新教材數(shù)學(xué)人教A版作業(yè)5-7三角函數(shù)的應(yīng)用

第五章5.7A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．在兩個彈簧上各有一個質(zhì)量分別為M1和M2的小球做上下自由振動．已知它們在時間t(s)離開平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分別由s1＝5sin(2t＋eq\f(π,6))，s2＝10cos2t確定，則當(dāng)t＝eq\f(2π,3)s時，s1與s2的大小關(guān)系是(C)A．s1>s2 B．s1<s2C．s1＝s2 D．不能確定[解析]當(dāng)t＝eq\f(2π,3)s時，s1＝5·sin(eq\f(4π,3)＋eq\f(π,6))＝5·sineq\f(3π,2)＝－5.s2＝10·coseq\f(4π,3)＝－5，所以s1＝s2.2．如圖是一向右傳播的繩波在某一時刻繩子各點的位置，經(jīng)過eq\f(1,2)周期后，乙點的位置將移至(D)A．甲 B．乙C．丙 D．丁[解析]利用三角函數(shù)周期性的變化判斷可知，選D.3．某商品一年內(nèi)每件出廠價在5萬元基礎(chǔ)上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的模型波動(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高價7萬元，7月份達(dá)到最低價3萬元，根據(jù)以上條件可以確定f(x)解析式是(D)A．f(x)＝2sin(eq\f(π,4)x＋eq\f(π,4))＋5(1≤x≤12，x∈N*)B．f(x)＝7sin(eq\f(π,4)x－eq\f(π,4))＋5(1≤x≤12，x∈N*)C．f(x)＝7sin(eq\f(π,4)x＋eq\f(π,4))＋5(1≤x≤12，x∈N*)D．f(x)＝2sin(eq\f(π,4)x－eq\f(π,4))＋5(1≤x≤12，x∈N*)[解析]由題意A＝eq\f(7－3,2)＝2，eq\f(T,2)＝7－3＝4，T＝8，ω＝eq\f(2π,8)＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ))＋5由x＝3時，f(x)最大，eq\f(π,4)×3＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，φ＝－eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z，∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,4)，∴f(x)＝2sin(eq\f(π,4)x－eq\f(π,4))＋5.4．電流強(qiáng)度I(A)隨時間t(s)變化的關(guān)系式是I＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))，則當(dāng)t＝eq\f(1,200)s時，電流強(qiáng)度I為(B)A．5AC．2A D．[解析]將t＝eq\f(1,200)代入I＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))得I＝2.55．動點A(x，y)在圓x2＋y2＝1上繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周．已知時間t＝0時，點A的坐標(biāo)是(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，則當(dāng)0≤t≤12時，動點A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(D)A．[0,1] B．[1,7]C．[7,12] D．[0,1]和[7,12][解析]由已知可得該函數(shù)的周期為T＝12，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6)，又當(dāng)t＝0時，A(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，∴y＝sin(eq\f(π,6)t＋eq\f(π,3))，t∈[0,12]，可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,1]和[7,12]．二、填空題6．某城市一年中12個月的平均氣溫與月份關(guān)系可近似用三角函數(shù)y＝a＋Acos[eq\f(π,6)(x－6)](x＝1,2,3，…，12)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低為18℃，則10月份的平均氣溫為20.5℃[解析]由題意得y＝23＋5cos[eq\f(π,6)(x－6)]，當(dāng)x＝10時y＝20.5.7.如圖所示，彈簧下掛著的小球做上下振動．開始時小球在平衡位置上方2cm處，然后小球向上運(yùn)動，小球的最高點和最低點與平衡位置的距離都是4cm，每經(jīng)過πs小球往復(fù)振動一次，則小球離開平衡位置的位移y與振動時間x的關(guān)系式可以是y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))(x≥0)(答案不唯一)[解析]不妨設(shè)y＝Asin(ωx＋φ)．由題知A＝4，T＝π，所以ω＝eq\f(2π,T)＝2.當(dāng)x＝0時，y＝2，且小球開始向上運(yùn)動，所以有φ＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，不妨取φ＝eq\f(π,6)，故所求關(guān)系式可以為y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))(x≥0)．三、解答題8．如圖，它表示電流I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，在一個周期內(nèi)的圖象．(1)試根據(jù)圖象寫出I＝Asin(ωx＋φ)(|φ|<eq\f(π,2))的解析式；(2)在任意一段eq\f(3,100)秒的時間內(nèi)，電流I既能取得最大值A(chǔ)，又能取得最小值－A嗎？[解析](1)由題圖知A＝eq\r(3)，T＝2×(eq\f(1,20)－eq\f(1,50))＝eq\f(3,50)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(100π,3)，所以I＝eq\r(3)sin(eq\f(100π,3)t＋φ)，又(eq\f(1,50)，0)是該函數(shù)圖象的第二零點，∴eq\f(100π,3)×eq\f(1,50)＋φ＝π，即φ＝eq\f(π,3)，符合|φ|<eq\f(π,2)，∴I＝eq\r(3)sin(eq\f(100π,3)t＋eq\f(π,3))．(2)不能．因為由(1)有T＝eq\f(3,50)>eq\f(3,100)，所以不可能．9.如圖為一個纜車示意圖，纜車半徑為4.8m，圓上最低點與地面的距離為0.8m,60s轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB，設(shè)(1)求h與θ間的函數(shù)解析式；(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過ts后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)解析式，并求纜車到達(dá)最高點時用的最少時間是多少？[解析](1)以圓心O為原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為θ－eq\f(π,2)，故B點坐標(biāo)為(4.8cos(θ－eq\f(π,2))，4.8sin(θ－eq\f(π,2)))．所以h＝5.6＋4.8sin(θ－eq\f(π,2))．(2)點A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是eq\f(π,30)，故ts轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為eq\f(πt,30).所以h＝5.6＋4.8sin(eq\f(π,30)t－eq\f(π,2))，t∈[0，＋∞)．到達(dá)最高點時，h＝10.4由sin(eq\f(π,30)t－eq\f(π,2))＝1，得eq\f(π,30)t－eq\f(π,2)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈N，所以tmin＝30(s)．即纜車到達(dá)最高點時，用的時間最少為30秒．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．電流強(qiáng)度I(安培)隨時間t(秒)變化的函數(shù)I＝Asin(ωt＋φ)的圖象如圖所示，則t為eq\f(7,120)(秒)時的電流強(qiáng)度為(A)A．0 B．－5eq\r(2)C．10eq\r(2) D．－10eq\r(2)[解析]由圖知，A＝10，函數(shù)的周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,300)－\f(1,300)))＝eq\f(1,50)，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,\f(1,50))＝100π，將點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,300)，10))代入I＝10sin(100πt＋φ)得φ＝eq\f(π,6)，故函數(shù)解析式為I＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))，再將t＝eq\f(7,120)代入函數(shù)解析式得I＝0.2．(2021·山西孝義高三模擬)如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點A(3eq\r(3)，－3)出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周時用時60秒．經(jīng)過t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點，設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，其縱坐標(biāo)滿足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)(t≥0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))．則下列敘述錯誤的是(C)A．R＝6，ω＝eq\f(π,30)，φ＝－eq\f(π,6)B．當(dāng)t∈[35,55]時，點P到x軸的距離的最大值為6C．當(dāng)t∈[10,25]時，函數(shù)y＝f(t)單調(diào)遞減D．當(dāng)t＝20時，|PA|＝6eq\r(3)[解析]由題意，R＝eq\r(27＋9)＝6，T＝60＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(π,30).由題意可知，當(dāng)t＝0時，y＝－3或－3＝6sinφ.∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,6).故A正確；f(t)＝6sin(eq\f(π,30)t－eq\f(π,6))，當(dāng)t∈[35,55]時，eq\f(π,30)t－eq\f(π,6)∈[π，eq\f(5,3)π]，∴點P到x軸的距離的最大值為6，故B正確；當(dāng)t∈[10,25]時，eq\f(π,30)t－eq\f(π,6)∈[eq\f(π,6)，eq\f(2π,3)]，函數(shù)y＝f(t)先增后減，故C不正確；當(dāng)t＝20時，eq\f(π,30)t－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，P的縱坐標(biāo)為6，|PA|＝eq\r(27＋81)＝6eq\r(3)，故D正確．故選C.3．(多選題)如圖所示的是一質(zhì)點做簡諧運(yùn)動的圖象，則下列結(jié)論正確的是(BCD)A．該質(zhì)點的運(yùn)動周期為0.7sB．該質(zhì)點的振幅為5C．該質(zhì)點在0.1s和0.5s時運(yùn)動速度為零D．該質(zhì)點的運(yùn)動周期為0.8s[解析]由題圖可知，振動周期為2×(0.7－0.3)＝0.8s，故A錯，D正確；該質(zhì)點的振幅為5，B正確；由簡諧運(yùn)動的特點知，質(zhì)點處于平衡位置時的速度最大，即在0.3s和0.7s時運(yùn)動速度最大，在0.1s和0.5s時運(yùn)動速度為零，故C正確．綜上，BCD正確．4.(多選題)如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，則下列說法正確的是(AB)A．該函數(shù)的周期是16B．該函數(shù)圖象的一條對稱軸時直線x＝14C．該函數(shù)的解析式是y＝10sin(eq\f(π,8)x＋eq\f(3π,4))＋20(6≤x≤14)D．這一天的函數(shù)關(guān)系式也適用于第二天[解析]由題意以及函數(shù)的圖象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20.∵eq\f(T,2)＝14－6，∴T＝16，A正確；∵T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(π,8)，∴y＝10sin(eq\f(π,8)x＋φ)＋20.∵圖象經(jīng)過點(14,30)，∴30＝10sin(eq\f(π,8)×14＋φ)＋20，∴sin(eq\f(π,8)×14＋φ)＝1，∴φ可以取eq\f(3π,4)，∴y＝10sin(eq\f(π,8)x＋eq\f(3π,4))＋20(0≤x≤24)，B正確，C錯；這一天的函數(shù)關(guān)系式只適用于當(dāng)天，第二天這個關(guān)系式不一定適用，∴D錯．綜上，AB正確．二、填空題5．如圖是相對于平均海平面的某海灣的水面高度h(米)在某天從0～24時的變化情況，則水面高度h關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式為h＝－6sineq\f(π,6)t.6．一個物體相對于某一固定位置的位移y(cm)和時間t(s)之間的一組對應(yīng)值如下表所示：t00.10.20.30.40.50.60.70.8y－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0則可近似地描述該物體的位移y和時間t之間關(guān)系的一個三角函數(shù)為y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)(答案不唯一).[解析]設(shè)y＝Asin(ωt＋φ)＋b，則A＝eq\f(ymax－ymin,2)＝eq\f(4.0＋4.0,2)＝4.0，b＝eq\f(ymax＋ymin,2)＝0，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,0.8)＝eq\f(5π,2)，所以y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t＋φ))，將(0.4,4.0)代入上式，得φ＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，取φ＝－eq\f(π,2)，從而可知y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)．三、解答題7．已知某地一天4時～16時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4,16]．(1)求該地區(qū)這一段時間內(nèi)的最大溫差；(2)若有一種細(xì)菌在15℃到25℃之間可以生存，[解析](1)由函數(shù)解析式易知，當(dāng)x＝14時，函數(shù)取得最大值30，即最高溫度為30℃，當(dāng)x＝6時，函數(shù)取得最小值10，即最低溫度為10(2)令10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝1