2022屆山西省曲沃高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S,,且滿足2s.=2川+4,則；I的值是（）

A.4B.2C.-2D.-4

2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入a=lnl0,b=lge,則輸出的值為（）

A.0B.1C.21geD.21gl0

3.設(shè)復(fù)數(shù)二滿足|z-2i|=|z+l],工在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x,y）,則（）

A.2x-4y—3=0B.2x+4y—3=0C.4x+2y-3=0D.2x—4y+3=0

4.若復(fù)數(shù)z=（2+i）（l+i）（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2x+y-2<0

5.已知卬滿足不等式組x-2y-IWO,則點P（x,y）所在區(qū)域的面積是（）

x>0

4

A.1B.2I）.-

仁75

6.胡夫金字塔是底面為正方形的錐體,四個側(cè)面都是相同的等腰三角形.研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長除以2倍的塔

355

高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率缶至兀.設(shè)胡夫金字塔的高為〃，假如對胡夫金字塔進(jìn)行亮化，沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單

條燈帶，則需要燈帶的總長度約為

A..+4、,（27r+警瓦

A.（4兀+）hB.

C.（8兀+4H+1）人D.（2兀+&兀2+16）/?

7.函數(shù)尸2兇sin2x的圖象可能是

8.已知定義在口,+0。）上的函數(shù)/（X）滿足F（3x）=3f（x）,且當(dāng)1WXW3時，“力=1一卜—2|,則方程

〃力=/（2019）的最小實根的值為（）

A.168B.249C.411D.561

9.《易經(jīng)》包含著很多哲理，在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用，《易經(jīng)》的博大精深，對今天的幾何學(xué)和其它學(xué)

科仍有深刻的影響.下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖,

八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.已知正八邊形的邊長為10加，陰陽太極圖的半徑為4加，則每塊八卦田的面積

約為（

B.54.07〃/

C.57.21加2D.114.43m2

11.某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長度的集合，則（)

A.20eS,且26eS

B.20史S,且2百eS

C.20eS,且2月eS

D.20eS,且2百eS

12.函數(shù)y=/（x）,xeR,貝（l”=W（x）|的圖象關(guān)于軸對稱“是”=/（%）是奇函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知三棱錐P—ABC中，ABA.BC,PA=PB=AB=2?BC=&，且二面角P-AB-。的大小為135。，

則三棱錐尸-ABC外接球的表面積為.

14.數(shù)列｛4｝的前”項和為s“，數(shù)列他,｝的前〃項和為r“，滿足4=2,3s“=（〃+機(jī)）a.（〃eN",加GR）,且

4d="+1.若任意〃eN*，九4（“一7；成立，則實數(shù)2的取值范圍為.

22

15.若橢圓C：工+W-=1的一個焦點坐標(biāo)為（0,1）,則C的長軸長為.

mm~-1

16.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是乙獲勝的概率是1,則乙不輸?shù)母怕适莀___.

23

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)數(shù)列｛4｝,其前〃項和S,,=—3〃2,又也｝單調(diào)遞增的等比數(shù)列，結(jié)2仇=512,q+4=4+4.

（1）求數(shù)列｛%｝,也｝的通項公式；

b,、2

（11）若6“n_1）'求數(shù)列｛%｝的前n項和7.'并求證：2~T,,<L

18.（12分）為提供市民的健身素質(zhì)，某市把四個籃球館全部轉(zhuǎn)為免費民用

（D在一次全民健身活動中，四個籃球館的使用場數(shù)如圖，用分層抽樣的方法從ARC,。四場館的使用場數(shù)中依次

抽取q%，4共25場，在q,%，%，%中隨機(jī)取兩數(shù)，求這兩數(shù)和4的分布列和數(shù)學(xué)期望；

y

Z=0.1/343+22.993.494.054.504.995.495.99

①用最小二乘法求Z與X的回歸直線方程;

②缶叫做籃球館月惠值，根據(jù)①的結(jié)論，試估計這四個籃球館月惠值最大時，的值

77.Z（X，「X）（Z」.一Z）

參考數(shù)據(jù)和公式：Z=4.5，Z（X,-X）2=700，Z（x,-x）（z,-z）=7O,e3=208=上―------=----,a=^-bx

Z=1/=lZ（-）2

/=1

19.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱B4_L底面ABC。，ADUBC,/A8C=9（T，A￡>=1，

PA=AB=BC=2,/是棱依中點.

(1)已知點E在棱8c上，且平面AWE//平面PCD,試確定點E的位置并說明理由；

(2)設(shè)點N是線段CO上的動點，當(dāng)點N在何處時，直線MN與平面Q46所成角最大？并求最大角的正弦值.

20.(12分)已知0<。<彳，函數(shù)/(無)=迫^11(2；1+9)一5)S2X.

22

(1)若8求“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若/(.)=.；，求sin。的值.

21.(12分)已知數(shù)列｛q｝和也｝滿足：4=2,偽=-1,a“=2%-%,d=2%-%,neAT*?>2.

(1)求證:數(shù)列｛為一4｝為等比數(shù)列；

3"

(2)求數(shù)列——的前?項和S.

Jn

22.(10分)已知等差數(shù)列｛%｝中，4=5,%=14,數(shù)列也｝的前〃項和S,,=2。,-1.

(1)求4力“；

(2)若q,=(—1)%“+%求｛%｝的前〃項和小

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

利用s“先求出生，然后計算出結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意，當(dāng)〃=1時，2H=24=4+2,.?.4=-^-,

故當(dāng)“22時，an=Sn-Sn_x=2"~',

?數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，

則％=1,故與2=1,

解得4=一2,

故選C.

【點睛】

本題主要考查了等比數(shù)列前"項和S”的表達(dá)形式，只要求出數(shù)列中的項即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ).

2.A

【解析】

根據(jù)輸入的值大小關(guān)系，代入程序框圖即可求解.

【詳解】

輸入a=lnl0,b=lge,

因為lnlO>l>lge,所以由程序框圖知，

輸出的值為a-'=lnlO-J-=lnlO—lnlO=O.

bIge

故選：A

【點睛】

本題考查了對數(shù)式大小比較，條件程序框圖的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

設(shè)2=%+丸，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到X、》的關(guān)系式，即可得解；

【詳解】

解：設(shè)2=%+M

VIz-2z|=|z+11,x2+(y—2)2=(x+1)2+y1,解得2x+4y—3=0.

故選：B

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

將z整理成。+初的形式，得到復(fù)數(shù)所對應(yīng)的的點，從而可選出所在象限.

【詳解】

解：z=(2+i)(l+i)=2+/+3i=l+3i,所以z所對應(yīng)的點為(1,3)在第一象限.

故選:A.

【點睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標(biāo).易錯點是誤把i2當(dāng)成1進(jìn)行計算.

5.C

【解析】

畫出不等式表示的平面區(qū)域，計算面積即可.

【詳解】

不等式表示的平面區(qū)域如圖：

y

直線2x+y-2=0的斜率為一2,直線x-2y-l的斜率為,，所以兩直線垂直，故為直角三角形，易得8(1,0),

2

0(0,-；)，C(0,2),忸。|=咚，忸C|=石所以陰影部分面積切斗忸q=gxgxG=1.

故選：C.

【點睛】

本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.

6.D

【解析】

設(shè)胡夫金字塔的底面邊長為。，由題可得空=兀，所以a=孚，

2h2

該金字塔的側(cè)棱長為卜+哼產(chǎn)=小+等=叱+16,

所以需要燈帶的總長度約為4x巫五+4x獨=(2兀+^)/?,故選D.

42

7.D

【解析】

分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在弓,兀)上的符號，即可判斷選擇.

詳解：令/。)=2/山2工，

因為xG/?,/(-x)=2Tsin2(-x)=-2兇sin2x=-/(x),所以/(x)=2Hsin2x為奇函數(shù)，排除選項A,B;

7T

因為xw(于兀)時，f(x)<0,所以排除選項C,選D.

點睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：(1)由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值

域，判斷圖象的上、下位置；(2)由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性;

(4)由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

8.C

【解析】

先確定解析式求出了(2019)的函數(shù)值，然后判斷出方程/(x)=,”2019)的最小實根的范圍結(jié)合此時的

/(x)=x-35,通過計算即可得到答案.

【詳解】

當(dāng)H時，〃3x)=3/(x),所以〃幻=3嗎)=32/令)=…=3"/令),故當(dāng)

3"時,看G[1,3],所以小)=3"(1-七一2)=?:而

J|3IX-J,X<Z*J

onio

677

2019e[3,3],所以/(2019)=36(1-4--2)-3-2109=168,又當(dāng)1OW3時，

“X)的極大值為1,所以當(dāng)3"xW3"+i時，/㈤的極大值為3",設(shè)方程/(x)=168

碟4.贊

的最小實根為/,168G[34,35],則如(35,±工二),即fw(243,468),?/(x)=x-35

2

令/(尤)=x—3^=168,得H243+168=411,所以最小實根為411.

故選：C.

【點睛】

本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題，涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是

一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.

9.B

【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積，再計算出圓面積的:，兩面積作差即可求解.

O

【詳解】

由圖，正八邊形分割成8個等腰三角形，頂角為竺=45,

8

設(shè)三角形的腰為。，

a10

由正弦定理可得.135°sin450,解得。=108sin^~-

sin——2

2

所以三角形的面積為:

=25（收+1）,

所以每塊八卦田的面積約為：25(V2+1)-^x^-x42?54.07.

故選：B

【點睛】

本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記定理與面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.B

【解析】

判斷函數(shù)/(X)的奇偶性，可排除A、C,再判斷函數(shù)/(X)在區(qū)間上函數(shù)值與0的大小，即可得出答案.

【詳解】

(2、(l-ex\

解：因為./(x)=；——--1cosx=-——-cosx,

U+e')U+e]

^rlU/(-x)=llcos(-x)=-cosx=—cosx=-/(x),

所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，可排除A、C；

又當(dāng)/(x)<0,可排除D；

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)表達(dá)式判斷函數(shù)圖像，屬于中檔題.

11.D

【解析】

如圖所示：在邊長為2的正方體ABC。-44GA中，四棱錐G-A3CD滿足條件，故5={2,2&,26},得到答

案.

【詳解】

如圖所示：在邊長為2的正方體ABC。-A4GA中，四棱錐G-ABC。滿足條件.

故

AB=BC=C￡>=AD=CC]=2,BCl=DCi=2-j2,AC,=273.

故5={2,20,20},故20eS,273eS.

故選：D.

【點睛】

本題考查了三視圖，元素和集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.

12.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

設(shè)g(x)=W(x)|，若函數(shù))=/(x)是R上的奇函數(shù)，則g(—x)=k4(—x)|=W(x)|=g(x),所以，函數(shù)

y=|獷'(到的圖象關(guān)于》軸對稱.

所以，”=/(X)是奇函數(shù)“二＞"=M(x)l的圖象關(guān)于y軸對稱”；

若函數(shù)y=/(x)是R上的偶函數(shù)，貝?。?(-6=卜蟲一刈=卜蟲刈=,(%)|=8(%)，所以，函數(shù)y=W(x)|的圖

象關(guān)于)'軸對稱.

所以，"y4#(X)的圖象關(guān)于y軸對稱“N"=/(X)是奇函數(shù)”.

因此，“y=0(x)1的圖象關(guān)于y軸對稱”是“y=f(x)是奇函數(shù)”的必要不充分條件.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等

題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.32萬

【解析】

設(shè)AE43的中心為7,A5的中點為N,AC中點為M,分別過7做平面A5C,平面

的垂線，則垂線的交點為球心O,將的長度求出或用球半徑表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半

徑.

【詳解】

設(shè)AE43的中心為7,A5的中點為N,AC中點為M,分別過M,T做平面A5C,平面

的垂線，則垂線的交點為球心O,如圖所示

因為PA=PB=AB=2G，BC=五，所以TN=1,NM=—，AC=V14.

2

又二面角P-AB-C的大小為135。，則N77VM=135°，/TOM=45°，所以

TM2=TN2+MN2-2MN-TN-cosZTNM=-,

2

7

22

設(shè)外接球半徑為R,則OA/2=R2-OT=R-4,

2

在AOTM中，由余弦定理，得7702=TO2+MO2-2MO-TO.COSNTOM，

即g=-4+&-g-J(2R2-7)(/?2-4),解得R2=8，

故三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4萬R2=32萬.

故答案為：32萬.

【點睛】

本題考查三棱錐外接球的表面積問題，解決此類問題一定要數(shù)形結(jié)合，建立關(guān)于球的半徑的方程，本題計算量較大,

是一道難題.

14.2<-

2

【解析】

cc"+1,

當(dāng)”..2時，％=S“-S,I，可得到廣=二J,再用累乘法求出a,,再求出耳，根據(jù)定義求出7“，再借助單調(diào)性求

【詳解】

解：當(dāng)〃=1時，3sl=(1+=3q,則〃?=2,3s“=(〃+2)?！?，

當(dāng)〃..2時，3s,T=(〃+，

3a“=(〃+2)an-(〃+1)%,

4=〃+l

.1.7；?-7；,=-t-+-t-+.J（當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時等號成立），

n+1n+22n2

4'29

故答案為：（―8,5?

【點睛】

本題主要考查已知s“求a,,,累乘法，主要考查計算能力，屬于中檔題.

15.2百

【解析】

由焦點坐標(biāo)得加2—1—〃7=1從而可求出m=2,繼而得到橢圓的方程，即可求出長軸長.

【詳解】

解：因為一個焦點坐標(biāo)為（0,1）,則蘇—1—〃2=1，即＞一加一2=0,解得機(jī)=2或m=一1

2222

由三+—J=1表示的是橢圓，則加>0,所以m=2,則橢圓方程為上+工=1

mm--\32

所以a=V3,2a=2^3.

故答案為：26.

【點睛】

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯點是忽略相>0,從而未對，〃的兩個值進(jìn)行取舍.

16.

6

【解析】

乙不輸?shù)母怕蕿?+:=3,填

2366

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

n+l

17.(1)=-6/2+3,bn=2；(2)詳見解析.

【解析】

22

(1)當(dāng)〃=1時，a“=S]=-3,當(dāng)”22時，an-Sn-Sn_t=-3/?-[-3(/?-1)]=-6n+3,

當(dāng)”=1時，也滿足%=-6〃+3,.?.《,=一6〃+3,I?等比數(shù)列也｝,.,.仇63=62。

:.b、b2b§=與3=512=>e=8,又；a1+4=a,+仇，

Q1

3d—=—15+8<7=>4=2或夕=—耳(舍去)，

2,"+|

二2=b2q-=2；

，八工，.、丁勿2"+|2"11

(2)由(1)可得：%-Q，，+i_2)(2"'—1)一(2"—[)(2向—I)-2"—]-2"'—]，

/?T=C.+C2+C3+???+c=(------z—)+(-z-----r—)+???+(----------)

"123?v2-l22-122-123-12"-12"+'-1

=1-不工<1，顯然數(shù)列｛空｝是遞增數(shù)列，

2—1

22

-Tn>T^-,即

18.(1)見解析，12.5(2)①]=0.5+2②20

【解析】

(1)運(yùn)用分層抽樣，結(jié)合總場次為100,可求得％,。2，。3，“4的值，再運(yùn)用古典概型的概率計算公式可求解果;

7_7__

(2)①由公式可計算一無)2,2(七一幻2一2)的值，進(jìn)而可求Z與X的回歸直線方程;

/=1/=1

②求出g(x),再對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合單調(diào)性，可估計這四個籃球館月惠值最大時X的值.

【詳解】

251

解：(1)抽樣比為工=:，所以分別是，6,7,8,5

1004——

所以兩數(shù)之和所有可能取值是：10,12,13,15

〃偌=10)=：,〃偌=12)=。p管=13)=<，〃偌=15)=!

0330

所以分布列為

*910121315

￡1￡

P

6336

期望為^)=10x1+12x1+13x1+15x1=12.5

6336

7__7__

(2)因為工(七一%))=700,2(七一無)(2—2)=70,

/=1i=\

7__

Z(x,—x)(z,—z)

701

所以務(wù)-----_——=-=—,tz=4.5-0.1x25=2,

70010

人若―x)2

i=l

z=0.1x+2；

②z=0.1e而+2=01x+2.

,40,

H-----Inx

43431nx

,g'(x)=4343x______

Ofx+40(x+40)2

所以當(dāng)xG[0,20],g'(x)>0,g(x)遞增，當(dāng)xG[20,+8),g'(x)<0,g(x)遞減

所以約惠值最大值時的x值為20

【點睛】

本題考查直方圖的實際應(yīng)用，涉及求概率，平均數(shù)、擬合直線和導(dǎo)數(shù)等問題，關(guān)鍵是要讀懂題意，屬于中檔題.

19.(1)E為8C中點，理由見解析；(2)當(dāng)點N在線段。?？拷?。的三等分點時，直線MN與平面Q46所成角最

大，最大角的正弦值^—.

7

【解析】

(DE為8c中點，可利用中位線與平行四邊形性質(zhì)證明ME//PC,AE//DC,從而證明平面AME//平面PCD；

(2)以4為原點，分別以A。，AB,AP所在直線為工、丁、二軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出當(dāng)點N在

線段。?？拷５娜确贮c時，直線MN與平面PA8所成角最大，并可求出最大角的正弦值.

【詳解】

(1)E為BC中點,證明如下：

???M.E分別為PB,8C中點，

：.MEIIPC

又?；MEU平面PDC,PCu平面PDC

:.ME//平面PDC

又ECIIAD,且EC=四邊形EADC為平行四邊形，

:.AE//DC

同理，AE//平面PDC,又?；AEcME=E

平面AME//平面PDC

(2)以A為原點，分別以AO,AB,AP所在直線為工、,、z軸建立空間直角坐標(biāo)系

則A(0,0,0),3(0,2,0),C(2,2,0),Z>(l,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1)

設(shè)直線KV與平面Q46所成角為氏加=2加(0W/LW1)則

礪=瓶+而+麗=(4+1,22-1,-1)

取平面Q46的法向量為n=(1,0,0)則

(4+1)2

sin(9=|cos<MN,n>|=/l+l

J(/l+l)2+(2/l_l)2+]5/l2-22+3

(4+1)2=r=]<5

令Z+l=re[1,2],則5X2-22+3-5/-21+3—>ly一葭1+5-亍

所以sin64立^

7

52

當(dāng)，=1=4=W時，等號成立

33

即當(dāng)點N在線段。。靠近C的三等分點時，直線MN與平面E鉆所成角最大，最大角的正弦值叵.

7

【點睛】

本題主要考查了平面與平面的平行，直線與平面所成角的求解，考查了學(xué)生的直觀想象與運(yùn)算求解能力.

20.(1)--+k7r,—+k7r(ZeZ)；(2)^+3^.

_36」6

【解析】

(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù))，=/(x)的解析式為/(x)=gsin(2x+?卜g,然后解不等式

--+2k7r<2x+-<-+2k7r{keZ},可得出函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間

262

(2)由/目=一；得出4嗚+0)=冬并求出cos(?+ej的值，利用兩角差的正弦公式可求出sin°的值.

【詳解】

2負(fù)如2x+旦os"1+cos2x

(1)當(dāng)8=(時，/(x)=—sin^2x+yj-cosx=

2

—sin2x+-cos2%--=-sinf2x+->|--,

4422I2

由-三+2ki<2x+—<—+2Z:zr(Z:eZ),+k7t<x<--\-k7r[keZ),

26236

因此，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為—g+Z乃,J+Z乃(ZeZ)；

3o

3sin修+作《<3,

44(332

c71兀7157C71715萬71底

，?0<0<—,/.—V---F0<---,二一<—\-cp<—，COS

2336236

、

71711?%GTC、V3+3V2

sin/=sin=-sin一+0------cos~+(P

372\32J76

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵，屬中等題.

12

21.（1）見解析（2）5,,=5-正不

【解析】