2020-2021學(xué)年新教材高一數(shù)學(xué)寒假輔導(dǎo)講義06 同角三角比與誘導(dǎo)公式（原卷版）

2020-2021學(xué)年新教材高一數(shù)學(xué)寒假輔導(dǎo)講義(滬教版2020)

專題06同角三角比與誘導(dǎo)公式

《司角三角比的關(guān)系］

，筒角三角比的關(guān)京\

【誘導(dǎo)公式

I和誘導(dǎo)公式

+￡角式的化簡與證廟

V>

一、同角三角比的關(guān)系

(-)知識精講

(1)倒數(shù)關(guān)系：sinacsca=1；cosaseca=1；tana-cota=1；

/c、4gsina八、cosa.八、

(2)商數(shù)關(guān)系：tana=-----(zcosawO)；cota=-----(zsinawO)；

cosasina

(3)平方關(guān)系：sin24-cos2?=1；1+tan2a=sec2a；l+coFa=csc2a.

這些關(guān)系式還可以如圖樣加強(qiáng)形象記憶：

(1)對角線上兩個函數(shù)的乘積為1(倒數(shù)關(guān)系).

(2)任一角的函數(shù)等于與其相鄰的兩個函數(shù)的積(商數(shù)關(guān)系).

(3)陰影部分，頂角兩個函數(shù)的平方和等于底角函數(shù)的平方(平方關(guān)系).

注意：

.a

sm

a

1)“同角”的概念與角的表達(dá)形式無關(guān)，如：2=tan—

a2

si2rQa+co2Sa=1,.cos

2

2)上述關(guān)系(公式)都必須在定義域允許的范圍內(nèi)成立.

3)由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的其余各三角函數(shù)值，且因為利用“平方關(guān)系”

公式，最終需求平方根，會出現(xiàn)兩解，因此應(yīng)盡可能少用，若使用時，要注意討論符號.

提問視角：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系反映了同一個角的不同三角函數(shù)之間的必然聯(lián)系，它為

三角函數(shù)的化簡、求值、證明等又提供了一種重要的方法.

（二）典型例題

【例1】下列公式中，在aeR上恒成立的是______________o(填寫相應(yīng)序號)

①sinaesca=1②cosaseca=1③tana?cota=1

小sinaCSa22

⑷tana=-------(5)cota-°@sintz+cosa=1

cosasina

Q

【例2】已知cosa二,。是第二象限角，求￡的其他三角函數(shù)值。

17

已知tana=9,

【例3】求sina、cosa和cota。

12

【例4】已知cota=k求sina,cosa；

【例5】已知6e（0,2乃）,sin。和cosd是方程f+"+\+i=o的兩個根,求左和1的值.

【例6】已知在aABC中，sinA+cosA=7.

5

(1)求sinAcosA的值；

(2)判斷aABC是銳角三角形還是鈍角三角形;

(3)求tanA的值.

【例7】已知sina=2sinB,tana=3tan8,求cosa.

【例8】已知sina=28sa,求當(dāng).一4cosa及$由2a+2sincssa的值。

5sina+2cos(7

【鞏固訓(xùn)練】

1.已知tana=m，求sina和8sa的函數(shù)值。

2.已知tana=』，求下列各式的值:

4sincr-3cosa

(1)(2)4sin2?-3cos2a

5cosa+3sina

^-3

sin6=

k+5，則。所在象限是

3.如果滿足條件

八4-2k

cos6=--------

Z+5

、歷

4.已知sin0+cos^=~~(0<n),求tan。的值.

o

1+sina1

5.已知?則c°s”的值是)

coso2sm4-1

11

A.~B.——C.2D.—2

二、誘導(dǎo)公式

（一）知識精講

當(dāng)角a的三角函數(shù)值已知時，與角a相差"或三（以及整數(shù)倍）的角的三角函數(shù)值就都可

2

以根據(jù)對稱性及坐標(biāo)計算出來，規(guī)律詳見下表。

組別—?二三四五六

2kM+anJI

角冗+a—an-a萬一°---+o

(AeZ)2

—sin

正弦sino-sinosinoCOSocosa

a

-cos—sin

余弦coso—cosacosQsin。

aa

—tan—tan—cot

正切tanQtanQcota

aaa

-cot—cot—tan

余切cotacotatana

aaa

函數(shù)名不變函數(shù)名改變

口訣

符號看象限符號看象限

【注意】①誘導(dǎo)公式都是當(dāng)a取使等式兩邊都有意義時的任意值；

②誘導(dǎo)公式的正負(fù)號的確定：將a看成銳角時，等號左邊的角的三角比的正負(fù)，決定了等號

右邊的正負(fù)號；

③利用以上五組誘導(dǎo)公式可將任意角的三角比轉(zhuǎn)化成銳角或零角的三角比，轉(zhuǎn)化的一般途徑

是：負(fù)角一正角一?[0,2萬)內(nèi)的角一銳角或零角，以上的轉(zhuǎn)化途徑不唯一。

誘導(dǎo)公式可概括為A?5土a(AWZ)的各三角函數(shù)值的化簡公式.記憶規(guī)律是“奇變偶不

JI

變，符號看象限”.其中的奇、偶是指了的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變

化.

(二)典型例題

【例9】(1)求下列各三角比的值.

/八./10乃、(2)cos也；

(1)sin(-----)；(3)tan(-945°)；

36

(4)cos(-585。)

’tan495°+sin(-690°)(5)sin210

8

【例10]已知cos(%-a)二萬，求sin(a-5?),tan(3乃+a)的值.

【例11】①已知sin(°+正)=：,貝Ucos(°+*)=.

②已知cos6-_〃)="!，則sin(q_W_j=________.

③已知cos(-^■+t)=乎，求cos(^.

7、2nl

-6ZT+X)I+COS【I—671—X)I—

.(8萬)c/7兀、

sin+a+2cosa-

【例12】已知tan(a+至)=-3,求一V——4——一U的值.

5(117V\(171\

3sin-----a-cos-----a

I5)\5)

【鞏固訓(xùn)練】

13

1.cos(7r+a)=~~2'~2；r<a<27r,貝ijsin(3^+a)=.

2.已知sin/a+2]=J,則cosja+衛(wèi)的值為______.

I12j3I12；

c1r4門42cos(4-a)—3sin(zr+a)人心,十

3.已知cosa=一一，且一一<a<0,求----------------------的值.

324cos(-a)+sin(2^-a)

4.yjl—2sin(^r+2)COS(TT+2)=.

5.已知A、B、C為AA8C的內(nèi)角,

(1)證明：sin(A+5)=sinC.

(2)若cos(5+C)=3-,求A,

/c、、TrUA+83"+C

(3)證明：tan-------=-tan---------

44

三、三角式的化簡與證明

1+sinal-sina

【例13】已知a是第三象限角，化簡:

1-sina1+sina

【例14](1)化簡：sin2a-tana+cos2acota+2sinacosa；

sin2a?cos4a+sin，a?cos2a

(2)化簡

1-sin4a-cos'a

【例15】化簡下列各式：

(Dcos?(3乃一a)sin(-a+41)sin(-a—乃)

esc2(a—21)-1tan2(a-3乃)

(2)sin2(a+1)cos(a+乃)cot(-a—1)

tan(乃-a)cos3(-a—4)

【例16】化簡：co{4'：l%+a）+co{4：14一卜［（〃￡2）

易錯提示：（1）本題的化簡過程，突出體現(xiàn)了分類討論的思想，當(dāng)然除了運用分類討論的思想將

力分兩類情況來討論外，在解答過程中還處處體現(xiàn)了化歸思想和整體思想.

⑵在轉(zhuǎn)化過程中，缺乏整體意識，是出錯的主要原因.

【例17】求證：(1)sin6x+cos6x=1—3sin2x-cos2x；

/八、2(sinx-cosx)sinxcosx

(2)-------------------=-----------

1+sinx+cosx1+cosx1+sinx

【例18］求證：［(1+sin2a)2-cos4a］-［(1+cos2a)2-sin4(2］=16sin2a-cos2a；

jrjr

【例19］求證：sin［幾4L(一1)〃一］=cos⑵2乃+(一1)"—］,/?€Z.

63

【例2?！恳阎猚ot&（鬻］+（喘2,試正C"（鬻J+］鬻

【鞏固訓(xùn)練】

1.已知方程2f_（6+1）%+加=0的兩根分別是《116,以）56,求sin。+.￡s6>的值。

1一cot。1-tan^

2.已知sine+cose="y（0<e<4）.

求：（1）sin。一cos。的值（2）tan。的值(3)sin"-cos"的值

sin(k7r-a)cos(攵乃+a)

3.若4￡Z,求證:

sin[伏+1)乃+a]cos[(k+1)乃-a\

4.已知：asina+bcosa=c,acosa-bsina=d,求證：a2+b2=c2+d2.

5.已知sinx+cosx+sin%,cosx=l,求：sinx+cosx和sinx?8sx的值.

反思總結(jié)

1、同角三角比的關(guān)系

(1)倒數(shù)關(guān)系：sina-csca=1；cosa-seca=1；tana-cota=1；

/、、sina八、cosa.人、

(2)商數(shù)關(guān)系：tantz=-----(zcosaxO)；cota=-----(zsinawO)；

cosasina

(3)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=l；1+tan2a=sec2a；1+cot2a=csc2a.

2、誘導(dǎo)公式：“奇變偶不變，符號看象限”

2kb+anJI

角n+(7——aJt-a~a5+。

Uez)

—sin

正弦sina—sinasinaCOSaCOSO

a

-cos—sin

余弦cosa—cosQcosasina

aa

—tan-tan-cot

正切tanatanacota

aaa

—cot一cot-tan

余切cotocotatano

aaa

三角比求值主要有三種類型

(1)“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，從表面看較難，但仔細(xì)觀察這類問題中的

角與特殊角都有著一定的關(guān)系，如和或差為特殊角，當(dāng)然還有可能需要運用誘導(dǎo)公式.

(2)“給值求值”，即給出某些角的三角比式的值，求另外一些三角比的值，這類求值問題

關(guān)鍵在于結(jié)合條件和結(jié)論中的角，合理拆、配角.當(dāng)然在這個過程中要注意角的范圍的變化.

(3)“給值求角”，本質(zhì)上還是“給值求值”，只不過往往求出的是特殊角的值，在求出角

之前還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定角，必要時還要討論角的范圍.

3、三角式的化簡與證明方法技巧

同角三角恒等變形是三角恒等變形的基礎(chǔ)，主要是變名、變式.

1.同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對三角函數(shù)符號的影響，尤其是利用平方關(guān)系在求三

角函數(shù)值時，進(jìn)行開方時要根據(jù)角的象限或范圍，判斷符號后，正確取舍.

2.三角求值、化簡是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡時，常用方法有：

sinx

⑴弦切互化法：主要利用公式tanx=——化成正弦、余弦函數(shù)；

cosX

(2)和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sin夕土cos夕)2=l±2sin夕cos。的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化;

(3)巧用“1"的變換：l=sinJ^+cos2^=cos20(1+tan2=sin"~~|=tan—

Itanu)4

=2???

課后練習(xí)

1.已知&<av—，cos(6Z+—)=m(mw0),求tan(——a)的值.

6333

cq/士冗2乃3兀445464

2.求值：cos—+cos——+cos——+cos——+cos——+cos——=

777777---

3.判斷表達(dá)式sin—Fsin--Fsin----Fsin---Fsin---Fsin—的正負(fù).

777777

4.若sin(i+a)+sin(—。)=一機(jī)，貝!Jsin(3;r+a)+2sin(2;r-a)等于

ncos2X

5.當(dāng)0＜水了時，函數(shù)F(x)=??2I的最小值是

cosxsinx-sinx

八#rxmil,Jl+tarrae日

6.右tanawO,貝ijcscc=±---------酒足)

tana

(A)當(dāng)a在一、四象限時，取“+”號

(B)當(dāng)a在二、四象限時，取“一”號

(C)當(dāng)a在一、二象限時，取“+”號

(D)當(dāng)。在第二象限時，取“+”號

7.已知tanl317=a,貝iJsin30予+cos30予()

1+。1-CL

(A)(B)

1+'l+a2