小學奧數(shù)-寒假四年級（寒假共7講）- 第7講 操作類智巧趣題

操作類智巧趣題

知識GPS

＞本講內(nèi)容

過河問題；倒水問題；稱重問題

＞前鋪知識

最值問題初步——四年級秋季

必勝策略——四年級寒假

模塊1過河問題

抽屜原理初步——四年級春季

四年級寒假第7講操作類智巧趣題（C版）

天使的數(shù)量不能少于魔鬼，否則會被魔鬼吃掉，請問他們應該如何過河？

【分析】設天使為A,魔鬼為B,過河方式如下:

2A2B

2A2B<—』一IB

3AIB

3A<XB2B

\A\B—2B

\AIB<lAlB\A\B

2B—況^\A\B

2B<一」￡一.3A

IB34

\B<lg3A18

—空■玲3A\B

有一條河，河面上排著7塊石頭，青蛙們可以跳著石頭過河.有一天三只從左岸去右岸的青蛙，和三只

從右岸去左岸的蟾蛛相遇了，如下圖所示.已知：

（1）一塊石頭只能停一只動物；

（2）青蛙不能往左走，蟾蛛不能往右走；

（3）動物的走法只能是往目標方向跳到相鄰的空石頭上，或者隔著一只動物跳到空石頭上.

那么它們應該如何過河？

【答案】從左到右標號1~7,按順序的步數(shù)：3-4（3號動物跳到4號），5-3,6-5,4-6,2-4,1-2,3-1,5-3,

7-5,6-7,4-6,2-4,3-2,5-3,4-5

四年級寒假第7講操作類智巧趣題（C版）

?o??

o??

???

???o

o?

?o?

??

???

??

???

?o

o?

?o?

??

???

o?

模塊2倒水問題

______________________________________________________________________

有大、中、小3個瓶子，最多可分別裝入水100克、70克和30克.現(xiàn)在大瓶中裝滿水，希望在中瓶和

小瓶上都能標出裝10克水的刻度線，你能做到嗎？

【答案】

大瓶100303060609090

中瓶070404010100

小瓶0030030010

............................................................................

賣牛奶的人有兩桶10升裝的牛奶.兩個顧客各帶容器去買2升牛奶.一個帶的是5升的容器，另一個

帶的是4升的容器.這位賣牛奶的人應如何解決問題？

【答案】

10升105599448810

10升101010101010101066

5升0511052222

4升0040114042

............................................................................

艾迪去河邊打水，他有兩個桶，大桶能裝9升水，小桶能裝4升水.要想恰好從河中打6升水帶回去,

他該怎么辦？

【分析】答案不唯一，給出下面一種解法：

大桶9511096

小桶0440114

某人有12升啤酒一瓶，想從中倒出6升.但是他沒有6升的容器，只有一個8升的容器和一個5升的

容器.怎樣的倒法才能讓他恰好倒出6升啤酒？

模塊3稱重問題

（1）3枚金幣外觀完全相同，其中有兩枚真幣和一枚偽幣，偽幣比真幣輕（真幣一樣重）.現(xiàn)有一架托

盤天平，至少需要稱幾次才能保證找出偽幣？

（2）8枚金幣外觀完全相同，其中有七枚真幣和一枚偽幣，偽幣比真幣輕（真幣一樣重）.現(xiàn)有一架托

盤天平，至少需要稱幾次才能保證找出偽幣？

（3）13枚金幣外觀完全相同，其中有十二枚真幣和一枚偽幣，偽幣比真幣輕（真幣一樣重）.現(xiàn)有一架

托盤天平，至少需要稱幾次才能保證找出偽幣？

【答案】（1）1次；（2）2次；（3）3次

【分析】（1）把其中兩枚放在天平的兩端，如果平衡，則第三枚是偽幣，如果不平衡，則輕的那枚是偽幣.

（2）金幣編號1~8,將金幣分為三組：（1,2,3）（4,5,6）（7,8）.

第一次稱（1,2,3）和（4,5,6）,如果平衡，偽幣在（7,8）中，再稱一次即可找到；如果不

平衡，則偽幣在比較輕的那一組，再稱一次即可.

（3）金幣編號1~13,將金幣分成三組：（1~4）（5~8）（9~13）.

第一次稱（1~4）和（5~8）,如果平衡，偽幣在（9~13）中，第二次稱（9,10）（II,12）,平衡

則13為偽幣，不平衡再稱一次，輕的為偽幣；

如果（1~4）和（5-8）不平衡，不妨設（1~4）輕，則偽幣在1~4中，第二次稱（1,2）（3,4）,

偽幣在輕的一組，再稱一次即可.

綜上，至少需稱3次.

總結：在真?zhèn)螏耪l輕誰重已知的情況下，若3"〈金幣個數(shù)43"”，至少需稱”+1次.

O四年級寒假第7講操作類智巧趣題（C版）

(1)有3枚金幣，外觀完全相同，其中2枚真幣和1枚假幣，假幣和真幣的重量不相同，但是不知道

假幣比真幣輕還是重，現(xiàn)有一架托盤天平，至少需要稱幾次才能保證找出偽幣？

(2)有9枚金幣，其中一枚是假的，外觀和真的一樣，只是不知道比真幣重還是輕.至少需要稱幾次

才能保證找出偽幣？

【答案】(1)2次；(2)3次

【分析】(1)將金幣編號1~3.第一次稱1與2,若平衡則3為偽幣：若不平衡，則偽幣在1、2中，3為真

幣，再稱1與3,平衡則2為偽幣，不平衡則1為偽幣.因此至少稱2次.

(2)將金幣每三個一組，分為1、2,3三組；

第一次稱1、2組，若平衡，則偽幣在第3組中，由上題可知還需稱2次；

若不平衡，不妨設第1組輕.第二次稱1、3組，若平衡，則偽幣在第2組中，且偽幣重，再稱1次即

可；若不平衡，則偽幣在第1組中，第1組輕(重)則偽幣輕(重)，再稱1次即可.

綜上，至少稱3次.

拓展10：

有12枚金幣，其中一枚是假的，外觀和真的一樣，只是不知道比真幣重還是輕.至少需要稱幾次才能

保證找出偽幣？

【答案】3次

【分析】金幣編號1~12,每4枚一組分為三組：(1,2,3,4)(5,6,7,8)(9,10,11,12).

第一次，稱前兩組：

若平衡，則偽幣在第3組中：第二次稱(1,2,3)與(9,10,11),若平衡，則12號為偽幣，若不平

衡，偽幣在(9,10,11)中，(9,10,II)輕(重)則偽幣輕(:重)，再稱一次即可；

若不平衡，不妨設第1組輕.第二次稱(5,6,7,4)與(9,10,11,8)(第一組拿走3枚，替換為第

2組任意三枚，再將第3組任意三枚金幣補到第2組)，第3組9~12均為真幣；

令若平衡，由于只有一枚偽幣，所以4~8均為真，偽幣在(1,2,3)中，且偽幣輕，再稱一次即可：

令若(5,6,7,4)輕，分析可知偽幣只能在4或8中，其余均為真幣，第三次稱4號與12號，平衡

則8號為偽幣，不平衡則4號為偽幣；

令若(5,6,7,4)重，分析可知偽幣只能在(5,6,7)中，且偽幣重，再稱一次即可.

有五枚金幣，其中一枚是假的，外觀和真的一樣，只是不知道比真幣重還是輕.至少需要稱幾次才能確定偽

幣比真幣輕還是重？

【答案】2次

【分析】編號1~5,分為三組(1,2)(3,4)(5)

先稱(1,2)(3,4),若平衡，則5號為偽幣，取一枚真幣與之稱重即可判斷；

若不平衡，取較輕的一組，將兩枚金幣分別放在天平兩邊：

(“)若平衡，則較輕的一組都是真幣，那么偽幣就比真幣重，

(b)若不平衡，則較輕的一組中有一枚偽幣，偽幣比真幣輕.

綜上需要稱2次.

知識點睛

1.過河問題中，受限制最多的元素需要優(yōu)先考慮.

2.在已知真?zhèn)螏耪l輕誰重的情況下（真幣重量均相同），若3"〈金幣個數(shù)43"”，則至少需稱〃+1次

可以找出偽幣.

3.無論是否知曉真?zhèn)螏耪l輕誰重，均可將金幣分為盡量平均的三組，稱其中個數(shù)相同的兩組.

拓展練習

1.☆☆有甲乙丙三只大老虎，帶著甲乙丙三只小老虎過河。河上只有一條船，每次只能載兩只老虎，不分

大小。（三只小老虎不能和自己母親以外的大老虎單獨呆在一起，否則會被其它的大老虎吃掉）問它們

要怎么平安地過河？

【答案】首先，甲乙兩只小老虎先過河；然后隨便回來一只，帶著丙小老虎過河；再隨便回來一只，如果丙

小老虎回來，就甲乙大老虎過去；這時，變成河對岸是甲乙兩大兩小四只老虎，這頭是丙大小兩只老虎。

然后，大甲和小甲老虎再一起從河對岸回來；讓大甲和大丙老虎過去；再讓乙小老虎回來，隨便帶一只

過河：小甲和小乙老虎過去；再讓大丙老虎回來，帶走丙小老虎，這六只老虎就全部平安過河了，一只

都不會少

2.☆☆兩個沒有刻度，容積分別為7升和8升的上下徑不同的大杯子，和無限多的水，如何倒出2升水？

【答案】倒?jié)M8,再用8倒?jié)M7從而得到1,清掉7,把1倒進7；再倒?jié)M8,再用8倒?jié)M7,從而剩下2.

3.☆有兩個沒有刻度，容積分別12升和16升的上下徑不同的大杯子，和無限多的水，那么能否量出8升

的水？

【答案】能

4.☆☆☆有三個沒有刻度，容積分別為10升、31升和65升的不均勻的空桶，和無限多的水，要想量出

28升水，至少需要進行多少次操作？（接水、互倒、倒水均算一次操作）

【答案】6次

【分析】31升接滿，倒入65升容器：再接滿，再倒入65升容器；再接滿，再倒入65升容器，此時還剩28

升，因此共需6次.（31x3—65=28）

5.☆☆艾迪有300克糖，他有一架天平及兩個重量分別為30克與5克的祛碼，那么艾迪要想稱出100克

糖，至少需要稱幾次？

【答案】2次

【分析】第一次用兩個底碼稱出35克的糖，第二次用30克硅碼和35克糖可稱出65克糖.

6.☆☆在一批產(chǎn)品中有16個零件，其中有一個是次品（質量比合格產(chǎn)品要輕），給你一架天平，你最少

用幾次天平稱量就可以檢驗出次品零件？

【答案】3次

【分析】第一次：兩邊各8個，輕的8個中有次品

第二次：天平兩邊各3個，平衡，次品在剩下的兩個中；不平衡，輕的一頭有次品

第三次：第二次稱量后，次品最多混在三個零件中，一邊一個，不平衡的話輕的一頭是次品；平衡則剩下一

個是次品.

四年級寒假第7講操作類智巧趣題（C版）

7.☆☆☆有30盒餅干，其中29盒質量相同，還有1盒由于少放了幾塊就輕了些.如果能用天平稱，至少

稱幾次才可以找出這盒餅干？

［答案］33<30<34,稱4次

【分析】第一次：把30盒餅干平均分成三份每份10盒，把任意兩份分別放在天平秤兩邊，若天平平衡，那

么在沒稱的10份中，若不平衡，則在較輕的10份中；

第二次：把比較輕的10盒餅干分成（3,3,4）三份，把兩個三份的分別放入天平秤兩邊，如平衡則在沒稱

的4份中，如不平衡，則在輕的3份中；

第三次：如在輕的3份中，再把這3份分成（1,1,1）三份，任取兩個放在天平上稱，如平衡，則沒稱的

是次品，如不平衡，則輕的一份是次品，如次品在4份中，則把分成（2,2）兩份，放在天平上稱，找

出有次品的一份；

第四次：把這兩個放在天平秤兩邊，可找出次品.

8.☆☆☆有三個沒有刻度，容積分別為160升、119升和77升的空桶，和無限多的水，要想量出76升水,

至少需要進行多少次操作？（接水、互倒、倒水均算一次操作）

【答案】8次

【分析】觀察160—119=41,119—77=42,所以可以先把160接滿，160倒?jié)M119,119倒掉，160剩下的

41升倒進119,77升接滿，77全倒進119,這樣119里面已經(jīng)有118;然后77接滿，77倒?jié)M119即可.

9.☆☆☆有101枚硬幣，其中100枚質量相同，另一枚是假幣.現(xiàn)在不知道假幣比真幣重還是輕.

10.（1）利用天平，至少稱凡次就可以判斷假幣比真幣重還是輕？

11.（2）在上題的基礎上，至少再稱幾次就能找出那枚假幣？

【答案】（1）2次：（2）4次

【分析】（1）把101枚破幣，分成34,34,33,三組

把兩組34的放到天平上稱，如天平平衡，則假幣在33的一組中，從34一組的中任取一枚硬幣，再放

到天平上和33的一組進行稱量，若33的一組重，則假幣重，若33的一組輕，則假幣輕；

若天平不平衡，則33的一組全是真幣，取下輕的一端的34個，分成17、17放在天平兩端，如果平衡，

說明這34個是真幣，之前才重的一堆中有假幣，假幣比真的重；如果不平衡，說明這34個中有假幣，

因為這34個是輕的一堆，所以假幣比真幣的輕.

（2）在上題的基礎上，本題轉化為從34（或33）枚硬幣中找出一枚假幣的題，至少4次就能找出.

12.☆☆☆☆有12枚金幣，其中一枚是假的，外觀和真的一樣，只是不知道比真幣重還是輕.至少需要稱

幾次才能保證找出偽幣？

【答案】3次

【分析】金幣編號1~12,每4枚一組分為三組：（1,2,3,4）（5,6,7,8）（9,10,II,12）.

第一次，稱前兩組：

若平衡，則偽幣在第3組中；第二次稱（1,2,3）與（9,10,11）,若平衡，則12號為偽幣，若不平

衡，偽幣在（9,10,11）中，（9,10,11）輕（重）則偽幣輕（重），再稱一次即可；

若不平衡，不妨設第1組輕.第二次稱（5,6,7,4）與（9,10,11,8）（第一組拿走3枚，替換為第

2組任意三枚，再將第3組任意三枚金幣補到第2組），第3組9~12均為真幣；

令若平衡，由于只有一枚偽幣，所以4~8均為真，偽幣在（1,2,3）中，且偽幣輕，再稱一次即可；

令若（5,6,7,4）輕，分析可知偽幣只能在4或8中，其余均為真幣，第三次稱4號與12號，平衡

則8號為偽幣，不平衡則4號為偽幣；

令若（5,6,7,4）重，分析可知偽幣只能在（5,6,7）中，且偽幣重，再稱一次即可.

本講鞏固

1.一天，蛇、老鼠和貓在穿越森林時來到了一道又深又寬的峽谷前，而峽谷的底部是一條洶涌的河流.這

時，一只老鷹飛到它們的頭頂，它愿意每次帶它們中的一個穿過峽谷.由于不能單獨把蛇和老鼠留在一

起或者把貓和老鼠留在一起，那么老鷹如何將蛇、老鼠和貓都安全地帶到峽谷的對面去呢？

【分析】首先帶老鼠過河，鷹返回；再帶蛇過河，帶著老鼠返回；帶貓過河，鷹返回，最后帶老鼠過河.

2.一個獵人要帶一棵紅蘿卜，一只狗，兩只老虎和一只羊過河.可現(xiàn)在，小船只有3個座位，獵人每次最

多只能送兩樣東西過河.沒有狗看管，老虎會吃羊，狗和羊單獨相處就吵架，羊與紅蘿卜在一起，紅蘿

卜就遭殃.有什么妙計能幫助它們過河？

【分析】①獵人帶狗和羊過去，再把狗帶回來.②帶蘿卜和一只老虎帶過去，把羊再帶回來.

③把另一只老虎和狗帶過去.④把羊帶過去.

3.有兩個沒有刻度，容積分別為6升和8升的上下徑不同的大杯子，和無限多的水，如何量出4升水？

【答案】6升倒?jié)M，6倒入8,6倒?jié)M，6倒入8,這樣6剩下4升.

4.有兩個沒有刻度，容積分別為5升和8升的上下徑不同的大杯子，和無限多的水，

（1）如何準確量出3升水？

（2）如何準確量出6升水？

（3）如何準確量出1升水？

（4）假設只有這兩個杯子，沒有更大的容器，那么可以量出哪些量的水？

（5）那么有一個無限大的容器會如何呢？

【分析】（1）3=8-5:把8升倒?jié)M，用8升把5升倒?jié)M，8升里面剩下3升；

（2）6=8-2,2=5-3:把上問中5清空，8的3升倒到5里，8接滿，再用8倒?jié)M5,還剩6升；

（3）1=6-5:把上問中5清空，8的6升倒?jié)M5,還剩1升：

（4）既然能得到1,則易得1~8的所有整數(shù)升：

（5）可以量出所有的正整數(shù)升的水.

5.有一個送奶工去給兩家送奶，兩家各訂了5升，但是送奶工走到半路才發(fā)現(xiàn)他只拿了一滿桶10升的奶.所

幸的是他有兩個容積為7升和3升的空桶，請問他有辦法把奶平均分給兩家嗎？

【答案】要出現(xiàn)5,應該從7中倒走2（5=7-2）,這就要求3中有1（2=3-1）;

要出現(xiàn)1,從7中倒走兩次3即可（1=7-3-3）.

括號里三個數(shù)分別為10升、7升、3升桶內(nèi)的奶量，具體操作如下：

（10、0、0）（3、7、0）（3、4、3）（6、4、0）（6、1、3）（9、1、0）（9、0、1）

（2、7、1）（2、5、3）（5、5、0）,此處10相當于水源，從而轉化為雙桶問題.

6.27枚金幣外觀完全相同，其中只有一枚偽幣，偽幣比真幣輕（真幣一樣重）.現(xiàn)有一架托盤天平，你能

至少稱幾次保證找出偽幣？

【答案】3次

【分析】先分成3組，9個為一組，稱一次可知在哪個組；將這9個分為3組，每組3個，稱一次可知在哪

個組，再稱一次即可知道哪個是偽幣.

四年級寒假第7講操作類智巧趣題（C版）

7.有八個球編號是①至⑧，其中有六個球一樣重，另外兩個球都輕一克，為了找出這兩個輕球，用天平

稱了3次，結果如下：

第一次：①+②比③+④重；

第二次：⑤+⑥比⑦+⑧輕；

第三次；①+③+⑤與②+④+⑧一樣重.

那么兩個輕球的編號是和.

【答案】④、⑤

【分析】由第一次與第二次可知，③、④中必有一個輕球，⑤+⑥中必有一個輕球；第三次左邊①是標準球,

右邊②、⑧是標準球，如果④也是標準球，則③、⑤也是標準球，與“③、④中必有一個輕球“矛盾，所

以④是輕球，那么⑤也是輕球