北京市豐臺(tái)區(qū)北京第十二中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選

涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某歌手大賽進(jìn)行電視直播，比賽現(xiàn)場(chǎng)有6名特約嘉賓給每位參賽選手評(píng)分，場(chǎng)內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)給每位

參賽選手評(píng)分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場(chǎng)嘉賓的評(píng)分情況如下表，場(chǎng)內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評(píng)分，組織方將觀眾評(píng)分

按照［70,80）,180,90）,190,1001分組，繪成頻率分布直方圖如下：

嘉賓ABCDEF

評(píng)分969596899798

嘉賓評(píng)分的平均數(shù)為x,場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為x,所有嘉賓與場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為X,則下列選項(xiàng)

12

正確的是（）

-X+X-X+X-X+X———X+X

A.X=12B.X>12C.X<12D.X>X>x>12

222122

b=logmc=2,若a>b>c，則正數(shù)m可以為（）

2.已知a=log74,

32'2

A.4B.23C.8D.17

3,執(zhí)行如圖所示的程序框圖后，輸出的值為5,則P的取值范圍是（）.

(371(7151/15311

C.I_?___ID?I__?___I

(816J(16321

4.在A4BC中,E,F分別為/B,/C的中點(diǎn)，P為EF上的任一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x,V滿足而+鏟5+雨=0,設(shè)

S

ZV1BC、APBC、△PC4、AP4B的面積分別為S、S[、s>(i=1,2,3),則九?入取到最大值時(shí),

23

3S

2x+y的值為()

_33

A.B.1C.D.

~22

x,x<0

5.已知a,beR,函數(shù)/(x)=11,若函數(shù)y=/(x)-ax-b恰有三個(gè)零點(diǎn)，貝|]()

_X3-_(a+1)x2+ax,x>0

A.a<-1,b<0B.a<-1,/>>0

C.a>-1力<0D.a>-1,Z?>0

2K

6.在△ABC中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知C，c=1.當(dāng)0力變化時(shí)，若z=b+"存在最大值,

則正數(shù)大的取值范圍為

1D.(1,3)

A.(0.1)B.(0,2)C.(2,2)

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為()

俯視圖

A.2好B.4C.2D.2近

若復(fù)數(shù)曾在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則?等于（

8,復(fù)數(shù)z=2+i,)

1

2

3+4z3+4;-3+4/

A.----------B.C.-3+4/D.

55

9,《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：，吟有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已

知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自

內(nèi)切圓的概率是（）

兀兀

A.——B.一

123

10.下列不等式成立的是（）

11.已知命題P：VxeR,sinx<l,則力為（）

A.e/?,sinx>1B.VxeR,sinx>1

00

C.3xe/?,sinx>1D.VxwR,sinx>1

oo

12.若關(guān)于x的不等式f1］與?J有正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的最小值為（）

A.9B.8C.7D.6

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13,等腰直角三角形4BC內(nèi)有一點(diǎn)p,PA=\,PB=J7,PC=2,44=90。，則AABC面積為.

14.如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點(diǎn)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列%},則a=

n100

15.設(shè)s是等比數(shù)列〃｝的前〃項(xiàng)的和，S,S,S成等差數(shù)列，則^的值為.

nn396a

8

兀兀n

16.已知函數(shù)/(x)=2sin((ox+(p),對(duì)于任意x都有/(_+x)=/(_-x),則/'(J的值為.

666

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)市民小張計(jì)劃貸款60萬元用于購(gòu)買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金：每月的

還款額呈遞減趨勢(shì)，且從第二個(gè)還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每個(gè)月的還款額均

相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款(若2019年7月7日貸款到賬，則2019年8月7日首次還款).

已知小張?jiān)摴P貸款年限為20年，月利率為0.004.

(1)若小張采取等額本金的還款方式，現(xiàn)已得知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元，試計(jì)算小

張?jiān)摴P貸款的總利息；

(2)若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半，已知小張家庭平均月收

入為1萬元，判斷小張?jiān)摴P貸款是否能夠獲批(不考慮其他因素)；

(3)對(duì)比兩種還款方式，從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇哪種還款方式.

參考數(shù)據(jù)：LOO4240n2.61.

18.(12分)已知雙曲線C：x2-j/2=l及直線/：y=kx+l.

(1)若/與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)A的取值范圍；

⑵若/與C交于4,8兩點(diǎn)，。是原點(diǎn)，且S求實(shí)數(shù)"的值?

19.(12分)己知函數(shù)/(x)=ex(x-D-1e?x2,a<0.

7

(i)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(oj(o))處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)的極小值；

(3)求函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

20.(12分)每年3月20日是國(guó)際幸福日，某電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機(jī)抽取18名,

用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù)，結(jié)果見如圖所示莖葉圖，其中以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為

葉.若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?！?

（I）求從這18人中隨機(jī)選取3人,至少有1人是“很幸?！钡母怕?；

（H）以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記X表示抽到“很幸?！钡娜藬?shù),

求X的分布列及E（X）.

21.（12分）下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費(fèi)用（百萬元）和產(chǎn)品銷量（萬臺(tái)）的具體數(shù)據(jù):

月份56789101112

研發(fā)費(fèi)用（百萬元）2361021131518

產(chǎn)品銷量（萬臺(tái)）1122.563.53.54.5

（I）根據(jù)數(shù)據(jù)可知y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求出y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；

（U）該公司制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)制度：以Z（單位：萬臺(tái)）表示日銷售，當(dāng)Ze[o,o.13）時(shí)，不設(shè)獎(jiǎng)；當(dāng)Zeh.13,0.15）

時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元；當(dāng)Ze[o.15,o.16）時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)300元；當(dāng)Ze10.16,+8）時(shí)，每位員工

每

日獎(jiǎng)勵(lì)400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售Z（萬臺(tái)）服從正態(tài)分布N（u,0.0001）（其中口是2018年5-12月產(chǎn)品

銷售平均數(shù)的二十分之一），請(qǐng)你估計(jì)每位員工該月（按30天計(jì)算）獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.

參考數(shù)據(jù)：Zxy=347,Zx2=1308,Z尸=93,7140?84.50,

i/ii

/=1/=1卜1

———八、'

參考公式：相關(guān)系數(shù)「=

,其回歸直線y=bx+Q中的/=1//-,若隨機(jī)變量

工X2一nx2

z=i

x服從正態(tài)分布N2),則尸(口-er<x<p,+cy)=0.6826,P(|i-2<J<x<|i+2a)=0.9544.

22.（10分）等差數(shù)列｛Q｝的公差為2,a,a,a分別等于等比數(shù)列｛b｝的第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng).

n248n

（1）求數(shù)列｝和篙｝的通項(xiàng)公式；

nn

c

（2）若數(shù)列L｝滿足:+。2++n=b，求數(shù)列3｝的前2020項(xiàng)的和.

naGan+1n

12n

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、

C

【解析】

計(jì)算出7、T,進(jìn)而可得出結(jié)論.

12

【詳解】

由表格中的數(shù)據(jù)可知，X=96+95+96+89+97+98土9517,

16

由頻率分布直方圖可知，文=75x0.2+85x0.3+95x0.5=88,則

212

VJ-V_

由于場(chǎng)外有數(shù)萬名觀眾，所以，T<x<-；_」<x.

221

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、

C

【解析】

首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的取值范圍，再代入驗(yàn)證即可；

【詳解】

解：V3=log27<a=log74<log81=4,.,.當(dāng)m=8時(shí)，b=logm=3滿足a>c,二實(shí)數(shù)刀可以為8.

3332

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

框圖的功能是求等比數(shù)列的和，直到和不滿足給定的值時(shí)，退出循環(huán)，輸出n.

【詳解】

1113

第一次循環(huán)：S=_,n=2；第二次循環(huán)：S=_+_=_,n=3；

彳112224

第三次循環(huán)：S=_+_+_=:,八=4；第四次循環(huán)：S=_+_+1+1_=I5,n=5：

227278227272716

715

此時(shí)滿足輸出結(jié)果，故,<PW—?

816

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查程序框圖的應(yīng)用，建議數(shù)據(jù)比較小時(shí)，可以一步一步的書寫，防止錯(cuò)誤，是一道容易題.4、

D

【解析】

1

根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得P到BC的距離等于△ABC的BC邊上高的一半，從而得到5=S=S+s,由

1223

此結(jié)合基本不等式求最值，得到當(dāng)九?入取到最大值時(shí)，P為EF的中點(diǎn)，再由平行四邊形法則得出

23

111

24+服+抽=L根據(jù)平面向量基本定理可求得x=y=，從而可求得結(jié)果.

222

【詳解】

如圖所示：

因?yàn)镋F是A/BC的中位線，

所以P到BC的距離等于A/BC的BC邊上高的一半，

所以S=S=S+s,

1223

(s+s

由此可得九九SSSS(-2)21

=_2_X3—23<_____________=_，

23了了~sT一豆—16

當(dāng)且僅當(dāng)s=s時(shí)，即p為EF的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，

23

所以及+再=。，

由平行四邊形法則可得F+PB=~2PE,~~PA+'PC^PF,

將以上兩式相加可得說4匚麗=2匹+聲)=0,

所以河+_屜「■='(),

22

又已知麗+x而+y★J(J*,

1

根據(jù)平面向量基本定理可得x=y=_,

2

1Q

從而2x+y=1+_=±.

22

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量加法的平行四邊形法則，考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了基本不等式求最值，屬于中檔題.

5、C

【解析】

當(dāng)x<0時(shí)，y=/(x)_ax_b=x_ax_b=(1_a)x_b最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)當(dāng)0時(shí)，

y=f(x)-ax-b=X3-1(a+1)x2+nx-ax-b=1X3-1(a+1)x2-/),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)

3232

性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得.

【詳解】

當(dāng)x<0時(shí)，y-f(x)-ax-b=x-ax-b=(J\-a)x-b=O,得乂=----：，=/(x)—ax—6最多一個(gè)零點(diǎn)；

111

當(dāng)x>0時(shí)，y=f(x)-QX-b=_X3(Q+1)x2+QX-QX-b=_X3-_(Q+1)x2-b,

3232

yf=x2-(a+1)x,

當(dāng)a+1<),即aw-1時(shí)，y'》0,y=/(x)—ax—b在[0,+網(wǎng)上遞增，y=/(x)—ax—b最多一個(gè)零點(diǎn).不合題意;

當(dāng)a+1>0,即a>—1時(shí)，令y'>0得xe[a+1,+8),函數(shù)遞增，令/<0得xe[0,a+1),函數(shù)遞減；函數(shù)最

多有2個(gè)零點(diǎn);

根據(jù)題意函數(shù)V=/(x)-ax-b恰有3個(gè)零點(diǎn)=函數(shù)，=/(x)—ax—b在(一雙0)上有一個(gè)零點(diǎn)，在[0,+8)上有2

個(gè)零點(diǎn),

如圖:

1

解得b<0,1-a>0,0>b>-_(a+1)3,；.a>-1.

6

故選c.

【點(diǎn)睛】

遇到此類問題，不少考生會(huì)一籌莫展.由于方程中涉及a,匕兩個(gè)參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類討論,這一過程中

有可能分類不全面、不徹底.

6、C

【解析】

因?yàn)镃=_,。=1,所以根據(jù)正弦定理可得_a=__b__=___c__=_9,所以Q=_59in4,&=_s9in

,所以

3sinAsinBsinC#有卡

Z=b+九a=J_sinB+±sinA=：［sinB+\sin（［-B）］=Jj（l-JsinB+

也不拒耳出2

V^"cosB］=2J1-入）2+（了巧2sin（B+?。?其中tanj=用-0<B

F不72~F2^，~3

因?yàn)閦=6+入a存在最大值，所以由B+<|）=t+2k兀,keZ,可得2k兀+［<<!><2kn+：keZ,

,262

所以ta.>/，所以支匕>小，解得:〈大<2,所以正數(shù)入的取值范圍為J,2）,故選C

T2-A,T22

7、D

【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個(gè)四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計(jì)算各棱的長(zhǎng)度.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示:

B,

由三視圖知：IAr\=2,(|E|=^3,|S[|-2,

所以|sc|=pc|=2,

所以|SA|=JSD「+網(wǎng)2=20|SB|=Jsc|2+|BC1=2工

所以該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為2近

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三視圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

8、A

【解析】

先通過復(fù)數(shù)z,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，得到z=-2+i,再利用復(fù)數(shù)的除法求解馬.

122Z

2

【詳解】

因?yàn)閺?fù)數(shù)Z,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，且復(fù)數(shù)Z=2+i,

121

所以z=-2+i

2

z2+i2+z(-2—z)34

所以1r=—2+i=(—2+i)(—2—i)==5=5'

2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,

即可求解.

【詳解】

由題意，直角三角形的斜邊長(zhǎng)為｛82+62=10,

6x8

利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為「=(0s=2,

6+8+10

71-22_71

所以向次三角形內(nèi)投擲豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為1A；6.

—XQXO

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計(jì)算問題，其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)，求得其內(nèi)切圓的半徑是

解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

10、D

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、騫函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個(gè)選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對(duì)于A,VO<I<1,，sin!<cosl,4錯(cuò)誤；

2422

1V(<1\

對(duì)于B,..y=_在R上單調(diào)遞減，_2<1_3,B錯(cuò)誤;

1,1.1,1

對(duì)于C,'..log—_log3>1,log—-log2<1,log_>log2

2C錯(cuò)誤;

P123pt

對(duì)于O,y=xl在R上單調(diào)遞增，D正確.

-?⑴卬

姬D.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題；關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和暮函數(shù)的單

調(diào)性.

11、C

【解析】

根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即得答案.

【詳解】

丫全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，且命題p：VxeR,sinx<1,

.,.-ip:GR,sinx>1.

00

它C.

【點(diǎn)睛】

本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

〃Inx31n3QInx

根據(jù)題意可將1卜4」_轉(zhuǎn)化為不-2一廣，令/x=—,利用導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性即可得到實(shí)數(shù)k的最小值.

⑴27x

【詳解】

k\nx

八rn-1

因?yàn)椴坏仁接姓麛?shù)解，所以X>0,于是j<—轉(zhuǎn)化為——>31n3,x=l顯然不是不等式的解，當(dāng)x>l時(shí),

x

lnx>0,所以、"“23比3可變形為“X231n3

xxk

令於=史，則r（x）=4,

xx2

...函數(shù)/（X）在（o,e）上單調(diào)遞增，在（e,+8）上單調(diào)遞減，而2<e<3,所以

當(dāng)xeN*時(shí)，f=max{/（2）,/（3）}=埠,故）3〉31n3,解得"9.

max3k

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查不等式能成立問題的解法，涉及到對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等，意在考

查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

5

13、_

2

【解析】

利用余弦定理計(jì)算cosNP/B,cos（90-NP力B）,然后根據(jù)平方關(guān)系以及三角形面積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)AB=AC=x

由題可知：

PAi-vABi-PB?

cosNP/B=

2PAAB

cos（叱=

由sin2ZPAB+cos2ZPAB=1,

P4=1,PB=O,PC=2

I12+X2-JTI「12+X2-2212

所以I-----太------I+—萬一二]

111L2J

化簡(jiǎn)可得：X4-6X2+5=0

則x2=5或x2=l,即或x=l

由AB>PA,所以x4

S_].ABAC=5

所以-ec-2I

5

故答案為：—

【點(diǎn)睛】

本題主要考查余弦定理解三角形，仔細(xì)觀察，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

14、5252

【解析】

根據(jù)圖像歸納a=2+3+4+...+〃+2,根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.

n

【詳解】

根據(jù)圖像：a=2+3,a=2+3+4,故a=2+3+4+...+n+2,

12"

（2+102）xl01

故a=2+3+4+...+102=------------=5252.

ioo2

故答案為：5252.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

15、2

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比設(shè)為q，再根據(jù)S,S,S成等差數(shù)列利用基本量法求解q,再根據(jù)等比數(shù)列各項(xiàng)間的關(guān)系求解

n396

a+a

-^一即可.

8

【詳解】

解：等比數(shù)列｛a｝的公比設(shè)為q,

n

S,S,s成等差數(shù)列，

396

可得2S=S+S,

936

若q=1,則18Q=3Q+6Q,

顯然不成立，故

化為2q6=1+q3,

1

解eq3=

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及運(yùn)用，屬于中檔題.

16>-2或2

【解析】

由條件得到函數(shù)的對(duì)稱性，從而得到結(jié)果

7T

.??x=美函數(shù)f(x)=2sin?x+(p)的一條對(duì)稱軸.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦型三角函數(shù)的對(duì)稱性，注意對(duì)稱軸必過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)289200元(2)能夠軸t；(3)應(yīng)選擇等額本金還款方式

【解析】

(1)由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即可由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得其還

款總額，減去本金即為還款的利息；

(2)根據(jù)題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，設(shè)小張每月還款額為x元，由等比數(shù)列求和公

式及參考數(shù)據(jù)，即可求得其還款額，與收入的一半比較即可判斷；

(3)計(jì)算出等額本息還款方式時(shí)所付出的總利息，兩個(gè)利息比較即可判斷.

【詳解】

(1)由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為｛a｝,

n

S表示數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和，則a=4900,a=2510,

nn1j240

則s=240(‘+。240)=120X(4900+2510)=889200,

2402

故小張?jiān)摴P貸款的總利息為889200-600000=289200元.

(2)設(shè)小張每月還款額為x元，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，

則x+X(1+0,004)+X(1+0,004)2+???+X(1+0.004>39=600000X(1+0.004M。，

(1-1.004240^1

所以x---------1=600000x1.004240,

11-1.004)

即x=600000x1.004240x0.004600000x2.61x0.004w3891,

1.004240-1~2.61-1

1

因?yàn)?891<10000x_=5000,

2

所以小張?jiān)摴P貸款能夠獲批.

(3)小張采取等額本息貸款方式的總利息為：

3891x240-600000=933840-600000=333840,

因?yàn)?33840>289200,

所以從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇等額本金還款方式.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的綜合應(yīng)用，數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，理解題意是解決問題的關(guān)鍵，屬于中

檔題.

18、(1)；(2)1<=?；虿?土也.

【解析】

(1)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去，，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式，即可求出結(jié)論；

⑵設(shè)A(x/),B(x,y),由(1)可得x,x關(guān)系，再由直線，過點(diǎn)(0,1),可得=%x—x=進(jìn)而建

S-II

112212^OAB2121

立關(guān)于k的方程，求解即可.

【詳解】

(1)雙曲線C與直線/有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

[y-kx+1

則方程組《[有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

[X2-y2-1

整理得G-旌)x2-2kx-2=0,

1-/C2工0

A=4/C2+8（-/C2）>0'

?-或<k<成且ko±1.

雙曲線C與直線1有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，

k的取值范圍是J厄-1)u(-1.1)u(1,72).

⑵設(shè)交點(diǎn)A(xJ),B(x,y),直線/與y軸交于點(diǎn)仇°」)，

1122

富三

’2個(gè)2,..s=并—叼=隹.

X?X=^OAB2

[12

(-2kV8

」.(x-x>=(202,gpi_____i+______=8,

12h-k2)1-/C2

整理得2k4—3k2=0,解得k=0或

2

：.k=Q或k=S_.又?；—&<!<<&，

...k=0或k=±乎時(shí)，AAOB的面積為

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、三角形面積計(jì)算，要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系解決相交弦問題，考查計(jì)算求解能力，屬

于中檔題.

19、（1）＞=一1；（2）極小值—1；（3）函數(shù)y=/（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

【解析】

（1）求出/（0）和/'（0）的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；

（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=/（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可得出該函數(shù)的極小值；

（3）由當(dāng)XW1時(shí)，/（乂）＜。以及/（2）＞。，結(jié)合函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（0,+＜?）上的單調(diào)性可得出函數(shù)y=/（x）

的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】

（1）因?yàn)?（x）=&（x-1）-）eoX2,所以/'（x）=xex-xe。.

2

所以/（0）=-1,/'（0）=0.

所以曲線V=/（X）在點(diǎn)（0,/（0））處的切線為y=-1；

（2）因?yàn)?'（x）=xe*-xe“=xL-e?）,令尸（x）=0,得x=0或x=a（a＜。）.

列表如下：

(-00,a)(a,0)(0.+OO)

Xa0

尸（X）

+0-0+

f(x)

極大值極小值/

所以，函數(shù)y=/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,a）和（0,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間為（a,0）,

所以，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y=/（x）有極小值/（0）=-1；

（3）當(dāng)時(shí)，/（x）＜0,且/（2）=e2-2e。＞e2-2＞0.

由（2）可知，函數(shù)y=/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)V=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查分析問題和解決問題的能力，屬于

中等題.

199

20、(1)前7(11)見解析?

【解析】

(1戶8人中很幸福的有12人，可以先計(jì)算其逆事件，即3人都認(rèn)為不很幸福的概率，再用1減去3人都認(rèn)為不很幸福

(2)

的概率即可：(H)根據(jù)題意，隨機(jī)變量3,列出分布列，根據(jù)公式求出期望即可.

【詳解】

(I)設(shè)事件力=｛抽出的3人至少有1人是“很幸?！钡模?則/表示3人都認(rèn)為不很幸福

199

204

18

(H)根據(jù)題意，隨機(jī)變量XX的可能的取值為0J,2,3

()⑴31()2⑴22

PX=0=OI；PX=1=GxxlI=.

3(3j2733k3j9

P(X=2)=C2xpYx1=4；p(X=3)=C3(2]=8

3k3j393W27

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123

1248

P

279927

所以x的期望E(X)：Ox1+1x2+2x4；3x8=2

279927

【點(diǎn)睛】

本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列，數(shù)學(xué)期望的求解，概率分布中的二項(xiàng)分布問題，屬于常規(guī)題

型.21,(I)j=0.24x+0.32(II)7839.3元

【解析】

(I)由題意計(jì)算x、y的平均值，進(jìn)而由公式求出回歸系數(shù)b和a,即可寫出回歸直線方程；

(H)由題意計(jì)算平均數(shù)"，得出z~N5,02),求出日銷量ze[0.13,0.15)>[0.15,0.16)和[0.16,+8)的概率,計(jì)算獎(jiǎng)

金總數(shù)是多少.

【詳解】

-2+3+6+10+21+13+15+1888

([)因?yàn)閤=-------------------------=11,

O