中考數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí)講義

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)中考數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí)講義（動(dòng)點(diǎn)問題詳細(xì)分層解析，尖子生首選資料）所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類展開性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈便運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題.關(guān)鍵:動(dòng)中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想函數(shù)思想方程思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想注重對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化能力的考查從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對(duì)稱、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”等研究手段和主意，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。挑選基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探索能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力．圖形在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中看見圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才干做好計(jì)算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)”探索題的基本思路,這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)知識(shí)題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。二期課改后數(shù)學(xué)卷中的數(shù)學(xué)壓軸性題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動(dòng)態(tài)幾何、動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)探索等方向發(fā)展．這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力等．從數(shù)學(xué)思想的層面上講：（1）運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)；（2）方程思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）分類思想；（5）轉(zhuǎn)化思想等．研究歷年來各區(qū)的壓軸性試題，就能找到今年中考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)的形成和命題的動(dòng)向，它有利于我們教師在教學(xué)中研究對(duì)策，控制方向．只的這樣，才干更好的培養(yǎng)學(xué)生解題素質(zhì)，在素質(zhì)教誨的背景下更明確地體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)向．本文擬就壓軸題的題型背景和區(qū)別度測(cè)量點(diǎn)的存在性和區(qū)別度小題處理手法提出自己的觀點(diǎn)．專題一：建立動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)解析式函數(shù)揭示了運(yùn)動(dòng)變化過程中量與量之間的變化邏輯,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.動(dòng)點(diǎn)問題反映的是一種函數(shù)思想,因?yàn)槟骋粋€(gè)點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動(dòng)變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動(dòng)點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系.那么,我們?cè)鯓咏⑦@種函數(shù)解析式呢?下面結(jié)合中考試題舉例分析.一、應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式例1)如圖1,在半徑為6,圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上,有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,PH⊥OA,垂足為H,△OPH的重心為G.(1)當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段GO、GP、GH中,有無長(zhǎng)度保持不變的線段?倘若有,請(qǐng)指出這樣的線段,并求出相應(yīng)的長(zhǎng)度.(2)設(shè)PH,GP,求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域(即自變量的取值范圍).HMNGHMNGPOAB圖1解:(1)當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),OP保持不變,于是線段GO、GP、GH中,有長(zhǎng)度保持不變的線段，這條線段是GH=NH=OP=2.(2)在Rt△POH中,,∴.在Rt△MPH中,.∴=GP=MP=(0<<6).(3)△PGH是等腰三角形有三種可能情況:①GP=PH時(shí),,解得.經(jīng)檢驗(yàn),是原方程的根,且符合題意.②GP=GH時(shí),,解得.經(jīng)檢驗(yàn),是原方程的根,但不符合題意.③PH=GH時(shí),.綜上所述,倘若△PGH是等腰三角形,那么線段PH的長(zhǎng)為或2.二、應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式例2如圖2,在△ABC中,AB=AC=1,點(diǎn)D,E在直線BC上運(yùn)動(dòng).設(shè)BD=CE=.(1)倘若∠BAC=30°,∠DAE=105°,試決定與之間的函數(shù)解析式；AEDCB圖2(2)倘若∠BAC的度數(shù)為,∠DAE的度數(shù)為,當(dāng),滿意怎樣的關(guān)系式時(shí),(1)中與之間的函數(shù)解析式還成立?試說明理由.AEDCB圖2解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°,∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB∽△EAC,∴,∴,∴.O●FPDEACB3(1)(2)因?yàn)椤螪AB+∠CAE=,又O●FPDEACB3(1)∴=,收拾得.當(dāng)時(shí),函數(shù)解析式成立.例3(2005年·上海)如圖3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3.點(diǎn)O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心作半圓,與邊AB相切于點(diǎn)D,交線段OC于點(diǎn)E.作EP⊥ED,交射線AB于點(diǎn)P,交射線CB于點(diǎn)F.●PDEAC●PDEACB3(2)OF(2)設(shè)OA=,AP=,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域.(3)當(dāng)BF=1時(shí),求線段AP的長(zhǎng).解:(1)連結(jié)OD.按照題意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP,∴△ADE∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,∴AC=5.∵∠ABC=∠ADO=90°,∴OD∥BC,∴,,∴OD=,AD=.∴AE==.∵△ADE∽△AEP,∴,∴.∴().(3)當(dāng)BF=1時(shí)，①若EP交線段CB的延伸線于點(diǎn)F,如圖3(1)，則CF=4.∵∠ADE=∠AEP,∴∠PDE=∠PEC.∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE,∴∠F=∠FEC,∴CF=CE.∴5-=4,得.可求得,即AP=2.②若EP交線段CB于點(diǎn)F,如圖3(2),則CF=2.類似①,可得CF=CE.∴5-=2,得.可求得,即AP=6.綜上所述,當(dāng)BF=1時(shí),線段AP的長(zhǎng)為2或6.三、應(yīng)用求圖形面積的主意建立函數(shù)關(guān)系式ABCO圖8H例4如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,⊙A的半徑為1.若點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動(dòng)(與點(diǎn)B、C不重合),設(shè)BO=,△ABCO圖8H(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.(2)以點(diǎn)O為圓心,BO長(zhǎng)為半徑作圓O,求當(dāng)⊙O與⊙A相切時(shí),△AOC的面積.解:(1)過點(diǎn)A作AH⊥BC,垂足為H.∵∠BAC=90°,AB=AC=,∴BC=4,AH=BC=2.∴OC=4-.∵,∴().(2)①當(dāng)⊙O與⊙A外切時(shí),在Rt△AOH中,OA=,OH=,∴.解得.此時(shí),△AOC的面積=.②當(dāng)⊙O與⊙A內(nèi)切時(shí),在Rt△AOH中,OA=,OH=,∴.解得.此時(shí),△AOC的面積=.綜上所述,當(dāng)⊙O與⊙A相切時(shí),△AOC的面積為或.專題二：動(dòng)態(tài)幾何型壓軸題動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)問題背景是異常圖形，考查問題也是異常圖形，所以要控制好普通與異常的關(guān)系；分析過程中，異常要擔(dān)心圖形的特性（異常角、異常圖形的性質(zhì)、圖形的異常位置。）動(dòng)點(diǎn)問題向來是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探索運(yùn)動(dòng)中的異常性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、異常角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作容易推薦，解題主意、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。一、以動(dòng)態(tài)幾何為主線的壓軸題（一）點(diǎn)動(dòng)問題．1．（09年徐匯區(qū)）如圖，中，，，點(diǎn)在邊上，且，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作，分離交邊于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)以點(diǎn)為圓心長(zhǎng)為半徑的⊙和以點(diǎn)為圓心長(zhǎng)為半徑的⊙相切時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)以邊為直徑的⊙與線段相切時(shí)，求的長(zhǎng)．[題型背景和區(qū)別度測(cè)量點(diǎn)]本題改編自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一線三角(三等角)問題,試題在原題的基礎(chǔ)上改編出第一小題,當(dāng)E點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滲透入圓與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第二小題,參加直線與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第三小題．區(qū)別度測(cè)量點(diǎn)在直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系,從而利用方程思想來求解．[區(qū)別度性小題處理手法]1．直線與圓的相切的存在性的處理主意：利用d=r建立方程．2．圓與圓的位置關(guān)系的存在性(相切問題)的處理主意：利用d=R±r()建立方程．3．解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段.[略解]解：（1）證實(shí)∽∴，代入數(shù)據(jù)得，∴AF=2（2）設(shè)BE=,則利用（1）的主意，相切時(shí)分外切和內(nèi)切兩種情況考慮：外切，，；內(nèi)切，，．∴當(dāng)⊙和⊙相切時(shí)，的長(zhǎng)為或．（3）當(dāng)以邊為直徑的⊙與線段相切時(shí)，．類題=1\*GB2⑴一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：09楊浦25題（四月、五月）、09靜安25題、=2\*GB2⑵兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)：09閘北25題、09松江25題、09盧灣25題、09青浦25題．（二）線動(dòng)問題在矩形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)O在對(duì)角線AC上，直線l過點(diǎn)O，且與AC垂直交AD于點(diǎn)E.(1)若直線l過點(diǎn)B，把△ABE沿直線l翻折，點(diǎn)A與矩形ABCD的對(duì)稱中央A＇重合，求BC的長(zhǎng)；ABCDEOlA′(2)若直線l與AB相交于點(diǎn)F，且AO＝AC，設(shè)AD的長(zhǎng)為，五邊形BCDEF的面積為S.ABCDEOlA′②探索：是否存在這樣的，以A為圓心，以長(zhǎng)為半徑的圓與直線l相切，若存在，哀求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．[題型背景和區(qū)別度測(cè)量點(diǎn)]ABCDABCDEOlF[區(qū)別度性小題處理手法]1．找面積關(guān)系的函數(shù)解析式，規(guī)矩圖形套用公式或用割補(bǔ)法，不規(guī)矩圖形用割補(bǔ)法．2．直線與圓的相切的存在性的處理主意：利用d=r建立方程．3．解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段.[略解](1)∵A’是矩形ABCD的對(duì)稱中央∴A’B＝AA’＝AC∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6(2)①，，，∴，()②若圓A與直線l相切，則，(舍去)，∵∴不存在這樣的，使圓A與直線l相切．[類題]09虹口25題．（三）面動(dòng)問題如圖，在中，，、分離是邊、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），且保持，以為邊，在點(diǎn)的異側(cè)作正方形.（1）試求的面積；（2）當(dāng)邊與重合時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)；（3）設(shè)，與正方形重疊部分的面積為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（4）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．[題型背景和區(qū)別度測(cè)量點(diǎn)]例七,典型的共角相似三角形問題,試題為了形成坡度，在原題的基礎(chǔ)上改編出求等腰三角形面積的第一小題,當(dāng)D點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，正方形整體動(dòng)起來，GF邊落在BC邊上時(shí)，恰好和教材中的例題對(duì)應(yīng)，可以說是相似三角形對(duì)應(yīng)的小高比大高=對(duì)應(yīng)的小邊比大邊，探尋正方形和三角形的重疊部分的面積與線段AD的關(guān)系的函數(shù)解析式形成了第三小題，依然屬于面積類習(xí)題來設(shè)置區(qū)別測(cè)量點(diǎn)一，用等腰三角形的存在性來設(shè)置區(qū)別測(cè)量點(diǎn)二．[區(qū)別度性小題處理手法]1．找到三角形與正方形的重疊部分是解決本題的關(guān)鍵，如上圖3-1、3-2重疊部分分離為正方形和矩形包括兩種情況．2．準(zhǔn)確的抓住等腰三角形的腰與底的分類，如上圖3-3、3-4、3-5用方程思想解決．3．解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段.[略解]解：（1）.（2）令此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為，則，解得.（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.（4）.[類題]改編自09奉賢3月考25題，將條件（2）“當(dāng)點(diǎn)M、N分離在邊BA、CA上時(shí)”,去掉，同時(shí)加到第（3）題中.ABFDEMNC已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30o，BC=6，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在線段DC上，DE=3，△DEF是等邊三角形，邊DF、EF與邊BAABFDEMNC（1）求證：△BDM∽△CEN；（2）設(shè)BD=，△ABC與△DEF重疊部分的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域．（3）當(dāng)點(diǎn)M、N分離在邊BA、CA上時(shí),是否存在點(diǎn)D，使以M為圓心,BM為半徑的圓與直線EF相切,倘若存在，哀求出x的值；如不存在，請(qǐng)說明理由．例1：已知⊙O的弦AB的長(zhǎng)等于⊙O的半徑，點(diǎn)C在⊙O上變化（不與A、B）重合，求∠ACB的大小.分析：點(diǎn)C的變化是否影響∠ACB的大小的變化呢?我們不妨將點(diǎn)C改變一下,如何變化呢？可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧AB上變化，顯然這兩者的結(jié)果不一樣。那么，當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時(shí)，∠ACB所對(duì)的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，因此很天然地想到它的圓心角，連結(jié)AO、BO，則因?yàn)锳B=OA=OB，即三角形ABC為等邊三角形，則∠AOB=600，則由同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：∠ACB=∠AOB=300，當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時(shí)，∠ACB所對(duì)的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由∠AOB=600得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-600=3000，則由同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：∠ACB=1500，因此，本題的答案有兩個(gè)，分離為300或1500.反思：本題通過點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)的不決定性而引起結(jié)果的不唯一性。從而需要分類研究。這樣由點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)變化性而引起的分類研究在解題中常常浮上。變式1：已知△ABC是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若，求∠C的大小.本題與例1的區(qū)別只是AB與圓的半徑的關(guān)系發(fā)生了一些變化,其解題主意與上面一致,在三角形AOB中,,則,即,從而當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時(shí)，∠C所對(duì)的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，即,當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時(shí)，∠C所對(duì)的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由∠AOB=1200得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-1200=2400，則由同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：∠C=1200，因此或∠C=1200.變式2:如圖,半經(jīng)為1的半圓O上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B，若AB=1，判斷∠AOB的大小是否會(huì)隨點(diǎn)A、B的變化而變化，若變化，求出變化范圍，若不變化，求出它的值。四邊形ABCD的面積的最大值。解：（1）因?yàn)锳B=OA=OB，所以三角形AOB為等邊三角形，則∠AOB=600，即∠AOB的大小不會(huì)隨點(diǎn)A、B的變化而變化。（2）四邊形ABCD的面積由三個(gè)三角形組成，其中三角形AOB的面積為，而三角形AOD與三角形BOC的面積之和為，又由梯形的中位線定理得三角形AOD與三角形BOC的面積之和，要四邊形ABCD的面積最大，只需EH最大，顯然EH≤OE=，當(dāng)AB∥CD時(shí)，EH=OE，因此四邊形ABCD的面積最大值為+=.對(duì)于本題學(xué)生們還可以繼續(xù)思量:四邊形ABCD的周長(zhǎng)的變化范圍.變式3:如圖,有一塊半圓形的木板,現(xiàn)要把它截成三角形板塊.三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B，另一個(gè)頂點(diǎn)C在半圓上，問怎樣截取才干使截出的三角形的面積最大？要求說明理由（廣州市2000年考題）分析：要使三角形ABC的面積最大，而三角形ABC的底邊AB為圓的直徑為常量，只需AB邊上的高最大即可。過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，連結(jié)CO，因?yàn)镃D≤CO，當(dāng)O與D重合，CD=CO，因此，當(dāng)CO與AB垂直時(shí)，即C為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，其三角形ABC的面積最大。本題也可以先預(yù)測(cè)，點(diǎn)C為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三角形ABC的面積最大，故只需另選一個(gè)位置C1（不與C重合），，證實(shí)三角形ABC的面積大于三角形ABC1的面積即可。如圖顯然三角形ABC1的面積=AB×C1D，而C1D<C1O=CO,則三角形ABC1的面積=AB×C1D<AB×C1O=三角形ABC的面積,因此,對(duì)于除點(diǎn)C外的隨意點(diǎn)C1,都有三角形ABC1的面積小于三角形三角形ABC的面積,故點(diǎn)C為半圓中點(diǎn)時(shí),三角形ABC面積最大.本題還可研究三角形ABC的周長(zhǎng)何時(shí)最大的問題。提醒：利用周長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系。要三角形ABC的周長(zhǎng)最大，AB為常數(shù)，只需AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2AC×BC=AB2+4×ΔABC的面積，因此ΔABC的面積最大時(shí)，AC+BC最大，從而ΔABC的周長(zhǎng)最大。從以上一道題及其三個(gè)變式的研究我們不難發(fā)現(xiàn),解決動(dòng)態(tài)幾何問題的常見主意有:異常探路，普通推證例2：如圖，⊙O1和⊙O2內(nèi)切于A，⊙O1的半徑為3，⊙O2的半徑為2，點(diǎn)P為⊙O1上的任一點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），直線PA交⊙O2于點(diǎn)C，PB切⊙O2于點(diǎn)B，則的值為（A）（B）（C）（D）分析：本題是一道挑選題，給出四個(gè)答案有且惟獨(dú)一個(gè)是準(zhǔn)確的，因此可以取一個(gè)異常位置舉行研究，當(dāng)點(diǎn)P滿意PB⊥AB時(shí)，可以通過計(jì)算得出PB=BC×AP=BP×AB，因此BC=，在三角形BPC中，PC=，所以，=選（B）固然，本題還可以按照三角形相似得，即可計(jì)算出結(jié)論。作為一道挑選題，到此已經(jīng)完成，但倘若是一道解答題，我們得出的結(jié)論只是一個(gè)異常情況，還要進(jìn)一步證實(shí)對(duì)普通情況也成立。例3：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點(diǎn)E和點(diǎn)F分離在邊AB、AC上滑動(dòng)并保持AE=CF,但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與B、A重合。判斷OEF的形狀，并加以證實(shí)。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值.AEF的面積是否隨著點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。分析：本題結(jié)論很難發(fā)現(xiàn)，先從異常情況入手。最異常情況為E、F分離為AB、AC中點(diǎn)，顯然有ΔEOF為等腰直角三角形。還可發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)E與A無限臨近時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)C無限臨近，此時(shí)ΔEOF無限臨近ΔAOC，而ΔAOC為等腰直角三角形，幾種異常情況都可以得出ΔEOF為等腰直角三角形。普通情況下成立嗎？OE與OF相等嗎？∠EOF為直角嗎？能否證實(shí)。倘若它們成立，便可以推出三角形OFC與三角形OEA全等，普通情況下這兩個(gè)三角形全等嗎？不難從題目的條件可得：OA=OC，∠OCF=∠OAE，而AE=CF，則ΔOEA≌ΔOFC，則OE=OF，且∠FOC=∠EOA，所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900，則∠EOF為直角，故ΔEOF為等腰直角三角形。動(dòng)手實(shí)踐，操作確認(rèn)例4）在⊙O中，C為弧AB的中點(diǎn)，D為弧AC上任一點(diǎn)（與A、C不重合），則（A）AC+CB=AD+DB(B)AC+CB<AD+DB(C)AC+CB>AD+DB(D)AC+CB與AD+DB的大小關(guān)系不決定分析:本題可以通過動(dòng)手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的長(zhǎng)度，可以嘗試換幾個(gè)位置量一量，得出結(jié)論（C）例5：如圖，過兩同心圓的小圓上任一點(diǎn)C分離作小圓的直徑CA和非直徑的弦CD，延伸CA和CD與大圓分離交于點(diǎn)B、E，則下列結(jié)論中準(zhǔn)確的是（*）（A）（B）（C）（D）的大小不決定分析：本題可以通過度量的主意舉行，選（B）本題也可以可以證實(shí)得出結(jié)論，連結(jié)DO、EO，則在三角形OED中，因?yàn)閮蛇呏钚∮诘谌?，則OE—OD<DE,即OB—OA<DE,因此,即建立聯(lián)系，計(jì)算說明例6：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在邊DC上，且DM=1，N為對(duì)角線AC上隨意一點(diǎn)，則DN+MN的最小值為.分析：能否將DN和NM舉行轉(zhuǎn)化，與建立三角形兩邊之和大于第三邊等問題，很天然地想到軸對(duì)稱問題，因?yàn)锳BCD為正方形，因此連結(jié)BN，顯然有ND=NB，則問題就轉(zhuǎn)化為BN+NM的最小值問題了，普通情況下：BN+NM≥BM,惟獨(dú)在B、N、M三點(diǎn)共線時(shí)，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值為BM=本題通過建立平面上三個(gè)點(diǎn)中構(gòu)成的三角形中的兩邊之和大于第三邊及共線時(shí)的兩邊之和等于第三邊的異常情況求最小值，最后通過勾股定理計(jì)算得出結(jié)論。例7：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點(diǎn)E和點(diǎn)F分離在邊AB、AC上滑動(dòng)并保持AE=CF,但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與B、A重合。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值.AEF的面積是否隨著點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。（即例3的第2、第3問）分析：(2)本題的主意無數(shù)，其一，可以建立四邊形AEOF與AE長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式，如設(shè)AE=x，則AF=，而三角形AOB的面積與三角形AOE的面積之比=，而三角形AOB的面積=，則三角形AOE的面積=，同理三角形AOF的面積=，因此四邊形AEOF的面積=；即AEOF的面積不會(huì)隨點(diǎn)E、F的變化而變化，是一個(gè)定值，且為2.固然，本題也可以這樣思量，因?yàn)槿切蜛OE與三角形COF全等，則四邊形AEOF的面積與三角形AOC的面積相等，而AOC的面積為2，因此AEOF的面積不會(huì)隨點(diǎn)E、F的變化而變化，是一個(gè)定值，且為2.本題通過建立函數(shù)關(guān)系或有關(guān)圖形之間的關(guān)系,然后通過容易的計(jì)算得出結(jié)論的主意應(yīng)用比較廣泛.第(3)問,也可以通過建立函數(shù)關(guān)系求得,AEF的面積=,又的變化范圍為,由二次函數(shù)知識(shí)得AEF的面積的范圍為:AEF的面積.本題也可以按照三角形AEF與三角形OEF的面積關(guān)系決定AEF的面積范圍:不難證實(shí)AEF的面積≤OEF的面積，它們公用邊EF，取EF的中點(diǎn)H，顯然因?yàn)镺EF為等腰直角三角形，則OH⊥EF，作AG⊥EF，顯然AG≤AH=AG（=），所以AEF的面積≤OEF的面積，而它們的和為2，因此AEF的面積.本題包容的內(nèi)涵十分豐盛，還可以提出無數(shù)問題研究：比如，比較線段EF與AO長(zhǎng)度大小等（可以通過A、E、O、F四點(diǎn)在以EF為直徑的圓上得出無數(shù)結(jié)論）例8：如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動(dòng)。倘若Ｐ、Ｑ同時(shí)出發(fā)，用t秒表示移動(dòng)的時(shí)光（0≤t≤6），那么：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，三角形QAP為等腰三角形？（2）求四邊形QAPC的面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？分析：（1）當(dāng)三角形QAP為等腰三角形時(shí)，因?yàn)椤螦為直角，只能是AQ=AP，建立等量關(guān)系，，即時(shí)，三角形QAP為等腰三角形；（2）四邊形QAPC的面積=ABCD的面積—三角形QDC的面積—三角形PBC的面積==36，即當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形QAPC的面積不變。（3）顯然有兩種情況：△PAQ∽△ABC，△QAP∽△ABC，由相似關(guān)系得或，解之得或建立關(guān)系求解，包含的內(nèi)容多，可以是函數(shù)關(guān)系，可以是方程組或不等式等，通過解方程、或函數(shù)的最大值最小值，自變量的取值范圍等方面來解決問題；也可以是通過一些幾何上的關(guān)系，描述圖形的特征，如全等、相似、共圓等方面的知識(shí)求解。作為訓(xùn)練學(xué)生們可以綜合上述主意求解：練習(xí)1已知ABC為直角三角形，AC=5，BC=12，∠ACB為直角，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），Q是BC邊上動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合）如圖，當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點(diǎn)，求線段CP的長(zhǎng)。當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，求出線段CQ的長(zhǎng)的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說明理由。第1問很易得出P為AB中點(diǎn)，則CP=第2問：倘若CPQ為直角三角形，因?yàn)镻Q與AC不平行，則∠Q不可能為直角又點(diǎn)P不與A重合，則∠PCQ也不可能為直角，只能是∠CPQ為直角，即以CQ為直徑的圓與AB有交點(diǎn)，設(shè)CQ=2x，CQ的中點(diǎn)D到AB的距離DM不大于CD，，即，所以，由，即，而，故，亦即時(shí)，CPQ可能為直角三角形。固然還有其它主意。學(xué)生們可以繼續(xù)研究。練習(xí)2：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC的中點(diǎn)，（1）寫出點(diǎn)O到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C距離的大小關(guān)系。（2）倘若點(diǎn)M、N分離在線段AB、AC上移動(dòng)，移動(dòng)中保持AN＝BM，請(qǐng)判斷△OMN的形狀，并證實(shí)你的結(jié)論。該題與例3類似，學(xué)生們可以仿本大類習(xí)題的個(gè)性：1．代數(shù)、幾何的高度綜合（數(shù)形結(jié)合）；著力于數(shù)學(xué)本質(zhì)及核心內(nèi)容的考查;四大數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)結(jié)合、分類研究、方程、函數(shù)．2．以形為載體，研究數(shù)量關(guān)系；通過設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式；研究異常情況下的函數(shù)值．專題三：雙動(dòng)點(diǎn)問題點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)構(gòu)成的問題稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題.它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動(dòng)變化為主線，集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題.這類題綜合性強(qiáng)，能力要求高，它能全面的考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力.其中以靈便多變而著稱的雙動(dòng)點(diǎn)問題更成為今年中考試題的熱點(diǎn)，現(xiàn)采擷幾例加以分類淺析，供讀者贊賞.1以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求函數(shù)圖象問題

例1(2009年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如圖1).動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BA，AD，DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度都是1cm/s.而當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q正巧到達(dá)點(diǎn)C.設(shè)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，經(jīng)過的時(shí)光為t(s)時(shí)，△BPQ的面積為y(cm)2(如圖2).分離以t，y為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P在AD邊上從A到D運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與t的函數(shù)圖象是圖3中的線段MN.

(1)分離求出梯形中BA，AD的長(zhǎng)度；

(2)寫出圖3中M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)分離寫出點(diǎn)P在BA邊上和DC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與t的函數(shù)關(guān)系式(注明自變量的取值范圍)，并在圖3中補(bǔ)全囫圇運(yùn)動(dòng)中y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象.

評(píng)析本題將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中形成的函數(shù)解析式與其相應(yīng)的函數(shù)圖象有機(jī)的結(jié)合在一起，二者相輔相成，給人以清新、淡雅之感.本題彰顯數(shù)形結(jié)合、分類研究、函數(shù)建模與參數(shù)思想在解題過程中的靈便運(yùn)用.解決本題的關(guān)鍵是從函數(shù)圖象中決定線段AB、梯形的高與t的函數(shù)關(guān)系式，建立起y與t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而按照函數(shù)關(guān)系式補(bǔ)充函數(shù)圖象.

2以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求結(jié)論展開性問題

例2如圖5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，0)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，53)，AB=10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D(0，2)出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)光為t秒.

(1)求∠BAO的度數(shù).

(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OPQ的面積S(平方單位)與時(shí)光t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，(如圖6)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度.

(3)求(2)中面積S與時(shí)光t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

(4)倘若點(diǎn)P，Q保持(2)中的速度不變，那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)光t的增大而增大；沿著BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)光t的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使∠OPQ=90°的點(diǎn)P有幾個(gè)?請(qǐng)說明理由.

解(1)∠BAO=60°.

(2)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒.

評(píng)析本題是以雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)構(gòu)建的集函數(shù)、展開、最值問題于一體的綜合題.試題有難度、有梯度也有區(qū)別度，是一道具有很好的選拔功能的好題.解決本題的關(guān)鍵是從圖象中獲取P的速度為2，然后建立S與t的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)解得問題(3).本題的難點(diǎn)是題(4)，考生要從題目的信息中決定建立以B為直角頂點(diǎn)的三角形，以B為臨界點(diǎn)舉行分類研究，進(jìn)而決定點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.

3以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求存在性問題

例3如圖8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分離沿B→A，B→C運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB，分離交AN，CD于P，Q.當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)盡頭C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)光為t秒.

(1)若a=4厘米，t=1秒，則PM=厘米；

(2)若a=5厘米，求時(shí)光t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；

(3)若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；

(4)是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等?若存在，求a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

評(píng)析本題是以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，矩形為背景創(chuàng)設(shè)的存在性問題.試題由淺入深、層層遞進(jìn)，將幾何與代數(shù)知識(shí)完美的綜合為一題，側(cè)重對(duì)相似和梯形面積等知識(shí)點(diǎn)的考查，本題的難點(diǎn)主要是題(3)，解決此題的關(guān)鍵是運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)用t的代數(shù)式表示PM，進(jìn)而利用梯形面積相等列等式求出t與a的函數(shù)關(guān)系式，再利用t的范圍決定的a取值范圍.第(4)小題是題(3)結(jié)論的拓展應(yīng)用，在解決此問題的過程中，要有全局觀念以及對(duì)問題的整體控制.4以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求函數(shù)最值問題

例4)如圖9，在邊長(zhǎng)為82cm的正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們分離從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，沿對(duì)角線以1cm/s的相同速度運(yùn)動(dòng)，過E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角邊于H；過F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角邊于G，連結(jié)HG、EB.設(shè)HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S1，AE、EB、BA圍成的圖形面積為S2(這里規(guī)定：線段的面積為0).E到達(dá)C，F(xiàn)到達(dá)A停止.若E的運(yùn)動(dòng)時(shí)光為x(s)，解答下列問題：

(1)當(dāng)0<X

(2)①若y是S1與S2的和，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(圖10為備用圖)

②求y的最大值.

解(1)以E、F、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為82，所以AC=16，過B作BO⊥AC于O，則OB=89，因?yàn)锳E=x，所以S2=4x，因?yàn)镠E=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)，當(dāng)S1=S2時(shí)，4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以當(dāng)x=6時(shí)，S1=S2.

(2)①當(dāng)0≤x<8時(shí)，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，

當(dāng)8≤x≤16時(shí)，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16，

所以S1=(16-x)(2x-16)，所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.

②當(dāng)0≤x<8時(shí)，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以當(dāng)x=5時(shí)，y的最大值為50.

當(dāng)8≤x≤16時(shí)，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，

所以當(dāng)x=13時(shí)，y的最大值為82.

綜上可得，y的最大值為82.

評(píng)析本題是以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，正方形為背景創(chuàng)設(shè)的函數(shù)最值問題.要求學(xué)生仔細(xì)讀題、領(lǐng)略題意、畫出不同情況下的圖形，按照?qǐng)D形建立時(shí)光變量與其它相關(guān)變量的關(guān)系式，進(jìn)而構(gòu)建面積的函數(shù)表達(dá)式.本題在知識(shí)點(diǎn)上側(cè)重對(duì)二次函數(shù)最值問題的考查，要求學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、靈便的解題主意、良好的思維品質(zhì)；在解題思想上著重對(duì)數(shù)形結(jié)合思想、分類研究思想、數(shù)學(xué)建模等思想的靈便運(yùn)用.專題四：函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題例題如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B。⑴求拋物線的解析式；（用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式為）⑵若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；⑶銜接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△OBP與△OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。例1題圖例1題圖圖1圖2分析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)應(yīng)以兩個(gè)頂點(diǎn)的連線為四邊形的邊和對(duì)角線來考慮問題以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形要分類研究:按OB為邊和對(duì)角線兩種情況2.函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題普通有三個(gè)解題途徑①求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為異常三角形。按照未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對(duì)應(yīng)邊分類研究。②或利用已知三角形中對(duì)應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來推導(dǎo)邊的大小。③若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長(zhǎng)度，之后利用相似來列方程求解。練習(xí)1、已知拋物線經(jīng)過及原點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式．（由普通式得拋物線的解析式為）（2）過點(diǎn)作平行于軸的直線交軸于點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線平行于軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形．是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（3）倘若符合（2）中的點(diǎn)在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個(gè)三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？練習(xí)2、如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處。已知折疊，且。（1）判斷與是否相似？請(qǐng)說明理由；（2）求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）是否存在過點(diǎn)D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？倘若存在，請(qǐng)直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；倘若不存在，請(qǐng)說明理由。Oxy練習(xí)2圖CBED練習(xí)3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)和．Oxy練習(xí)2圖CBED（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（由普通式得拋物線的解析式為）（2）若直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；CBA練習(xí)4圖PyyCxBA練習(xí)3圖（3）若點(diǎn)CBA練習(xí)4圖PyyCxBA練習(xí)3圖OO練習(xí)4(2009廣東湛江市)如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積．（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似．若存在，哀求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由．練習(xí)5、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，，點(diǎn)的坐標(biāo)分離為，，．ACOBxy（1）求過點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn)，，，ACOBxy（2）在軸上找一點(diǎn)，銜接，使得與相似（不包括全等），并求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如分離是和上的動(dòng)點(diǎn)，銜接，設(shè)，問是否存在這樣的使得與相似，如存在，哀求出的值；如不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案例題、解:⑴由題意可設(shè)拋物線的解析式為∵拋物線過原點(diǎn)，∴∴.圖1拋物線的解析式為,即圖1⑵如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時(shí),CDEQ\O(\s\up2(∥),\s\do3(＝))OB,由得,∴B(4,0),OB＝4.∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6將x＝6代入,得y＝－3,∴D(6,－3);圖2按照拋物線的對(duì)稱性可知,在對(duì)稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2,－3),圖2當(dāng)OB為對(duì)角線即四邊形OCBD是平行四邊形時(shí),D點(diǎn)即為A點(diǎn),此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)⑶如圖2，由拋物線的對(duì)稱性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.若△BOP與△AOB相似,必須有∠POB＝∠BOA＝∠BPO設(shè)OP交拋物線的對(duì)稱軸于A′點(diǎn),顯然A′(2,－1)∴直線OP的解析式為由,得.∴P(6,－3)過P作PE⊥x軸,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,∴PB＝≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴△PBO與△BAO不相似,同理可說明在對(duì)稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點(diǎn).所以在該拋物線上不存在點(diǎn)P,使得△BOP與△AOB相似.練習(xí)1、解：（1）由已知可得：解之得，．因而得，拋物線的解析式為：．（2）存在．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，要使，則有，即解之得，．當(dāng)時(shí)，，即為點(diǎn)，所以得要使，則有，即Oxy圖1CBEDOxy圖1CBED312A當(dāng)時(shí)，，所以得．故存在兩個(gè)點(diǎn)使得與相似．點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）在中，因?yàn)椋裕?dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，．所以．因此，都是直角三角形．又在中，因?yàn)椋裕从校?，圖2OxyC圖2OxyCBEDPMGlNAF所以．練習(xí)2解：（1）與相似。理由如下：由折疊知，，，又，。（2），設(shè)AE=3t，則AD=4t。由勾股定理得DE=5t。。由（1），得，，。在中，，，解得t=1。OC=8，AE=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，3），設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，解得，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（16，0）。（3）滿意條件的直線l有2條：y=－2x+12，y=2x－12。如圖2：確切畫出兩條直線。練習(xí)3解：（1）二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)和，由 解得此二次函數(shù)的表達(dá)式為 ．（2）假設(shè)存在直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似．yxBEAOCD在yxBEAOCD．令，得．．設(shè)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．．要使或，已有，則只需， ①或 ②成立．若是①，則有．而．在中，由勾股定理，得．解得 （負(fù)值舍去）．．點(diǎn)的坐標(biāo)為．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得．滿意條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為．［或求出直線的函數(shù)表達(dá)式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達(dá)式為．此時(shí)易知，再求出直線的函數(shù)表達(dá)式為．聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為．］若是②，則有．而．在中，由勾股定理，得．解得 （負(fù)值舍去）．．點(diǎn)的坐標(biāo)為．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得．滿意條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為．存在直線或與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似，且點(diǎn)的坐標(biāo)分離為或．（3）設(shè)過點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得．此直線的函數(shù)表達(dá)式為．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，并代入，得．xBEAxBEAOCP·．點(diǎn)的坐標(biāo)為．此時(shí)，銳角．又二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，銳角；圖1CPByA圖1CPByA當(dāng)時(shí)，銳角．練習(xí)四解：（1）令，得解得令，得∴ABC（2）∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB，∴PAB=過點(diǎn)P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE=∴P∵點(diǎn)P在拋物線上∴解得，（不合題意，舍去）

∴PE=∴四邊形ACBP的面積=AB?OC+AB?PE=(3)．假設(shè)存在∵PAB=BAC=∴PAACGM圖2CByPA∵M(jìn)G軸于點(diǎn)G，∴MGA=PGM圖2CByPA在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=∴AP=設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則M①點(diǎn)M在軸左側(cè)時(shí)，則(ⅰ)當(dāng)AMGPCA時(shí)，有=GM圖3CByPA∵AG=GM圖3CByPA解得（舍去）（舍去）(ⅱ)當(dāng)MAGPCA時(shí)有=即解得：（舍去）∴M②點(diǎn)M在軸右側(cè)時(shí)，則(ⅰ)當(dāng)AMGPCA時(shí)有=∵AG=，MG=∴解得（舍去）∴M(ⅱ)當(dāng)MAGPCA時(shí)有=即解得：（舍去）

∴M∴存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，練習(xí)5、解：（1）點(diǎn)，，，點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)過點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式為，圖1由得，直線的函數(shù)表達(dá)式為圖1（2）如圖1，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，在和中，，點(diǎn)為所求又，，（3）這樣的存在圖2在中，由勾股定理得如圖1，當(dāng)時(shí)，圖2則，解得如圖2，當(dāng)時(shí)，則，解得例1(2008福建福州)如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分離沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)光為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t＝2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；（2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QR//BA交AC于點(diǎn)R，連結(jié)PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ？分析:由t＝2求出BP與BQ的長(zhǎng)度,從而可得△BPQ的形狀;作QE⊥BP于點(diǎn)E,將PB,QE用t表示,由=×BP×QE可得S與t的函數(shù)關(guān)系式;先證得四邊形EPRQ為平行四邊形,得PR=QE,再由△APR∽△PRQ,對(duì)應(yīng)邊成比例列方程,從而t值可求.解:(1)△BPQ是等邊三角形,當(dāng)t=2時(shí),AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP.又因?yàn)椤螧=600,所以△BPQ是等邊三角形.(2)過Q作QE⊥AB,垂足為E,由QB=2t,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以=×BP×QE=(6-t)×t=－t2+3t；(3)因?yàn)镼R∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因?yàn)椤螩=600,所以△QRC是等邊三角形,這時(shí)BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.因?yàn)锽E=BQ·cos600=×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP=QR,又EP∥QR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形,所以PR=EQ=t,由△APR∽△PRQ,得到,即,解得t=,所以當(dāng)t=時(shí),△APR∽△PRQ.點(diǎn)評(píng):本題是雙動(dòng)點(diǎn)問題.動(dòng)態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型.這類試題信息量大,對(duì)學(xué)生們獲取信息和處理信息的能力要求較高;解題時(shí)需要用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去看見和研究問題,挖掘運(yùn)動(dòng)、變化的全過程,并異常擔(dān)心運(yùn)動(dòng)與變化中的不變量、不變關(guān)系或異常關(guān)系,動(dòng)中取靜,靜中求動(dòng).例2(2008浙江溫州)如圖，在中，，，，分離是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交于，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)，．（1）求點(diǎn)到的距離的長(zhǎng)；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，哀求出所有滿意要求的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．分析:由△BHD∽△BAC,可得DH;由△RQC∽△ABC,可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;由腰相等列方程可得的值;注重需分類研究.解：（1），，，．點(diǎn)為中點(diǎn)，．，．，，∴（2），．，，，，即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：．（3）存在.按腰相等分三種情況：ABCDERPHQM21①ABCDERPHQM21，，．，，ABCDEABCDERPHQ②當(dāng)時(shí)，，．③當(dāng)時(shí)，則為中垂線上的點(diǎn)，于是點(diǎn)為的中點(diǎn)，．，，．綜上所述，當(dāng)為或6或時(shí)，為等腰三角形．點(diǎn)評(píng):建立函數(shù)關(guān)系式,實(shí)質(zhì)就是把函數(shù)y用含自變量x的代數(shù)式表示;要求使為等腰三角形的的值,可假設(shè)為等腰三角形,找到等量關(guān)系,列出方程求解,因?yàn)轭}設(shè)中沒有指明等腰三角形的腰,故還須分類研究.五、以圓為載體的動(dòng)點(diǎn)問題動(dòng)點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，中考常?？疾?，有一類動(dòng)點(diǎn)問題，題中未說到圓，卻與圓有關(guān)，只要巧妙地構(gòu)造圓，以圓為載體，利用圓的有關(guān)性質(zhì)，問題便會(huì)迎刃而解；此類問題主意巧妙，耐人尋味。例1.在中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），Q是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，哀求出線段CQ的長(zhǎng)的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說明理由。（03年廣州市中考）分析：不論P(yáng)、Q如何運(yùn)動(dòng)，∠PCQ都小于∠ACB即小于90°，又因?yàn)镻Q與AC不平行，所以∠PQC不等于90°，所以惟獨(dú)∠CPQ為直角，△CPQ才可能是直角三角形，而要判斷△CPQ是否為直角三角形，只需構(gòu)造以CQ為直徑的圓，按照直徑所對(duì)的圓周角為直角，若AB邊上的動(dòng)點(diǎn)P在圓上，∠CPQ就為直角，否則∠CPQ就不可能為直角。以CQ為直徑做半圓D。①當(dāng)半圓D與AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M，連結(jié)DM，則DM⊥AB，且AC＝AM＝5所以設(shè)，則在中，，即解得：，所以即當(dāng)且點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)M的位置時(shí)，△CPQ為直角三角形。②當(dāng)時(shí)，半圓D與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到這兩個(gè)交點(diǎn)的位置時(shí)，△CPQ為直角三角形。③當(dāng)時(shí)，半圓D與直線AB相離，即點(diǎn)P在半圓D之外，0＜∠CPQ＜90°，此時(shí)，△CPQ不可能為直角三角形。所以，當(dāng)時(shí)，△CPQ可能為直角三角形。例2.如圖2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若腰DC上有動(dòng)點(diǎn)P，使AP⊥BP，則這樣的點(diǎn)有多少個(gè)？分析：由條件AP⊥BP，想到以AB為直徑作圓，若CD與圓相交，按照直徑所對(duì)的圓周角是90°，兩個(gè)交點(diǎn)即為點(diǎn)P；若CD與圓相切，切點(diǎn)即是點(diǎn)P；若CD與圓相離，則DC上不存在動(dòng)點(diǎn)P，使AP⊥BP。解：如圖3，以AB為直徑做⊙O，設(shè)⊙O與CD切于點(diǎn)E因?yàn)椤螧＝∠A＝90°所以AD、BC為⊙O的切線即AD＝DE，BC＝CE所以AD＋BC＝CD而條件中AD＋BC＜DC，我們把CD向左平移，如圖4，CD的長(zhǎng)度不變，AD與BC的長(zhǎng)度縮短，此時(shí)AD＋BC＜DC，點(diǎn)O到CD的距離OE