寧夏長慶高級中學(xué)2021屆高三年級上冊第三次月考數(shù)學(xué)（理）試卷

寧夏長慶高級中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期

高三第三次月考數(shù)學(xué)（理科）試卷

一、選擇題：

1.已知全集。=11,集合4={1,2,3,4,5},3=口€用％22},則圖中陰影部分所表示的集

合為（）

C.{1,2}D.{0,1,2)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)圖像判斷出陰影部分表示A（。啰），由此求得正確選項.

【詳解】根據(jù)圖像可知，陰影部分表示A⑹為，Q￡={x|x<2},所以A@3）={1}.

故選：A

【點睛】本小題主要考查集合交集與補集的概念和運算，考查韋恩圖，屬于基礎(chǔ)題.

2.一個圓錐的表面積為乃，它的側(cè)面展開圖是圓心角為120。的扇形，則該圓錐的高長為（）

13r-

A.-B.2C.-D..x/2

227

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)出圓錐的底面半徑以及母線長，由圓錐的表面積以及圓心角公式求出半徑和母線，根據(jù)勾

股定理即可求出圓錐的高.

【詳解】解：設(shè)圓錐底面半徑是，母線長/,

/.?！?兀rl=7i，

即產(chǎn)+〃=1①

根據(jù)圓心角公式得：一2萬=2T二CY

3/

即/=3r②

13

由①②解得：「=5，/=|,

高/z=V/2-r2=（g）=立?

故選：D.

3.如圖，在平行四邊形A8CQ中,對角線AC與BO交于點0,且至至，貝11瓦）=（）

A.-AD--ABB.-AD+-AB

3333

C.-AD--ABD.-AD+-AB

3333

【答案】c

【解析】

【分析】

畫出圖形，以A8國。為基底將向量EO進行分解后可得結(jié)果.

【詳解】畫出圖形，如下圖.

AB

選取鉆,內(nèi)￡＞為基底，則AE=|AO=；AC=g（AB+AD）,

ED=AD-AE=AD--(AB+AD}=-AD--AB.

733

故選c.

【點睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題

(1)只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，基底可以有無窮多組，在解決具體

問題時，合理選擇基底會給解題帶來方便.

(2)利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加

減運算或數(shù)乘運算.

4.在等差數(shù)列｛a“｝中，已知a“+a'=16,則該數(shù)列前11項和S“=()

A.58B.88C.143D.176

【答案】B

【解析】

試題分析：等差數(shù)列前n項和公式5“=幽］

s+%)_11(4+%)_llxl6=gg

”—2—2-2一,

考點：數(shù)列前n項和公式.

5.已知平面向量a,人滿足|a|=|〃|=l,若(2a—")?/?=()，則向量a,〃的夾角為()

D.120°

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量數(shù)量積公式知r=|Q=1代入(為一。＞。=0,化簡可得=然后再代入

\a\=\h\=\f即可求出向量a,人的夾角.

、rrrrrr2rr1

【詳解】Q(2a-b)-h=2a-b-h=:,a-b--

a-h_1

cos〈。,/?〉南開=5，故向量的夾角為60.

故選：C.

【點睛】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，以及向量夾角的計算，考查學(xué)生的運算求解能力，屬

于基礎(chǔ)題.

(兀、

6.若COS|——0=—,則sin26=()

(4)2

1D

A.——B-4c-iT

2-

【答案】A

【解析】

【分析】

|-2^,結(jié)合二倍角公式可求得結(jié)果.

利用sin2。=cos

【詳解】由COS(￡--0=，得：sin2^=cosf--26)=2cos2-

)2U)UJ22

故選：A.

2r3

7.函數(shù)y;在［-6,6］的圖像大致為

2X+2

J

M

j￡

F4

【答案】B

【解析】

【分析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由/(4)的近似值即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)y=〃x）=2必，則/（_“）=2（一幻3二一2x=所以/（力是

2"+2-*2T+2*2A+2-x

2X43

奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點成中心對稱，排除選項C.又/（4）=2：：；T〉。，排除選項D；

?x63

7（6）=；「7,排除選項A,故選B.

26+2-6

【點睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數(shù)值，最后做出選擇.本

題較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.

8.如圖所示，四面體A8CO的四個頂點是長方體的四個頂點（長方體是虛擬圖形，起輔助作

用），則四面體4BCO的三視圖是（用①②③④⑤⑥代表圖形）

A①②⑥B.①②③C.④⑤⑥D(zhuǎn).③④⑤

【答案】B

【解析】

試題分析：經(jīng)觀察可得正視圖為①、側(cè)視圖為②、俯視圖為③，故選B.

考點：三視圖.

【方法點晴】本題主要考查三視圖，屬于中等題型.應(yīng)注意把握三個視圖的尺寸關(guān)系：主視圖

與俯視圖長應(yīng)對正（簡稱長對正），主視圖與左視圖高度保持平齊（簡稱高平齊），左視圖與俯

視圖寬度應(yīng)相等（簡稱寬相等），若不按順序放置和不全時，則應(yīng)注意三個視圖名稱.此外本

題應(yīng)注意掌握虛線和實線的正確使用，方能正確求解.

9.在A8C中，角A、8、C所對的邊分別為a、b、c,且A金c嗑AAc=-,

3

COSB=R5，b=?，則ABC的面積為（）

5

A.-B.2C.6D.J5

22

【答案】A

【解析】

【分析】

利用正弦定理邊角互化，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系可求得a=X3c，利用余弦定理構(gòu)造方程可

3

求得。，。，代入三角形面積公式即可求得結(jié)果.

,1

【詳解】由正弦定理得：sin-AcosC+sinCsinAcosA=-sinC,

3

/.sin2AcosC+sinCsinAcosA=sinA(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsin(A+C)

=sinAsinB=-sinC,

3

,cosB=~~J**-s^n=~~9

.?.@sinA=」sinC，由正弦定理得：^-a=—c>/.a=^-c-

53533

542

由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=-c2+c2一一c?=-c2=2,解得：c=3,

939

a=逐，S詆=gacsinB=；x\^x3xV|_3

52

故選：A.

【點睛】思路點睛：本題考查解三角形中的正余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用。求解此類

問題時，當所給邊角關(guān)系式中邊齊次時，通常采用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換公式

化簡整理得到所需等量關(guān)系.

10.若將函數(shù)^=sin|+f[(/>())的圖象向左平移$個單位長度后，與函數(shù)

I4J6

乃

>'=COSCOX+--的圖象重合，則。的最小值為()

I4J

3

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】D

【解析】

【分析】

先得到平移后的解析式，再由題中條件，列出等式，求出。，即可得出結(jié)果.

【詳解】將函數(shù)〉的圖象向左平移聿個單位長度后,

y=sin[s+?(00)得到函數(shù)

6

.((071萬、，，口~

y=sina)x+--+—的圖象,

I64；

(

又平移后的圖象與函數(shù)》=cosCOX+—的圖象重合,

I4J

717l\

而cos?X+-=sin—+GX+-

I4j(24J

mjT7T

所以---1—=----卜2k/r(kwZ),則〃)=3+12ZcQkeZ),

644

又口＞0,所以為使力取得最小值，只需左=0,此時G=3.

故選：D.

11.在RtAABC中，已知NC=90,C4=3,C3=4,P為線段AB上的一點，且

11

則一+一的最小值為()

xy

77

A.-B.—D

612c3鴻

【答案】c

【解析】

【分析】

建立直角坐標系，確定尸坐標和線段AB方程，得出x,y的關(guān)系，利用基本不等式，即可求得結(jié)

果.

【詳解】以CA,C8所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標系,

則C(0,0),A(3,0),3(0,4),IC41=3,1AB|=4,

_CACB

rCpP^x-.向~~?+y同-i—?=x(l,0)+y(0,l)=(x,y)

p點坐標為尸(x,y),

線段AB方程為5+1=心＞0/＞0),

/+L（，+與以馬，+上+二，+3,

XyXy34124x3y123

當且僅當x=3-G，等號成立.

【點睛】本題考查了平面向量坐標運算，以及基本不等式求最值，考查了推理能力和計算能力，

屬于中檔題，

12.己知函數(shù)/(x)=fe*-2.'+(a+l)e，—%在定義域內(nèi)有2個零點，則實數(shù)。的取值范圍

為

A.f-oo,-B.C.-,+oojD.(一,田)

【答案】B

【解析】

令-2xe'+(a+l)e"—x=0,

-a-l=x2-lx--,

e'

即直線y=-a—l與g(x)=f-2x-'的圖象有兩個不同的交點，

葭加2"一2一^^=(1)(2+5)，

二g(X)在(—8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

g(x)最小值為=

即a<—

e

故選B

點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路

(D直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決：

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)

合求解.

二、填空題：

13.復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z=所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱的點為A,則A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為_______.

1+2

【答案】1一，

【解析】

試題分析：因為z=—L=i+i，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標為(L1),它關(guān)于實軸對稱的點為A

i+i

為A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1一九

考點：復(fù)數(shù)的運算及對稱性.

14.一個三棱錐的三視圖如圖所示，則其外接球的表面積是.

【答案】504

【解析】

【分析】

由三視圖還原幾何體，可知所求外接球即為長寬高分別為3,4,5的長方體的外接球，可知外接

球半徑為長方體體對角線一半，結(jié)合球的表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】由三視圖還原幾何體可得如下圖所示三棱錐P-ABC,

則三棱錐的外接球即為如圖所示的長方體的外接球，

又長方體外接球半徑R=1XV32+42+52=逑，

22

25

三棱錐的外接球表面積S=4萬火2=4%x」=50萬.

2

故答案為：50萬.

【點睛】思路點睛：本題考查多面體的外接球問題的求解，根據(jù)本題中的幾何體特征，可補

全為長方體，利用長方體外接球半徑為其體對角線長的一半可求得外接球半徑.

15.己知函數(shù)/(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0<x<l時，/(x)=4\則

小|卜〃1)=一.

【答案】-2

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的周期性與奇偶性可得f(-1)=f(1)且f(-1)=-f(1),分析可得f

(1)的值，進而分析可得f(-1■)=-￡(1■)=-￡(]),由函數(shù)的解析式計算可得答案.

222

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),

則有f(-l)=f⑴且⑴,

即f(1)=-f(1),則f(1)=0,

5、5、1

f(--)=-f(-)=-f(-)=-（如）=-2,

222

則f(-3)+f(1)=-2+0=-2；

2

故答案為-2.

【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，注意求出f（1）的值,屬于中檔題.

16.已知數(shù)列｛〃"｝的前”項和為S"，若4=1,a“+|=；S“（〃21）,則a“=.

\,n=\

【答案】an=\i（4丫一2

3\3jn>2且〃eN*

【解析】

【分析】

當〃=1時求得生，當〃22時，利用為與5”的關(guān)系可證得數(shù)列｛a,,｝從第二項開始為等比數(shù)

列，由等比數(shù)列通項公式求得〃22時的通項公式，綜合可得結(jié)果.

【詳解】當〃=1時，a=—S=—?|=—；

2-3]33

當〃22時，??+1-a?=1（5?-5）,_l）=^a?,二｝=:，

J3a”J

n-2

.?.數(shù)列｛?,,｝從第二項開始為等比數(shù)列，.?.an=-3n>2,neN,)：

5

[4丫-

經(jīng)檢驗:n-1不滿足an=-

1,7?=1

綜上所述:

，九>2且〃GN*

1,H=1

故答案為：4=,

22且〃3.

【點睛】易錯點睛：在利用%與S”關(guān)系求解數(shù)列通項公式時，需注意驗證首項是否滿足

時所求解的通項公式，若不滿足，則通項公式為分段數(shù)列的形式.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每

個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.已知“X)是定義在R上的奇函數(shù)，當x〉0時，/(X)=T+3

(1)求的解析式；

y

(2)求不等式-萬的解集

-x+3,x>0

【答案】⑴/(x)=<0,x=0；(2)[-8,0][4,400).

—x—3,x<0

【解析】

【分析】

(1)當x<0時，—x>0,利用/(x)=-/(-x)和"0)=0可得分段函數(shù)解析式;

(2)分別在x<0、x=0和x>0三種情況下解不等式求得結(jié)果.

【詳解】(1)當x<0時，—x>0,則/(一x)=x+3,

/(x)為R上的奇函數(shù)，/(x)=-/(-x)=-X-3且〃())=0,

-x+3,x>0

/(x)=<0,x=0

-x—3,x<0

x

(2)當x>0時，—x+3?l,解得：x>4；

2

當元=0時，0W1成立；

x

當x<0時，，—x—31—,解得：x2—8,.二一84x<0；

2

綜上所述：的解集為[-8,0][4,+⑹.

/\

X71X71

18.已知函數(shù)/(x)=2百cos2^-2sin一十一COS—d

(22(22)

(1)求/(x)的最小正周期；

⑵求/(x)在區(qū)間[0,句上的最小值及單調(diào)減區(qū)間.

【答案】⑴最小正周期為2萬；⑵/(二,=—6/⑶的單調(diào)遞減區(qū)間為%,兀

【解析】

【分析】

（1）利用降塞公式、誘導(dǎo)公式及逆用正弦二倍角公式將函數(shù)/（X）化為一個角的正弦函數(shù)，再利

用周期公式，即可求出/（X）的最小正周期；

（2）先求出內(nèi)層函數(shù)的值域，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求出結(jié)果.

【詳解】（1）=2>/3x--------n2sin—cos-=Gcosx+sinx

1.V31°，乃）

=2—sinxd---cosx=2sinx+—\.

122yli3）

所以/（x）的最小正周期為2萬.

ri7T7T47r

⑵因為尤￡[0,乃],所以工+耳￡—,

所以當x+?=手，即x=4時，函數(shù)f。）取得最小值—6.

7t7147r7171

由+工4丁，得二4》47，所以函數(shù)"X）的單調(diào)遞減區(qū)間為-,71

23366

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，將函數(shù)/（x）化為y=Asin（5+e）+Z的

形式.

19.在ABC中，角A、3、C的對邊分別為a、b、c,已知b=acosC+'c.

2

（1）求角A；

（2）若A5-AC=1，求。最小值.

【答案】（1）（2）0.

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換知識可求得cosA,由此求得A；

（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義可構(gòu)造方程求得6c,利用余弦定理構(gòu)造方程，利用基本不等

式可求得最小值.

【詳解】（1）由正弦定理得：sinB=sin/lcosC+-sinC,

2

A+8+C=乃，7.sin8=sin（A+C）,

/.sin(A+C)sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+—sinC,?.cosAsinC=—sinC,

22

Ce(O,zr),r.sinCrO,cosA=—

2

又Ae(O㈤,A=—71

3

(2)AB-AC=|/4B|-|AC|COSA=becosA=^bc=lf:.hc=2.

由余弦定理得：a2=〃+/—2bccosA=b24-c2—be>2bc—bc=bc=2(當且僅當力二c時

取等號），

.-.a>y[2（當且僅當b=c時取等號），即。的最小值為&-

【點睛】方法點睛：解三角形中與邊長有關(guān)的最值問題，通常利用余弦定理構(gòu)造等量關(guān)系，

利用b2+c2>2歷或慶<（3可得到不等關(guān)系求得最值.

20.已知數(shù)列｛為｝的前〃項和是S,，且S“+g%=I〃wNj.數(shù)列｛a｝是公差d不等于0的

3

等差數(shù)列，且滿足：瓦=3%,b2,b5,偽4成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛叫、也｝的通項公式；

（2）設(shè)c“=a?也，求數(shù)列￡｝的前〃項和卻

【答案】⑴4=2（；）"；⑵2-券2

【解析】

分析：第一間利用題中的條件，類比著寫出S“T+ga,i=l（〃N2）,兩式相減求得相鄰兩項

的關(guān)系，從而確定出數(shù)列｛凡｝是等比數(shù)列，再令”=1求得首項，利用等比數(shù)列的通項公式求

得結(jié)果，對于｛勿｝，利用題中條件求得首項，建立關(guān)于公差的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，

第二問涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)列對應(yīng)項積構(gòu)成新數(shù)列的求和方法——錯位相減法.

1.2

詳解：（1）〃=1時，，a-^-a=1,q=一

]2]3

S,=l11

時，,],Sn-an=-an_,（?>2）

｛為｝是以|■為首項，；為公比的等比數(shù)列,

b1=1

又區(qū)=b2b14得:(l+4J)2=(l+(/)(l+13J),

〃2_2d=0，因為dwO解得d=2,

bn=2n-l

4〃一2

⑵cn=—^~

T2610

北=§+?+三+3〃

_26104〃一64〃一2

+-----1

升=?+?+/3"-----3"

22111)4?-2

-T=-+4------1-------1-d------

3"n332333")

11

229~F4〃一2

-T=-+4x

3n"3

1--

3

2471—2

|33"3'm

2n+2

3"

點睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的通項公式以及求和問題，在求解的過程中，要明確遞推公式

的利用，要銘記等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的求法，第二問應(yīng)用錯位相減法求和，在求

和的過程中，一定要明確整理之后的括號里的只有"-1項.

21.已知函數(shù)/(幻=此心(女了0).

(1)求曲線y=/(x)在點(0,/(。))處的切線方程；

(2)討論了(%)的單調(diào)性；

(3)設(shè)g(x)=f一力X+4,當&=1時，對任意的存在[1,2],使得

f5)Ng⑵，求實數(shù)b的取值范圍

【答案】（I））=x；（II）見解析；（IID2+4-,+00I.

L4e）

【解析】

【分析】

（1）由題意可得/'（》）=（1+日）*;,據(jù)此確定切線的斜率，結(jié)合切點坐標確定切線方程即可;

（II）由/'（X）=（1+依）＞0可得1+所＞0,據(jù)此分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；

（III）由題意可得/（m）./（—1）=一則原問題等價于一.送（々），々€[1，2]，據(jù)此求解實數(shù)

人的取值范圍即可.

【詳解】（I）/"（x）=（l+日）*,

因為/（0）=0，且/'（0）=1,

所以曲線y=/（X）在點（0,/（0））處的切線方程為：y=X.

（II）令/'（犬）=（1+卮）6辰＞0,所以1+點＞0,

當女＞0時,x＞-1，

k

此時/（X）在上單調(diào)遞減，在（一｝+8）上單調(diào)遞增；

當女＜0時,x＜——,

此時“X）在卜肛-上單調(diào)遞增，在1-g+s]上單調(diào)遞減.

（III）當攵=1時,/（X）在（TO,T）上單調(diào)遞減，在（-1,+00）上單調(diào)遞增，

所以對任意玉eR,有/&）../（—1）=—,

又已知存在々[1,2],

使/（3）.送（*2）,所以一（..8（工2），工2e[l,2],

即存在xG[1,2]，使g（x）=x2-2bx+4?--,

4+e"

即2A.X+竺J,

x

4+e11

即因為當X￡[1,2],Xd------G4H---,5H—>

xl_2ee_

所以20..4+1-,即實數(shù)〃取值范圍是A.2+'-.

2e4e

所以實數(shù)〃的取值范圍是2+1-,+81.

L4eJ

【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求解切線方程，分類討論的數(shù)學(xué)思

想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

fa色

x=3------1

2

22.在直角坐標系中，直線/的參數(shù)方程為JL（/為參數(shù)），在極坐標系（與

y=君+當

I2

直角坐標系X。），取相同的長度單位，且以原點。為極點，以％軸正半軸為極軸）中