高中人教A版數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)檢測第十章概率

單元素養(yǎng)檢測(五)(第十章)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求)1.給甲、乙、丙三人打,若打的順序是任意的,則第一個(gè)打給甲的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.給三人打的不同順序有6種可能,其中第一個(gè)給甲打的有2種,故所求概率為P=QUOTE=QUOTE.2.先后拋擲兩枚骰子,設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3,則()A.P1=P2<P3 B.P1<P2<P3C.P1<P2=P3 D.P3=P2<P1【解析】選B.先后拋擲兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)共有36個(gè)樣本點(diǎn):(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),并且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能發(fā)生的.而點(diǎn)數(shù)之和為12的只有1個(gè):(6,6);點(diǎn)數(shù)之和為11的有2個(gè):(5,6),(6,5);點(diǎn)數(shù)之和為10的有3個(gè):(4,6),(5,5),(6,4),故P1<P2<P3.3.從含有3個(gè)元素的集合中任取一個(gè)子集,所取的子集是含有兩個(gè)元素的集合的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.所有子集共8個(gè),其中含有2個(gè)元素的有3個(gè),所以概率為QUOTE.4.某人從甲地去乙地共走了500m,途中要過一條寬為xm的河流,他不小心把一件物品丟在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品不掉在河里,則能找到,已知該物品能找到的概率為QUOTE,則河寬為()A.100m B.80m C.50m D.40m【解析】選A.設(shè)河寬為xm,則1QUOTE=QUOTE,所以x=100.5.從一批羽毛球中任取一個(gè),如果其質(zhì)量小于4.8g的概率是0.3,質(zhì)量不小于4.85g的概率是0.32,那么質(zhì)量在[4.8,4.85)范圍內(nèi)的概率是()【解析】選B.記“取到羽毛球的質(zhì)量小于4.8g”為事件A,“取到羽毛球的質(zhì)量不小于4.85g”為事件B,“取到羽毛球的質(zhì)量在[4.8,4.85)范圍內(nèi)”為事件C.易知事件A,B,C互斥,且A∪B∪C為必然事件.所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.32+P(C)=1,即P(C)=10.30.32=0.38.6.有分別寫著數(shù)字1到120的120張卡片,從中取出1張,這張卡片上的數(shù)字是2的倍數(shù)或是3的倍數(shù)的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.是2的倍數(shù)的數(shù)有60個(gè),是3的倍數(shù)的數(shù)有40個(gè),是6的倍數(shù)的數(shù)有20個(gè),所以P=QUOTE=QUOTE.7.從某地區(qū)的兒童中挑選體操學(xué)員,已知兒童體型合格的概率為QUOTE,身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格的概率為QUOTE,從中任挑一兒童,這兩項(xiàng)至少有一項(xiàng)合格的概率是(假定體型與身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格與否相互之間沒有影響)()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.設(shè)“兒童體型合格”為事件A,“身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格”為事件B,則P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE.又A,B相互獨(dú)立,則QUOTE,QUOTE也相互獨(dú)立,則P(QUOTEQUOTE)=P(QUOTE)P(QUOTE)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,故至少有一項(xiàng)合格的概率為P=1P(QUOTEQUOTE)=QUOTE.8.一場5局3勝制的乒乓球?qū)官?當(dāng)甲運(yùn)動員先勝2局時(shí),比賽因故中斷.已知甲、乙水平相當(dāng),每局甲勝、乙勝的概率都為QUOTE,則這場比賽的甲、乙取勝的概率比(甲∶乙)應(yīng)為()A.6∶1 B.7∶1 C.3∶1 D.4∶1【解析】選B.甲前2局已勝,甲勝有三種情況:①甲第3局勝為A1,P(A1)=QUOTE;②甲第3局負(fù)、第4局勝為A2,P(A2)=QUOTE×QUOTE=QUOTE;③第3局、第4局甲負(fù),第5局甲勝為A3,P(A3)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.故甲勝的概率為P(A1)+P(A2)+P(A3)=QUOTE,乙勝的概率則為QUOTE.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.在5件產(chǎn)品中,有3件一等品和2件二等品,從中任取2件,則下列選項(xiàng)中不是以QUOTE為概率的事件是()A.恰有1件一等品 B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品 D.都不是一等品【解析】選ABD.將3件一等品編號為1,2,3,2件二等品編號為4,5,從中任取2件有10種取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰有1件一等品的取法有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),恰有1件一等品的概率為P1=QUOTE,恰有2件一等品的取法有:(1,2),(1,3),(2,3).故恰有2件一等品的概率為P2=QUOTE,其對立事件是“至多有一件一等品”,概率為P3=1P2=1QUOTE=QUOTE.至少有一件一等品的概率為P1+P2=QUOTE,都不是一等品的概率為1QUOTE=QUOTE.10.下列事件:①如果a,b是實(shí)數(shù),那么b+a=a+b;②某地1月1日刮西北風(fēng);③當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí),x2≥0;④一個(gè)電影院某天的上座率超過50%,其中是隨機(jī)事件的有()A.① B.② C.③ D.④【解析】選BD.由題意可知①③是必然事件,②④是隨機(jī)事件.11.下列事件中,是隨機(jī)事件的為()①在學(xué)校明年召開的田徑運(yùn)動會上,學(xué)生張濤獲得100米短跑冠軍;②在體育課上,體育老師隨機(jī)抽取一名學(xué)生去拿體育器材,抽到李凱;③從標(biāo)有1,2,3,4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?恰為1號簽;④在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水在4℃時(shí)結(jié)冰.A.① B.② C.③ D.④【解析】選ABC.①在明年運(yùn)動會上,張濤可能獲冠軍,也可能不獲冠軍.②李凱不一定被抽到.③任取一張不一定為1號簽.④在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下水在4℃時(shí)不可能結(jié)冰,故①②③是隨機(jī)事件,④是不可能事件.12.下列說法不正確的是()A.事件A的概率為P(A),必有0<P(A)<1B.事件A的概率P(A)=0.999,則事件A是必然事件C.用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人進(jìn)行治療,結(jié)果有380人有明顯的療效.現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥,則估計(jì)有明顯療效的可能性為76%D.某獎券的中獎率為50%,則某人購買此獎券10張,一定有5張中獎【解析】選ABD.A不正確,因?yàn)?≤P(A)≤1;若A是必然事件,則P(A)=1,故B不正確;對于D,獎券的中獎率為50%,若某人購買此獎券10張,則可能會有5張中獎,所以D不正確.根據(jù)頻率與概率的關(guān)系知C正確.三、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.一個(gè)袋子中有5個(gè)紅球,3個(gè)白球,4個(gè)綠球,8個(gè)黑球,如果隨機(jī)地摸出一個(gè)球,記A={摸出黑球},B={摸出白球},C={摸出綠球},D={摸出紅球},則P(A)=________;P(B)=________;

P(C∪D)=________.

【解析】由古典概型的算法可得P(A)=QUOTE=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C∪D)=P(C)+P(D)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTEQUOTE14.有一個(gè)數(shù)學(xué)難題,在半小時(shí)內(nèi),甲能解決的概率是QUOTE,乙能解決的概率是QUOTE,兩人試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決它,則兩人都未解決的概率為________,問題得到解決的概率為________.

【解析】甲、乙兩人都未能解決的概率為QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE,問題得到解決就是至少有一人能解決問題.所以問題得到解決的概率為1QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE15.甲、乙兩組各有三名同學(xué),他們在一次測驗(yàn)中的成績的莖葉圖如圖所示,如果分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué),則這兩名同學(xué)的成績相同的概率是________.

【解析】由題意可知從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué),共有9種選法,其中這兩名同學(xué)的成績相同的選法只有1種,故所求概率P=QUOTE.答案:QUOTE16.箱子中裝有十張卡片,分別寫有1到10的十個(gè)整數(shù);從箱子中任取一張卡片,記下它的讀數(shù)x,然后再放回箱子中;第二次再從箱子中任取一張卡片,記下它的讀數(shù)y,則x+y是10的倍數(shù)的概率為________.

【解析】先后兩次取卡片,形成的有序數(shù)對有(1,1),(1,2),(1,3),…,(1,10),…,(10,10),共計(jì)100個(gè).因?yàn)閤+y是10的倍數(shù),這些數(shù)對應(yīng)該是(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1),(10,10)共10個(gè),故x+y是10的倍數(shù)的概率為P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2020·全國Ⅰ卷)某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù),加工出來的產(chǎn)品(單位:件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C,D四個(gè)等級.加工業(yè)務(wù)約定:對于A級品、B級品、C級品,廠家每件分別收取加工費(fèi)90元,50元,20元;對于D級品,廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件,乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù),在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品,并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級,整理如下:甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率;(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤,以平均利潤為依據(jù),廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)?【解析】(1)由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知,甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計(jì)值為QUOTE=0.4;乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計(jì)值為QUOTE=0.28.(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤6525575頻數(shù)40202020因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為QUOTE=15.由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤7030070頻數(shù)28173421因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為QUOTE=10.比較甲乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤,應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).18.(12分)小王、小李兩位同學(xué)玩擲骰子(骰子質(zhì)地均勻)游戲,規(guī)則:小王先擲一枚骰子,向上的點(diǎn)數(shù)記為x;小李后擲一枚骰子,向上的點(diǎn)數(shù)記為y.(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有幾個(gè)?(2)規(guī)定:若x+y≥10,則小王贏;若x+y≤4,則小李贏,其他情況不分輸贏.試問這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎?請說明理由.【解析】(1)由于x,y取值為1,2,3,4,5,6,則以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有36個(gè),即以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有36個(gè).(2)滿足x+y≥10的點(diǎn)有:(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6個(gè),所以小王贏的概率是QUOTE=QUOTE,滿足x+y≤4的點(diǎn)有:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6個(gè),所以小李贏的概率是QUOTE=QUOTE,則小王贏的概率等于小李贏的概率,所以這個(gè)游戲規(guī)則公平.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某飲料公司對一名員工進(jìn)行測試以便確定其考評級別,公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共5杯,其顏色完全相同,并且其中3杯為A飲料,另外2杯為B飲料,公司要求此員工一一品嘗后,從5杯飲料中選出3杯A飲料,若該員工3杯都選對,則評為優(yōu)秀;若3杯選對2杯,則評為良好;否則評為合格.假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力.(1)求此人被評為優(yōu)秀的概率.(2)求此人被評為良好及以上的概率.【解析】將5杯飲料編號為1,2,3,4,5,編號1,2,3表示A飲料,編號4,5表示B飲料,則從5種飲料中選出3杯的所有可能情況為(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共有10種,令D表示此人被評為優(yōu)秀的事件,E表示此人被評為良好的事件,F表示此人被評為良好及以上的事件,則(1)P(D)=QUOTE.(2)P(E)=QUOTE,P(F)=P(D)+P(E)=QUOTE.19.(12分)對某班一次測驗(yàn)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),如下表所示:分?jǐn)?shù)段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]概率0.010.020.040.170.360.250.15(1)求該班成績在[80,100]內(nèi)的概率;(2)求該班成績在[60,100]內(nèi)的概率;【解析】記該班的測試成績在[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]內(nèi)依次為事件A,B,C,D,由題意知事件A,B,C,D是彼此互斥的.(1)該班成績在[80,100]內(nèi)的概率是P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.25+0.15=0.4.(2)該班成績在[60,100]內(nèi)的概率是P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.17+0.36+0.25+0.15=0.93.20.(12分)連續(xù)拋擲兩顆骰子,設(shè)第一顆點(diǎn)數(shù)為m,第二顆點(diǎn)數(shù)為n,則求(1)m+n=7的概率;(2)m=n的概率;(3)m·n為偶數(shù)的概率.【解析】(m,n)的總個(gè)數(shù)為36.(1)事件A={m+n=7}={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}共6個(gè),則P(A)=QUOTE=QUOTE.(2)事件B={m=n}={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}共6個(gè),則P(B)=QUOTE=QUOTE.(3)事件C={m·n為偶數(shù)},分為奇數(shù)×偶數(shù),偶數(shù)×奇數(shù),偶數(shù)×偶數(shù)3類,所以共有3×3+3×3+3×3=27個(gè).所以P(C)=QUOTE=QUOTE.21.(12分)甲、乙兩名跳高運(yùn)動員在一次2米跳高中成功的概率分別為0.7,0.6,且每次試跳成功與否相互之間沒有影響,求:(1)甲試跳三次,第三次才成功的概率;(2)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率;(3)甲、乙各試跳兩次,甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率.【解析】記“甲第i次試跳成功”為事件Ai,“乙第i次試跳成功”為事件Bi,依題意得P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6且Ai,Bi相互獨(dú)立.(1)“甲試跳三次,第三次才成功”為事件QUOTE∩QUOTE∩A3,且這三次試跳相互獨(dú)立.所以P(QUOTE∩QUOTE∩A3)=P(QUOTE)P(QUOTE)·P(A3)=0.3×0.3×0.7=0.063.(2)記“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件C.P(C)=1P(QUOTE)P(QUOTE)=10.3×0.4=0.88.(3)記“甲在兩次試跳中成功n次”為事件Mn(n=0,1,2),“乙在兩次試跳中成功n次”為事件Nn(n=0,1,2),因?yàn)槭录凹?、乙各試跳兩?甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次”可表示為M1∩N0+M2∩N1,且M1∩N0,M2∩N1為互斥事件,則所求的概率為P(M1∩N0+M2∩N1)=P(M1∩N0)+P(M2∩N1)=P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1)=2×0.7×0.3×0.42+0.72×2×0.6×0.4=0.0672+0.23