2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖，拋物線L：(x-r)(x-/+4)(常數(shù)f>0)與x軸從左到右的交點(diǎn)為8,A,

過線段04的中點(diǎn)M作MPLx軸，交雙曲線)=《(*>0,%>0)于點(diǎn)P.

(1)當(dāng)，=1時(shí)，求AB長，并求直線與L對稱軸之間的距離；

(2)當(dāng)直線MP與L對稱軸之間的距離為1時(shí)，求Z的值.

(3)把L在直線MP左側(cè)部分的圖象(含與直線”尸的交點(diǎn))記為G,用f表示圖象G

最高點(diǎn)的坐標(biāo)；

(4)設(shè)L與雙曲線有個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xo,且滿足4WxoW6,通過L位置隨f變化的過

程，直談寫出f的取值范圍.

解：(1)當(dāng)f=1時(shí)，令y=0,得：一*(x-1)(%-1+4)—0,解得：xi=1,X2—-3,

AA(1,0),B(-3,0),

."8=4；

為。4中點(diǎn)，

1

：.M(-,0)

2

?拋物線L：y=(x-1)(x+3)=—$(x+1)2+2,

.。.拋物線工的對稱軸為直線》=-1,

3

二直線MP與L對稱軸之間的距離為亍

(2),拋物線L：y=—/(x-f)(x-f+4)的對稱軸為：直線x—t-2,拋物線L與x

軸交點(diǎn)為ACt,0),B(r-4,0)

二線段。4的中點(diǎn)M(1,0)

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由題意得：|1=1,解得：1=2或6,

.\t=2或6；

(3)Vy=(x-f)(x-f+4)=—^[x-(/-2)]2+2

...當(dāng)「2，，即W4時(shí)，圖象G最高點(diǎn)的坐標(biāo)為頂點(diǎn)(L2,2)

當(dāng)「2>今即f>4時(shí)，圖象G最高點(diǎn)的坐標(biāo)為直線與

拋物線L的交點(diǎn)(%-|t2+/)；

(4)如圖，?.,4WxoW6,xo=—,

y。

?,-4<---<6,

y。

o3

.?.iWyoW4即拋物線L與雙曲線在C(4,-),。(6,1)之間的一段有一個(gè)交點(diǎn)

z2

31

①由y=--(4-力(4-7+4),解得：f=5或7,

②由1=一寺(6-力(67+4),解得：f=8-短或8+夜，

隨著r的逐漸增加，拋物線L的位置隨著A(60)向右平移，

當(dāng)f=5時(shí)，L右側(cè)過點(diǎn)C；

當(dāng)r=8—VIV7時(shí)，乙右側(cè)過點(diǎn)。，即5WW8—企；

當(dāng)8-&Vf<7時(shí)，L右側(cè)離開了點(diǎn)O,而左側(cè)未到達(dá)點(diǎn)C,即乙與該段無交點(diǎn)，舍去;

當(dāng)，=7時(shí)，L左側(cè)過點(diǎn)C,

當(dāng)f=8+&時(shí)，乙左側(cè)過點(diǎn)。，即7WW8+a.

綜上所述，f的取值范圍為：5W/W8-e或7<忘8+夜.

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2.如圖，拋物線y=a/+fov+4交y軸于點(diǎn)A,并經(jīng)過8(4,4)和C(6,0)兩點(diǎn)，點(diǎn)。

的坐標(biāo)為(4,0),連接A。，BC,點(diǎn)F從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿線段

OC方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)M同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度

沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸停止時(shí)點(diǎn)M也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)廠的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，過點(diǎn)尸

作A8的垂線EF交直線AB于點(diǎn)E,交AQ于點(diǎn)從

(2)以線段EH為斜邊向右作等腰直角aEHG,當(dāng)點(diǎn)G落在第一象限內(nèi)的拋物線上時(shí),

求出，的值；

(3)設(shè)與四邊形AOC8重合時(shí)的面積為5,請直接寫出S與，的函數(shù)關(guān)系式與相

應(yīng)的自變量/的取值范圍.

解：(1)由題意得：函數(shù)的對稱軸為：x=2,則函數(shù)與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,

0),

則函數(shù)的表達(dá)式為:y=a(x+2)(x-6)=a(x2-4x-12),

1

則-12a=4,解得：a=—右

故拋物線的表達(dá)式為：y=-#+#+4；

(2)將點(diǎn)A、。的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線AD的表達(dá)式為：y=-x+4,

則點(diǎn)E、尸的坐標(biāo)分別為："4)、C,0),

則點(diǎn)，(f,4-t),則點(diǎn)G(B，4—3),

113tr43t

將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入表達(dá)式得：4-1/=(―)2+~(―)+4,

23232

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解得：仁學(xué)；

(3)點(diǎn)M(z+4,0),點(diǎn)E(t,4)、點(diǎn)F(f,0),

S—S^EFM-S^FND—S—^X(4-t)2=-1+4f,

②2<W4時(shí)，

設(shè)直線EM交8c于點(diǎn)R,EF交4。于點(diǎn)KG,4-r),

同理可得：直線ME的表達(dá)式為：y=-x+t+4,

直線8c的表達(dá)式為：y=-2x+12,

聯(lián)立上述兩式并解得：x=8-t,

故點(diǎn)R(8-r,2r-4),

1II、、3、

S=S&EFM-SARCM-SAKFD=2x4X4-2(r+4-6)(2f-4)—々x(4-r)~=-^廣+8-4；

③4VK6時(shí)，

同理可得：S=|(6-r)(6-r)X2=P-12什36；

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1

-2+4￡

2(0<t<2)

3

故-2+8t

24,(2<t<4)

t2-12t+36,(4<t<6)

3.如圖1,已知直線y=2x+2與)，軸，x軸分別交于A,B兩點(diǎn)，以B為直角頂點(diǎn)在第二象

限作等腰RlAABC

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出直線AC的關(guān)系式；

(2)如圖2,直線CB交y軸于E,在直線CB上取一點(diǎn)。，連接AD,若AO=4C,求

證：BE=DE.

(3)如圖3,在(1)的條件下，直線AC交x軸于點(diǎn)M,P(-1,k)是線段8c上一

點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)N,使△8PN面積等于△BCM面積的一半？若存在，請求出

點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：(1)令x=0,則y=2,令y=0,則x=-2,則點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為：(0,2)、(-

1,0),

?：NHCB+NCBH=9G°,NCBH+NABO=90°,；.NABO=NBCH,

NCHB=NBOA=90°,BC=BA,：.ACHB^ABOA(AAS),

：.BH=OA=2,CH=OB,則點(diǎn)C(-3,1),

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]

m=3,

(b=2

故直線AC的表達(dá)式為：)=1A+2：

(2)同理可得直線CD的表達(dá)式為：尸一94…①，則點(diǎn)E(0,-1),

直線A。的表達(dá)式為：y=-3x+2…②，

聯(lián)立①②并解得：x=l,即點(diǎn)。(1,-1),

點(diǎn)8、E、。的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(0,一分、(1,-1),

故點(diǎn)E是8。的中點(diǎn)，即8E=OE；

(3)將點(diǎn)8c的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線BC的表達(dá)式為：y=-^A—p

將點(diǎn)P坐標(biāo)代入直線BC的表達(dá)式得：k=l，

直線AC的表達(dá)式為：y=Jx+2,則點(diǎn)M(-6,0),

115

S^BMC=-x5X1=

15I3

S/\BPN=NBXk=dNB,

亍LS4ABC/M=7=亍o

解得：NB=￥，

故點(diǎn)N(一13芋0)或eg7,0).

3.如圖，在中，NAC8=90°,。為AB邊上的一點(diǎn)，以A。為直徑的。0交8C

于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)凡過點(diǎn)C作CGLA8交A8于點(diǎn)G,交AE于點(diǎn)H,過點(diǎn)E的弦EP

交AB于點(diǎn)。(EP不是直徑)，點(diǎn)。為弦EP的中點(diǎn)，連結(jié)BP,BP恰好為的切線.

(1)求證：BC是。。的切線.

(2)求證：EF=ED.

3

(3)若sin/ABC-g,AC=15,求四邊形CHQE的面積.

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(1)證明：連接。￡0P,

???AO為直徑，點(diǎn)。為弦EP的中點(diǎn)，

???P￡_LA8,點(diǎn)。為弦石尸的中點(diǎn)，

???A8垂直平分EP,

:?PB=BE,

?：OE=OP,OB=OB,

???△BEOdBP。(SSS),

：?/BEO=/BPO,

〈BP為。。的切線，

：.ZBPO=90°,

：.ZBEO=90°,

：.OELBC,

???8C是OO的切線.

(2)證明：ZBEO=ZACB=90°,

：.AC//OEf

：.ZCAE=ZOEA,

???OA=OE,

：.ZEAO=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAO,

：.EF=ED.

(3)解：YA。為的。。直徑，點(diǎn)。為弦EP的中點(diǎn),

J.EPLAB,

VCGLAB,

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.CG//EP,

VZACB=ZBEO=90°,

：.AC//OE,

：.ZCAE=ZAEO9

?：OA=OE,

：.ZEAQ=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAOf

VZACE=ZAQE=90°,AE=AE,

：.AACE^AAQE(A4S),

：.CE=QEf

VZAEC+ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90°,

：?NCEH=4AHG,

NAHG=/CHE,

：.ZCHE=ZCEHf

:?CH=CE,

:?CH=EQ,

???四邊形CHQE是平行四邊形，

?；CH=CE,

???四邊形C"QE是菱形，

AG3

VsinZABC-sinZACG~—=一，

AC5

VAC=15,

???AG=9,

ACG=yjAC2-AG2=12,

VAACE^AA2E,

???AQ=4C=15,

JQG=6,

；HQ2=HG2+QG2,

.?.”Q2=(12-HQ)2+62,

解得：HQ=學(xué),

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：.CH=HQ=寸，

1c

，四邊形CHQE的面積=(7m6。=-yx6=45.

4.如圖，ZvlBC中，AB=AC,O。是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點(diǎn)D

(1)求證：NBAC=2NABD；

(2)當(dāng)△8C￡＞是等腰三角形時(shí)，求/BCQ的大?。?/p>

(3)當(dāng)AO=2,CD=3時(shí)，求邊BC的長.

(1)證明：連接0A.

圖1

'：AB=AC,

：.AB=宿

J.OAVBC,

：.ZBAO^ZCAO,

?：OA=OB,

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ZABD=ZBAO,

：.ZBAC=2ZABD.

(2)解：如圖2中，延長40交8C于〃.

?：AB=AC,

：.ZABC=ZC,

:?/DBC=2/ABD,

VZDBC+ZC+ZBDC=180°,

???8NA5Q=180°,

???NC=3NABO=67.5°.

②若CD=CB,則NC8O=NCD8=3NABO,

：.ZC=4ZABD,

VZZ)BC+ZC+ZCDB=180°,

.'.10ZABD=180°,

:?/BCD=4/ABD=T2°.

③若O5=QC,則。與A重合，這種情形不存在.

綜上所述，NC的值為67.5°或72°.

(3)如圖3中，作AE〃8C交8。的延長線于E.

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A

圖3

AEAD2

則—=—=

BCDC3

AOAE45

???一=—=設(shè)。8=04=4小OH=3a,

OHBH3

'：BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,

，25-49。2=16/-9屋,

,225

"=防’

r萬

：.BC=2BH=簽.

6.已知，如圖：/XABC是等腰直角三角形，ZABC=90°,A8=10,。為AABC外一點(diǎn),

連接A。、BD,過。作OHLAB,垂足為“，交AC于E.

(1)若△ABO是等邊三角形，求OE的長;

(2)若且tan/4DB=I求。E的長.

BD=AB,4

【解答】解：(1)：△AB。是等邊三角形，AB=10,

AZADB=60°,AD=AB^\Q,

"JDHYAB,

1

：.AH=^AB=5,

：.DH=>JAD2-AH2="02—52=5V3,

???△ABC是等腰直角三角形,

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AZCAB=45°,即NAE4=45°,

/\AEH是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

(2)'：DH±AB,且tan/H￡>B=X，

可設(shè)引/=3鼠則QH=4吼

根據(jù)勾股定理得：DB=5k,

'：BD=AB=W,

.?.54=10解得：k=2,

：.DH=S,BH=6,A”=4,

又,：EH=AH=4,

：.DE=DH-EH=4.

7.如圖，已知O。是△ABC的外接圓，AB是。。的直徑，。是