數(shù)字信號(hào)處理2-2

§3離散時(shí)間系統(tǒng)變換域分析

系統(tǒng)函數(shù)離散時(shí)間系統(tǒng)的Z變換解法系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)與頻率響應(yīng)系統(tǒng)的分類全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)

1系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)本節(jié)將以系統(tǒng)函數(shù)和傳輸函數(shù)為核心來(lái)研究系統(tǒng)的變換域分析方法，它們分別是h(n)的Z變換和傅立葉變換。1、系統(tǒng)函數(shù)：若系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h(n)，則線性時(shí)不變離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的輸入輸出關(guān)系為：兩邊取Z變換得

稱H(z)為線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它是單位脈沖響應(yīng)的Z變換

，即：2

2、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（傳輸函數(shù)）系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的Z變換，即單位脈沖響應(yīng)的傅立葉變換稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，又稱為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)。傳輸函數(shù)若給系統(tǒng)輸入單頻率的復(fù)信號(hào)，則系統(tǒng)的輸出為：物理意義結(jié)論：當(dāng)輸入為一個(gè)單頻率的信號(hào)時(shí)，輸出亦為同一頻率的信號(hào)，但其幅度與相位都因?yàn)榈募訖?quán)而發(fā)生了變化，且的值是隨頻率的變化而變化的。3系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性系統(tǒng)函數(shù)穩(wěn)定因果系統(tǒng)的收斂域?yàn)?因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有包括∞點(diǎn)的收斂域:

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)函數(shù)H(z)的所有極點(diǎn)都必須在單位圓內(nèi)。

例：若系統(tǒng)函數(shù)如下式，判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。

H(z)有2個(gè)極點(diǎn)，和，給定的收斂域?yàn)?，包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，故系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。但收斂域不包括單位圓，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

解：若將收斂域改為，這時(shí)，收斂域包括單位圓，但不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定但非因果。實(shí)際上這時(shí)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為，顯然不是因果的。該例表明:①同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，如果收斂域不同，系統(tǒng)的特性是完全不同的。②由于任何物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)都必定是因果的，對(duì)于這種非因果但穩(wěn)定的系統(tǒng)，有時(shí)可采用將單位脈沖響應(yīng)截取一段后保存在存儲(chǔ)器中，通過(guò)延時(shí)使之變成因果系統(tǒng)來(lái)近似實(shí)現(xiàn)。如該例中，若將截取從的一段，然后令：來(lái)近似實(shí)現(xiàn)，如圖所示。顯然N越大，近似程度越好，但系統(tǒng)也就越復(fù)雜成本也越大。4離散時(shí)間系統(tǒng)的Z變換解法零狀態(tài)響應(yīng)的解法當(dāng)輸入x(n)為因果序列時(shí)，線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的常系數(shù)差分方程描述為：在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，即y(n)=0(n<0)時(shí)，對(duì)上式兩邊取雙邊Z變換，由Z變換的移位特性并經(jīng)整理可得：由卷積定理，當(dāng)x(n)給定時(shí)就可由下式求得響應(yīng)：5離散時(shí)間系統(tǒng)的Z變換解法初始狀態(tài)不為零的解法經(jīng)整理得到：

對(duì)差分方程兩邊進(jìn)行單邊Z變換，并利用單邊Z變換的移位特性，得到：零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)6典型例題對(duì)差分方程兩邊作單邊Z變換得：收斂域?yàn)?。求逆Z變換得：

初始條件y(-1)=1求輸入信號(hào)x(n)=u(n)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)。已知系統(tǒng)的輸入輸出滿足以下差分方程：例：解：零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)7系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)與頻率響應(yīng)極零點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行因式分解得：

系統(tǒng)函數(shù)為兩多項(xiàng)式之比H(z)的零點(diǎn)H(z)的極點(diǎn)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，其極點(diǎn)應(yīng)全部位于單位圓內(nèi)，或單位圓包括在收斂域內(nèi)，其傅立葉變換存在。將代入H(z)

，得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：

8極零點(diǎn)分布與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)與頻率響應(yīng)9系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)與頻率響應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性系統(tǒng)的幅頻特性：系統(tǒng)的相頻特性：

由幅頻特性可知：①當(dāng)頻率點(diǎn)變到極點(diǎn)附近時(shí)，Pk就變小，就會(huì)在該極點(diǎn)附近的頻率出現(xiàn)峰值，極點(diǎn)越接近單位圓，峰值就越尖銳；同樣，當(dāng)頻率點(diǎn)變到零點(diǎn)附近時(shí)，Qk就變小，就會(huì)在該零點(diǎn)附近的頻率出現(xiàn)低谷，當(dāng)零點(diǎn)在單位圓上時(shí)，該零點(diǎn)就是傳輸零點(diǎn)?？梢?jiàn)在單位圓附近的零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的幅頻特性有較大的影響。②零點(diǎn)可在單位圓內(nèi)外，但極點(diǎn)只能在單位圓內(nèi)，否則系統(tǒng)將不穩(wěn)定。③而系統(tǒng)的相位響應(yīng)對(duì)幅度特性沒(méi)有影響。10典型例題例：系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為：

當(dāng)ejω在單位圓上從ω=0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)：①在ω=0處，極點(diǎn)到單位圓的距離最短，∴ω=0頻率點(diǎn)幅度最大，成為波峰；②在ω=π時(shí)，極點(diǎn)到單位圓的距離最長(zhǎng)，∴在ω=π頻率點(diǎn)幅度最小，成為波谷；③在原點(diǎn)處的零點(diǎn)，對(duì)幅度特性沒(méi)有影響。

已知系統(tǒng)的差分方程為：指出系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)并分析系統(tǒng)的頻響特性。解：∴極點(diǎn)為，零點(diǎn)為幅度特性：

相位特性：

系統(tǒng)頻響特性為低通特性11系統(tǒng)的分類IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng)的定義根據(jù)離散時(shí)間系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)在時(shí)域中的長(zhǎng)度可將其分為兩種類型：①當(dāng)h(n)的長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)時(shí)稱為無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為IIR系統(tǒng)。②當(dāng)h(n)的長(zhǎng)度為有限長(zhǎng)時(shí)稱為有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為FIR系統(tǒng)。通?？梢愿鶕?jù)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)來(lái)判斷系統(tǒng)是IIR系統(tǒng)還是FIR系統(tǒng)。

無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（IIR）系統(tǒng)一方面，∵h(yuǎn)(n)無(wú)限長(zhǎng)，實(shí)際計(jì)算中即使x(n)已知，也無(wú)法通過(guò)卷積，求得系統(tǒng)的響應(yīng)y(n)，只能用求解差分方程或Z變換的方法求得y(n)。另一方面，∵IIR系統(tǒng)中至少有一個(gè)ak≠0（k=1,2,…），其差分方程表達(dá)式(設(shè)a0=1)為：可見(jiàn)輸出不但與輸入有關(guān)，還與以前的輸出及其加權(quán)值有關(guān)，即系統(tǒng)中存在著輸出對(duì)輸入的反饋回路。這種結(jié)構(gòu)常被稱作為遞歸結(jié)構(gòu)，在求解差分方程時(shí)需采用迭代的方法。

12有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)系統(tǒng)的分類對(duì)于FIR系統(tǒng)，∵它的h(n)為有限長(zhǎng)，若已知輸入x(n)，可通過(guò)卷積直接算出輸出y(n)。例如假定h(n)取值范圍為0≤n≤N-1則:

另一方面，若直接由差分方程來(lái)求輸出，由于所有ak=0（k=1,2,…），此時(shí)差分方程變?yōu)?

可見(jiàn)：其輸出僅與當(dāng)前及以前的輸入有關(guān)，與以前的輸出無(wú)關(guān)，不存在著輸出對(duì)輸入的反饋，這種結(jié)構(gòu)通常又被稱為非遞歸結(jié)構(gòu)。

13全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)全通系統(tǒng)若系統(tǒng)的幅度特性為:

則稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)。全通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)還可表示為:N階全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：滿足全通定義14全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)一個(gè)N階的全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可化為一階或二階系統(tǒng)乘積的形式：其中，ai為系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)。若系統(tǒng)函數(shù)是實(shí)有理分式，則a1k、a2k為實(shí)數(shù)。

設(shè)為H(z)的極點(diǎn),則一定為零點(diǎn),對(duì)實(shí)有理分式的H(z),zk,pk還應(yīng)為共軛成對(duì)。這樣全通系統(tǒng)的零極點(diǎn)相對(duì)單位圓是鏡象共軛成對(duì)的，零點(diǎn)全部在單位圓外,如圖所示。全通系統(tǒng)的零極點(diǎn)的分布特點(diǎn)及幅度特性穩(wěn)定的全通系統(tǒng)函數(shù)的幅度性質(zhì)15全通系統(tǒng)的相位特性全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)性質(zhì)2

對(duì)實(shí)穩(wěn)定全通系統(tǒng)，當(dāng)頻率ω從0變化到π時(shí)，N階全通系統(tǒng)的相位的改變?yōu)镹π。

性質(zhì)1

全通系統(tǒng)相位特性隨頻率單調(diào)下降，即:

系統(tǒng)的群延時(shí)定義據(jù)性質(zhì)1知：式中

代表N階全通系統(tǒng)的群延時(shí)

據(jù)性質(zhì)2知：16最小相位系統(tǒng)全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)定義:零極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)；系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)都在單位圓外的系統(tǒng)稱為最大相位系統(tǒng)；單位圓內(nèi)外都有零點(diǎn)的系統(tǒng)稱為混合相位系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)具有M個(gè)零點(diǎn)，單位圓內(nèi)有mi個(gè)，單位圓外有mo個(gè)，有N個(gè)極點(diǎn)，單位圓內(nèi)有ni個(gè)，單位圓外有no個(gè)。對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)no=0，N=ni。當(dāng)頻率ω由零變到2π時(shí)，穩(wěn)定系統(tǒng)的相位改變量為：當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)的所有零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)時(shí)mo=0，∴當(dāng)ω由0變到2π時(shí)：最小相位系統(tǒng)的相位改變量為0。17全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)的特性

式中H(z)為非最小相位系統(tǒng)

Hmin(z)最小相位系統(tǒng)

HA(z)全通系統(tǒng)的傳輸函數(shù)

性質(zhì)1

任何非最小相位系統(tǒng)都可以由最小相位系統(tǒng)和全通系統(tǒng)相級(jí)聯(lián)構(gòu)成。即：

性質(zhì)2

最小相位系統(tǒng)的具有最小群延時(shí)和最小相位滯后特性。即最小相位系統(tǒng)的相位滯后總是小于所有其它具有相同幅度響應(yīng)的系統(tǒng)的相位滯后，這也就是最小相位系統(tǒng)名稱的來(lái)由。

推論

全通系統(tǒng)的相位在[0，p]范圍內(nèi)為非正值。

性質(zhì)3

最小相位系統(tǒng)具有能量延時(shí)最小的特性。18§4希爾伯特（Hilbert）變換

Hilbert變換與解析信號(hào)實(shí)因果信號(hào)傅里葉變換的實(shí)部與虛部、對(duì)數(shù)幅度與相位的Hilbert變換關(guān)系Hilbert變換是信號(hào)分析中的重要工具。Hilbert變換可以用來(lái)構(gòu)造解析信號(hào)，使信號(hào)僅含正頻率成分，從而可降低信號(hào)的抽樣率。Hilbert變換關(guān)系還可以用來(lái)表示帶通信號(hào)，從而為無(wú)線電通信中的信號(hào)調(diào)制提供了一種方法。19Hilbert變換與解析信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)實(shí)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的Hilbert變換定義為：

顯然可以看成是通過(guò)一單位沖激響應(yīng)為的變換器的輸出若記，則結(jié)論：Hilbert變換器是幅頻特性為1的全通濾波器。信號(hào)x(t)通過(guò)Hilbert變換器后，其負(fù)頻率成分作+90°相移，而正頻率成分作－90°相移。其幅頻、相頻特性為：20Hilbert反變換Hilbert變換與解析信號(hào)由時(shí)域卷積定理有：由此可得：Hilbert反變換的公式解析信號(hào)設(shè)為的Hilbert變換，定義為信號(hào)的解析信號(hào)(analyticsignal)。21Hilbert變換與解析信號(hào)結(jié)論：由Hilbert變換構(gòu)成的解析信號(hào)，只含有正頻率成分，且是原信號(hào)正頻率分量的2倍。注意：與抽樣定理相比，將x(t)構(gòu)成解析信號(hào)后，由于z(t)只含正頻率成分，最高頻率仍為Ωh，這時(shí)只需Ωs≥Ωh即可保證由x(n)恢復(fù)出x(t)，從而可降低抽樣頻率。

22例Hilbert變換與解析信號(hào)設(shè)，求其Hilbert變換及解析信號(hào)解：∴解析函數(shù)為:

可以證明，若

則其Hilbert變換

∴的Hilbert變換為：23Hilbert變換與解析信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)設(shè)Hilbert變換器的單位抽樣響應(yīng)為h(n)，與連續(xù)信號(hào)Hilbert變換器的頻率響應(yīng)H(jΩ)對(duì)應(yīng)，h(n)的頻率響應(yīng)H(ejω)為：作H(ejω)的傅里葉反變換，求得：

離散時(shí)間信號(hào)的Hilbert變換記為：∴的Hilbert變換為：求得后，即可構(gòu)成的解析信號(hào)24Hilbert變換與解析信號(hào)Hilbert變換的三條性質(zhì)性質(zhì)1信號(hào)或通過(guò)Hilbert變換器后,信號(hào)頻譜的幅度不發(fā)生變化。

性質(zhì)2

實(shí)信號(hào)與其Hilbert變換信號(hào)相互正交。即與、與是相互正交的。性質(zhì)3若的Hilbert變換分別是

，且

則離散信號(hào)亦然25實(shí)因果信號(hào)傅氏變換與Hilbert變換實(shí)因果信號(hào)的特性若序列為因果序列，則：

其中x(n)的偶對(duì)稱序列x(n)的奇對(duì)稱序列為實(shí)數(shù)因果序列26實(shí)因果信號(hào)傅氏變換與Hilbert變換實(shí)因果信號(hào)的特性展示將實(shí)因果序列用它們的偶對(duì)稱序列或奇對(duì)稱序列展示過(guò)程：

27實(shí)因果信號(hào)傅氏變換與Hilbert變換實(shí)因果信號(hào)的特性若記結(jié)論：對(duì)于實(shí)因果信號(hào)，可單獨(dú)由其偶對(duì)稱序列恢復(fù)出來(lái)；除這一點(diǎn)外，也可由其奇對(duì)稱序列單獨(dú)恢復(fù)。實(shí)因果信號(hào)