2020年山東省高考數(shù)試卷

2020年普通高等校招生全國統(tǒng)一考試

、"一

數(shù)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置

上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，

將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合4={x|lM3},B={x|2<r<4},則AUB=()

A.{x|2<x<3}B,{x|2<r<3}

C.{x|l<x<4}D.{x[l<x<4}

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)集合并集概念求解.

【詳解】AUB=[1,3]U(2,4)=[1,4)

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查集合并集，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

2.^1=()

l+2i

A.1B.-l

C.iD.-i

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則進(jìn)行計(jì)算.

2-z_(2-f)(l-2z)_-5i

【詳解】

1+2廣(l+2i)(l-2i)-工

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

3.6名同到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同只去1個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館

安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種

C.60種D.30種

【答案】C

【解析】

【分析】

分別安排各場館的志愿者，利用組合計(jì)數(shù)和乘法計(jì)數(shù)原理求解.

【詳解】首先從6名同中選1名去甲場館，方法數(shù)有C：；

然后從其余5名同中選2名去乙場館，方法數(shù)有《；

最后剩下的3名同去丙場館.

故不同的安排方法共有=6x10=60種.

故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.日皆是中國古代用測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與劈面垂直的唇針投射到唇面的影子測(cè)定時(shí)

間.把地球看成一個(gè)球（球心記為O）,地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所

成角，點(diǎn)4處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日唇，若辱面與

赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40。，則唇針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（)

A.20°B.40°

C.50°D.90°

【答案】B

【解析】

【分析】

畫出過球心和唇針?biāo)_定的平面截地球和唇面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和線面垂

直的定義判定有關(guān)截線的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)A處的緯度，計(jì)算出唇針與點(diǎn)A處的水平面所成角.

【詳解】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；/是點(diǎn)A處的水平面的

截線，依題意可知。4，/；AB是號(hào)針?biāo)谥本€.加是號(hào)面的截線，依題意依題意，辱面和赤

道平面平行，號(hào)針與凸面垂直，

根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知mHCD、根據(jù)線面垂直的定義可得ABlm：

由于Z4OC=40°,根〃CO,所以NQ4G=NAOC=40°,

由于NQ4G+NG4E=+NG4E=90°，

所以N84E=NQ4G=40°,也即辱針與點(diǎn)A處的水平面所成角為N84E=40°.

故選：B

【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國古代數(shù)文化，考查球體有關(guān)計(jì)算，涉及平面平行，線面垂直

的性質(zhì)，屬于中檔題.

5.某中的生積極參加體育鍛煉，其中有96%的生喜歡足球或游泳，60%的生喜歡足球，82%

的生喜歡游泳，則該中既喜歡足球又喜歡游泳的生數(shù)占該校生總數(shù)的比例是（）

A.62%B.56%

C.46%D.42%

【答案】C

【解析】

【分析】

記“該中生喜歡足球”為事件A，“該中生喜歡游泳”為事件3,則“該中生喜歡足球或

游泳”為事件A+B，“該中生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件然后根據(jù)積事件的

概率公式P(A-B)=P(A)+P(B)-P(A+B)可得結(jié)果.

【詳解】記“該中生喜歡足球”為事件A，“該中生喜歡游泳”為事件B，則“該中生喜歡

足球或游泳”為事件A+B，“該中生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件A3，

則P(A)=0.6,P(5)=0.82,尸(A+3)=0.96,

所以P(A?6)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.6+0.82-0.96=0.46

所以該中既喜歡足球又喜歡游泳的生數(shù)占該校生總數(shù)的比例為46%.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了積事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.基本再生數(shù)Ro與世代間隔T是新冠肺炎的流行病基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染

的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以

用指數(shù)模型：/(f)=e”描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間/(單位天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率

，?與Ro,T近似滿足Ro=l+rT有者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出Ro=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫

情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2x0.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可得/(，)=d'=*38,設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需

要的時(shí)間為4天，根據(jù)=2e038,,解得4即可得結(jié)果.

328—1

【詳解】因飛=3.28,7=6,&)=1+仃，所以-----=0.38,所以

6

l〃\t}=e/=e^0.38/,

設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為6天,

則於38(呻)=2^0.38,(所以e°-38“=2,所以0.38%=In2,

In2?0.69

所以4BL8天.

038~038

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對(duì)數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則AP.A8的取值范用是()

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(T,6)

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到AP在48方向上的投影的取值范圍

是(-1,3),利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.

【詳解】

AB的模為2,根據(jù)正六邊形的特征，

可以得到AP在4B方向上的投影的取值范圍是(-1,3),

結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，

可知AP-AB等于AB的模與AP在AB方向上的投影的乘積，

所以AP-A8的取值范圍是(—2,6),

故選：A.

【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識(shí)點(diǎn)

有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡單題目.

8.若定義在R的奇函數(shù)7(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，且/2)=0,則滿足?VXx-1)20的x的取

值范圍是()

A.[-UJ[3,+8)B.[-3,-1][0,1]

C.[-l,0]u[l,+a))D.[-1,OJU[1,3J

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)f(x)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)的乘積

大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)/(?在(-8,0)上單調(diào)遞減，且/(2)=0,

所以f(x)在(0,+8)上也是單調(diào)遞減，且/(-2)=0,/(0)=0,

所以當(dāng)xw(—8,-2)u(0,2)時(shí),/(%)>0,當(dāng)xe(—2,0)U(2,+oo)時(shí),/(x)<0,

所以由4(x—1)20可得：

x<0[%>0

[-2Wx—1W0WU—122或[0?x—1W2典—1W—2或"二°

解得一IWXWO或l=,

所以滿足-N0的x的取值范圍是[―,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法，

屬中檔題.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.

9.已知曲線C：/%/=1.()

A.若根>〃>0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若加=〃>0,則。是圓，其半徑為〃

C.若mn<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±J-'x

D,若？n=0,u>0,則C是兩條直線

【答案】ACD

【解析】

【分析】

結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)分析求解，加>〃>0時(shí)表示橢圓，加=〃>0時(shí)表示圓，〃切<()時(shí)表示

雙曲線，〃2=0,〃>0時(shí)表示兩條直線.

_____I二_-1

【詳解】對(duì)于A,若加>〃>0,則〃優(yōu)2+〃,2=i可化為11一,

mn

因?yàn)椤ㄋ?/p>

mn

即曲線C表示焦點(diǎn)在，'軸上的橢圓，故A正確；

對(duì)于B,若〃2=〃>0,則雙/+町？=1可化為犬+),2=,

n

此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為正的圓，故B不正確；

n

22

工+匕=|

對(duì)于C,若則如2可化為11,

mn

此時(shí)曲線。表示雙曲線，

由小小+〃>2=0可得》=±，一%],故C正確；

Vn

對(duì)于D,若m=0,〃>0,則"優(yōu)2+〃y2=1可化為y2=J_,

n

y=±巫，此時(shí)曲線C表示平行于％軸的兩條直線，故D正確；

n

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)

重考查數(shù)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

10.下圖是函數(shù)y=sin(cwx+夕)的部分圖像，貝！]sin0x+e)=()

71

C.cos(2r+—)D.

cos(---2x)

【答案】BC

【解析】

【分析】

首先利用周期確定。的值，然后確定夕的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導(dǎo)公式可得

正確結(jié)果.

T77171

【詳解】由函數(shù)圖像可知：一=一萬——=-則切=_2=3=2,所以不選A,

2362T冗

271c

f—TT+—r-i1.uTC

當(dāng)365〃時(shí)，y=-l/.2x——+e3-+2ATT(ZGZ),

x=----------------=——I?

212

2,、

解得：0=2攵乃+17(ZeZ),

即函數(shù)的解析式為：

=sin(y-2xj.

y=sin2x+—%+2%萬=sin2x+—+—cos2x+-

?I3JI62jl6

5萬

而cos2x+-=-cos(--2x)

k6J6

故選：BC.

【點(diǎn)睛】已知人x)=4si“(3x+p)(A>0,0>0)的部分圖象求其解析式時(shí)，A比較容易看圖

得出，困難的是求待定系數(shù)。和夕，常用如下兩種方法：

(1)由3=1「即可求出3；確定夕時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零

點(diǎn)”橫坐標(biāo)X0,則令(vxo+9=O(或。xo+9=7T),即可求出少

(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖

形解出3和9,若對(duì)A,。的符號(hào)或?qū)?的范圍有要求，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要

求.

11.已知a>0,b>0,且a+b=l,則()

1

>

A.a2+b2>-B.2a2-

2

C.log,a+log,b>-2D.yja+y/h<\J2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)。+8=1,結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.

【詳解】對(duì)于A,a2+b2=a2+(l-a)2=2?2-2?+1+|>|,

當(dāng)且僅當(dāng)a=人=1時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；

2

對(duì)于B,a-b=2a-\>-\,所以2"">2T='，故B正確；

2

對(duì)于C,log2a+log,h-log2ab<log2=log2；=-2，

當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=1時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；

2

對(duì)于D,因?yàn)?G+振y=1+2)^4l+a+/?=2,

所以JZ+JFW0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=g時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；

故選：ABD

【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)

性，側(cè)重考查數(shù)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

12.信息嫡是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為1,2,,n,且

P(X=/)=p,>0(/=l,2,,〃),￡化=1,定義的信息牖，(X)=-fpjogzp,.()

i=l；=l

A.若〃=1,則”()=0

B.若〃=2,則〃()隨著p,的增大而增大

C.若Pi=—(i=12,〃)，則H()隨著〃的增大而增大

n

D.若〃=2朋，隨機(jī)變量y所有可能的取值為1,2,,m,且

P(r=j)=p>+p2m+l./J=l,2,，⑼，ljl!|H()<H(Y)

【答案】AC

【解析】

【分析】

對(duì)于A選項(xiàng)，求得“(X),由此判斷出A選項(xiàng)的正確性；對(duì)于B選項(xiàng)，利用特殊值法進(jìn)行

排除；對(duì)于C選項(xiàng)，計(jì)算出“(X),利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出C選項(xiàng)的正確性；對(duì)于

D選項(xiàng)，計(jì)算出H(x),"(y),利用基本不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出D選項(xiàng)的正確性.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若〃=1,則i=l,p1=l,所以"(X)=-(lxlog21)=0,所以A

選項(xiàng)正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，若〃=2,則i=l,2,p2=1-Pi，

所以H(X)=-[p]?log2P1+(1-P1)-Iog2(l-Pl)],

當(dāng)百=；時(shí)，”(X)=—(glogzflog2(),

當(dāng)Pl=1時(shí)，"(X)=Oog2：+,10g2；)，

兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，若Pj=!(i=l,2,,n),則

n

H(X)=-(Llog」]x"=—log2，=log,〃，

\nn)n

則”(X)隨著〃增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，若〃=2"，隨機(jī)變量y的所有可能的取值為1,2,,m,且

P(y=/)=〃j+〃2,"+i-j(J=l，2，M).

"(X)=-工P,?1唱Pi=EA-log—

/=Ii=l2Pi

,1,1,1,1

=Pl-log2—+Pl-log?—++Am-l-1°§2-----+。2”,,l°g2-----

PlPlP2“IPin,

”(y)=

(Pl+P2,“).bg2--+(P2+P2,“T),bg2----1----+]

+(P,"+P,“+J」Og2

Pi+Pm,Pi+P2,n-\Pm+Pm+l

]]

=Pl，10g2--------+Pl°1=2-----+--P-2,-"--「10g2+P2.jlOg2

Pl+P2mP2+必M-lPl+凸吁1P+Pim

/.、1],1,1

由于Pi>0(i=L2,…,2m),所以方■>所以log2—>log?----------

+

PiPim+l-iPiP,+P2n,+\-i

,1,1

所以2?log2->Pi-log2----------

PiPi+pl,n+\-i

所以〃（X）＞〃（Y）,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC

【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)新定義“信息燧”的理解和運(yùn)用，考查分析、思考和解決問題的

能力，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運(yùn)用，屬于難題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.斜率為6的直線過拋物線C：）'2=曲的焦點(diǎn)，且與C交于A,8兩點(diǎn)，則|/3|

【答案】y

【解析】

【分析】

先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去

y并整理得到關(guān)于x的二次方程，接下可以利用弦長公式或者利用拋物線定義將焦點(diǎn)弦長轉(zhuǎn)

化求得結(jié)果.

【詳解】???拋物線的方程為V=4x,.?.拋物線焦點(diǎn)F坐標(biāo)為尸（1,0）,

又?..直線AB過焦點(diǎn)廠且斜率為百，.?.直線AB的方程為：y=V3（x-l）

代入拋物線方程消去y并化簡得3X2-10X+3=0.

解法一：解得石=；,%=3

所以IAB|=J1+/I西一馬|=?3"3—|=與

解法二：△=100—36=64＞（）

設(shè)4（不必）,3（工2，%），則%+々=￥，

過A,B分別作準(zhǔn)線x=—l的垂線，設(shè)垂足分別為C,。如圖所示.

|ABHA尸|+15FRAC|+16。|=再+1+/+1=萬+4+2=與

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長，涉及利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，弦長公式，屬基礎(chǔ)

題.

14.將數(shù)列｛2〃-1｝與｛3〃-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列則｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為

【答案】3n2-2n

【解析】

【分析】

首先判斷出數(shù)列（277-1｝與｛3〃-2｝項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的

首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛2〃—1｝是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)歹U,

數(shù)列｛3〃一2｝是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，

所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列｛q｝是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，

所以｛6,｝的前幾項(xiàng)和為"?1+妁/翌-6=3〃2一2〃，

故答案為：3n2—In-

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新

數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡單題目.

15.某中開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，生加工制作零件，零件的截面如圖所示.。為圓孔及輪廓圓弧A8

所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線8C的切點(diǎn)，四邊形

3

下G為矩形，BCVDG,垂足為C,tan/OZ)C=j,BH//DG,￡F=12cm,DE=2cm,

A到直線OE和歷的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為

_______cm2.

【答案】4H—71

2

【解析】

【分析】

3

利用tanZODC=g求出圓弧AB所在圓的半徑，結(jié)合扇形的面積公式求出扇形AQB的面

積，求出直角△Q4H的面積，陰影部分的面積可通過兩者的面積之和減去半個(gè)單位圓的面

積求得.

【詳解】設(shè)03=0A=r,由題意AW=AN=7,防=12，所以NF=5,

因?yàn)锳P=5,所以NAGP=45°，

因?yàn)锽H//DG,所以NA〃O=45°，

因?yàn)锳G與圓弧AB相切于4點(diǎn)，所以。4，AG,

即△Q4H為等腰直角三角形；

在直角△0Q。中，00=5—立r，。。=7一旦，

22

因?yàn)閠an/OOC=^=』，所以21—迪r=25-迪r，

DQ522

解得r=25/2：

等腰直角△Q4”的面積為$=4x2拒x2/=4；

2

137r//~\2

扇形A0B的面積邑=5X7x(212)=3萬，

157r

所以陰影部分的面積為E+S2—/萬=4+萬.

故答案為：4+——.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)在實(shí)際中應(yīng)用，把陰影部分合理分割是求解的關(guān)鍵，以勞

動(dòng)實(shí)習(xí)為背景，體現(xiàn)了五育并舉的育人方針.

16.已知直四棱柱48CD_48iCQi的棱長均為2,ZBAD=60°.以。?為球心，逐為半徑的

球面與側(cè)面BCCiBi的交線長為.

【答案】叵兀.

2

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件易得D,E=6,2E_L側(cè)面BgCB,可得側(cè)面B?CB與球面的交線上的

點(diǎn)到E的距離為0,可得側(cè)面B￡CB與球面的交線是扇形EFG的弧FG，再根據(jù)弧長

公式可求得結(jié)果.

【詳解】如圖：

取的中點(diǎn)為E，Bg的中點(diǎn)為尸，CG的中點(diǎn)為G,

因?yàn)镹fiM>=60。，直四棱柱ABC。—A4Gq的棱長均為2,所以為等邊三角

形，所以DE=6,RE工,

又四棱柱ABC。—Age；。為直四棱柱，所以Bg_L平面4與GR，所以54，片。1,

因?yàn)?gAG=4,所以2七，側(cè)面

設(shè)P為側(cè)面BGCB與球面的交線上的點(diǎn)，則D.ELEP,

因?yàn)榍虻陌霃綖槭?，D]E=B所以|EPI=JIA尸產(chǎn)一=后與=JL

所以側(cè)面gGCB與球面的交線上的點(diǎn)到E的距離為0,

因?yàn)閨EF|=|EG'=啦,所以側(cè)面B￡CB與球面的交線是扇形EFG的弧FG，

7171

因?yàn)镹BiEF=NGEG=一,所以NFEG=一,

42

所以根據(jù)弧長公式可得人7=巴*拒=①".

22

故答案為：71■

2

【點(diǎn)睛】本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面垂直的判定，考查了立體幾何

中的軌跡問題，考查了扇形中的弧長公式，屬于中檔題.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟。

17.在①ac=5/5，②csinA=3,③。=這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，

若問題中的三角形存在，求。的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在-ABC,它的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為a,"c,且sinA=JjsinB，

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】詳見解析

【解析】

【分析】

解法一：由題意結(jié)合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a力的比例關(guān)系，根據(jù)比例關(guān)

系，設(shè)出長度長度，由余弦定理得到，的長度，根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解.

解法二：利用誘導(dǎo)公式和兩角和的三角函數(shù)公式求得的值，得到角的值，然

后根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解.

【詳解】解法一：

由sinA=J^sinB可得：f=

b

不妨設(shè)a=gm,b=m(m>0),

則：c2-a2+b2-labcosC-3m2+m~-2xxmx—=m2>即。=加.

2

選擇條件①的解析：

據(jù)此可得：ac->/3/nxm=y/3m2-V3>=l,此時(shí)c=m=l.

選擇條件②的解析:

trr+nr-3nr

據(jù)此可得：cosA:

2irr2

csinA-mx^-=3,則：c-m-2\/3.

貝(I：

2

選擇條件③的解析:

f/口cm,

可得一=—=1,c=fb,

bm

與條件。=屈矛盾，則問題中的三角形不存在.

解法二：VsinA=6sinB,C=&B=兀-（A+C）,

/.sinA=V3sin（A+C）=>/3sinA+J

sinA=\^sin（?l+C）=百+JcosA—,

?*,sinA.=i\ficosA.,???tcinA.=—y/3,A=，:?B=C=~~~

36

若選①，ac=>/3,<Q=5/3/?=>/3c,VJc2=y/i，?二c=l;

若選②，csinA=3,則=3,c=2石;

2

若選③，與條件c=#)b矛盾.

【點(diǎn)睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)

系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定

理.應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用.解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范

圍.

18.已知公比大于1的等比數(shù)列｛為｝滿足為+4=20,4=8.

(1)求｛為｝的通項(xiàng)公式;

(2)記勾為｛%｝在區(qū)間(0,ml(mwN*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列｛鬣｝的前100項(xiàng)和So。.

【答案】

(1)an=T；(2)5100=480.

【解析】

【分析】

(1)利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為q，4的形式，求解出4國，由此求得數(shù)列｛%｝

的通項(xiàng)公式.

(2)通過分析數(shù)列｛鬣｝的規(guī)律，由此求得數(shù)列｛粼｝的前100項(xiàng)和So。.

【詳解】(1)由于數(shù)列｛4｝是公比大于1的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為卬，公比為依題意有

田2，解得解得卬=2a=2,或q=32,4=7(舍)，

%q=82

所以=2",所以數(shù)列｛a?｝的通項(xiàng)公式為an=2".

(2)由于贅=2,22=4,23=8,2,=16,25=32,26=64,27=128,所以

偽對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：(0/，則仇=0；

與也對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,2],(0,3],則4=偽=1,即有2個(gè)1；

,也也也對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],則d=仇=4=偽=2,即

有22個(gè)2；

々也，，九對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,8],(0,9],—,(0,15],則4=4==九=3,即有

23個(gè)3；

九,如，，與對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,16],(0,17],,(0,31],則

瓦6=*7==%=4,即有24個(gè)4；

3%，…也3對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為:(0,32],(0,33],,(0,63],則

42=%==%=5,即有個(gè)5；

414s65,…，％X＞對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,64],(0,65],,(0,100],則

=%5=3=4(10=6，即有37個(gè)6.

所以500=1x2+2x2?+3x23+4x2,+5x2$+6x37=480.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，考查分析思考與解決問的能力，屬于中

檔題.

19.為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了

100天空氣中的PM2.5和SC>2濃度(單位：ng/m3),得下表:

so2

L0,50J(50J50J(150,475J

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

S02

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與

SO2濃度有關(guān)？

附：心——幽也——,

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k38416.63510.828

【答案】（I）0.64；（2）答案見解析；（3）有.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果;

（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得2x2列聯(lián)表；

（3）計(jì)算出長2,結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.

【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度

不超過150的天數(shù)有32+6+18+8=64天，

所以該市一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且S。？濃度不超過150的概率為

篇"64;

（2）由所給數(shù)據(jù)，可得2x2列聯(lián)表為:

so2

[0,150](150,475]合計(jì)

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合計(jì)7426100

(3)根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得

y_n(ad-bc)2_100x(64x10-16x10)2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)80x20x74x26

=2^22a7.4844>6.635,

481

因?yàn)楦鶕?jù)臨界值表可知，有.99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).

【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善2x2列聯(lián)表，考查了獨(dú)立性檢驗(yàn),

屬于中檔題.

20.如圖，四棱錐P-ABC。的底面為正方形，底面A8CD設(shè)平面以。與平面尸3c的

交線為/.

(1)證明：平面PDC；

(2)已知PQ=AQ=1,。為/上的點(diǎn)，求PB與平面QCQ所成角的正弦值的最大值.

【答案】(1)證明見解析；(2)叁

3

【解析】

【分析】

(1)利用線面垂直的判定定理證得AZ)J_平面POC,利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)

定理，證得AD〃/,從而得到/_L平面PDC；

(2)根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)Q(機(jī),0,1),之

后求得平面QC。的法向量以及向量PB的坐標(biāo)，求得cos<〃,PB〉的最大值，即為直線

PB與平面QC。所成角的正弦值的最大值.

【詳解】(1)證明：

在正方形A8CD中，AD//BC,

因?yàn)锳OZ平面P8C,BCu平面PBC,

所以AD〃平面P8C,

又因?yàn)锳Ou平面尸4)，平面、平面PBC=/,

所以A"http://,

因?yàn)樵谒睦忮FP—ABC。中，底面ABCO是正方形，所以ADJ.DC,，/，OC,

且HD_L平面ABC。，所以AZ>_LPR，/_LPD,

因?yàn)镃DPD=D

所以/，平面PDC；

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

因?yàn)镻D=AD=1,則有D(O,O,O),C(O,1,O),A(1,O,O),P(O,O,1),8(1,1,0),

設(shè)2(m,0,l),則有DC=(0,1,0),DQ=(m,0,l),PB=,

設(shè)平面QCD的法向量為n=(x,y,z),

DC-H=0y=0

則《即《

DQ-77=0/nx+z=0

令x=l,則2=—相，所以平面QCQ的一個(gè)法向量為〃=(1,0,-加)，則

nPB1+0+加

cos<n,PB>=

HM#,7府+1

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦

ruur11+mI

值，所以直線與平面所成角的正弦值等于Icos<〃,PB>|=,

5ylm2+1

當(dāng)加=1時(shí)取等號(hào),

所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為遠(yuǎn).

3

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定和性質(zhì)，

線面垂直的判定和性質(zhì)，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，屬于中檔題目.

21.己知函數(shù)/(X)=aex~'-Inx+Ina.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的

面積；

(2)若f(x)>1,求a的取值范圍.

2

【答案】(1)——(2)

e-1

【解析】

【分析】(1)先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，求出與

坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；

(2)解法一：利用導(dǎo)數(shù)研究，得到函數(shù)/(x)得導(dǎo)函數(shù)/'(X)的單調(diào)遞增，當(dāng)a=l時(shí)由

尸⑴=0得/(初,加=/(1)=1,符合題意；當(dāng)a>l時(shí)，可證/'(5/'⑴<0,從而尸(X)

存在零點(diǎn)七〉0,使得/'(Xo)=ae~T-’=0,得到/(x)值,利用零點(diǎn)的條件，結(jié)合指

數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡后，利用基本不等式可以證得(x)21恒成立；當(dāng)0<a<l時(shí)，研究

f(l).即可得到不符合題意.綜合可得?的取值范圍.

解法二：利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可將/(x)21轉(zhuǎn)化為+lna+x-\>e"lx+lnx,

令g(x)="+x,上述不等式等價(jià)于g(癡+x-l)2g(/欣)，注意到g(x)的單調(diào)性，進(jìn)一

步等價(jià)轉(zhuǎn)化為無A/nx—x+l,令〃("=伍”兀+1,利用導(dǎo)數(shù)求得〃(力,“進(jìn)而根據(jù)不

等式恒成立的意義得到關(guān)于?的對(duì)數(shù)不等式，解得“的取值范圍.

【詳解】(l)Q/(x)="—ln無+1,.?./''(x)=ex—！，.?"=/")=e-l.

X

Q./\l)=e+l,.?.切點(diǎn)坐標(biāo)為(l』+e),

；?函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1次1)處的切線方程為y—e—l=(e—l)(x—1),即>=(e-l)x+2,

,切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,2),(二乙,0),

e-1

1-?2

???所求三角形面積為一x2x|——1=——；

2e-1e-1

(2)解法一:Qf(x)=aex~x-Inx+In?,

/.ff(x)=aex~{——,且a>0.

x

設(shè)g(x)=/'(x)廁g'(x)=aex~'+4>°，

x~

...g(x)在(0,+o))上單調(diào)遞增，即f'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)。=1時(shí),/'(1)=0,，〃力加“="1)=1,.：/(力21成立.

1?11-1

當(dāng)。>1時(shí)，一<1，，?.?/'(—)/?)="(*-l)(?-l)<0,

a??e、Ia

.?.存在唯一%>0,使得/'(Xo)=ae"T---=0,且當(dāng)無€(0,尤0)時(shí)r(x)<0,當(dāng)

玉)

1

1￡(%,+8)時(shí)/'(%)>0,：.訛"=—,/.lntz+x0-1=-lnx0,

xo

因此f(x)min=f(/)=ae"T-In/+Ina

=----FIna+XQ-l+lna221na-1+21—?=21na+l>l,

%Vo

.：/(x)>l,.：/(%