數(shù)學(xué)建模入門課件

數(shù)學(xué)建?！F(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)主要內(nèi)容：一、數(shù)學(xué)建模簡介二、數(shù)學(xué)建模簡單示例三、數(shù)學(xué)建模論文寫作四、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽簡介五、數(shù)學(xué)建模的意義一、數(shù)學(xué)建模簡介通常，1公斤面，1公斤餡，包100個湯圓（餃子）今天，1公斤面不變，餡比1公斤多了，問應(yīng)多包幾個（小一些），還是少包幾個（大一些）？問題圓面積為S的一個皮，包成體積為V的湯圓,若分成n個皮，每個圓面積為s，包成體積為vV和

nv

哪個大?引子從包湯圓（餃子）說起Ssss…Vvvv(共n個)定性分析V比nv大多少?定量分析從包湯圓（餃子）說起假設(shè)1.皮的厚度一樣2.湯圓(餃子)的形狀一樣模型應(yīng)用若100個湯圓（餃子）包1公斤餡,則50個湯圓(餃子)可以包公斤餡R~大皮半徑V是nv是倍1.4r~小皮半徑兩個k1（和k2）一樣(1),(2),(3)數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實(shí)對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模建模步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用1）模型準(zhǔn)備：了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的，掌握對象的各種信息如統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等，弄清實(shí)際對象的特征。（有時需查資料或到有關(guān)單位了解情況）。建模步驟(具體解釋)2）模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對象的特征和建模目的，對問題進(jìn)行必要地合理地簡化。不同的假設(shè)會得到不同的模型。如果假設(shè)過于簡單可能會導(dǎo)致模型的失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改或補(bǔ)充假設(shè)，如“四足動物的體重問題”；如果假設(shè)過于詳細(xì)，試圖把復(fù)雜的實(shí)際現(xiàn)象的各個因素都考慮進(jìn)去，可能會陷入困境，無法進(jìn)行下一步工作。分清問題的主要方面和次要方面，抓主要因素，盡量將問題均勻化、線性化。3）模型建立：分清變量類型，恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具；抓住問題的本質(zhì)，簡化變量之間的關(guān)系；要有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，模型本身要正確；要有足夠的精確度。4）模型求解：可以包括解方程、畫圖形、證明定理以及邏輯運(yùn)算等。會用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，計(jì)算機(jī)技術(shù)（編程或軟件包）。特別地近似計(jì)算方法（泰勒級數(shù)，三角級數(shù)，二項(xiàng)式展開、代數(shù)近似、有效數(shù)字等）。6）模型檢驗(yàn)：把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實(shí)際對象中，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m應(yīng)性檢驗(yàn)結(jié)果有三種情況：符合好，不好，階段性和部分性符合好。7）模型應(yīng)用：應(yīng)用中可能發(fā)現(xiàn)新問題，需繼續(xù)完善。5）模型分析：結(jié)果分析、數(shù)據(jù)分析。變量之間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；數(shù)學(xué)預(yù)測；最優(yōu)決策控制等。模型的分類1）按變量的性質(zhì)分類：離散模型確定性模型線性模型單變量模型連續(xù)模型隨機(jī)性模型非線性模型多變量模型2）按時間變化對模型的影響分類：靜態(tài)模型參數(shù)定常模型動態(tài)模型參數(shù)時變模型3）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分類：人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會學(xué)模型等。4）按建立模型的數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）分類：初等模型、幾何模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運(yùn)籌學(xué)模型等。5）按建模目的分類：描述性模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。6）按對模型結(jié)構(gòu)的了解程度分類：白箱模型：其內(nèi)在機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科問題，包括力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等。灰箱模型：其內(nèi)在機(jī)理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等。黑箱模型：其內(nèi)在機(jī)理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象，如生命科學(xué)、社會科學(xué)等?；痉椒C(jī)理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將研究對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型二者結(jié)合機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),測試分析確定模型參數(shù)數(shù)學(xué)建模的基本方法問題：將四條腿一樣長的正方形椅子放在不平的地面上，是否總能設(shè)法使它的四條腿同時著地，即放穩(wěn)。假設(shè)

1）地面為光滑曲面；

2）相對地面的彎曲程度而言，椅子的腿是足夠長的；

3）只要有一點(diǎn)著地就視為已經(jīng)著地，即將與地面的接觸視為幾何上的點(diǎn)接觸；

4）椅子的中心不動。二、數(shù)學(xué)建模簡單示例建模示例之一：椅子能放平穩(wěn)嗎2建模分析xyAABBCCDDO表示A,C與地面距離之和表示B,D與地面距離之和則由三點(diǎn)著地，有不失一般性，設(shè)初始時：假設(shè)：是的連續(xù)函數(shù)，且對任意，求證：至少存在，使得數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)命題：.回憶:連續(xù)函數(shù)的介值定理oxyab4模型求解證明：將椅子轉(zhuǎn)動，對角線互換，由可得令由的連續(xù)性，根據(jù)介值定理，在中至少存在一點(diǎn),使得,即又所以結(jié)論：能放穩(wěn)。思考題1：長方形的椅子會有同樣的性質(zhì)嗎？建模示例之二：人力資源分配問題某個中型百貨商場對售貨人員（周工資200元）的需求經(jīng)統(tǒng)計(jì)如下表

為了保證銷售人員充分休息，銷售人員每周工作5天，休息2天。問應(yīng)如何安排銷售人員的工作時間，使得所配售貨人員的總費(fèi)用最??？星期一二三四五六七人數(shù)12151214161819模型假設(shè)每天工作8小時，不考慮夜班的情況；每個人的休息時間為連續(xù)的兩天時間；每天安排的人員數(shù)不得低于需求量，但可以超過需求量問題分析：因素1、不可變因素：需求量、休息時間、單位費(fèi)用；

2、可變因素：安排的人數(shù)、總費(fèi)用；方案：確定每天工作的人數(shù)，由于連續(xù)休息2天，當(dāng)確定每個人開始休息的時間就等于知道工作的時間，因而確定每天開始休息的人數(shù)就知道每天開始工作的人數(shù)，從而求出每天工作的人數(shù)。變量：設(shè)每天開始休息的人數(shù)為：約束條件

1.每人休息時間2天，自然滿足。

3.變量非負(fù)約束：目標(biāo)函數(shù)：總費(fèi)用最小，總費(fèi)用與使用的總?cè)藬?shù)成正比。由于每個人必然在且僅在某一天開始休息，所以總?cè)藬?shù)等于模型2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導(dǎo)的熱量

T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)建模示例之三：雙層玻璃窗的功效dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。實(shí)際上雙層窗的功效不會如此之大1、摘要（問題、模型、方法、結(jié)果）2、問題重述4、分析與建立模型5、模型求解6、模型檢驗(yàn)7、模型推廣8、參考文獻(xiàn)9、附錄3、模型假設(shè)三、數(shù)學(xué)建模論文寫作摘要問題提出和假設(shè)的合理性模型的建立模型的計(jì)算與分析1、摘要字?jǐn)?shù)盡量控制在500字內(nèi)語言精簡，用詞準(zhǔn)確闡述細(xì)致具體的方法列出主要結(jié)論寫出三至五個關(guān)鍵詞主要模型（名稱）、方法和結(jié)果，解決了什么問題，有何特色等；2、問題提出和假設(shè)的合理性簡單地說明問題的情景，即要說清事情的來龍去脈。列出必要數(shù)據(jù)，提出要解決的問題，并給出研究對象的關(guān)鍵信息的內(nèi)容。歷屆數(shù)學(xué)建模競賽的試題可以看作是情景說明的范例。模型假設(shè)論文中的假設(shè)要以嚴(yán)格、確切的數(shù)學(xué)語言表達(dá)。所提出的假設(shè)為建立數(shù)學(xué)模型所必需的，而不是與建立模型無關(guān)。假設(shè)應(yīng)驗(yàn)證其合理性：合理性可以從分析問題過程中得出，例如從問題的性質(zhì)出發(fā)作出合乎常識的假設(shè)；或者由觀察所給數(shù)據(jù)的圖象，得到變量的函數(shù)形式；也可以參考其他資料由類推得到，但要指出參考文獻(xiàn)的相關(guān)內(nèi)容。主要假設(shè)以3~5條為宜。3、模型的建立

論文中引進(jìn)變量及其記號，通過一定的數(shù)學(xué)方法，建立方程式或歸納為其他形式的數(shù)學(xué)問題。注意事項(xiàng)：用分析和論證的方法，讓讀者了解得到模型的過程。上下文之間切忌邏輯推理過程中躍度過大，影響論文的說服力。需要推理和論證的地方，應(yīng)該有推導(dǎo)的過程而且力求嚴(yán)謹(jǐn)。引用現(xiàn)成定理時，要先驗(yàn)證滿足定理的條件。論文中用到的各種數(shù)學(xué)符號，須在第一次出現(xiàn)時加以說明。4、模型的計(jì)算與分析模型求解注意事項(xiàng)：在數(shù)值求解時應(yīng)對計(jì)算方法有所說明，并給出所使用軟件的名稱或者給出計(jì)算程序（通常以附錄形式給出）。可以用計(jì)算機(jī)軟件繪制曲線和曲面示意圖，來形象地表達(dá)數(shù)值計(jì)算結(jié)果。一些模型（例如非線性微分方程）需要作穩(wěn)定性或其他定性分析，應(yīng)指出所依據(jù)的數(shù)學(xué)理論，并在推理或計(jì)算的基礎(chǔ)上得出明確的結(jié)論。在模型建立和分析的過程中，帶有普遍意義的結(jié)論可以用清晰的定理或命題的形式陳述出來。定理和命題必須寫清結(jié)論成立的條件。5、優(yōu)缺點(diǎn)，改進(jìn)方向等，附錄（程序、更多的計(jì)算結(jié)果、復(fù)雜的推導(dǎo)、證明等）；參考論文（附）（ChinaUndergraduateMathematicalContestinModeling,縮寫為CUMCM)

四、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

1992年由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(CSIAM)組織第一次競賽

1994年起由教育部高教司和CSIAM共同舉辦，每年一次(9月)全國高校規(guī)模最大的課外科技活動數(shù)學(xué)建模競賽(MathematicalContestinModeling)簡介內(nèi)容賽題：工程技術(shù)、管理科學(xué)中經(jīng)過簡化的實(shí)際問題答卷：一篇包含模型假設(shè)、建立、求解、計(jì)算方法設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、結(jié)果分析和檢驗(yàn)、模型改進(jìn)等方面的論文形式

3名大學(xué)生組隊(duì)，在3天內(nèi)完成的比賽

可使用任何“死”材料（圖書、計(jì)算機(jī)、軟件、互聯(lián)網(wǎng)等），但不得與隊(duì)外任何人討論宗旨創(chuàng)新意識團(tuán)隊(duì)精神重在參與公平競爭標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的正確性，表述的清晰程度年份A題B題C題D題2002車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)彩票中的數(shù)學(xué)車燈線光源的計(jì)算賽程安排2003SARS的傳播露天礦生產(chǎn)的車輛安排SARS的傳播搶渡長江2004奧運(yùn)會臨時超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)電力市場的輸電阻塞管理飲酒駕車公務(wù)員招聘2005長江水質(zhì)的評價(jià)和預(yù)測DVD在線租賃雨量預(yù)報(bào)方法的評價(jià)DVD在線租賃2006出版社的資源配置艾滋病療法的評價(jià)和療效的預(yù)測易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽近8年的題目（本科隊(duì)從A,B題中選一題，專科隊(duì)從C,D題中選一題

年份A題B題C題D題2007中國人口預(yù)測乘公交，看奧運(yùn)手機(jī)“套餐”優(yōu)惠幾何

體能測試時間安排的優(yōu)化設(shè)計(jì)

2008數(shù)碼