(0,1),(π2故選：B．【變式12】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asinωx+φ0ππ3π2πxππ5π7π3πy020?20則f(x)的解析式為（

）A．f(x)=2sin(x?πC．f(x)=sin(2x?π【解題思路】由表格中f(x)的五點，由正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得A=2、T2=π3、【解答過程】由表中數(shù)據(jù)知：A=2且T2=7π∴2πω=2π3，即ω=3，又∴f(x)=2sin故選：D.【變式13】（2021·浙江臺州·高一期中）小明用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asinωx+φ0ππ2πxπ7πy=A020?20請你根據(jù)已有信息推算A，ω,φ的值依次為（

）A．2，2，?π3 B．2，2，π6 C．2，π，?【解題思路】根據(jù)“五點法”中五點對應(yīng)的值計算．【解答過程】由已知A=2，ωπ12解得ω=2φ=故選：D.【題型2三角函數(shù)間圖象的變換】【方法點撥】可以使用“先伸縮后平移”或“先平移后伸縮”兩種方法來進行變換.【例2】（2022·寧夏·高三階段練習(xí)（理））為了得到函數(shù)y=cosx的圖象，只需將函數(shù)y=sinA．橫坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移π6B．橫坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移π3C．橫坐標(biāo)縮短為原來的12，縱坐標(biāo)不變，再向左平移πD．橫坐標(biāo)縮短為原來的12，縱坐標(biāo)不變，再向左平移π【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的函數(shù)變換規(guī)則，結(jié)合誘導(dǎo)公式，可得答案.【解答過程】由函數(shù)y=sin2x+π由sinx+π2=cosx，則將函數(shù)故選：B.【變式21】（2022·天津·高三階段練習(xí)）將函數(shù)fx=sin2x的圖象先向右平移π3個單位長度，再把所得函數(shù)圖象上每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)gA．12 B．?32 C．?【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求得g(x)，再求結(jié)果即可.【解答過程】將函數(shù)fx=sin2x的圖象先向右平移再把所得函數(shù)圖象上每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到gx故gπ故選：C.【變式22】（2022·山東青島·高三期中）把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移π6個長度單位，得到函數(shù)y=sin2x?A．f(x)=sin4x+πC．f(x)=sinx2【解題思路】根據(jù)圖象變換求解析式即可.【解答過程】y=sin2x?π6向左平移π6得到y(tǒng)=sin2x+故選：A.【變式23】（2022·安徽·高二開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=cos2x?3π4，先將fx的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移πA．gx=sinC．gx=?cos【解題思路】利用三角函數(shù)的伸縮變換和平移變換求解.【解答過程】解：先將fx的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=再向左平移π4個單位長度，則g故選：A．【題型3與三角恒等變換有關(guān)的圖象變換問題】【方法點撥】根據(jù)三角恒等變換的相關(guān)知識對所給解析式進行化簡，利用圖象變換規(guī)律進行變換即可.【例3】（2022·廣東廣州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sin2ωx-cos2ωx+1(0<ω<1)，將fx的圖像先向右平移π4個單位長度，然后再向下平移1個單位長度，得到函數(shù)A．14 B．12 C．23【解題思路】根據(jù)輔助角公式將fx化簡，利用圖像變換得到的gx解析式，再由對稱和ω的范圍求得【解答過程】由已知fx將fx的圖像先向右平移π得到gx=2sin2則sinωπ-ωπ故ω=2k+12故選：B.【變式31】（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)f(x)=sin2x+πA．函數(shù)f(x)的最小正周期為2B．函數(shù)f(x)在?πC．將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π6個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為D．將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π12個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為【解題思路】首先利用三角恒等變換化簡函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項【解答過程】解：f(x)=函數(shù)f(x)的最小正周期為T=2πx∈?π4,π4，則2x?π6將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π6個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=sin將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π12個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=sin故選：D.【變式32】（2022·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)f(x)=3sinxcosx+cos2x?1的圖象向右平移π6A．?π12+C．?π3+2k【解題思路】先利用三角恒等變換化簡，得到f(x)=sin2x+π【解答過程】f(x)=3則g(x)=sin令4x?π解得：x∈?故選：A.【變式33】（2022·天津·高三期中）已知函數(shù)fx=cosA．函數(shù)fx的最小正周期為B．函數(shù)fxC．函數(shù)fx在?D．將函數(shù)fx的圖象向右平移π12【解題思路】首先利用三角恒等變換化簡函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項【解答過程】對于A和B，fx=cos2x?π所以fx的最小正周期為2π2=π對于C，當(dāng)x∈?π6因為y=sinx在?π2,對于D，將函數(shù)f(x)的圖像向右平移π12個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=故選：C.【題型4由部分圖象求函數(shù)的解析式】【方法點撥】根據(jù)部分圖象求出解析式中的A，，即可得解.【例4】（2022·黑龍江·高三階段練習(xí)）函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2A．f(x)=2sinx?C．f(x)=2sinx?【解題思路】由函數(shù)圖象得到A、T4，即可求出ω，再根據(jù)函數(shù)過點7π12,?2【解答過程】解：由函數(shù)圖象可得A=2，T4=7π12?所以f(x)=2sin2x+φ，由函數(shù)過7所以7π6+φ=3π2+2k又|φ|<π2，所以所以f(x)=2故選：B.【變式41】（2022·廣東佛山·高三期中）已知函數(shù)fx=Asinωx+φ的圖象如圖所示，則A．fx=2cosC．fx=sin【解題思路】根據(jù)振幅可確定A，根據(jù)周期可確定ω，進而根據(jù)最高點13π12，2【解答過程】由圖可知：A=2,34fx經(jīng)過最高點13π12，2所以fx故選：A．【變式42】（2022·四川·高三期中（理））已知函數(shù)fx=AsinA．直線x=π是函數(shù)fxB．函數(shù)fx的圖象的對稱中心為?πC．函數(shù)fx在3πD．將函數(shù)fx的圖象向左平移π【解題思路】先根據(jù)函數(shù)圖象，求出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)的周期，對稱軸，單調(diào)區(qū)間，奇偶性逐項進行檢驗即可求解.【解答過程】由函數(shù)圖象可知，A=2，最小正周期為T=4×(5π12?π6)=π，所以ω=2ππ=2.將點(對于A，令2x+π6=π2+kπ，k∈Z，即x=π對于B，令fx=2sin(2x+π6)=0，則2x+π6=kπ，k∈Z，所以對于C，令2kπ?π2≤2x+因為x∈3π2,11π6在5π3對于D，將函數(shù)fx的圖象向左平移π12個單位長度后，得到故選：B.【變式43】（2022·寧夏·高三階段練習(xí)（理））函數(shù)fx=AsinA．函數(shù)fx的解析式為B．函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為C．為了得到函數(shù)fx的圖象，只需將函數(shù)gx=2D．函數(shù)fx的圖象關(guān)于點k【解題思路】由題意求出fx【解答過程】對于A選項，不妨設(shè)A>0，則A=3??12由sinω×?π兩式相減得2π3ω=4設(shè)函數(shù)fx的最小正周期為T，因為T所以32≤ω≤3，結(jié)合①，因為?π4+5π因為φ<π，所以，φ=π對于B，由?π解得：?5對于C，將函數(shù)2cos2x+π3向右平移向上平移一個單位長度可得y=2sin對于D，令2x+π3=函數(shù)fx的圖象關(guān)于點π故選：D.【題型5三角函數(shù)模型在勻速圓周運動中的應(yīng)用】【方法點撥】利用三角函數(shù)模型解決實際問題時，首先尋找與角有關(guān)的信息，確定選用正弦、余弦還是正切型函數(shù)模型；其次是尋找數(shù)據(jù)，建立函數(shù)解析式并解題；最后將所得結(jié)果“翻譯”成實際答案，要注意根據(jù)實際作答.【例5】（2022·全國·高一課時練習(xí)）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min.（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；（2）求游客甲在開始轉(zhuǎn)動5min后距離地面的高度；（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：m）關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.【解題思路】（1）如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心Q為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為π15（2）將數(shù)據(jù)代入解析式計算得到答案.（3）計算H1=55sin?=110sin【解答過程】（1）如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心Q為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)t=0min時，游客甲位于點P(0,?55)，以O(shè)P為終邊的角為?根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30min，可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為π15由題意可得H=55sinπ15（2）當(dāng)t=5時，H=55sin所以游客甲在開始轉(zhuǎn)動5min后距離地面的高度約為37.5m.（3）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點A，B表示，則∠AOB=2π經(jīng)過tmin后甲距離地面的高度為H1點B相對于點A始終落后π24此時乙距離地面的高度為H2則甲、乙距離地面的高度差h=55sin利用sinθ+可得?=110sinπ48當(dāng)π15t?π48=π2所以甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為7.2m.【變式51】（2022·陜西漢中·高一期中）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用，明朝科學(xué)家徐光啟所著《農(nóng)政全書》中描繪了筒車的工作原理．如圖，一個半徑為3m的筒車，按逆時針方向轉(zhuǎn)一周的時長為2min，筒車的軸心O距離水面的高度為1.5m，筒車上均勻分布了12個盛水筒，設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為y（單位：m）（在水面下則y為負數(shù)），若以盛水筒P裝剛浮出水面時開始計算時間，則y與時間t（單位：min）之間的關(guān)系為y=Asin(1)求A，m，φ，b的值；(2)盛水簡出水后至少經(jīng)過多長時間就可以到達最高點？【解題思路】（1）由題可得A+b=92?A+b=?32（2）由函數(shù)最大值為92，可得πt?π6=π【解答過程】（1）由題易知A+b=92?A+b=?32由題知T=2=2πω，得∴y=3sin∴0=3sinφ+3∴φ=?π∴A=3，ω=π，b=32，（2）由y=3sinπt?π∴πt?π6=π2+2kπ，∴當(dāng)k=0時，盛水筒出水后第一次到達最高點，此時t=2即盛水簡出水后至少經(jīng)過23【變式52】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知電流隨時間t變化的關(guān)系式是i=5sin(1)求電流i的周期?頻率?振幅和初相;(2)分別求t=0,1【解題思路】（1）由三角函數(shù)的A，ω和φ的意義進行求解即可．（2）代入函數(shù)解析式求值即可.【解答過程】解：（1）∵i=5∴A=5，φ=π3所以函數(shù)的周期T=2πω=2π100π=1（2）當(dāng)t=0時,i=5sin當(dāng)t=1600時,當(dāng)t=1150時,當(dāng)t=7600時,當(dāng)t=160時,【變式53】（2022·吉林·高一期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為4m，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離為2m，筒車每分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動4圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點P從水中浮現(xiàn)（即P0時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心O為坐標(biāo)原點，過點O的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)盛水筒M從點P0運動到點P時所經(jīng)過的時間為t（單位：s），且此時點P距離水面的高度為h（單位：m）（在水面下則h為負數(shù)）.(1)求點P距離水面的高度為h關(guān)于時間為t的函數(shù)解析式；(2)求點P第一次到達最高點需要的時間（單位：s）.【解題思路】（1）根據(jù)題意，建立函數(shù)關(guān)系式；（2）直接解方程即可求解.【解答過程】（1）盛水筒M從點P0運動到點P時所經(jīng)過的時間為t，則以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角為2π15t?π6，故則點P離水面的高度?(t)=4sin(2π（2）令?(t)=4sin(2π15t?π6得t=15k+5，k∈Z，因為點P第一次到達最高點，所以0<t<2π所以k=0,t=5s【題型6函數(shù)與三角恒等變換的綜合應(yīng)用】【方法點撥】對于給角求值問題，需觀察題中角之同的關(guān)系，并能根據(jù)式子的特點構(gòu)造出二倍角的形式，正用、逆用、變形用二倍角公式求值，注意利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對已知式進行轉(zhuǎn)化.【例6】（2022·福建·高三期中）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)將函數(shù)fx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移π6個單位，得到函數(shù)gx的圖象，當(dāng)x∈【解題思路】（1）利用三角恒等變換得到fx（2）根據(jù)伸縮變換和平移變換得到gx=sinx?π【解答過程】（1）fx令π2+2kπ所以函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為：5（2）將函數(shù)fx得到函數(shù)y=sinx?π得到gx因為x∈π2,所以gx的值域為1【變式61】（2022·湖北·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx在區(qū)間?(2)將函數(shù)fx圖像向右移動π6個單位，再將所得圖像上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的a0<a<1倍得到y(tǒng)=gx的圖像，若y=gx【解題思路】（1）先化簡f(x)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案；（2）先利用題意的圖象變換得到gx=2sin【解答過程】（1）依題意可得f(x)=