高思奧數(shù)導(dǎo)引小學(xué)五年級(jí)含詳解答案第02講：整除

第2講：數(shù)的整除

內(nèi)容概述：

掌握整除的概念和基本性質(zhì)，掌握能被某些特殊數(shù)整除的數(shù)的特征。通過分析整除特

征解決數(shù)的補(bǔ)填問題，以及多位數(shù)的構(gòu)成問題等。

典型問題：

興趣篇

1.下面有9個(gè)自然數(shù)：14,35,80,152,650,434,4375,9064,24125。在這些自然數(shù)中，請(qǐng)問：

(1)有哪些數(shù)能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？

(2)有哪些數(shù)能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？

2.有如下9個(gè)三位數(shù)：452,387,228,975,525,882,715,775,837。這些數(shù)中哪些能

被3整除？哪些能被9整除？哪些能同時(shí)被2和3整除？

3.一個(gè)三位數(shù)序的十位數(shù)字未知。請(qǐng)分別根據(jù)下列要求找出“□”中合適的取值：

(1)如果要求這個(gè)三位數(shù)能被3整除，“口”可能等于多少？

(2)如果要求這個(gè)三位數(shù)能被4整除，“口”可能等于多少？

(3)這個(gè)三位數(shù)有沒有可能同時(shí)被3和4整除，如果有可能，“口”可能等于多少？

4.新學(xué)年開學(xué)了，同學(xué)們要改穿新的校服。雯雯收了9位同學(xué)的校服費(fèi)(每人交的錢一樣多)

交給老師。老師給了雯雯一張紙條，上面寫著“交來校服費(fèi)右三元”其中有一滴墨水，把

方格處的數(shù)字污染得看不清了。牛?？戳丝?，很快就算出了方格處的數(shù)字。聰明的讀者們，

你們能算出這個(gè)數(shù)字是多少嗎？

5.四位數(shù)室口能同時(shí)被3和5整除，求出所有滿足要求的四位數(shù)。

6.四位偶數(shù)6口也能被11整除，求出所有滿足要求的四位數(shù)。

7.多位數(shù)3232321能被11整除，滿足條件的〃最小是多少？

〃個(gè)32

8.一天，王經(jīng)理去電信營業(yè)廳為公司安裝一部電話。服務(wù)人員告訴他，目前只有形如

“1234口6口8”的號(hào)碼可以申請(qǐng)。也就是說，在申請(qǐng)?zhí)柎a時(shí)，方框內(nèi)的兩個(gè)數(shù)字可以隨意選

擇，而其余數(shù)字不得改動(dòng)。王經(jīng)理打算申請(qǐng)一個(gè)能同時(shí)被8和11整除的號(hào)碼。請(qǐng)問：他申

請(qǐng)的號(hào)碼可能是多少？

9.一個(gè)各位數(shù)字互不相同的四位數(shù)能被9整除，把它的個(gè)位數(shù)字去掉后剩下一個(gè)三位數(shù)，這

個(gè)三位數(shù)能被4整除。這個(gè)四位數(shù)最大是多少？

10.(1)一個(gè)多位數(shù)(兩位及兩位以上)，它的各位數(shù)字互不相同，并且含有數(shù)字0。如果

它能被11整除，那么這個(gè)多位數(shù)最小是多少？

(2)一個(gè)多位數(shù)，它的各位數(shù)字之和為13,如果它能被11整除，那么這個(gè)多位數(shù)最小是

多少？

拓展篇

1.判斷下面11個(gè)數(shù)的整除性：

23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407.

(1)這些數(shù)中，有哪些數(shù)能被4整除？哪些數(shù)能被8整除？

(2)哪些數(shù)能被25整除？哪些數(shù)能被125整除？

(3)哪些數(shù)能被3整除？哪些數(shù)能被9整除？

(4)哪些數(shù)能被11整除？

2.歷口是一個(gè)四位數(shù)。數(shù)學(xué)老師說：“我在其中的方框內(nèi)先后填入3個(gè)數(shù)字，得到3個(gè)四位

數(shù)，依次能被9、11、8整除?！眴枺簲?shù)學(xué)老師在方框中先后填入的3個(gè)數(shù)字之和是多少？

3.五位數(shù)3口07口能同時(shí)被11和25整除。這個(gè)五位數(shù)是多少？

4.牛叔叔給45名工人發(fā)完工資后，將總錢數(shù)記在一張紙上。但是記賬的那張紙被香煙燒了

兩個(gè)洞，上面只剩下“67口8口”,其中方框表示被燒出的洞。牛叔叔記得每名工人的工資都

一樣，并且都是整數(shù)元。請(qǐng)問：這45名工人的總工資有可能是多少元呢？

5.六位數(shù)口200組能同時(shí)被9和11整除。這個(gè)六位數(shù)是多少？

6.請(qǐng)從1、2、3、4、5、6、7這7個(gè)數(shù)字中選出5個(gè)組成一個(gè)五位數(shù)，使它是99的倍數(shù)。

這個(gè)五位數(shù)最大是多少？

7.雯雯寫了一個(gè)兩位數(shù)59,牛牛寫了一個(gè)兩位數(shù)89,他們讓羊羊?qū)懸粋€(gè)一位數(shù)放在59與

89之間拼成一個(gè)五位數(shù)H國，使得這個(gè)五位數(shù)能被7整除。請(qǐng)問：羊羊?qū)懙臄?shù)是多少？

8.已知51位數(shù)5555口999能被13整除，中間方格內(nèi)的數(shù)字是多少？

25個(gè)525個(gè)9

9.用數(shù)字6、7、8各兩個(gè)，要組成能同時(shí)被6、7、8整除的六位數(shù)。請(qǐng)寫出一個(gè)滿足要求的

六位數(shù)。

10.牛牛和羊羊玩一個(gè)數(shù)字游戲。牛牛先將一個(gè)三位數(shù)的百位與個(gè)位填好，然后羊羊來填寫

這個(gè)三位數(shù)的十位。如果最后這個(gè)三位數(shù)能被11整除，那么羊羊獲勝，否則牛牛獲勝。牛

牛想了一會(huì)，想到了一個(gè)必勝的辦法。請(qǐng)問：牛牛想到的辦法是什么？

11.對(duì)于一個(gè)自然數(shù)N,如果具有以下的性質(zhì)就稱為“破壞數(shù)”：把它添加到任何一個(gè)自然數(shù)

的右端，形成的新數(shù)都不能被N+1整除。請(qǐng)問：一共有多少個(gè)不大于10的破壞數(shù)？

12.一個(gè)五位數(shù)，它的末三位為999.如果這個(gè)數(shù)能被23整除，那么這個(gè)五位數(shù)最小是多少？

超越篇

1.在所有各位數(shù)字互不相同的五位數(shù)中，能被45整除的數(shù)最小是多少？

2.將自然數(shù)1,2,3,…,依次寫下去形成一個(gè)多位數(shù)“123456789101112…”。寫出某個(gè)數(shù)N時(shí),

所形成的多位數(shù)恰好第一次能被90整除。請(qǐng)問：N是多少？

3.雯雯的爸爸買回來兩箱杯子。兩個(gè)箱子上各貼有一張價(jià)簽，分別寫著“總價(jià)117.DA元”、“總

價(jià)127.。?元”（口、△、。、?四個(gè)數(shù)字已辨認(rèn)不清，但是它們互不相同）。爸爸告訴雯雯,

其中一箱裝了99只A型杯子，另一箱裝了75只8型杯子，每只杯子的價(jià)格都是整數(shù)分。

但是爸爸記不清每個(gè)價(jià)簽具體是多少錢，也不記得哪個(gè)箱子裝的是A型杯子，哪個(gè)箱子裝

的是8型杯子了。爸爸知道雯雯的數(shù)學(xué)水平很厲害，于是他想考考雯雯。

雯雯看了看，說：“這可難不倒我，我剛好學(xué)了一些復(fù)雜的整除性質(zhì)，這下可以派上用場了。”

同學(xué)們，你能像雯雯一樣把價(jià)簽上的數(shù)分辨出來嗎？

4.牛牛在一張紙條上依次寫下2、3、4、5、6、7這6個(gè)數(shù)字，形成一個(gè)六位數(shù)。羊羊把這

張紙條撕成了三節(jié)。這三節(jié)紙條上的數(shù)加起來得到的和（如圖2-1,三節(jié)紙條上的和為

23+456+7=486）能被55整除。請(qǐng)問：羊羊可能是在什么位置撕斷的這張紙條？

圖2-1

5.將一個(gè)自然數(shù)N接在任一自然數(shù)的右面（例如將2接在13的右面得到132）,如果所得的

新數(shù)都能被N整除，那么稱N為“神奇數(shù)”。請(qǐng)求出所有的兩位“神奇數(shù)”。

(希望杯培訓(xùn)試題)

6.在六位數(shù)11口口11中的兩個(gè)方框內(nèi)各填入一個(gè)數(shù)字，使此數(shù)能被17和19整除。方框中的

兩位數(shù)是多少？

7.多位數(shù)A由數(shù)字1、3、5、7,9組成，每個(gè)數(shù)字都可以重復(fù)出現(xiàn)但至少出現(xiàn)一次，而且A

可以被4中任意一個(gè)數(shù)字整除。求這樣的力的最小值。

8.有一些自然數(shù)，從左向右讀與從右向左讀是完全一樣的，我們將這樣的數(shù)稱作“回文數(shù)”。

比如2332、181、77都是回文數(shù)。如果一個(gè)六位回文數(shù)除以95的商也是回文數(shù)，那么這個(gè)

六位數(shù)是多少？

第2講：數(shù)的整除

內(nèi)容概述：

掌握整除的概念和基本性質(zhì)，掌握能被某些特殊數(shù)整除的數(shù)的特征。通過分析整除特

征解決數(shù)的補(bǔ)填問題，以及多位數(shù)的構(gòu)成問題等。

典型問題：

興趣篇

1.下面有9個(gè)自然數(shù)：14,35,80,152,650,434,4375,9064,24125.在這些自然數(shù)中，請(qǐng)問：

(1)有哪些數(shù)能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？

(2)有哪些數(shù)能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？

【分析】(1)能被2整除的數(shù)末位應(yīng)是2的倍數(shù)，有：14,80,152,650,434,9064,:

能被4整除的末兩位應(yīng)為4的倍數(shù)，有：80,152,9064;

能被8整除的末三位應(yīng)為8的倍數(shù)，有：80,152,9064:

(2)能被5整除的末位應(yīng)為5的倍數(shù),有35,80,650,4375,24125;

能被25整除的末兩位應(yīng)為25的倍數(shù),有：650,4375,24125;

能被125整除的末三位應(yīng)為125的倍數(shù)，有：4375,24125;

2.有如下9個(gè)三位數(shù)：452,387,228,975,525,882,715,775,837。這些數(shù)中哪些能

被3整除？哪些能被9整除？哪些能同時(shí)被2和3整除？

【分析】能被3整除的應(yīng)為數(shù)字和為3的倍數(shù)，有：387,228,975,525,882,837:

能被9整除的數(shù)字和應(yīng)為9的倍數(shù)，有：387,882,837;

能同時(shí)被2和3整除的數(shù)有：228、882。

3.一個(gè)三位數(shù)?的十位數(shù)字未知。請(qǐng)分別根據(jù)下列要求找出“□”中合適的取值：

(1)如果要求這個(gè)三位數(shù)能被3整除，“口”可能等于多少？

(2)如果要求這個(gè)三位數(shù)能被4整除，“口”可能等于多少？

(3)這個(gè)三位數(shù)有沒有可能同時(shí)被3和4整除，如果有可能，“口”可能等于多少？

【分析】(1)數(shù)字和保證是3的倍數(shù)，則可填寫2,5,8:

(2)能被4整除，則末兩位能被4整除，則可填寫0、2、4、6、8;

(3)既能被3又能被4整除，則兩者均需符合，應(yīng)填2或者8

4.新學(xué)年開學(xué)了，同學(xué)們要改穿新的校服。雯雯收了9位同學(xué)的校服費(fèi)(每人交的錢一樣多)

交給老師。老師給了雯雯一張紙條，上面寫著“交來校服費(fèi)心港元”其中有一滴墨水，把

方格處的數(shù)字污染得看不清了。牛?？戳丝?，很快就算出了方格處的數(shù)字。聰明的讀者們，

你們能算出這個(gè)數(shù)字是多少嗎？

【分析】令該四位數(shù)為2a38,則數(shù)字和應(yīng)為9的倍數(shù)，所以，a=5。

5.四位數(shù)室口能同時(shí)被3和5整除，求出所有滿足要求的四位數(shù)。

【分析】由于該數(shù)能被5整除，則末位為0或者5;

(1)當(dāng)末位為5時(shí)，五祈應(yīng)為3的倍數(shù)，則“可等于2、5、8;此時(shí)四位數(shù)有2295,2595,2895;

(2)當(dāng)末位為0時(shí)，礪5應(yīng)為3的倍數(shù)，則。可等于1,4,7,此時(shí)的四位數(shù)有2190,2490,2790。

所以滿足條件的四位數(shù)共有6個(gè)，如上。

6.四位偶數(shù)?口能被11整除，求出所有滿足要求的四位數(shù)。

【分析】令該數(shù)為初，根據(jù)題意，能被11整除的數(shù)應(yīng)為從末位開始，奇數(shù)位數(shù)字之

和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差應(yīng)為11的倍數(shù)。所以a+h=10,并且為偶數(shù)，則共有4個(gè)

滿足條件的四位數(shù)分別為：6248,6446,6644,6842。

7.多位數(shù)3232321能被11整除，滿足條件的〃最小是多少？

”個(gè)32

【分析】能被11整除的數(shù)應(yīng)為奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差應(yīng)為11的倍數(shù)。

則奇數(shù)位數(shù)字之和應(yīng)該為：3n+1：偶數(shù)位數(shù)字之和為：2〃.

則n的最小值為10。

8.一天，王經(jīng)理去電信營業(yè)廳為公司安裝一部電話。服務(wù)人員告訴他，目前只有形如

“1234口6口8”的號(hào)碼可以申請(qǐng)。也就是說，在申請(qǐng)?zhí)柎a時(shí)，方框內(nèi)的兩個(gè)數(shù)字可以隨意選

擇，而其余數(shù)字不得改動(dòng)。王經(jīng)理打算申請(qǐng)一個(gè)能同時(shí)被8和11整除的號(hào)碼。請(qǐng)問：他申

請(qǐng)的號(hào)碼可能是多少？

【分析】令該數(shù)為無而磁，根據(jù)題意，該數(shù)能被8整除，所以該數(shù)必然能被4整除，

則〃應(yīng)為0、2、4、6、8,該數(shù)又能被8整除，則人為0或者4或者8。

而該數(shù)又能被11整除，奇數(shù)位數(shù)字之和為：20：偶數(shù)位數(shù)字之和為：a+b+4o由于

則。+人=5或者。+人=16。

,,fa=1fa=5

在。+匕=5時(shí)，有《，或者，

〃=4他=0

67=8

在。+方=16時(shí)，有一組解，＜

b=8

所以，他申請(qǐng)的號(hào)碼共有3種可能。

9.一個(gè)各位數(shù)字互不相同的四位數(shù)能被9整除，把它的個(gè)位數(shù)字去掉后剩下一個(gè)三位數(shù)，這

個(gè)三位數(shù)能被4整除。這個(gè)四位數(shù)最大是多少？

【分析】由于四位數(shù)要盡可能的大，則位數(shù)高的要盡可能的大，又該數(shù)的千位百位十位

所組成的三位數(shù)，則前三位最大為984,則令該四位數(shù)為984a,這個(gè)四位數(shù)又能被9

整除。所以。=6。所以這個(gè)四位數(shù)最大為9846

10.(1)一個(gè)多位數(shù)(兩位及兩位以上)，它的各位數(shù)字互不相同，并且含有數(shù)字0?如果

它能被11整除，那么這個(gè)多位數(shù)最小是多少？

(2)一個(gè)多位數(shù)，它的各位數(shù)字之和為13,如果它能被11整除，那么這個(gè)多位數(shù)最小是

多少？

【分析】(1)根據(jù)題意，該位的各位數(shù)字互不相同，且還能被11整除。不存在這樣的

兩位數(shù)；

則必為三位數(shù)，令該三位數(shù)為則有：a+c-人為11的倍數(shù)，又因?yàn)槠渲幸豁?xiàng)為0,

則若c為0,顯然不存在；

則只能6為0,則此時(shí)a+c=ll,滿足條件的最小的多位數(shù)為209；

(2)根據(jù)題意，該多位數(shù)也不可能是兩位數(shù)，因?yàn)閮晌粩?shù)中能被11整除的數(shù)必為偶數(shù)；

若該數(shù)為三位數(shù)，令該數(shù)為“be,則有a+c+b=13,且有(a+c)-/?=O或者11,由于

兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差必然同時(shí)為奇數(shù)或者同時(shí)為偶數(shù)。所以只能是a+c+b=13與

(。+。)一匕=11同時(shí)成立。所以有：b=l,a+c=12,則這樣的多位數(shù)最小是319。

拓展篇

1.判斷下面11個(gè)數(shù)的整除性：

23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407.

(1)這些數(shù)中，有哪些數(shù)能被4整除？哪些數(shù)能被8整除？

(2)哪些數(shù)能被25整除？哪些數(shù)能被125整除？

(3)哪些數(shù)能被3整除？哪些數(shù)能被9整除？

(4)哪些數(shù)能被11整除？

【分析】(1)末兩位能被4整除，該數(shù)即能被4整除；

末三位能被8整除，該數(shù)即能被8整除。

所以，能被4整除的數(shù)有：3568,5880,6512,864;

能被8整除的數(shù)有:3568,5880,6512,864;

(2)末兩位是25的倍數(shù),該數(shù)就能被25整除；

末三位是125的倍數(shù)，該數(shù)就能被125整除。

所以能被25整除的數(shù)有：8875,93625：

能被125整除的數(shù)有：8875,93625;

(3)數(shù)字和是3的倍數(shù)即能被3整除，數(shù)字和為9的信數(shù)即能被9整除。

所以，能被3整除的數(shù)有：23487,6765,5880,198954,864:

能被9整除的數(shù)有：198954,864;

(4)從末位開始，奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差如果為11的倍數(shù)，即為11的倍

數(shù)。

則為11的倍數(shù)的有：6765,6512,407:

2.近口是一個(gè)四位數(shù)。數(shù)學(xué)老師說：“我在其中的方框內(nèi)先后填入3個(gè)數(shù)字，得到3個(gè)四位

數(shù)，依次能被9、11、8整除。”問：數(shù)學(xué)老師在方框中先后填入的3個(gè)數(shù)字之和是多少？

【分析】方法一：能被6整除的數(shù)，其數(shù)字和是3的倍數(shù)，且末位為0,2,4,6,8的其

中之一1+7+3=11,當(dāng)口內(nèi)填入1,4,7時(shí)，為3的倍數(shù)，但只有4為偶數(shù)，所

以當(dāng)口內(nèi)填入4組成的數(shù)為6的倍數(shù).

1+7+3=11,當(dāng)口內(nèi)填入7時(shí)，1735的數(shù)字和為18,為9的倍數(shù)，所以當(dāng)口內(nèi)填

7所組成的數(shù)為9的倍數(shù)；

173□的奇數(shù)位數(shù)字和為7+口，偶位數(shù)數(shù)字和為1+3=4,所以當(dāng)口內(nèi)填

11+4-7=時(shí)，奇數(shù)位數(shù)字和和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為11,所組成的數(shù)為11的

倍數(shù)；

所以，這三種情況下填入口內(nèi)的數(shù)字的和為7+8+4=19.

方法二：采用試除法

用1730試除，1730+9=1922,1730+11=1573,1730+6=2882.

所以依次添上(9一2)=7、(11-3)=8,(6-2)=4后得到的1737、1738、1734

依次能被9、11、6整除.

所以，這三種情況下填入口內(nèi)的數(shù)字的和為7+8+4=19.

3.五位數(shù)3口07口能同時(shí)被11和25整除。這個(gè)五位數(shù)是多少？

【分析】該數(shù)能被25整除，則末兩位應(yīng)為25的倍數(shù)。所以個(gè)位為5。

則令該五位數(shù)為麗麗，則該數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和為：8;偶數(shù)位數(shù)字和為7+a,則有：。=1。

所以這個(gè)五位數(shù)為310乃。

4.牛叔叔給45名工人發(fā)完工資后，將總錢數(shù)記在一張紙上。但是記賬的那張紙被香煙燒了

兩個(gè)洞，上面只剩下“67口8口”,其中方框表示被燒出的洞。牛叔叔記得每名工人的工資都

一樣，并且都是整數(shù)元。請(qǐng)問：這45名工人的總工資有可能是多少元呢？

【分析】由于該數(shù)為45的倍數(shù)，則末位為5的倍數(shù)，所以末位能為0或者5,

若末位為0,則令該五位數(shù)為：67^80,則數(shù)字和應(yīng)為9的倍數(shù)，有：2I+a應(yīng)為9的倍數(shù)，

所以a=6,這時(shí)的五位數(shù)為67680；

若末位為5,則令該五位數(shù)為：67^85,則數(shù)字和應(yīng)為9的倍數(shù)，有：26+a應(yīng)為9的倍數(shù)，

所以a=1這時(shí)的五位數(shù)為67185；

5.六位數(shù)口2008□能同時(shí)被9和11整除。這個(gè)六位數(shù)是多少？

【分析】令該六位數(shù)為“20086,該數(shù)既能被9整除，又能被11整除，則該數(shù)能被99整除。

根據(jù)99的整除特征，從末兩位開始，兩位一段兩位一段，所有段數(shù)之和為99的倍數(shù)，就能

被99整除。則有：a2+8b,則有a=l,匕=7,所以這個(gè)六位數(shù)為120087。

6.請(qǐng)從1、2、3、4、5、6、7這7個(gè)數(shù)字中選出5個(gè)組成一個(gè)五位數(shù)，使它是99的倍數(shù)。

這個(gè)五位數(shù)最大是多少？

【分析】由于該數(shù)要盡可能的大，則首先滿足讓位數(shù)高的盡可能的大。

(1)若萬位為7,則有該五位數(shù)為7a"cd,該數(shù)又是99的倍數(shù)，由于aZ?+cd+7為99的

倍數(shù)，又不可能達(dá)到198,則有方+%=92,顯然用1、2、3、4、5、6中的任何四個(gè)

都無法滿足；

(2)若萬位為6,則該五位數(shù)為6abecI,則有7+W=93,要滿足個(gè)位為3,則b與4只

能從1和2里選；則此時(shí)十位數(shù)只能從4和5選擇。由于要讓位數(shù)高的盡可能的大，則有：

。=51=2,c=4,4=l。所以該五位數(shù)為65241。

7.雯雯寫了一個(gè)兩位數(shù)59,牛牛寫了一個(gè)兩位數(shù)89,他們讓羊羊?qū)懸粋€(gè)一位數(shù)放在59與

89之間拼成一個(gè)五位數(shù)H國，使得這個(gè)五位數(shù)能被7整除。請(qǐng)問：羊羊?qū)懙臄?shù)是多少？

【分析】根據(jù)能被7整除的特征，末三位為一段，其他未一段，其差若是7的倍數(shù)，則這個(gè)

數(shù)就能被7整除，則可以令該五位數(shù)為：59。89,則有嬴，應(yīng)為7的倍數(shù)，所

以a=6。

8.已知51位數(shù)5555口999能被13整除，中間方格內(nèi)的數(shù)字是多少？

25個(gè)525個(gè)9

【分析】令該51位數(shù)為5555。999,則根據(jù)能被13整除的特征，三位一段，奇數(shù)段之

25個(gè)525個(gè)9

和與偶數(shù)段之和的差如果是13的倍數(shù)，則其為13的倍數(shù)。

奇數(shù)段之和為：999+999+999+5?9+555+555+555；

偶數(shù)段之和為：999+999+999+555+555+555

其差為：5a9,則5a9應(yīng)為13的倍數(shù)。則。=5

9.用數(shù)字6、7、8各兩個(gè)，要組成能同時(shí)被6、7、8整除的六位數(shù)。請(qǐng)寫出一個(gè)滿足要求的

六位數(shù)。

【分析】由于這個(gè)六位數(shù)被8整除，后三位只能是688,768或者776三種情況，分別檢驗(yàn)

這個(gè)六位數(shù)被7除的情況可知，只有768768滿足要求.

10.牛牛和羊羊玩一個(gè)數(shù)字游戲。牛牛先將一個(gè)三位數(shù)的百位與個(gè)位填好，然后羊羊來填寫

這個(gè)三位數(shù)的十位。如果最后這個(gè)三位數(shù)能被11整除，那么羊羊獲勝，否則牛牛獲勝。牛

牛想了一會(huì)，想到了一個(gè)必勝的辦法。請(qǐng)問：牛牛想到的辦法是什么？

【分析】牛牛填好了個(gè)位與百位，若個(gè)位與百位填寫的數(shù)字和小于等于9,則在十位上填寫

相應(yīng)的數(shù)即可獲勝；

若牛牛在個(gè)位與百位的數(shù)字和為11及以上，羊羊只需要保證其十位上的數(shù)與百位與個(gè)位的

和的差為11即可。

所以牛牛想到的辦法是使得個(gè)位與百位的和為11的倍數(shù)。

11.對(duì)于一個(gè)自然數(shù)N,如果具有以下的性質(zhì)就稱為“破壞數(shù)”：把它添加到任何一個(gè)自然數(shù)

的右端，形成的新數(shù)都不能被N+1整除。請(qǐng)問：一共有多少個(gè)不大于10的破壞數(shù)？

【分析】根據(jù)題意，假設(shè)原數(shù)為則有新數(shù)應(yīng)為礪=10M+N=N+l+10冊l,由于N+l

一定能被N+1整除。10A/-1是奇數(shù)，則當(dāng)N+1是偶數(shù)即一定不能被N+1整除。

當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，共有5種選擇，分別是1、3、5、7、9

另，只要末位不是5該數(shù)就一定不能被5整數(shù)，所以當(dāng)自然數(shù)是4時(shí)，其添在任何一個(gè)數(shù)的

末位，形成的新教都不能被5整除。

所以共有6個(gè)這樣的N,分別是0、1、3、5、7、9。

12.一個(gè)五位數(shù)，它的末三位為999。如果這個(gè)數(shù)能被23整除，那么這個(gè)五位數(shù)最小是多少？

【分析】令這個(gè)數(shù)為方碗，則有曲為=%xl000+999=989x%+989+ll7+10

現(xiàn)在只需要11%+10為23的倍速即可。令11方+10=23攵，則當(dāng)左=10時(shí)，C而有最小整

數(shù)解為20。所以最小的這樣的五位數(shù)為20999

O

超越篇

2.在所有各位數(shù)字互不相同的五位數(shù)中，能被45整除的數(shù)最小是多少？

【分析】由于該數(shù)各位數(shù)字均互不相同，又能被45整除，則數(shù)字和為9的倍數(shù)，且末位為

0或者5。由于0+1+2+3+4=10大于9,則數(shù)字和應(yīng)該為18。為了使其盡量小，先

滿足首位取1,再考慮千位取0,則個(gè)位必須為5,此時(shí)五位數(shù)為10出方,數(shù)字和

為：a+b+6=1S,所以最小a=3,6=9,則這個(gè)五位數(shù)為10395。

2.將自然數(shù)1,2,3,…,依次寫下去形成一個(gè)多位數(shù)“123456789101112…”。寫出某個(gè)數(shù)N時(shí)，

所形成的多位數(shù)恰好第一次能被90整除。請(qǐng)問：N是多少？

【分析】根據(jù)題意90=2x5x32,則現(xiàn)在要恰好第一次能被90整除，這個(gè)數(shù)寫到最后時(shí)末

位應(yīng)為0。此時(shí)只需要保證數(shù)字和為9的倍數(shù)即可。

由于123456789的數(shù)字和為:45;

111213141516171819的數(shù)字和為：9+45；

212223242526272829的數(shù)字和為：9x2+45

則只需要保證10+20+30+40+為9的倍數(shù)即可，所以最早加到80時(shí)就符合條件。所

以N為123456789()10111213787980時(shí)符合條件。

3.雯雯的爸爸買回來兩箱杯子。兩個(gè)箱子上各貼有一張價(jià)簽，分別寫著“總價(jià)117.DA元”、“總

價(jià)127.。?元”(口、A、。、?四個(gè)數(shù)字已辨認(rèn)不清，但是它們互不相同)。爸爸告訴雯雯，

其中一箱裝了99只A型杯子，另一箱裝了75只B型杯子，每只杯子的價(jià)格都是整數(shù)分。

但是爸爸記不清每個(gè)價(jià)簽具體是多少錢，也不記得哪個(gè)箱子裝的是A型杯子，哪個(gè)箱子裝

的是B型杯子了。爸爸知道雯雯的數(shù)學(xué)水平很厲害，于是他想考考雯雯。

雯雯看了看，說：“這可難不倒我，我剛好學(xué)了一些復(fù)雜的整除性質(zhì)，這下可以派上用場了?！?/p>

同學(xué)們，你能像雯雯一樣把價(jià)簽上的數(shù)分辨出來嗎？

【分析】(1)117.□△元可化為117ab分，由題意知該五位數(shù)應(yīng)為99的倍數(shù)。所以1+17+必

應(yīng)為99的倍數(shù)。所以成》=81；

(2)127.O?可化為127a6分，則該數(shù)應(yīng)為25的倍數(shù)。所以末兩位應(yīng)為00或者25或者

50或者75。又該數(shù)為75的倍數(shù)，則該數(shù)也為3的倍數(shù)。所以末兩位應(yīng)該填寫50。

4.牛牛在一張紙條上依次寫下2、3、4、5、6、7這6個(gè)數(shù)字，形成一個(gè)六位數(shù)。羊羊把這

張紙條撕成了三節(jié)。這三節(jié)紙條上的數(shù)加起來得到的和（如圖2-1,三節(jié)紙條上的和為

23+456+7=486）能被55整除。請(qǐng)問：羊羊可能是在什么位置撕斷的這張紙條？

【分析】根據(jù)題意，該數(shù)要能被55整除，則末位只能為0或者5。

又由于無論如何切割，第三張紙條的最后一位都是7,則前兩張紙條的末位和應(yīng)該為8或者

3（不可能），則為3與5或者2與6,此時(shí)3張紙條上的數(shù)分別是2、3456、7或者23、45、

67。求和分別為3465與135o只有3465為11的倍數(shù)。

所以羊羊是在2與3之間以及6與7之間撕的紙條。

5.將一個(gè)自然數(shù)N接在任一自然數(shù)的右面（例如將2接在13的右面得到132）,如果所得的

新數(shù)都能被N整除，那么稱N為“神奇數(shù)”。請(qǐng)求出所有的兩位“神奇數(shù)”。

【分析】由于所要求的為兩位神奇教，我們可以令該數(shù)為7,則有法石=何*100+不

9

由于標(biāo)能被直整除，則MxlOO也能被直整除，由于M可取任何值，則7應(yīng)為100的一

個(gè)兩位因數(shù)。所以益可以10、20、25、50共計(jì)4個(gè)神奇數(shù)。

（希望杯培訓(xùn)試題）

6.在六位數(shù)70小中的兩個(gè)方框內(nèi)各填入一個(gè)數(shù)字，使此數(shù)能被17和19整除。方框中的

兩位數(shù)是多少？

【分析】方法一：采用試除法.設(shè)六位數(shù)為

\a\b1=la,/?x11+1\a+1=

如果一個(gè)數(shù)能同時(shí)被17和19整除，那么一定能被323整除.

1100114-323=340191,余191也可以看成不足323—191=132.

所以當(dāng)加5=132+323〃時(shí)，即加5是100的倍數(shù)時(shí)，六位數(shù)才是323的倍數(shù).

所以有323〃的末位只能是10—2=8,所以“只能是6,16,26,

驗(yàn)證有〃=16時(shí)，132+323x16=5300,所以原題的方框中填入5,3得至H的115311

滿足題意.

方法二：視為數(shù)字謎

因?yàn)閇17,19]=323,所以有：

323

x□□□

□□□□

□□□□

□□□_________

11□□1~I-

注意