《5.3.2 函數(shù)的極值與最大(小)值》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值》教案（第一課時(shí)）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)函數(shù)的極值與最大(小)值學(xué)生已經(jīng)具有導(dǎo)數(shù)概念、導(dǎo)數(shù)幾何意義、導(dǎo)數(shù)計(jì)算、函數(shù)的單調(diào)性等相關(guān)的數(shù)學(xué)概念知識(shí)，對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有一定的認(rèn)識(shí)，對(duì)相應(yīng)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容也具有一定的儲(chǔ)備。函數(shù)的極值與最值是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。在學(xué)習(xí)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上，研究和學(xué)習(xí)函數(shù)的極值與最值是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用，注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般的研究方法，發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從函數(shù)圖象直觀認(rèn)識(shí)函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.B．初步掌握求函數(shù)極值的方法．C．體會(huì)滲透在數(shù)學(xué)中的整體與局部的辯證關(guān)系．1.數(shù)學(xué)抽象：求函數(shù)極值的方法2.邏輯推理：導(dǎo)數(shù)值為零與函數(shù)極值的關(guān)系3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值4.直觀想象：導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：求函數(shù)極值難點(diǎn)：函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系【教學(xué)過(guò)程】【教學(xué)反思】教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、溫故知新1.函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)正負(fù)的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x)：f′(x)的正負(fù)f(x)的單調(diào)性f′(x)＞0單調(diào)遞____f′(x)＜0單調(diào)遞____增;減2．判斷函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性第1步：確定函數(shù)的______；第2步：求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的____；第3步：用f′(x)的____將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的____，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．定義域;零點(diǎn);零點(diǎn);正負(fù)二、探究新知探究1：觀察下圖，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)t=a時(shí)，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員距水面的高度最大，那么函數(shù)h(t)在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是多少？此點(diǎn)附件的函數(shù)圖象有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有什么變化規(guī)律?放大t=a附近函數(shù)h(t)的圖像,如圖，可以看出，h'a=0;在t=a的附近，當(dāng)t<a時(shí)，函數(shù)h(t)單調(diào)遞增，h't>0;當(dāng)t>a時(shí)，函數(shù)h(t)單調(diào)遞減，h't<0.這就是說(shuō)，在t=a附近，函數(shù)值先增（當(dāng)t<a時(shí)，h't>0）后減（當(dāng)t>a對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x)，是否具有同樣的性質(zhì)？以a，b為例進(jìn)行說(shuō)明.探究2：觀察下圖，函數(shù)y=f(x)在x=a,b,c,d,e等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？y=f(x)在這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值時(shí)多少？在這些點(diǎn)附近，函數(shù)y=f(x)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有什么規(guī)律？（1）函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，而且在x=a點(diǎn)附近的左側(cè)f'（2）函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，而且在x=b點(diǎn)附近的左側(cè)f1．極值點(diǎn)與極值(1)極小值點(diǎn)與極小值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝__，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)__________，右側(cè)_______，就把點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，_____叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．0;f′(x)＜0;f′(x)＞0;f(a)(2)極大值點(diǎn)與極大值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝__，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)_________，右側(cè)_______，就把點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，______叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．(3)極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為_(kāi)_____；極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為_(kāi)____．0;f′(x)＞0;f′(x)＜0;f(b);極值點(diǎn);極值1．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()A．無(wú)極大值點(diǎn)，有四個(gè)極小值點(diǎn)B．有三個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)C．有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)D．有四個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)C[設(shè)y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x4，則f(x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得極小值．]三、典例解析例5.求函數(shù)fx=解：因?yàn)閒x=13f'x令f'x=當(dāng)x變化時(shí)，f'x，因此，當(dāng)x=-2時(shí)，fx有極大值，極大值為f-2當(dāng)x=2時(shí)，fx有極小值，極小值為f2=-函數(shù)fx=問(wèn)題1：函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎？一般地，求函數(shù)y＝fx的極值的步驟1求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)f′x；2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一個(gè)；3用方程f′x＝0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開(kāi)區(qū)間，可將x，f′x，fx在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在同一個(gè)表格中；4由f′x在各個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，判斷fx在f′x＝0的各個(gè)根處的極值情況：如果左正右負(fù)，那么函數(shù)fx在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么函數(shù)fx在這個(gè)根處取得極小值；如果導(dǎo)數(shù)值在這個(gè)根左右兩側(cè)同號(hào)，那么這個(gè)根不是極值點(diǎn).問(wèn)題2：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點(diǎn)．所以，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)，要判斷x＝x0是否為f(x)的極值點(diǎn)，還要看f′(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)是否相反．跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的極值：(1)y＝x3－3x2－9x＋5；(2)y＝x3(x－5)2.[解](1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y↗極大值↘極小值↗∴當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極大值，且f(－1)＝10；當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極小值，且f(3)＝－22.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.當(dāng)x變化時(shí)，y′與y的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗無(wú)極值↗極大值108↘極小值0↗∴x＝0不是y的極值點(diǎn)；x＝3是y的極大值點(diǎn)，y極大值＝f(3)＝108；x＝5是y的極小值點(diǎn)，y極小值＝f(5)＝0.溫故知新，提出問(wèn)題，，引導(dǎo)學(xué)生探究運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)特例，體會(huì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典型例題的分析和解決，幫助學(xué)生掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般方法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，它的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．在(1，2)上函數(shù)f(x)為增函數(shù)B．在(3，4)上函數(shù)f(x)為減函數(shù)C．在(1，3)上函數(shù)f(x)有極大值D．x＝3是函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，5]上的極小值點(diǎn)D[由題圖可知，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)2＜x＜4時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)4＜x＜5時(shí)，f′(x)＞0，∴x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，x＝4是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，故A，B，C正確，D錯(cuò)誤．]2．設(shè)函數(shù)f(x)＝xex，則()A．x＝1為f(x)的極大值點(diǎn)B．x＝1為f(x)的極小值點(diǎn)C．x＝－1為f(x)的極大值點(diǎn)D．x＝－1為f(x)的極小值點(diǎn)D[令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.當(dāng)x＜－1時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞－1時(shí)，f′(x)＞0.故當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取得極小值．]3．已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值，∴方程f′(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]4．已知函數(shù)f(x)＝2ef′(e)lnx－eq\f(x,e)，則函數(shù)f(x)的極大值為_(kāi)_____．2ln2[f′(x)＝eq\f(2ef′e,x)－eq\f(1,e)，故f′(e)＝eq\f(2ef′e,e)－eq\f(1,e)，解得f′(e)＝eq\f(1,e)，所以f(x)＝2lnx－eq\f(x,e)，f′(x)＝eq\f(2,x)－eq\f(1,e).由f′(x)＞0得0＜x＜2e，f′(x)＜0得x＞2e.所以函數(shù)f(x)在(0，2e)單調(diào)遞增，在(2e，＋∞)單調(diào)遞減，故f(x)的極大值為f(2e)＝2ln2e－2＝2ln2.]通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)：(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是極小值．通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。【教學(xué)反思】運(yùn)用“問(wèn)題探究式”“觀察發(fā)現(xiàn)式”“討論式”的教學(xué)方法，本節(jié)課在前一節(jié)所學(xué)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)生活實(shí)例、觀察圖象，自己探究歸納、總結(jié)出函數(shù)的極值定義及利用導(dǎo)數(shù)求極值的方法。讓學(xué)生主動(dòng)地獲得知識(shí)，老師只是進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，而不進(jìn)行全部的灌輸。為突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，這節(jié)課主要選擇以合作探究式教學(xué)法組織教學(xué)。《5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值》導(dǎo)學(xué)案（第一課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從函數(shù)圖象直觀認(rèn)識(shí)函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2．初步掌握求函數(shù)極值的方法．3．體會(huì)滲透在數(shù)學(xué)中的整體與局部的辯證關(guān)系．【重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：求函數(shù)極值難點(diǎn)：函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系【知識(shí)梳理】1．極值點(diǎn)與極值(1)極小值點(diǎn)與極小值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝__，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)__________，右側(cè)_______，就把點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，_____叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．0;f′(x)＜0;f′(x)＞0;f(a)(2)極大值點(diǎn)與極大值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝__，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)_________，右側(cè)_______，就把點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，______叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．(3)極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為_(kāi)_____；極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為_(kāi)____．0;f′(x)＞0;f′(x)＜0;f(b);極值點(diǎn);極值1．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()A．無(wú)極大值點(diǎn)，有四個(gè)極小值點(diǎn)B．有三個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)C．有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)D．有四個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、新知探究在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以判斷函數(shù)的增減。如果函數(shù)在某些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，那么在這些點(diǎn)處函數(shù)有什么性質(zhì)呢？探究1：觀察下圖，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)t=a時(shí)，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員距水面的高度最大，那么函數(shù)h(t)在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是多少？此點(diǎn)附件的函數(shù)圖象有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有什么變化規(guī)律?對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x)，是否具有同樣的性質(zhì)？以a，b為例進(jìn)行說(shuō)明.探究2：觀察下圖，函數(shù)y=f(x)在x=a,b,c,d,e等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？y=f(x)在這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值時(shí)多少？在這些點(diǎn)附近，函數(shù)y=f(x)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有什么規(guī)律？二、典例解析例5.求函數(shù)fx=問(wèn)題1：函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎？一般地，求函數(shù)y＝fx的極值的步驟1求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)f′x；2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一個(gè)；3用方程f′x＝0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開(kāi)區(qū)間，可將x，f′x，fx在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在同一個(gè)表格中；4由f′x在各個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，判斷fx在f′x＝0的各個(gè)根處的極值情況：如果左正右負(fù)，那么函數(shù)fx在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么函數(shù)fx在這個(gè)根處取得極小值；如果導(dǎo)數(shù)值在這個(gè)根左右兩側(cè)同號(hào)，那么這個(gè)根不是極值點(diǎn).問(wèn)題2：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的極值：(1)y＝x3－3x2－9x＋5；(2)y＝x3(x－5)2.【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，它的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．在(1，2)上函數(shù)f(x)為增函數(shù)B．在(3，4)上函數(shù)f(x)為減函數(shù)C．在(1，3)上函數(shù)f(x)有極大值D．x＝3是函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，5]上的極小值點(diǎn)2．設(shè)函數(shù)f(x)＝xex，則()A．x＝1為f(x)的極大值點(diǎn)B．x＝1為f(x)的極小值點(diǎn)C．x＝－1為f(x)的極大值點(diǎn)D．x＝－1為f(x)的極小值點(diǎn)3．已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．4．已知函數(shù)f(x)＝2ef′(e)lnx－eq\f(x,e)，則函數(shù)f(x)的極大值為_(kāi)_____．【課堂小結(jié)】求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)：(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是極小值．【參考答案】知識(shí)梳理1．C[設(shè)y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x4，則f(x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得極小值．]學(xué)習(xí)過(guò)程一、新知探究探究1：放大t=a附近函數(shù)h(t)的圖像,如圖，可以看出，h'a=0;在t=a的附近，當(dāng)t<a時(shí)，函數(shù)h(t)單調(diào)遞增，h't>0;當(dāng)t>a時(shí)，函數(shù)h(t)單調(diào)遞減，h't<0.這就是說(shuō)，在t=a附近，函數(shù)值先增（當(dāng)t<a時(shí)，h't>0）后減（當(dāng)t>a探究2：（1）函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，而且在x=a點(diǎn)附近的左側(cè)f'（2）函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，而且在x=b點(diǎn)附近的左側(cè)f二、典例解析例5.解：因?yàn)閒x=13f'x令f'x=當(dāng)x變化時(shí)，f'x，因此，當(dāng)x=-2時(shí)，fx有極大值，極大值為f-2當(dāng)x=2時(shí)，fx有極小值，極小值為f2=-函數(shù)fx=問(wèn)題2：[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點(diǎn)．所以，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)，要判斷x＝x0是否為f(x)的極值點(diǎn)，還要看f′(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)是否相反．跟蹤訓(xùn)練1[解](1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y↗極大值↘極小值↗∴當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極大值，且f(－1)＝10；當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極小值，且f(3)＝－22.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.當(dāng)x變化時(shí)，y′與y的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗無(wú)極值↗極大值108↘極小值0↗∴x＝0不是y的極值點(diǎn)；x＝3是y的極大值點(diǎn)，y極大值＝f(3)＝108；x＝5是y的極小值點(diǎn)，y極小值＝f(5)＝0.達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.D[由題圖可知，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)2＜x＜4時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)4＜x＜5時(shí)，f′(x)＞0，∴x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，x＝4是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，故A，B，C正確，D錯(cuò)誤．]2．D[令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.當(dāng)x＜－1時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞－1時(shí)，f′(x)＞0.故當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取得極小值．]3．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值，∴方程f′(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]4．2ln2[f′(x)＝eq\f(2ef′e,x)－eq\f(1,e)，故f′(e)＝eq\f(2ef′e,e)－eq\f(1,e)，解得f′(e)＝eq\f(1,e)，所以f(x)＝2lnx－eq\f(x,e)，f′(x)＝eq\f(2,x)－eq\f(1,e).由f′(x)＞0得0＜x＜2e，f′(x)＜0得x＞2e.所以函數(shù)f(x)在(0，2e)單調(diào)遞增，在(2e，＋∞)單調(diào)遞減，故f(x)的極大值為f(2e)＝2ln2e－2＝2ln2.]故f(x)的極大值為f(2e)＝2ln2e－2＝2ln2.]《5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值（第一課時(shí)）》基礎(chǔ)同步練習(xí)一、選擇題1．如圖是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)y＝f'（x）的圖象，則下面判斷正確的是（）A．在（﹣3，1）內(nèi)f（x）是增函數(shù)B．在x＝1時(shí)，f（x）取得極大值C．在（4，5）內(nèi)f（x）是增函數(shù)D．在x＝2時(shí)，f（x）取得極小值2．若函數(shù)可導(dǎo)，則“有實(shí)根”是“有極值”的（）．A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．當(dāng)函數(shù)取極小值時(shí)，的值為（）A．B．C．D．4．若函數(shù)有小于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．5．（多選題）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是（）A．B．函數(shù)在上遞增，在上遞減C．函數(shù)的極值點(diǎn)為，D．函數(shù)的極大值為6．（多選題）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．有且只有一個(gè)極值點(diǎn)B．設(shè)，則與的單調(diào)性相同C．有且只有兩個(gè)零點(diǎn)D．在上單調(diào)遞增二、填空題7．若函數(shù)在處取得極值，則________.8．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)的極值為，則__________．9．設(shè)函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，則a取值范圍為_(kāi)___.10．已知函數(shù)在處有極值，其圖象在處的切線平行于直線，則極大值與極小值之差為_(kāi)_________．三、解答題11．求下列函數(shù)的極值．（1）；（2）；（3）．12．設(shè)函數(shù)，其中在，曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸（1）求a的值；（2）求函數(shù)極值．《5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值（第一課時(shí)）》答案解析一、選擇題1．如圖是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)y＝f'（x）的圖象，則下面判斷正確的是（）A．在（﹣3，1）內(nèi)f（x）是增函數(shù)B．在x＝1時(shí)，f（x）取得極大值C．在（4，5）內(nèi)f（x）是增函數(shù)D．在x＝2時(shí)，f（x）取得極小值【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，在（﹣3，）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，x＝1不是f（x）的極大值點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，C正確；對(duì)于D，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，則在x＝2時(shí)f（x）取得極大值，D錯(cuò)誤；故選：C．2．若函數(shù)可導(dǎo)，則“有實(shí)根”是“有極值”的（）．A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】，但在零點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)都同時(shí)大于零或者小于零時(shí)在零點(diǎn)處無(wú)極值，但有極值則在極值處一定等于.所以“有實(shí)根”是“有極值”的必要不充分條件.故選：A3．當(dāng)函數(shù)取極小值時(shí)，的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】即故選B．4．若函數(shù)有小于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由，得．因?yàn)楹瘮?shù)有小于零的極值點(diǎn)，所以有小于零的實(shí)根，即有小于零的實(shí)根，∵，∴，∴．故選：B5．（多選題）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是（）A．B．函數(shù)在上遞增，在上遞減C．函數(shù)的極值點(diǎn)為，D．函數(shù)的極大值為【答案】ABD【詳解】解：由題圖知可，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，函數(shù))在上遞增，在上遞增，在上遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，函數(shù)的極值點(diǎn)為，，故C正確；對(duì)D，函數(shù)的極大值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.6．（多選題）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．有且只有一個(gè)極值點(diǎn)B．設(shè)，則與的單調(diào)性相同C．有且只有兩個(gè)零點(diǎn)D．在上單調(diào)遞增【答案】ACD【詳解】解：由題知，，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；因?yàn)?，所以，所以所以，故的一個(gè)極值點(diǎn)為，所以與的單調(diào)性不相同，故B錯(cuò)誤；因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)極值點(diǎn)，，且，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，故C正確；因?yàn)榕c在上都是單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，D正確．故選：ACD．二、填空題7．若函數(shù)在處取得極值，則________.【答案】【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，可得，所以，解得.8．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)的極值為，則__________．【答案】【解析】f′(x)=x2+2ax+a.由題意知f′(-1)=0,f(-1)=-,即解得所以f(x)=x3+x2+x-.所以f(2)=.9．設(shè)函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，則a取值范圍為_(kāi)___.【答案】【解析】的定義域?yàn)椋?，得，所?①若，由，得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)；②若，由，得或.因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，所以，解得，綜合①②：的取值范圍是，故答案為.10．已知函數(shù)在處有極值，其圖象在處的切線平行于直線，則極大值與極小值之差為_(kāi)_________．【答案】4【詳解】求導(dǎo)得因?yàn)楹瘮?shù)在取得極值，所以即，又因?yàn)閳D象在處的切線與直線平行，所以即，聯(lián)立①②可得，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，因此求出函數(shù)的極大值為，極小值為，故函數(shù)的極大值與極小值的差為．三、解答題11．求下列函數(shù)的極值．（1）；（2）；（3）．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，令，即，解得或，?dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表：300增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，．（2）因?yàn)椋x域?yàn)?，所以，令，解得或，?dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表：00減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，．（3）因?yàn)?，所以，函?shù)的定義域?yàn)椋?，解得或（舍去），?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，，無(wú)極大值.12．設(shè)函數(shù)，其中在，曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸（1）求a的值；（2）求函數(shù)極值．【詳解】（1）因，故由于曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，故該切線斜率為0，即，從而，解得（2）由（1）知，令，解得（因不在定義域內(nèi)，舍去）當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，故在處取得極小值《5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值（第一課時(shí)）》提高同步練習(xí)一、選擇題1．函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．函數(shù)f(x)＝3x2＋lnx－2x的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．無(wú)數(shù)個(gè)3．函數(shù)在上的極大值點(diǎn)為（）A．0B．C．D．4．已知函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)，則的極小值為（）A．B．C．D．5．（多選題）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)B．有零點(diǎn)C．若的極小值點(diǎn)為，則D．若的極小值點(diǎn)為，則6．（多選題）已知，下列說(shuō)法正確的是（）A．在處的切線方程為B．單調(diào)遞增區(qū)間為C．的極大值為D．方程有兩個(gè)不同的解二、填空題7．已知函數(shù)f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1時(shí)有極值0，則m＋n=________.8．已知三次函數(shù)的圖象如圖所示，則_____．9．已知函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.10．在處取得極值，則______.三、解答題10．設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個(gè)極值點(diǎn)．(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)判斷x＝1，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由．12．已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線方程為，求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的極值．《5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值（第一課時(shí)）》答案解析一、選擇題1．函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】A【詳解】由導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象知：函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)1個(gè)2．函數(shù)f(x)＝3x2＋lnx－2x的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】A【解析】，由得，方程無(wú)解，因此函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)3．函數(shù)在上的極大值點(diǎn)為（）A．0B．C．D．【答案】C【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令得，又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以使得函數(shù)取得極大值的的值為，故選：C.4．已知函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)，則的極小值為（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由題知，由于函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)，則，解得，，，令，可得或，列表如下：極大值極小值所以，函數(shù)的極小值為.故選：A.5．（多選題）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)B．有零點(diǎn)C．若的極小值點(diǎn)為，則D．若的極小值點(diǎn)為，則【答案】AC【詳解】由題意得，的定義域?yàn)?，且，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，又，，存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴有唯一極小值點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確．令，得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得．∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），又，∴，即，∴無(wú)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．由，可設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減．∴，即，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC6．（多選題）已知，下列說(shuō)法正確的是（）A．在處的切線方程為B．單調(diào)遞增區(qū)間為C．的極大值為D．方程有兩個(gè)不同的解【答案】AC【詳解】解：因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)?，所以，，，∴的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即，故A正確；在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤，的極大值也是最大值為，故C正確；方程的解的個(gè)數(shù)，即為的解的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)與圖象如圖所示：由圖象可知方程只有一個(gè)解，故D錯(cuò)誤.故選：AC.二、填空題7．已知函數(shù)f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1時(shí)有極值0，則m＋n=________.【答案】11【詳解】依題意可得，聯(lián)立可得或；當(dāng)時(shí)函數(shù)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)無(wú)極值，所以舍去；所以，所以.8．已知三次函數(shù)的圖象如圖所示，則________．【答案】【詳解】解：由題意得，，且，由題圖可知，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，即，是的兩個(gè)根，由，解得：，∵，，∴．9．已知函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.【答案】或【詳解】由題可知：，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在極值點(diǎn)，所以有解所以，則或當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即所以函數(shù)在單調(diào)遞增，沒(méi)有極值點(diǎn)，故舍去所以或，即或10．在處取得極值，則______.【答案】【詳解】解：由已知，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，，，即，因?yàn)?，，，即，．三、解答題11．設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個(gè)極值點(diǎn)．(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)判斷x＝1，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由．【詳解】(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，∴f′(x)＝＋2bx＋1.由極值點(diǎn)的必要條件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，解方程組得，a＝，b＝.(2)由(1)可知f(x)＝lnxx2＋x，且函數(shù)f(x)＝lnxx2＋x的定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝x－1x＋1＝.當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0；所以，x＝1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)．12．已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線方程為，求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的極值．【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，所?因?yàn)樵谔幍那芯€方程為.所以，解得.（2）因?yàn)?，，所以，①?dāng)，即時(shí)，在恒成立，所以在單調(diào)遞增；所以在無(wú)極值；②當(dāng)，即時(shí)，在恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以在無(wú)極值；③當(dāng)，即時(shí)，變化如下表：-0+單調(diào)遞減↘極小值單調(diào)遞增↗因此，的減區(qū)間為，增區(qū)間為．所以當(dāng)時(shí)，有極小值為，無(wú)極大值.《5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值》教案（第二課時(shí)）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)函數(shù)的極值與最大(小)值學(xué)生已經(jīng)具有導(dǎo)數(shù)概念、導(dǎo)數(shù)幾何意義、導(dǎo)數(shù)計(jì)算、函數(shù)的單調(diào)性等相關(guān)的數(shù)學(xué)概念知識(shí)，對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有一定的認(rèn)識(shí)，對(duì)相應(yīng)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容也具有一定的儲(chǔ)備。函數(shù)的極值與最值是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。在學(xué)習(xí)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上，研究和學(xué)習(xí)函數(shù)的極值與最值是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用，注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般的研究方法，發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.了解函數(shù)最大（?。┲档母拍钜约芭c函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系；B．掌握求函數(shù)最值的方法及其應(yīng)用；C．體會(huì)數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．1.數(shù)學(xué)抽象：求函數(shù)最值的方法2.邏輯推理：函數(shù)極值與最值的關(guān)系3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值4.直觀想象：最值與極值的關(guān)系【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：求函數(shù)最值的方法及其綜合應(yīng)用難點(diǎn)：函數(shù)最大（?。┲档母拍钜约芭c函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、溫故知新1.求函數(shù)y=f(x)的極值的一般方法：解方程f'(x)=0.當(dāng)f'(x0)=0時(shí)：如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0，那么f(x0)為極大值；如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0，那么f(x0)為極小值；二、探究新知我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)。也就是說(shuō)，如果x0是函數(shù)y=f(x)的極大（小）值點(diǎn)，那么在x=x0附近找不到比f(wàn)(x0)更大的值，但是，在解決實(shí)際問(wèn)題或研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們往往更關(guān)注函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上，哪個(gè)值最大，哪個(gè)值最小，如果x0是某個(gè)區(qū)間上函數(shù)y=f(x)的最大（?。┲迭c(diǎn)，那么f(x0)不?。ù螅┯诤瘮?shù)y=f(x)在此區(qū)間上所有的函數(shù)值。探究1：函數(shù)y=f(x)的在區(qū)間[a,b]的圖像，你能找出它的極大值、極小值嗎？極大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；極小值：f(x1)、f(x3)、f(x5)；探究2：那么f(x)在區(qū)間[a,b]的內(nèi)最大值、最小值呢?最大值：f(a);最小值：f(x3)探究3：觀察[a,b]上的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象，它們?cè)赱a,b]上有最大值、最小值嗎？如果有，最大值和最小值分別是什么？最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)1．函數(shù)的最大(小)值的存在性一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條________的曲線，那么它必有最大值與最小值．連續(xù)不斷問(wèn)題1：函數(shù)的極值與最值的區(qū)別是什么？函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念，最大（?。┲凳潜容^整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只能有一個(gè)；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值．2．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的____；(2)將函數(shù)y＝f(x)的______與____處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是______，最小的一個(gè)是______．極值；各極值；端點(diǎn)；最大值；最小值1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得．()(2)開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值．()(3)在定義域內(nèi)，若函數(shù)有最值與極值，則極大(小值就是最大(小)值．()(4)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則一定有最值；若可導(dǎo)，則最值點(diǎn)為極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)．()解析：(1)函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最值可能在端點(diǎn)處取得，也可能在極值點(diǎn)處取得．(2)若單調(diào)函數(shù)有最值，則一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得，但開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)在端點(diǎn)處無(wú)函數(shù)值，所以無(wú)最值，故正確．(3)因?yàn)閥最大值≥y極值，y最小值≤y極值，故錯(cuò)誤．(4)正確．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√三、典例解析例6:求fx解：因?yàn)閥'=令y'=又因?yàn)閒(0)=4,f(3)=1所以,當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f(x)在[0,3]上取得最大值4，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f(x)在[0,3]上取得最小值-43求函數(shù)最值的著眼點(diǎn)1從極值點(diǎn)和端點(diǎn)處找最值,求函數(shù)的最值需先確定函數(shù)的極值，如果只是求最值，那么就不需要討論各極值是極大值還是極小值，只需將各極值和端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較即可求出最大值和最小值.2單調(diào)區(qū)間取端點(diǎn),當(dāng)圖象連續(xù)不斷的函數(shù)fx在[a，b]上單調(diào)時(shí)，其最大值和最小值分別在兩個(gè)端點(diǎn)處取得.跟蹤訓(xùn)練1.求下列各函數(shù)的最值．(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).[解](1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)變化狀態(tài)如下表：x－2(－2，－1)－1(－1，1)1(1，2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－1↗11↘－1↗11從表中可以看出，當(dāng)x＝－2時(shí)或x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值－1.當(dāng)x＝－1或x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值11.(2)f′(x)＝2cos2x－1，令f′(x)＝0，得cos2x＝eq\f(1,2)，又∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴2x∈[－π，π]．∴2x＝±eq\f(π,3).∴x＝±eq\f(π,6).∴函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的兩個(gè)極值分別為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,6)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,6).又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(π,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\f(π,2).比較以上函數(shù)值可得f(x)max＝eq\f(π,2)，f(x)min＝－eq\f(π,2).例7:給定函數(shù)f（1）判斷函數(shù)fx的單調(diào)性，并求出f（2）畫(huà)出函數(shù)fx（3）求出方程fx=a(a∈R解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閤∈R因?yàn)閒令f(x)'=f(x)'、f所以，fx在區(qū)間-∞，-2上單調(diào)遞減，在區(qū)間-2，+∞上單調(diào)遞增。當(dāng)x=-2時(shí)，fx（2）令fx=0，解得：當(dāng)x<-1時(shí)，fx<0;當(dāng)x>-1時(shí)，所以x的圖像經(jīng)過(guò)特殊點(diǎn)A(-2,-1e2),B-1,0,C當(dāng)x→-∞時(shí)，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)y=e-x呈爆炸性增長(zhǎng)，從而y=當(dāng)x→+∞時(shí)，fx→+∞根據(jù)以上信息，我們畫(huà)出的大致圖像如圖所示（3）方程fx=a(a∈R)的解的個(gè)數(shù)為函數(shù)y=fx的圖像與直線由（1）及圖可得，當(dāng)x=-2時(shí)，有最小值f-2=-所以，方程fx=a當(dāng)a<-1e當(dāng)a=-1e2或當(dāng)-

函數(shù)fx的圖像直觀地反映了函數(shù)fx的性質(zhì)，通?？梢园慈缦虏襟E畫(huà)出函數(shù)（1）求出函數(shù)fx（2）求導(dǎo)數(shù)f(x)'及函數(shù)f(x)（3）用零點(diǎn)將fx的定義域?yàn)槿舾蓚€(gè)區(qū)間，列表給出f(x)'在各個(gè)區(qū)間上的正負(fù)，并得出（4）確定fx（5）畫(huà)出fx例8.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8πr2分,其(1)瓶子半徑多大時(shí),能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大?(2)瓶子半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最小?解：由題意可知，每瓶飲料的利潤(rùn)是y=fr=0.2×43所以f令f'r=當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f'r<0;當(dāng)x∈(2,6)時(shí)，因此，當(dāng)半徑r>2時(shí)，f'fr單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑r<2時(shí)，f'r（1）半徑為6cm時(shí)，利潤(rùn)最大（2）半徑2cm時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)f21．優(yōu)化問(wèn)題生活中經(jīng)常遇到求、、等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱(chēng)為優(yōu)化問(wèn)題．2．解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路利潤(rùn)最大；用料最省；效率最高函數(shù)；導(dǎo)數(shù)跟蹤訓(xùn)練2．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷．如圖所示，它的正視圖和側(cè)視圖都是由矩形和三角形構(gòu)成的圖形，俯視圖是正六邊形及其中心與頂點(diǎn)的連線構(gòu)成的圖形．試問(wèn)：當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？并求出最大體積．解：依題意，該帳篷的下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐，如圖所示．設(shè)帳篷的頂點(diǎn)為O，底面中心為O1，OO1為xm，帳篷的體積為V(x)m3，且1<x<4.由題設(shè)可得正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為eq\r(32－x－12)＝eq\r(8＋2x－x2)(m)，故底面正六邊形的面積為6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(m2)，故V(x)＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－1＋1))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，則V′(x)＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)．當(dāng)1<x<2時(shí)，V′(x)>0，V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2<x<4時(shí)，V′(x)<0，V(x)為減函數(shù)．所以當(dāng)x＝2時(shí)，V(x)取得最大值，且最大值為V(2)＝16eq\r(3).綜上可得，當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)到底面中心的距離為2m時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為16eq\r(3)m3.溫故知新，提出問(wèn)題，，引導(dǎo)學(xué)生探究運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)特例，體會(huì)函數(shù)極值與最值之間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典型例題的分析和解決，幫助學(xué)生掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的一般方法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．函數(shù)y＝eq\f(lnx,x)的最大值為()A．e－1B．eC．e2D．10A[令y′＝eq\f(1－lnx,x2)＝0?x＝e.當(dāng)x＞e時(shí)，y′＜0；當(dāng)0＜x＜e時(shí)，y′＞0，所以y極大值＝e－1，因?yàn)樵诙x域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以ymax＝e－1.]2．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－eq\f(x2,2)－2x＋5，若對(duì)任意x∈[－1，2]，都有f(x)＞m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))[f′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1或x＝－eq\f(2,3).f(－1)＝eq\f(11,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(157,27)，f(1)＝eq\f(7,2)，f(2)＝7，∴m＜eq\f(7,2).]3．已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值．[解]f′(x)＝3x2－2ax.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(2a,3).①當(dāng)eq\f(2a,3)≤0，即a≤0時(shí)，f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，從而f(x)max＝f(2)＝8－4a.②當(dāng)eq\f(2a,3)≥2，即a≥3時(shí)，f(x)在[0，2]上單調(diào)遞減，從而f(x)max＝f(0)＝0.③當(dāng)0＜eq\f(2a,3)＜2，即0＜a＜3時(shí)，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2a,3)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，2))上單調(diào)遞增，從而f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4a0＜a≤2，,02＜a＜3.))綜上所述，f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4aa≤2，,0a＞2.))4.為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿(mǎn)足關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．[解](1)由題設(shè)，隔熱層厚度為xcm，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5，x＝－eq\f(25,3)(舍去)．當(dāng)0≤x<5時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)5<x≤10時(shí)，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.所以，當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元．通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）f(x)在(a,b)內(nèi)導(dǎo)函數(shù)為零的點(diǎn)，并計(jì)算出其函數(shù)值；（2）將f(x)的各導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)的函數(shù)值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】運(yùn)用“問(wèn)題探究式”“觀察發(fā)現(xiàn)式”“討論式”的教學(xué)方法，本節(jié)課在前一節(jié)所學(xué)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)生活實(shí)例、觀察圖象，自己探究歸納、總結(jié)出函數(shù)的最值定義及利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法。讓學(xué)生主動(dòng)地獲得知識(shí)，老師只是進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，而不進(jìn)行全部的灌輸。為突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，這節(jié)課主要選擇以合作探究式教學(xué)法組織教學(xué)?！?.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值》導(dǎo)學(xué)案（第二課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解函數(shù)最大（?。┲档母拍钜约芭c函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系；2．掌握求函數(shù)最值的方法及其應(yīng)用；3．體會(huì)數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．【重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：求函數(shù)最值的方法及其綜合應(yīng)用難點(diǎn)：函數(shù)最大（小）值的概念以及與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系【知識(shí)梳理】1.求函數(shù)y=f(x)的極值的一般方法：解方程f'(x)=0.當(dāng)f'(x0)=0時(shí)：如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0，那么f(x0)為極大值；如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0，那么f(x0)為極小值；2．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的____；(2)將函數(shù)y＝f(x)的______與____處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是______，最小的一個(gè)是______．極值；各極值；端點(diǎn)；最大值；最小值1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得．()(2)開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值．()(3)在定義域內(nèi)，若函數(shù)有最值與極值，則極大(小值就是最大(小)值．()(4)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則一定有最值；若可導(dǎo)，則最值點(diǎn)為極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)．()【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、新知探究我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)。也就是說(shuō)，如果x0是函數(shù)y=f(x)的極大（?。┲迭c(diǎn)，那么在x=x0附近找不到比f(wàn)(x0)更大的值，但是，在解決實(shí)際問(wèn)題或研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們往往更關(guān)注函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上，哪個(gè)值最大，哪個(gè)值最小，如果x0是某個(gè)區(qū)間上函數(shù)y=f(x)的最大（?。┲迭c(diǎn)，那么f(x0)不小（大）于函數(shù)y=f(x)在此區(qū)間上所有的函數(shù)值。探究1：函數(shù)y=f(x)的在區(qū)間[a,b]的圖像，你能找出它的極大值、極小值嗎？探究2：那么f(x)在區(qū)間[a,b]的內(nèi)最大值、最小值呢?探究3：觀察[a,b]上的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象，它們?cè)赱a,b]上有最大值、最小值嗎？如果有，最大值和最小值分別是什么？1．函數(shù)的最大(小)值的存在性一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條________的曲線，那么它必有最大值與最小值．連續(xù)不斷問(wèn)題1：函數(shù)的極值與最值的區(qū)別是什么？二、典例解析例6:求fx求函數(shù)最值的著眼點(diǎn)1從極值點(diǎn)和端點(diǎn)處找最值,求函數(shù)的最值需先確定函數(shù)的極值，如果只是求最值，那么就不需要討論各極值是極大值還是極小值，只需將各極值和端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較即可求出最大值和最小值.2單調(diào)區(qū)間取端點(diǎn),當(dāng)圖象連續(xù)不斷的函數(shù)fx在[a，b]上單調(diào)時(shí)，其最大值和最小值分別在兩個(gè)端點(diǎn)處取得.跟蹤訓(xùn)練1.求下列各函數(shù)的最值．(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).例7:給定函數(shù)f（1）判斷函數(shù)fx的單調(diào)性，并求出f（2）畫(huà)出函數(shù)fx（3）求出方程fx=a(a∈R函數(shù)fx的圖像直觀地反映了函數(shù)fx的性質(zhì)，通常可以按如下步驟畫(huà)出函數(shù)（1）求出函數(shù)fx（2）求導(dǎo)數(shù)f(x)'及函數(shù)f(x)（3）用零點(diǎn)將fx的定義域?yàn)槿舾蓚€(gè)區(qū)間，列表給出f(x)'在各個(gè)區(qū)間上的正負(fù)，并得出（4）確定fx（5）畫(huà)出fx例8.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8πr2分,其(1)瓶子半徑多大時(shí),能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大?(2)瓶子半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最小?1．優(yōu)化問(wèn)題生活中經(jīng)常遇到求、、等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱(chēng)為優(yōu)化問(wèn)題．利潤(rùn)最大；用料最省；效率最高2．解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路函數(shù)；導(dǎo)數(shù)跟蹤訓(xùn)練2．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷．如圖所示，它的正視圖和側(cè)視圖都是由矩形和三角形構(gòu)成的圖形，俯視圖是正六邊形及其中心與頂點(diǎn)的連線構(gòu)成的圖形．試問(wèn)：當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？并求出最大體積．【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．函數(shù)y＝eq\f(lnx,x)的最大值為()A．e－1B．eC．e2D．102．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－eq\f(x2,2)－2x＋5，若對(duì)任意x∈[－1，2]，都有f(x)＞m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．3．已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值．4.為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿(mǎn)足關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．【課堂小結(jié)】求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）f(x)在(a,b)內(nèi)導(dǎo)函數(shù)為零的點(diǎn)，并計(jì)算出其函數(shù)值；（2）將f(x)的各導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)的函數(shù)值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．【參考答案】知識(shí)梳理1．解析：(1)函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最值可能在端點(diǎn)處取得，也可能在極值點(diǎn)處取得．(2)若單調(diào)函數(shù)有最值，則一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得，但開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)在端點(diǎn)處無(wú)函數(shù)值，所以無(wú)最值，故正確．(3)因?yàn)閥最大值≥y極值，y最小值≤y極值，故錯(cuò)誤．(4)正確．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√學(xué)習(xí)過(guò)程一、新知探究探究1：極大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；極小值：f(x1)、f(x3)、f(x5)；探究2：最大值：f(a);最小值：f(x3)探究3：最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)問(wèn)題1：函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念，最大（?。┲凳潜容^整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只能有一個(gè)；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值．二、典例解析例6:解：因?yàn)閥'=令y'=又因?yàn)閒(0)=4,f(3)=1所以,當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f(x)在[0,3]上取得最大值4，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f(x)在[0,3]上取得最小值-43跟蹤訓(xùn)練1.[解](1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)變化狀態(tài)如下表：x－2(－2，－1)－1(－1，1)1(1，2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－1↗11↘－1↗11從表中可以看出，當(dāng)x＝－2時(shí)或x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值－1.當(dāng)x＝－1或x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值11.(2)f′(x)＝2cos2x－1，令f′(x)＝0，得cos2x＝eq\f(1,2)，又∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴2x∈[－π，π]．∴2x＝±eq\f(π,3).∴x＝±eq\f(π,6).∴函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的兩個(gè)極值分別為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,6)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,6).又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(π,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\f(π,2).比較以上函數(shù)值可得f(x)max＝eq\f(π,2)，f(x)min＝－eq\f(π,2).例7:解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閤∈R因?yàn)閒令f(x)'=f(x)'、f所以，fx在區(qū)間-∞，-2當(dāng)x=-2時(shí)，fx有極小值f-2=-（2）令fx=0，解得：當(dāng)x<-1時(shí)，fx<0;當(dāng)x>-1時(shí)，所以fx的圖像經(jīng)過(guò)特殊點(diǎn)A(-2,-1e2),B-1,0當(dāng)x→-∞時(shí)，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)y=e-x呈爆炸性增長(zhǎng)，從而y=當(dāng)x→+∞時(shí)，fx→+∞根據(jù)以上信息，我們畫(huà)出的大致圖像如圖所示（3）方程fx=a(a∈R)的解的個(gè)數(shù)為函數(shù)y=fx的圖像與直線由（1）及圖可得，當(dāng)x=-2時(shí)，有最小值f-2=-所以，方程fx=a當(dāng)a<-1e當(dāng)a=-1e2或當(dāng)-

例8.解：由題意可知，每瓶飲料的利潤(rùn)是y=fr=0.2×43所以f令f'r=當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f'r<0;當(dāng)x∈(2,6)時(shí)，因此，當(dāng)半徑r>2時(shí)，f'fr單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑r<2時(shí)，f'r（1）半徑為6cm時(shí)，利潤(rùn)最大（2）半徑2cm時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)f2跟蹤訓(xùn)練2．解：依題意，該帳篷的下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐，如圖所示．設(shè)帳篷的頂點(diǎn)為O，底面中心為O1，OO1為xm，帳篷的體積為V(x)m3，且1<x<4.由題設(shè)可得正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為eq\r(32－x－12)＝eq\r(8＋2x－x2)(m)，故底面正六邊形的面積為6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(m2)，故V(x)＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－1＋1))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，則V′(x)＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)．當(dāng)1<x<2時(shí)，V′(x)>0，V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2<x<4時(shí)，V′(x)<0，V(x)為減函數(shù)．所以當(dāng)x＝2時(shí)，V(x)取得最大值，且最大值為V(2)＝16eq\r(3).綜上可得，當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)到底面中心的距離為2m時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為16eq\r(3)m3.達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．A[令y′＝eq\f(1－lnx,x2)＝0?x＝e.當(dāng)x＞e時(shí)，y′＜0；當(dāng)0＜x＜e時(shí)，y′＞0，所以y極大值＝e－1，因?yàn)樵诙x域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以ymax＝e－1.]2．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))[f′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1或x＝－eq\f(2,3).f(－1)＝eq\f(11,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(157,27)，f(1)＝eq\f(7,2)，f(2)＝7，∴m＜eq\f(7,2).]3．[解]f′(x)＝3x2－2ax.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(2a,3).①當(dāng)eq\f(2a,3)≤0，即a≤0時(shí)，f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，從而f(x)max＝f(2)＝8－4a.②當(dāng)eq\f(2a,3)≥2，即a≥3時(shí)，f(x)在[0，2]上單調(diào)遞減，從而f(x)max＝f(0)＝0.③當(dāng)0＜eq\f(2a,3)＜2，即0＜a＜3時(shí)，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2a,3)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，2))上單調(diào)遞增，從而f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4a0＜a≤2，,02＜a＜3.))綜上所述，f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4aa≤2，,0a＞2.))4.[解](1)由題設(shè)，隔熱層厚度為xcm，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5，x＝－eq\f(25,3)(舍去)．當(dāng)0≤x<5時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)5<x≤10時(shí)，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.所以，當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元．《5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值（第二課時(shí)）》基礎(chǔ)同步練習(xí)一、選擇題1．在[0，3]上的最大值，最小值分別是（）A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－162．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)m的最小值是（）A．2B．C．1D．3．函數(shù)在內(nèi)有最小值，則的取值范圍為()A．B．C．D．4．已知函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．D．5．（多選題）如圖所示，外層是類(lèi)似于“甜筒冰淇淋”的圖形，上部分是體積為的半球，下面大圓剛好與高度為的圓錐的底面圓重合，在該封閉的幾何體內(nèi)倒放一個(gè)小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面，且小圓錐頂點(diǎn)與外層圓錐頂點(diǎn)重合，則該小圓錐體積可以為（）A．B．C．D．6．（多選題）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則函數(shù)沒(méi)有極值B．若，則函數(shù)有極值C．若函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D．若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是二、填空題7．若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.8．已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最小值為1，則a=________.9.已知函數(shù),,若對(duì)任意都存在使成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.10．已知，直線與函數(shù)的圖象在處相切，設(shè)，若在區(qū)間上，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是_______.三、解答題11．已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．12．已知函數(shù)，.（1）若在上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.《5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值（第二課時(shí)）》答案解析一、選擇題1．在[0，3]上的最大值，最小值分別是（）A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16【答案】A【詳解】，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極小值為，也是最小值，，的最大值、最小值分別為、.故選：A.2．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)m的最小值是（）A．2B．C．1D．【答案】C【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，得或（舍）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，且最小值為1.因?yàn)榇嬖?，使得不等式成立，所以，所以?shí)數(shù)m的最小值為1.故選：C3．函數(shù)在內(nèi)有最小值，則的取值范圍為()A．B．C．D．【答案】B【詳解】∵函數(shù)f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）內(nèi)有最小值，∴f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），①若a≤0，可得f′（x）≥0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，f（x）在x=0處取得最小值，顯然不可能，②若a＞0，f′（x）=0解得x=±，當(dāng)x＞，f（x）為增函數(shù)，0＜x＜為減函數(shù)，f（x）在x=處取得極小值，也是最小值，所以極小值點(diǎn)應(yīng)該在（0，1）內(nèi)，符合要求．綜上所述，a的取值范圍為（0，1），故答案為B4．已知函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)無(wú)零點(diǎn)，所以方程在上無(wú)解，即在上無(wú)解，令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以時(shí)，函數(shù)有唯一的極小值，也是最小值．，所以．若無(wú)解，則．故選：B．5．（多選題）如圖所示，外層是類(lèi)似于“甜筒冰淇淋”的圖形，上部分是體積為的半球，下面大圓剛好與高度為的圓錐的底面圓重合，在該封閉的幾何體內(nèi)倒放一個(gè)小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面，且小圓錐頂點(diǎn)與外層圓錐頂點(diǎn)重合，則該小圓錐體積可以為（）A．B．C．D．【答案】ABC【詳解】令上部分的半球半徑為，可得，解得，設(shè)小圓錐的底面半徑為，小圓錐底面中心到球心距離為，可知，，和可構(gòu)成直角三角形，即，小圓錐體積．令，則，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，最大，，即，即ABC三個(gè)選項(xiàng)都滿(mǎn)足題意．故選：ABC.6．（多選題）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則函數(shù)沒(méi)有極值B．若，則函數(shù)有極值C．若函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D．若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】ABD【詳解】由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)單調(diào)遞減，沒(méi)有極值，又當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，∴有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，同時(shí)也是最小值，∴，當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于，趨近于，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)，即時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上可知ABD正確，C錯(cuò)誤．故選：ABD．二、填空題7．若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴是函數(shù)的極小值點(diǎn)．∵函數(shù)在區(qū)間上有最小值，即為極小值．∴，解得．8．已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最小值為1，則a=________.【答案】1【詳解】是奇函數(shù)，時(shí)，的最小值為1，在上的最大值為，當(dāng)時(shí)，，令得，又，，令，則，在上遞增；令，則，在，上遞減，，，得．9．已知函數(shù),,若對(duì)任意都存在使成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】對(duì)任意都存在使成立，所以得到，而，所以，即存在，使，此時(shí)，，所以，因此將問(wèn)題轉(zhuǎn)