函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題30題2023

Inx

1.(2021?江蘇高三其他模擬)己知函數(shù)/(*)=——.

x

(1)若直線丁=依-1是曲線y=/(x)的切線，求實數(shù)%的值；

(2)若對任意XG(0,+8),不等式—l一四成立，求實數(shù)4的取值集合.

X

2.(2021?江蘇蘇州市?高三月考)已知函數(shù)/(x)=e‘，g(x)=sinx.

(1)設(shè)函數(shù)〃(x)=/(x)-(xT)g(x),當(dāng)xe[-4,0]時，求函數(shù)/?(%)零點的個數(shù);

(2)求證：g(x)-g,(x)+l<x-/(x)-lnx.

3.(2021?江蘇鹽城市?高二二模)已知函數(shù)/(x)=e*-fzxsinx-x—l,xe[0,4],aeR.

(1)當(dāng)a=g時，求證：/(x)>0；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個零點，求。的取值范圍.

4.(2021?江蘇高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)=4；+；X2—2X3WR)(e=2.71828…是自然對數(shù)的底

數(shù)).

(1)若Ax)在xe(0.2)內(nèi)有兩個極值點，求實數(shù)〃的取值范圍；

(2)。=1時，討論關(guān)于x的方程f(x)-^-x2+2x—1+0=|lnx|S€R)的根的個數(shù).

L2\xex

5.(2021?江蘇徐州市?高三二模)己知函數(shù)/(x)=e"(lnx+l)(aeR),/'(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)設(shè)函數(shù)g(x)=0^,求g。)的單調(diào)區(qū)間;

eax

(2)若f(x)有兩個極值點石,工2(%<馬)，

①求實數(shù)〃的取值范圍;

②證明：當(dāng)"21時，字<午—

人1人2

6.(2021?江蘇高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=e*-ox-b+l(a,Z?eR).

(1)若b=l,/(x)有兩個零點，求。的取值范圍；

(2)若，(*)之0,求a+方的最大值.

7.(2022江蘇高三專題練習(xí))設(shè)〃x)=ln(ax)+0,8(月=力占'+匕11±其中a,0eR,且QHO.

XX

(1)試討論“X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)4=1時，“X)—xg(x)Nlnx恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

8.(2021.江蘇省天一中學(xué)高三二模)已知a>0,函數(shù)/'(x)=4—.

x~+a

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)已知函數(shù)/(x)存在極值點為、Z，求證：|/(x,)-/(x2)|<|-^.

9.(2021.南京市中華中學(xué)高三期末)已知函數(shù)/(工)=(/-1)",其中aeR.

(1)求函數(shù)/(x)在％=0處的切線方程；

(2)Vx>(),/(x)>or-l,求實數(shù)。的取值范圍.

10.(2021.江蘇徐州市.高三月考)已知函數(shù)/(X)=xlnx-gx2+(2a-l)x(aeR).

(1)討論函數(shù)〃x)的極值點的個數(shù)；

4a(

(2)已知函數(shù)g(x)=a—r(x)有兩個不同的零點和與，且玉<馬.證明：x2-x,<~——.

x2。-1

11.(2021?江蘇高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ae'+sinx+x,xG[0,.

⑴證明：當(dāng)a=—l時，函數(shù)有唯一的極大值點；

(2)當(dāng)一2<a<0時，證明：/(%)<?.

12.(2021?江蘇蘇州市?高三開學(xué)考試)已知函數(shù)/(%)=xe'"—Inx,其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，?>0.

(1)若曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線斜率為2e—l,求。的值；

(2)對于給定的常數(shù)小若/(x)之法+1對xe(0,+8)恒成立，求證：b<a.

13.(2021?江蘇常州市?高三開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=x-alnx+2,a,bwR.

X

(1)若a>0,〃>0,且1是函數(shù)/(x)的極值點，求的最小值；

ab

(2)若氏a+l,且存在x()ej,1],使/'(%)<0成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

e

14.(2021?江蘇高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=@—lnx+l有兩個不同的零點<%2)?

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)記f(x)的極值點為七,求證：-^-+^->2e/-(x0).

15.(2021?江蘇徐州市?徐州一中高三期末)已知函數(shù)/(x)=a*-elog“x-e,其中a>l.

(1)討論f(x)的極值點的個數(shù)；

⑵當(dāng)eSaWe?時，證明：/U)>0.

16.(2021?江蘇啟東市?高三期末)已知函數(shù)〃x)=ae*-x,aeR.

(1)若/(x)在x=0處的切線與x軸平行，求實數(shù)。的值；

⑵若f(x)有兩個不同的零點為、%.

①求實數(shù)。的取值范圍；

②證明：x,+x2>2.

九3

17.(2021?江蘇南通市?高三期末)已知函數(shù)/(無)=——ax.

6

(1)討論了(力的單調(diào)性;

(2)若對任意了€[0,+8),/0)2-411%恒成立，求a的取值范圍.

18.(2021?江蘇南通市?高三期末)已知函數(shù)/(x)=e*—x-l,%>().

(1)若關(guān)于.x的不等式4(》)>攵e、-V—2x—2對任意的工〉。恒成立，求實數(shù)Z的取值范圍;

(2)設(shè)g(x)=2/卜),x>0.

①求證：g(x)>L

31

②若數(shù)列｛q｝滿足0<4<In彳，an+]=Ing(%)，求證：—.

19.(2021?江蘇高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ev-or-1.

(1)討論函數(shù)/*)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)在(0,+8)有零點餐,求證：

2lna…

(1)----<x<2lna；

a0

3

(ii)/(ar0)>(V^z-1)(V?+1).

20.(2021?江蘇高三月考)已知函數(shù)/(x)=e*+G?有兩個極值點不、々，三個零點￡、5、

(1)求。的取值范圍；

(2)若4=1，證明：%+工2<七+七.(參考數(shù)據(jù)：e*2.718,??20)

21.(202L江蘇高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'-x-odn(x+l)-1.

(I)若a=0,求的最小值；

(II)函數(shù)/(x)在x=0處有極大值，求。的取值范圍.

22.（2021?江蘇高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=〃alnx-l,m^O.

（1）討論函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

9

⑵若g（x）=/一：X,且關(guān)于X的不等式“X）wg（X）在（o,+紇）上恒成立，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，

求實數(shù)m的取值范圍.

23.（2021?江蘇南通市?高三期末）已知函數(shù)/（x）=x2+xina（a>0）,XG（0,1）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若/（x）>ae'lnx對Vxe（O,l）恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

24.（2021.江蘇南通市.高三月考）已知函數(shù)/（x）=e“-鼻/（e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個

極值點X］,x2.

（1）求。的取值范圍；

（2）求證：%1+x2<2\na.

25.（2021?江蘇高三專題練習(xí)）己知函數(shù)〃x）=a”（a>0,.

（1）當(dāng)a=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，

（i）若G（x）=/（x）—2x-他在［0,2］上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)，"的取值范圍;

IMM\

(ii)若T(x)=〃x>(〃eR),求T(x)在［0,1］上的最大值；

⑵當(dāng)a=2時，”/(〃)，"+，數(shù)列也｝滿足(/(〃)一1也=擊］+至：4).求證:

〃I-fQV"

E^-31-7■

k=iw

26.(2021.江蘇高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x—Inx-2.

(1)求曲線y=/(x)在尤=1處的切線方程；

(2)函數(shù)/(x)在區(qū)間(左,2+。(人")上有零點，求攵的值；

13

⑶記函數(shù)g(x)=/%2-力x-2-7(x),設(shè)石,%2(玉＜/)是函數(shù)g(x)的兩個極值點，若62],且

g(x.)—恒成立，求實數(shù)人的最大值.

27.(2021?江蘇南通市?高三期末)已知函數(shù)/(x)=x(e2*-a).

(1)若y=2x是曲線y=