2023-2024學年高考數學空間向量與立體幾何專項練習題（附答案）

2023-2024學年高考數學空間向量與立體幾何小專題一、單選題1．已知向量，，，若，則與的夾角為（

）A． B．C． D．2．若在空間直角坐標系中的位置及坐標如圖所示，則邊上的中線的長是（

）A． B．2 C． D．33．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則可能使的是（

）A． B．C． D．4．正四棱錐的側棱長為，底面的邊長為，E是的中點，則異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．5．如圖，點P為矩形所在平面外一點，平面，Q為的中點，，，，則點P到平面的距離為（

）

A． B． C． D．6．如圖，在平行六面體中，M為的交點．若，，，則向量＝（）A． B．C． D．7．如圖，在四面體OABC中，，，.點M在OA上，且，為BC中點，則等于（

）

A． B．C． D．8．如圖,在平行六面體中,與的交點，記為,設,,,則下列向量中與相等的向量是（

）A． B． C． D．二、多選題9．如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，，分別是，的中點，是棱上的動點，則下列選項正確的是（

）A．B．存在點，使平面C．存在點，使直線與所成的角為D．點到平面與平面的距離和為定值10．下列命題不正確的是（

）A．若A，B，C，D是空間任意四點，則有=B．“”是“共線”的充要條件C．若共線，則與所在直線平行D．對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點共面11．如圖，在棱長均為2的平行六面體中，，點，，分別是，，的中點，與平面交于點，下列說法正確的是（

）A．B．C．直線和直線所成角的余弦值等于D．三棱錐的體積是六面體的體積的12．已知向量，，則下列結論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．不存在實數，使得 D．若，則三、填空題13．已知是直線l的方向向量，是平面α的法向量，如果，則．14．已知，若，則．15．如圖，的二面角的棱上有，兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于.已知，則長度為.16．已知四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，.點在棱上運動，當平面平面時，異面直線與所成角的正弦值為.

答案：1．C【分析】根據已知結合向量的坐標運算可得出，且.然后根據向量的數量積運算求解，即可得出答案.【詳解】由已知可得，且.又，所以，即有，所以，.又，所以.故選：C.2．C【分析】利用中點坐標公式求出中點的坐標，根據空間兩點間的距離公式即可得出中線長.【詳解】由圖可知：，，，由中點坐標公式可得的中點坐標為，根據空間兩點間距離公式得邊上的中線的長為.故選：C3．D【分析】若直線與平面平行，則直線的方向向量與平面的法向量垂直，利用向量數量積檢驗.【詳解】直線的方向向量為，平面的法向量為，若可能，則，即.A選項，；B選項，；C選項，；D選項，；故選：D4．C【分析】建立適當的空間直角坐標系，將異面直線的夾角轉換為直線的方向向量的夾角來做即可.【詳解】連接，交于點O，連接，以為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，正四棱錐的側棱長為，底面的邊長為，E是的中點，，，，，設異面直線與所成的角為，則，，異面直線與所成的角為．故選：C.5．B【分析】建立空間直角坐標系，得到平面的法向量，從而得到點P到平面的距離.【詳解】因為平面，平面，所以，四邊形為矩形，故兩兩垂直，故以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，

因為，，，Q為的中點，所以，設平面的法向量為，則，令得，，故，故點P到平面的距離為.故選：B6．A【分析】向量，結合平行六面體的結構特征即能求出結果．【詳解】∵在平行六面體中，M為的交點．若，，，∴向量.故選：A．7．B【分析】連接，根據空間向量的線性運算計算求解.【詳解】連接，是的中點，，，.故選：B

8．B【分析】根據題意，結合空間向量的線性運算的法則，準確化簡，即可求解.【詳解】在平行六面體中,與的交點，記為,可得點為的中點，根據空間向量的線性運算法則，可得.故選：B.9．ABD【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意可知兩兩相互垂直，以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，設，，所以，所以，A選項正確.點到平面與平面的距離和為為定值，D選項正確.，，設平面的法向量為，則，故可設，要使平面，又平面，則，解得，所以存在點，使平面，B選項正確.若直線與直線所成角為，又，則，整理得，無解，所以C選項錯誤.故選：ABD.10．BCD【分析】根據向量的多邊形法則可知A正確；根據向量的三角不等式等號成立條件可知，B錯誤；根據共線向量的定義可知，C錯誤；根據空間向量基本定理的推論可知，D錯誤．【詳解】對A，四點恰好圍成一封閉圖形，根據向量的多邊形法則可知，正確；對B，根據向量的三角不等式等號成立條件可知，同向時，應有，即必要性不成立，錯誤；對C，根據共線向量的定義可知，所在直線可能重合，錯誤；對D，根據空間向量基本定理的推論可知，需滿足x+y+z=1，才有P、A、B、C四點共面，錯誤．故選：BCD．11．AB【分析】以，，作為空間的一組基底，利用空間向量判斷A，C，利用空間向量法可得面，再用向量法表示，即可判斷B，利用割補法判斷D；【詳解】依題意以，，作為空間的一組基底，則，，因為棱長均為2，，所以，，所以，故，即，故A正確；同理可證，，面，面，所以面，即面，即為正三棱錐的高，所以，又，，分別是，，的中點，，所以，則三棱錐是正四面體，所以，所以，故B正確；因為，，設直線和直線所成的角為，則，故C錯誤；，其中，所以，故D錯誤.故選：AB.關鍵點睛：本題解決的關鍵點是利用空間向量的基底法表示出所需向量，利用空間向量的數量積運算即可得解.12．AC【分析】對于A，根據即可算出的值；對于B，根據計算；對于C，根據計算即可；對于D，根據求出，從而可計算出.【詳解】對于A，因為，所以，解得，故A正確；對于B，因為，所以，所以，故B錯誤；對于C，假設，則，所以，該方程組無解，故C正確；對于D，因為，所以，解得，所以，，所以，故D錯誤.故選：AC.13．15【分析】根據線面垂直，可得直線的方向向量和平面的法向量共線，由此列式計算，即得答案.【詳解】∵，∴，∴，解得，∴，故1514．2【分析】根據垂直得到，得到方程，求出.【詳解】，因為，所以，即，解得.故215．【分析】利用向量的加法，轉化為，直接求模長即可.【詳解】因為.所以所以.故答案為.16．【分析】首先建立空間直角坐標系，分別求平面和平面的法向量，利用法向量垂直求點的位置，并利用向量法求異面直線所成角的余