2021年中考復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)考點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練-七十四：相交線與平行線

2021中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練——專題七十四：相交線與平行線

1.如圖，CD//AB,NDCB=70°,NCH沁=20°,N皮3=130°,

(1)問直線顏1與四有怎樣的位置關(guān)系？加以證明；

(2)若/砥-70。,求的度數(shù).

2.如圖，DE平分NADF,DF//BC,點(diǎn)￡,尸在線段AC上，點(diǎn)4,D,8在一直線上，連接阮

(1)若NADX70。,NXS425°,求/煙'的度數(shù)；

(2)若郎平分/胸時(shí)，求證：BF//DE.

B

3.已知直線BC〃ED.

(1)如圖1,若點(diǎn)4在直線龍上，且N5=44°,ZEAC=57°,求NH4c的度數(shù)；

(2)如圖2,若點(diǎn)4是直線龍的上方一點(diǎn)，點(diǎn)G在加的延長(zhǎng)線上，求證：NACG=NBA》NABC；

(3)如圖3,FH平分乙AFE,CH平分乙ACG,且/做比NZ的2倍少60°,直接寫出N4的度數(shù).

4.當(dāng)光線經(jīng)過鏡面反射時(shí)，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對(duì)應(yīng)相等例如：在圖①、圖②中，都有/

1=N2,N3=N4.設(shè)鏡子AB與BC的夾角NABUa.

(1)如圖①，若a=90°,判斷入射光線跖與反射光線面的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)如圖②，若90。<a<180°,入射光線跖與反射光線曲的夾角N用藥B.探索a與6的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

(3)如圖③，若a=120°,設(shè)鏡子0與式1的夾角乙陽=Y(90°<V<180°),入射光線廝與鏡面

血的夾角N1=R(0°<?<90°),已知入射光線廝從鏡面也開始反射，經(jīng)過〃5為正整數(shù)，且〃W3)

次反射，當(dāng)?shù)凇ù畏瓷涔饩€與入射光線跖平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出Y的度數(shù).(可用含有〃的代數(shù)式表示)

5.如圖，在△胸的三邊上有〃，E,b三點(diǎn)，點(diǎn)G在線段01上，N1與N2互補(bǔ)，N3=NC.

(1)若NO=40。，求力的度數(shù)；

(2)判斷物1與a1的位置關(guān)系，并說明理由.

6.如圖，直線四和切相交于點(diǎn)0,0E把N4比1分成兩部分，且/加%ZEOC=2：3,

BC

B

圖2D

(1)如圖1,若乙&切=75°,京NBOE；

(2)如圖2,若如平分Na區(qū)Z.BOF=Z.AOOW,束乙EOF.

7.直線四、切相交于點(diǎn)。，/砌'在NZ勿的內(nèi)部.

(1)如圖①，當(dāng)N4㈤=150°,/a430。時(shí)，求N4卯與乙弦?的度數(shù)和；

(2)在(1)的條件下，請(qǐng)直接寫出圖中與N8優(yōu)互補(bǔ)的角；

(3)如圖②，若射線〃平分乙4如(幽在N￡勿內(nèi)部)，且滿足N反切=22尸陽請(qǐng)判斷乙4必與/附1的

大小關(guān)系并說明理由.

D"

B

C

圖1圖::

8.問題情境

(1)如圖1,已知四〃切，/加=125°,ZPCD=155°,求/叱的度數(shù).

佩佩同學(xué)的思路：過點(diǎn)尸作尸G〃四，進(jìn)而PG〃或，由平行線的性質(zhì)來求N加G求得N=°；

問題遷移

(2)圖2,圖3均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合，4ACB

=90°,DF//CG,3與也相交于點(diǎn)￡,有一動(dòng)點(diǎn)尸在邊宛上運(yùn)動(dòng)，連接陽PA,記NPED=Na,2PAe

=NB.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)夕在C,〃兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出與Na,NB之間的數(shù)量關(guān)系；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在B,〃兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，NAPE與Na,NB之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)判斷并說明理由.

圖1圖2圖3

9.如圖，在△被7中，點(diǎn)〃E,尸分別在形，BC,。上，龍交郎于點(diǎn)G,N1與N2互補(bǔ).

(1)試判斷4C,場(chǎng)的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖，EFLBC,垂足為點(diǎn)￡過點(diǎn)G作就L斯，垂足為點(diǎn)及點(diǎn)兒是線段座上一點(diǎn)，ANBH=ZNHB,

HM平分2NHF.

①求證：HB4公4GHN；

②問/颯的大小是否改變？若不變，請(qǐng)求出N班財(cái)?shù)亩葦?shù)；若改變，請(qǐng)求出/啊的度數(shù)的取值范圍.

圖1圖2

10.如圖：0是直線AB上一點(diǎn),乙4笫=50°,如是N8Q7的角平分線，血定于點(diǎn)0.求乙眈1的度數(shù).(請(qǐng)

補(bǔ)全下面的解題過程)

解：?.?。是直線形上一點(diǎn)，N4比-50°,

：.ZBOC^180°-ZAOC=°.

?即是乙眥的角平分線，

：.ZCOD=ABOC.()

工NC0D=65°.

:/1JL比'于點(diǎn)0,(已知).

：.ACOE=°.()

AADOE=ACOE-^COD=°.

D

AOB

11.如圖，直線ZC〃劭，直線"分別與它們相交于4,B,三條直線把平面分成①(D③④⑤⑥六個(gè)部分(每

個(gè)部分不包括邊界).當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸落在某個(gè)部分時(shí)，連結(jié)Ri,PB,構(gòu)成N處C,NAPB,N■物三個(gè)角.

(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，求證：NAPAZPAOZPBD；

(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)月落在第②部分時(shí)，NPAC,NAPB,乙物三者之間的數(shù)量關(guān)系是.

(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸落在第③部分時(shí)，/PAC,NAPB,/曲三者之間的數(shù)量關(guān)系是.

(4)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸落在第④部分時(shí)，APAC,NAPB,NW三者之間的數(shù)量關(guān)系是,

12.在解答一道課本習(xí)題時(shí)，兩位同學(xué)呈現(xiàn)了不同的做法.

題目：如圖，AB//CD,要使2ABE=2DCF,還需要添加什么條件？證明你的結(jié)論.

(1)小明添加的條件是“CF//BE'.根據(jù)這一條件完成以下分析過程.

已知要證

(2)小剛添加的條件是“CF平分NDCB,BE斗分NABC',根據(jù)這一條件請(qǐng)你完成證明過程.

13.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,已知點(diǎn)凡G分別在直線四，5上，魚ABHCD,若NBFE=40°,NC3130°,

則/婀的度數(shù)為；

(2)拓展探究：/GEF,2BFE,花之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并給出證明；

答：2GEF=.

證明：過點(diǎn)￡作幽〃A5,

:./FEH=/BFE(),

'：AB//CD,EH//AB,(輔助線的作法)

：.EH//CD(),

:.NHEG=180°-ACGE(),

/.4FEG=2HEaZFEH=.

(3)深入探究：如圖2,/破的平分線同所在直線與NG宓的平分線相交于點(diǎn)只試探究NGPQ甘ZGEF

之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論.

14.探究：如圖①，AB//CD//EF,試說明NaK=N班NE下面給出了這道題的解題過程，請(qǐng)?jiān)谙铝薪獯?/p>

中，填上適當(dāng)?shù)睦碛?

解：'：AB//CD,(已知)

工NB=N1.()

同理可證，N4N2.

,:N.BCF^N\+22,

：.Z.BCF=/3NR()

應(yīng)用：如圖②，AB//CD,點(diǎn)尸在四、⑷之間，F(xiàn)E與AB交于點(diǎn)M,及與卬交于點(diǎn)乂若/班A115°,N

順=55。，則N。%的大小為度.

拓展：如圖③，直線切在直線由、步之間，魚AB"CD"EF、點(diǎn)G、〃分別在直線四、EF上,點(diǎn)0是直線

切上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不在直線陽上，連結(jié)QG、QH.若N仇羽=70°,則N4G仆/加=.度?

E

15.已知四〃切，點(diǎn)〃為平面內(nèi)一點(diǎn).

(1)如圖1,NABM和NDCM互余,小明說過〃作如〃形，很容易說明身請(qǐng)幫小明寫出具體過程；

(2)如圖2,四〃當(dāng)點(diǎn)〃在線段加上移動(dòng)時(shí)(點(diǎn)〃與人〃兩點(diǎn)不重合)，指出/威7與/喇乙DCM

的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)〃在兒〃兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)”與瓦A,〃三點(diǎn)不重合)請(qǐng)直接寫出/掰；與

NABM,的數(shù)量關(guān)系.

16.如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，已知也〃勿，分別探討下面三個(gè)圖形中N物產(chǎn)

與NAPC、NDCP的關(guān)系,請(qǐng)任選一個(gè)加以說明.

17.如圖，已知"分別與切、綏交于點(diǎn)G、H,21=55°,Z2=125°.

若NA=NF,求證：NC=4D.

下面是某同學(xué)根據(jù)已知條件推斷/△=/〃的過程，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中補(bǔ)充理由?

證明：因?yàn)镹2+N腑=180°（互為鄰補(bǔ)角），

所以乙仍%180°-Z2=180°-125°=55°.

所以/即=/1=55。.

所以初〃龍（）.

所以N儂=NC（）.

因?yàn)?/=/產(chǎn)（已知），

所以4勿加（）.

所以（）.

所以NO=N〃（等量代換）.

AD

BE

H

i尸

2021中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練——專題七十四：相交線與平行線參考答案

1.如圖，CD//AB,NZO=70°,ZCBF=20°,N回為=130°,

(1)問直線跖與"有怎樣的位置關(guān)系？加以證明;

(2)若N儂-70。,求N4CB的度數(shù).

【答案】解：(1)跖和血的關(guān)系為平行關(guān)系.理由如下:

?:CD"AB,ZDCB=7Q°,

：.ZDCB=ZABC=70°,

■:/CBF=20。,

AZABF=ZABC-ZCBF=50°,

■:NEFB=130°,

:./ABR/EFB=50°+130°=180°,

:.EF〃AB；

(2).：EF〃AB、CD//AB.

:?EF〃CD,

■:/CEF=70°,

：.Z.ECD=n^,

?：ZDCB=70°,

??.AACB=^ECD-4DCB,

：.ZJ6B=40°.

2.如圖，DE斗分NADF,DF//BC,點(diǎn)￡尸在線段4c上，點(diǎn)、A,D,8在一直線上，連接朋

(1)若NADF=70°,NAB/』250,求NQ戶的度數(shù)；

(2)若郎平分/胸時(shí)，求證：BF//DE.

E

L

BC

【答案】解：(1)-：DF//BC,

:.NABC=NADF=70°,

,:匕ABX對(duì),

：.^CBF=1G0-25°=45°;

(2)證明：-：DF//BC,

：.NABC=NADF,

■:BF斗分NABC,DE平分NADF,

：.ZADE=—^ADF,AABF=—Z.ABC,

22

二NADE=Z.ABF,

：.BF//DE.

3.已知直線比〃切.

(1)如圖1,若點(diǎn)4在直線龍上，且N6=44°,ZEAC=57°,求NH4c的度數(shù)；

(2)如圖2,若點(diǎn)4是直線座的上方一點(diǎn)，點(diǎn)G在比的延長(zhǎng)線上，求證：NACG=NBA我NABC；

(3)如圖3,FH平分乙AFE,CH平分■乙ACG,且乙做比NZ的2倍少60。，直接寫出N4的度數(shù).

【答案】解：(1)'：BC//ED,45=44°,

:.NDAB=N444°,

VZ^C^=180°-Z.DAB-Z.EAC

的g80°-44°-57°=79°.

(2)過點(diǎn)/作的〃8G,

圖2

:.NACg/MAC,NABgNMAB

而/也O=/也加N的C

:.2ACG=NMAm/BAC=/LABOABAC.

(3)如圖，設(shè)AC與FH交于點(diǎn)P

圖3

■:FH平分NAFE,綱平分NZCG

AAAFH=ZEFH=—AAFE,^ACH=/LHCG=—^ACG

22

'：BC//ED

：.ZAFE=NB

2

,：Z.A^Z.B=Z.ACG

：.ZACH=^-ZACG=^-ZA+^-ZB

222

在和△期中

'：AAPF=ACPH

：.ZA+—ZB=—ZA+—Z^ZFHC

222

A^FHC=-Z.A

2

：N凡仁24-60°

：.—ZA=2ZA-6Q°

2

.?.4=40°.

4.當(dāng)光線經(jīng)過鏡面反射時(shí)，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對(duì)應(yīng)相等例如：在圖①、圖②中，都有/

1=Z2,Z3=Z4.設(shè)鏡子AB與BC的夾角NABC=a.

(1)如圖①，若a=90°,判斷入射光線即與反射光線做的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)如圖②，若90°<a<180°,入射光線跖與反射光線GH的夾角.探索a與B的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

(3)如圖③，若a=120。，設(shè)鏡子切與員的夾角/"力=Y(90°<V<180°),入射光線跖與鏡面

AS的夾角Nl=m(0°</n<90°),已知入射光線即從鏡面也開始反射，經(jīng)過a(〃為正整數(shù)，且〃W3)

次反射，當(dāng)?shù)凇ù畏瓷涔饩€與入射光線即平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出Y的度數(shù).(可用含有m的代數(shù)式表示)

【答案】解：(1)EF//GH,理由如下：

在△龍G中，Z2+Z3+a=180°,a=90",

...N2+N3=90°,

VZ1=Z2,Z3=Z4,

.,.Zl+Z2+Z3+Z4=180°,

,.,Nl+N2+N/?;=180°,

N3+N4+NMA180°,

：.ZFEa/EGH=180°,

：.EF//Gh；

(2)B=2a-180°,理由如下：

在△應(yīng)1G中，Z2+Z3+a=180°,

...N2+N3=180°-a,

VZ1=Z2,N\=NMEB,

：.42=4MEB,

：.ZMEG=2Z2,

同理可得，/掰陽=2/3,

在△姐。中，AMEG)rZMGE+^=180°,

二8=180°-(NMEG"MGE>

=180°-(2N2+2N3)

=180°-2(N2+N3)

=180°-2(180°-a)

=2a-180°;

(3)900+卬或150°.

理由如下：①當(dāng)〃=3時(shí)，如下圖所示:

圖③

■:NBEG=N'=m,

：.NBGE=NCG46y-m,

：.ZFEG=13G°-2Z1=18O°-2m,

磔匕180°-2NJ曲=180°-2(60--zz?),

'：EF//HK,

:.NFE(hNEG殺NGHK=36Q°,

則/硼=120°,

則/甌=30。，

由△/R內(nèi)角和，得Y=90°+m.

②當(dāng)〃=2時(shí)，如果在比邊反射后與跖平行，則a=90。

與題意不符；

則只能在5邊反射后與斯平行,

如下圖所示：

Gz…….H

圖③

根據(jù)三角形外角定義，得

Zf?=V-60°,

由爐〃題且由(1)的結(jié)論可得，

ZG=V-60°=90°,

則Y=150°.

綜上所述：Y的度數(shù)為：90°+卬或150°.

5.如圖，在△絲C的三邊上有〃，E,尸三點(diǎn)，點(diǎn)G在線段加上，N1與N2互補(bǔ)，N3=NC.

(1)若N/?=40°,求N的的度數(shù);

(2)判斷應(yīng)1與比的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】解：(1)與N2互補(bǔ),

C.AC//DF,

：.ZBFD=ZC=40°；

(2)DE//BC,理由如下：

由(1)可知：NBFD=NC,

VZC^Z3,

:2BFD=23,

：.DE//BC.

6.如圖，直線相和切相交于點(diǎn)0,OE把N4比'分成兩部分，且/加入ZEOC=2：3,

(1)如圖1,若乙&切=75°,束2B0E；

(2)如圖2,若如平分Na區(qū)NB0XNA0ai2：束匕EOF.

【答案】解：(1),:NAOC=NBOgB,NAOE：N&0=2：3,

：.ZBOC=180°-NB0D=18Q°-75°=105°,

33

ACOE=—^AOC=—X1^=45°,

55

:.NBC?NB0C+NC0E=\Q5°+45°=150°；

(2);OF平分匕BOE,

：.ZE0F=ABOF,

'：AB0F=Z.A0C+A,20=￡E0F,

:.NF0C+ZC0E=NAO及NC0EH20,

即：：.Z.F0C=Z.A0E^\2°,

Q

設(shè)NZ應(yīng)一x°,則N尸況三(A+12)°,ZC0E=^x°,

■:NA0拱NE0我NB0F=\8Q°

3

AA+(A+12+—x)X2=180,

2

解得，x=26,

7.直線四、3相交于點(diǎn)。，/砌1在N4如的內(nèi)部.

(1)如圖①，當(dāng)N4?=150°,N反於=30。時(shí)，求NZC戶與/￡如的度數(shù)和;

(2)在(1)的條件下，請(qǐng)直接寫出圖中與N胸互補(bǔ)的角；

(3)如圖②，若射線的平分/2如(如在/￡陽內(nèi)部)，且滿足/￡勿=2/必弘請(qǐng)判斷N4沖與N&F的

大小關(guān)系并說明理由.

【答案】解：（1）.：NDOE+NE0ANA0XNA0g150。且/面430°,

:.NDOENAOF=N150°-30°=120°；

(2)根據(jù)補(bǔ)角的定義可知圖中與/呼互補(bǔ)的角有N)以NAOC、NEOF；

(3)NA0F=NE0F,理由如下：

,：OM平分乙AOD,

：.NDOM=AAOM,

:.NAOXNAOM-Z.FOM

=NDOM-乙FOM

=NEOD-2MOE-乙FOM

=2ZFOM-NMOE-Z.FOM

=/FOM-4MOE

=4EOF'

:"A0F=NE0F.

8.問題情境

(1)如圖1,3為AB〃CD,N7?4=125°,NP面=155°,求/即C的度數(shù).

佩佩同學(xué)的思路：過點(diǎn)尸作PG〃四，進(jìn)而R7〃或，由平行線的性質(zhì)來求N"G求得/阮X°；

問題遷移

(2)圖2,圖3均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合，ZACB

=90°,DF//CG,四與相交于點(diǎn)瓦有一動(dòng)點(diǎn)尸在邊國(guó)上運(yùn)動(dòng)，連接陽PA,記NPEg/a,NPAC

=/B.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在C,。兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出/上與Na,NB之間的數(shù)量關(guān)系；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)、P在B,〃兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，NAPE與Na,NB之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)判斷并說明理由.

圖1圖2圖3

【答案】解：（1）過點(diǎn)尸作PG〃四，PG"CD,

由平行線的性質(zhì)可得/跳/5%=180°,&=180°,

又加=125°,N7W=155°,

：.ZBPC=360°-125°-155°=80°,

故答案為：80；

NAPE馬Za,NB之間的數(shù)量關(guān)系為N//E三Na+NB；

②如圖3,NAPE與Na,NB之間的數(shù)量關(guān)系為N4陽=NB-Na；理由:

過尸作PQ//DF,

B

圖3

'：DF//CG,

：.PQ//CG,

：.Z&=ZQPA,匕a=2QPE,

：.Z.APE=Z.APQ-Z.EPQ=ZP-Na.

9.如圖，在△四C中，點(diǎn)，，E,尸分別在四，BC,。上，班■交好于點(diǎn)G,N1與N2互補(bǔ).

(1)試判斷4C,應(yīng)'的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖，EFLBC,垂足為點(diǎn)及過點(diǎn)G作就1跖，垂足為點(diǎn)〃，點(diǎn)〃是線段的上一點(diǎn)，4NBH=2NHB,

HM4分2NHF.

①求證：HB平分2GHN；

②問/颯的大小是否改變？若不變，請(qǐng)求出/則的度數(shù)；若改變，請(qǐng)求出/或〃的度數(shù)的取值范圍.

圖1圖2

【答案】解：（1）AC//DE,理由如下：

VZ1與N2互補(bǔ),

.".Zl+Z2=180°,

?:乙2=LDGF,

二/1+//?^180°,

：.AC//DE；

圖1圖2

(2)①VEFLBC,GH1EF,

：.ZBEF=ZG//F=90°,

：.BE//GH.

:./NBH=ZBHG,

VNNBH=4NHB,

：.4BHG=4NHB,

J的平分N仍他

②/喇的大小不發(fā)生改變，N嬲U45。,理由如下：

■:HM平分4NHF.

：?4FHM=4NHM,

奧4FHM=46附4BHM4NHB,

■:/FHM^/GHM=90。,

，/曲責(zé)/掰升/加升/仍財(cái)=90°,

V4BHG=4NHB,

???2N而附2/肱=90°,

:./G腑/BHG=^。.

即N幽體=45°.

答：N班財(cái)?shù)拇笮〔话l(fā)生改變，N班陟=45。.

10.如圖：。是直線48上一點(diǎn)，NZg50。，如是乙眥的角平分線，OELOC于點(diǎn)0.求N3應(yīng)的度數(shù).(請(qǐng)

補(bǔ)全下面的解題過程)

解：是直線四上一點(diǎn)，ZAOC=50°,

AZBOC=18Q°-ZAOC=°.

??,切是乙耽的角平分線，

???ZCOD=NBOC.()

AZ6W=65°.

?：0E10C手屈0,(已知).

：.ZCOE=°.()

二4D0E=/COE-NCOD=

【答案】解：：，是直線池上一點(diǎn)，NZQ50°,

：.ZBOC=180°-ZAOC=130°.

?.?如是N88的角平分線，

：.ACOD=^BOC.（角平分線的定義）

二/加=65°.

:她_①于點(diǎn)0,（已知）.

二/。應(yīng)=90°.（垂直的定義）

：.ADOE=ACOE-ZCW=25".

故答案為：130,-1,角平分線的定義，90,垂直的定義，25.

11.如圖，直線ZC〃切，直線四分別與它們相交于4B,三條直線把平面分成①②③④⑤⑥六個(gè)部分（每

個(gè)部分不包括邊界）.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連結(jié)24,PB,構(gòu)成NRfC,AAPB,NPBD三個(gè)角.

（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，求證：NAPB=NPANNPBD；

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸落在第②部分時(shí)，/PAC,Z.APB,NW三者之間的數(shù)量關(guān)系是；

（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸落在第③部分時(shí)，/PAC,乙APB,/物三者之間的數(shù)量關(guān)系是；

（4）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第④部分時(shí)，APAC,AAPB,乙物三者之間的數(shù)量關(guān)系是.

【答案】（1）證明：過點(diǎn)尸作4C的平行線，交AB于點(diǎn)、E,如圖1.

'：PE//AC,AC//BD,

：.PE//BD,

：.Z.PAC=Z.APE,/PBD=/EPB,

：.NAPB=AAPE+AEPB=/PAO/PBD；

(2)解：NAP%NPA供NPBD=36G°.理由如下:

過點(diǎn)P作即〃4C,如圖2,

因?yàn)?7〃故，

所以廝〃初，

所以NBPANPBD=180°.

同理N/^N*kl80°,

因此//所/此碎/切份N胸=360°,

即/加濟(jì)/必G?/帆=360°；

(3)解：2PAe=NAP&r2PBD.理由如下：

如圖3,'：AC//BD,

：.4PBD=4PQC.

V2PAe=AAPB^APQC,

：./PAC=NAPB^/PBD；

(4)解：APAC+^APB=ZPBD.

如圖4,'：AC//BD,

：.ZPBD=APQC.

二ZPAa/APB=/PQC,

:./PAa2APB=2PBD.

故答案為(2)NAP*NPAaNP8D=36G。；

(3)NPAC=NPB殺NAPB；

(4)2PA儕NAPB=2PBD.

題目：如圖，AB//CD,耍根4ABE=4DCF,還需要添加什么條件？證明你的結(jié)論.

(1)小明添加的條件是y.根據(jù)這一條件完成以下分析過程.

已知要證

(2)小剛添加的條件是“CF平分乙DCB,BE平分NABC',根據(jù)這一條件請(qǐng)你完成證明過程.

D

BA

【答案】解：3由CF〃BE,得到乙FCA/EBC,

依據(jù)的是平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；2FCB=2EBC,

(2)'：AB//CD,

：.ZDCgNABC.

■:CF平分4DCB,BE斗公4ABC,

：./LDCB=2^DCF,NABC=2/ABE.

：.NABE=ADCF.

13.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,已知點(diǎn)尸，G分別在直線四，CD上、豆AB"CD,若NBFE=40°,/龍fi-130。，

則/呼的度數(shù)為;

(2)拓展探究：4GEF,4BFE,花之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并給出證明；

答：2GEF=.

證明：過點(diǎn)￡作勿〃相，

:"FEH=/BFE(),

'：AB//CD,EH//AB,(輔助線的作法)

：.EH//CD(),

:.NHEgl80°-Z.CGE(),

二4FEG=4HE給4FEH=.

(3)深入探究：如圖2,N班21的平分線四所在直線與花的平分線相交于點(diǎn)只試探究NGPQ馬NGEF

之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論.

圖3

【答案】解：(1)如圖1,過￡作掰〃相，

'：AB//CD,

：.AB//CD//EH,

：.AHEF=ZBFE=^a,NHE供NCGE=180°,

?.?/狽=130°,

:.NHEG=50°,

:./GEF=/HE我NHEG=鉀+50°=90°；

故答案為：90°；

（2）N幽』N*阱180°-Ng

證明：過點(diǎn)￡作仍〃的，

:.NFEH=NBFE（兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等），

,JAB//CD,EH//AB,（輔助線的作法）

...掰〃5（平行于同一直線的兩直線平行），

二/兩7=180°龍（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

:.ZFEG=4HF俁4FEH=ZBF^180°-NCGE,

故答案為：/期180°-/CGE；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行,

內(nèi)錯(cuò)角相等；N加圻180°-/CGE.

(3)N夕嗎/戚=90°,

理由是：如圖2,?.?昌平分/點(diǎn)GP平公NCGE,

AB

圖2

AZBFQ=—ZBFE,ACGP=—ACGE,

22

△M中，N6Pg/GMF-/PFk/CGP-/BFQ,

：.AGPQ^—AGEF=—ZCGE-—ZBFE+—ZGEF=—X180°=90°.

22222

圖1

14.探究：如圖①，AB//CD//EF,試說明/比產(chǎn)=N9NR下面給出了這道題的解題過程，請(qǐng)?jiān)谙铝薪獯?/p>

中，填上適當(dāng)?shù)睦碛?

解：-：AB//CD,(已知)

.?.NQN1.()

同理可證，N4N2.

■:4BCF=21+匕2,

：.NBCF=4m2F.()

應(yīng)用：如圖②，AB//CD,點(diǎn)尸在AB、切之間，F(xiàn)E與AB交于息M,FG與CD交手氤N.若/班A115°,N

腌=55。，則/的的大小為度.

拓展：如圖③，直線切在直線四、所之間，支AB〃CD"EF,點(diǎn)G、〃分別在直線四、EF上,點(diǎn)0是直線

切上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不在直線GH上,連結(jié)QG、QH.若N小羽=70°,則N4劭N典片.度?

E

【答案】解：探究：?.??〃龍，

:.NB=N1.(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)

同理可證，NP=N2.

?：ZBCF=Nl+/2,

:.NBCF=N濟(jì)NF.(等量代換)

故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，等量代換.

應(yīng)用：由探究可知：4MFN=LAMA乙CNF,

：.ZCNF=NDNG=115°-55°=60°.

故答案為60.

拓展：如圖③中，當(dāng)?shù)?在直線面的右側(cè)時(shí)，N4G/45%=360°-70°=290°,

當(dāng)點(diǎn)0'在直線叩的左側(cè)時(shí)，ZAGQ'+AEHQ'=NGQ"=70°.

故答案為70或290.

圖③

15.已知相〃或，點(diǎn)〃為平面內(nèi)一點(diǎn).

(1)如圖1,NABM和NDCM互余,小明說過〃作如〃四，很容易說明麻L(zhǎng)C".請(qǐng)幫小明寫出具體過程；

(2)如圖2,AB//CD,當(dāng)點(diǎn)〃在線段但上移動(dòng)時(shí)(點(diǎn)〃與力，〃兩點(diǎn)不重合)，指出/肱與N/MNDCM

的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)〃在4〃