第19講 第十章 動(dòng)量定理

動(dòng)力學(xué)動(dòng)量定理動(dòng)量定理TheoreticalMechanics教學(xué)內(nèi)容：動(dòng)量、沖量等基本概念和計(jì)算，動(dòng)量定理，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理教學(xué)要求：1、了解質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量計(jì)算。2、理解質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量、沖量等基本概念和計(jì)算，以及質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，理解動(dòng)量守恒定理的應(yīng)用。重點(diǎn)：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics第十八(1)講的內(nèi)容、要求、重難點(diǎn)學(xué)時(shí)安排：13、掌握質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理及其運(yùn)用。難點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量的計(jì)算§10-1動(dòng)量與沖量§10-2動(dòng)量定理和沖量定理§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理第十章動(dòng)量定理動(dòng)力學(xué)目錄TheoreticalMechanics幾個(gè)實(shí)際問題宇航員在太空拔河，開始靜止。若A的力氣大于B的力氣，誰勝誰負(fù)？幾個(gè)實(shí)際問題第十章動(dòng)量定理TheoreticalMechanics蹲在磅秤上的人站起來時(shí)磅秤指示數(shù)會(huì)不會(huì)發(fā)生的變化？幾個(gè)實(shí)際問題第十章動(dòng)量定理TheoreticalMechanics？偏心轉(zhuǎn)子電動(dòng)機(jī)工作時(shí)為什么會(huì)左右運(yùn)動(dòng)；這種運(yùn)動(dòng)有什么規(guī)律；會(huì)不會(huì)上下跳動(dòng)；利弊得失。幾個(gè)實(shí)際問題第十章動(dòng)量定理

TheoreticalMechanics§10-1動(dòng)量與沖量§10-1動(dòng)量與沖量

動(dòng)量

沖量TheoreticalMechanics§10-1動(dòng)量與沖量

質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m

與速度v

的乘積

mv

稱為該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。

p=∑mivipx

=∑mivix

，

py

=

∑miviy

，pz

=

∑miviz以px，py

和pz

分別表示質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在固定直角坐標(biāo)軸x，y

和z

上的投影。則有1.動(dòng)量的定義（1）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和稱為該質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量主矢，簡(jiǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。并用p

表示，即有（2）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量（3）質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的投影式一、動(dòng)量TheoreticalMechanics質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心C的矢徑表達(dá)式可寫為∑miri

=m

rC當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的質(zhì)心一般也是運(yùn)動(dòng)的，將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，即得p

=∑mivi=mvC2.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的簡(jiǎn)捷求法

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量§10-1動(dòng)量與沖量px

=∑mivix

=mvCx

py

=

∑miviy

=mvCypz

=

∑miviz

=mvCz投影到各坐標(biāo)軸上有可見，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量,等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。TheoreticalMechanics例題10-1

畫橢圓的機(jī)構(gòu)由勻質(zhì)的曲柄OA，規(guī)尺BD以及滑塊B和D組成(圖a)，曲柄與規(guī)尺的中點(diǎn)A鉸接。已知規(guī)尺長(zhǎng)2l，質(zhì)量是2m1；兩滑塊的質(zhì)量都是m2；曲柄長(zhǎng)l，質(zhì)量是m1

，并以角速度ω繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。試求當(dāng)曲柄OA與水平成角φ時(shí)整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)量。xyOADφωB(a)§10-1動(dòng)量與沖量例題10-1TheoreticalMechanics

m1

m2

m2

2m1l2l

整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)量等于曲柄OA、規(guī)尺BD、滑塊B和D的動(dòng)量的矢量和，即解法一:p=pOA+pBD+pB+pDxyOAD

φωBvDvAvBvEE§10-1動(dòng)量與沖量系統(tǒng)的動(dòng)量在坐標(biāo)軸x，y上的投影分別為：已知：曲柄OA長(zhǎng)l，質(zhì)量是m1，角速度ω。BD長(zhǎng)2l，質(zhì)量是2m1，兩滑塊的質(zhì)量都是m2。CTheoreticalMechanics系統(tǒng)的動(dòng)量在y軸上的投影為：

所以，系統(tǒng)的動(dòng)量大小為方向余弦為為

例題10-1

m1

m2

m2

2m1l2lφφ解法二:整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)量等于曲柄OA、規(guī)尺BD、滑塊B和D的動(dòng)量的矢量和，即p=pOA+pBD+pB+pD（1）其中曲柄OA的動(dòng)量pOA=m1vE

,大小是pOA=m1vE=m1lω/2其方向與vE一致，即垂直于OA并順著ω的轉(zhuǎn)向(圖

b)xyOADφωBvDvAvBvEExyOADφωB(b)pBD+pB+pDpOATheoreticalMechanics§10-1動(dòng)量與沖量已知：曲柄OA長(zhǎng)l，質(zhì)量是m1，角速度ω。BD長(zhǎng)2l，質(zhì)量是2m1，兩滑塊的質(zhì)量都是m2。

例題10-1

（2）因?yàn)橐?guī)尺和兩個(gè)滑塊的公共質(zhì)心在點(diǎn)A，它們的動(dòng)量表示成p′=

pBD+pB+pD=2(m1+m2)vA由于動(dòng)量

POA的方向也是與

vA

的方向一致，所以整個(gè)橢圓機(jī)構(gòu)的動(dòng)量方向與

vA

相同，而大小等于

m1

m2

m2

2m1l2l

m1

m2

2m1l2l§10-1動(dòng)量與沖量常力與作用時(shí)間t

的乘積

F·t稱為常力的沖量。并用I

表示，即有I=F·t1.常力的沖量2.變力的沖量沖量是矢量，方向與力相同。若力F是變力，可將力的作用時(shí)間t

分成無數(shù)的微小時(shí)間段dt

，在每個(gè)dt內(nèi)，力F可視為不變。元沖量——力F在微小時(shí)間段dt

內(nèi)的沖量稱為力F

的元沖量。變力F

在t時(shí)間間隔內(nèi)的沖量為：二、沖量TheoreticalMechanics§10-1動(dòng)量與沖量上式為一矢量積分，具體計(jì)算時(shí)，可投影于固定坐標(biāo)系上所以，變力F的沖量又可表示為：2.變力的沖量TheoreticalMechanics§10-2動(dòng)量定理和沖量定理

動(dòng)量定理

動(dòng)量守恒定理

沖量定理TheoreticalMechanics§10-2動(dòng)量定理和沖量定理因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為一、動(dòng)量定理p=∑mivi,對(duì)該式兩端求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，有分析右端，把作用于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力F分為內(nèi)力F（i

)和外力F(e

)，則得因?yàn)閮?nèi)力之和則有TheoreticalMechanics1、矢量表達(dá)的動(dòng)量定理§10-2動(dòng)量定理和沖量定理

即，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于它上所有外力的矢量和，這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式。常稱為動(dòng)量定理。2、投影形式的動(dòng)量定理即，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在固定軸上的投影對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于該質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在同一軸上的投影的代數(shù)和。

動(dòng)量定理

TheoreticalMechanics§10-2動(dòng)量定理和沖量定理設(shè)在t1

到

t2

過程中，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量由p1變?yōu)?/p>

p2，則對(duì)上式積分，可得二、沖量定理

可見，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在一段時(shí)間內(nèi)的變化量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在同一段時(shí)間內(nèi)的沖量的矢量和。這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式，也稱為質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理。動(dòng)量定理

動(dòng)量定理

TheoreticalMechanics1、沖量定理的積分（矢量）形式即，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量在某固定軸上投影的變化量,等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在對(duì)應(yīng)時(shí)間間隔內(nèi)的沖量在同一軸上的投影的代數(shù)和。2、沖量定理的投影表達(dá)式

動(dòng)量定理

§10-2動(dòng)量定理和沖量定理TheoreticalMechanics§10-2動(dòng)量定理和沖量定理1.如果在上式中∑Fi（e)≡0，則有p=p0

=

常矢量（p0

為質(zhì)點(diǎn)系初始瞬時(shí)的動(dòng)量）即在運(yùn)動(dòng)過程中,如作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力的矢量和始終等于零，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量保持不變。這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定理。

動(dòng)量定理

三、動(dòng)量守恒定理TheoreticalMechanics2.如果在上式中∑Fix（e)≡0，則有p

x

=p0x=

常量（p0x

為質(zhì)點(diǎn)系初始瞬時(shí)的動(dòng)量在x軸上的投影）在運(yùn)動(dòng)過程中,如作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在某一軸上的投影的代數(shù)和始終等于零，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該軸上的投影保持不變

實(shí)例分析：人在光滑水平面小車上行走工程實(shí)例

TheoreticalMechanics§10-2動(dòng)量定理和沖量定理

內(nèi)力不改變整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但是質(zhì)點(diǎn)系每一部分的動(dòng)量可能會(huì)改變。工程實(shí)例

實(shí)例分析：

炮車反座§10-2動(dòng)量定理和沖量定理

TheoreticalMechanics§10-2動(dòng)量定理和沖量定理

內(nèi)力不改變整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但是質(zhì)點(diǎn)系每一部分的動(dòng)量可能會(huì)改變。

實(shí)例分析：

反沖運(yùn)動(dòng)工程實(shí)例

TheoreticalMechanics§10-2動(dòng)量定理和沖量定理

內(nèi)力不改變整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但是質(zhì)點(diǎn)系每一部分的動(dòng)量可能會(huì)改變。

實(shí)例分析：

導(dǎo)彈發(fā)射工程實(shí)例

TheoreticalMechanics§10-2動(dòng)量定理和沖量定理

實(shí)例分析：

臺(tái)式風(fēng)扇臺(tái)式風(fēng)扇放置在光滑的臺(tái)面上的臺(tái)式風(fēng)扇工作時(shí)，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？工程實(shí)例TheoreticalMechanics

例題10-2

火炮（包括炮車與炮筒）的質(zhì)量是m1，炮彈的質(zhì)量是m2，炮彈相對(duì)炮車的發(fā)射速度是vr，炮筒對(duì)水平面的仰角是

（圖a）。設(shè)火炮放在光滑水平面上，且炮筒與炮車相固連，試求火炮的后坐速度和炮彈的發(fā)射速度。(a)ABFAFBm1gm2guxyvrα例題10-2§10-2動(dòng)量定理和沖量定理TheoreticalMechanics

(1)取火炮和炮彈（包括炸藥）這個(gè)系統(tǒng)作為研究對(duì)象。求火炮的后坐速度和炮彈的發(fā)射速度的關(guān)系。解:

設(shè)火炮的反座速度是u，炮彈的發(fā)射速度是

v，對(duì)水平面的仰角是

（圖b）。

炸藥（其質(zhì)量略去不計(jì)）的爆炸力是內(nèi)力，作用在系統(tǒng)上的外力在水平軸

x的投影都是零，即有Fix=0。

可見，系統(tǒng)的動(dòng)量在軸

x上的投影守恒，考慮到初始瞬時(shí)系統(tǒng)處于靜止，即有

p0x

=0，于是有px=m2vcos

m1u=0(b)

vvevr

例題10-2

§10-2動(dòng)量定理和沖量定理(a)ABFAFBm1gm2guxyvrαTheoreticalMechanics(b)（2）根據(jù)點(diǎn)（炮彈）的速度合成定理，求未知量v=ve

+vr考慮到

ve

=u，并將上式投影到軸x和y上，就得到vcos

=vrcos

u

vsin

=vrsin

聯(lián)立求解上列三個(gè)方程，即得px=m2vcos

m

1u=0

例題10-2

§10-2動(dòng)量定理和沖量定理(a)ABFAFBm1gm2guxyvrαTheoreticalMechanics(b)

vvevr由上式可見，v與vr方向不同，θ＞α。當(dāng)m1>>m2

時(shí)，θ≈α。但在軍艦或車上時(shí)，應(yīng)該考慮修正量m2/m1。

討論

例題10-3

鍛錘

A

的質(zhì)量

m

=

3000kg，從高度

h

=

1.45m處自由下落到鍛件

B

上。假設(shè)鍛錘由接觸鍛件到最大變形的時(shí)間t

=

0.01s，求鍛錘作用在鍛件上的平均碰撞力。Bmgv0=0vhA例題10-3§10-2動(dòng)量定理和沖量定理TheoreticalMechanics

取鍛錘作為研究對(duì)象。它從高度

h

自由下落到鍛件產(chǎn)生最大變形的過程，可分成兩個(gè)階段。解：

（1）碰撞前的自由下落階段。鍛錘只受重力作用，由動(dòng)能定理從而求得碰撞前鍛錘速度的大小Bmgv0=0vvmgFBAOyhA

例題10-3

§10-2動(dòng)量定理和沖量定理TheoreticalMechanics寫出沖量定理在鉛直軸

y

上的投影式，并注意鍛件變形最大時(shí)鍛錘速度為零，有（2）鍛錘由開始接觸鍛件到最大變形階段。該階段鍛錘受重力mg和鍛件對(duì)鍛錘的碰撞力（設(shè)其平均值為FB）的作用。0

mv=mgt

FBt從而求得代入求出的速度

v

和已知數(shù)據(jù)，即得FB=16.3

102kN§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§18-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理§10-2動(dòng)量定理和沖量定理TheoreticalMechanics質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的表達(dá)式引入質(zhì)心的加速度aC

=dvc

/dt，則上式可改寫成maC=∑Fi（e）即，質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積,等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和（主矢）,這就是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。一、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理一、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理把質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的表達(dá)式p

=∑mivi=mvC代入上式，可得

1.定理表達(dá)式§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics具體計(jì)算時(shí),常把質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理表達(dá)式投影到固定直角坐標(biāo)軸系上得假設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系由N個(gè)部分構(gòu)成，則由式p

=∑mivi=mvC

，可把質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理表達(dá)式的左端表示成§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

3.投影表達(dá)式mac=∑Fi（e）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

2.定理的轉(zhuǎn)化式TheoreticalMechanics即，如作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力的矢量和（主矢）始終等于零，則質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒，即質(zhì)心作慣性運(yùn)動(dòng)；如果在初瞬時(shí)質(zhì)心處于靜止，則它將停留在原處。1.如果∑Fi（e）

≡0，則由上式可知aC=0，從而有vc

=常矢量maC=∑Fi（e）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理投影表達(dá)式

2.如果∑Fix

≡0，則由上式可知d2xC/dt

2

=aCx

=0，從而dxC

/dt=vCx=常量即，如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在某固定軸上投影的代數(shù)和始終等于零,則質(zhì)心在該軸方向的運(yùn)動(dòng)守恒。另外，如果初瞬時(shí)質(zhì)心的速度在該軸上的投影也等于零（即vCx=0),則質(zhì)心沿該軸的位置坐標(biāo)不變。即xC

=xC0

=常量§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒

實(shí)例分析：太空拔河mAvA+mBvB=(mA+mB)vC=0宇航員在太空拔河，開始靜止。若A的力氣大于B的力氣，誰勝誰負(fù)?動(dòng)量守恒

TheoreticalMechanics§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒兩人在光滑冰上拔河，開始向左運(yùn)動(dòng)。若A的力氣大于B的力氣，兩人如何運(yùn)動(dòng)？AB實(shí)例分析

TheoreticalMechanics§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)實(shí)例

實(shí)例分析：汽車的啟動(dòng)與制動(dòng)

TheoreticalMechanics§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)實(shí)例

實(shí)例分析：汽車的啟動(dòng)與制動(dòng)

TheoreticalMechanics§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)實(shí)例為什么賽車比賽前，車手會(huì)使輪胎在地面空轉(zhuǎn)？

TheoreticalMechanics§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)實(shí)例

TheoreticalMechanics蒸汽機(jī)與機(jī)車1892年研制的蒸汽機(jī)車蒸汽機(jī)車問題：

如何提高牽引力？§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)實(shí)例TheoreticalMechanics柴油機(jī)車

電力機(jī)車問題：（1）在輸出扭矩相同的條件下，機(jī)車主動(dòng)輪半徑與牽引力的關(guān)系如何？（2）列車提速后又帶來了哪些新問題？§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)實(shí)例TheoreticalMechanics電力車組實(shí)驗(yàn)中的磁懸浮列車上海磁懸浮列車問題：

若機(jī)車電機(jī)有足夠的動(dòng)力，是否機(jī)車可以跑得充分快？§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)實(shí)例TheoreticalMechanics§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒

實(shí)例分析：定向爆破

TheoreticalMechanics§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒

實(shí)例分析：跳高運(yùn)動(dòng)員的過桿姿勢(shì)

TheoreticalMechanics例題10-4

如圖所示，在靜止的小船上，一人自船頭走到船尾，設(shè)人質(zhì)量為m2，船的質(zhì)量為m1

，船長(zhǎng)l，水的阻力不計(jì)。求船的位移。Olsabxxym1gm2gm1gm2g§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理例題10-4

解：（1）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理研究人與船組成質(zhì)點(diǎn)系。因不計(jì)水的阻力，故外力在水平軸上的投影之和等于零，即∑Fix≡0。則有②人走到船尾時(shí)，船移動(dòng)的距離為s，則質(zhì)心的坐標(biāo)為（2）取坐標(biāo)軸如圖所