新教材高中數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案5-5-1第3課時(shí)兩角和與差的正切公式

第3課時(shí)兩角和與差的正切公式[目標(biāo)]1.理解兩角和與差的正切公式及其推導(dǎo)過程；2.能夠靈活運(yùn)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明等，掌握公式的正向、逆向及變形應(yīng)用．[重點(diǎn)]記住并會(huì)應(yīng)用兩角和與差的正切公式．[難點(diǎn)]靈活運(yùn)用公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明．知識(shí)點(diǎn)兩角和與差的正切公式[填一填]兩角和與差的正切公式[答一答]1．你能總結(jié)出公式T(α±β)的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律嗎？提示：(1)公式T(α±β)的右側(cè)為分式形式，其中分子為tanα與tanβ的和或差，分母為1與tanαtanβ的差或和．(2)符號(hào)變化規(guī)律可簡(jiǎn)記為“分子同，分母反”．2．taneq\f(π,12)＝2－eq\r(3).解析：taneq\f(π,12)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,6)))＝eq\f(tan\f(π,4)－tan\f(π,6),1＋tan\f(π,4)tan\f(π,6))＝eq\f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝2－eq\r(3).類型一公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用[例1]求下列各式的值：(1)taneq\f(11π,12)；(2)eq\f(tan75°－tan15°,1＋tan75°tan15°).[解](1)原式＝－taneq\f(π,12)＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,6)))＝－eq\f(tan\f(π,4)－tan\f(π,6),1＋tan\f(π,4)tan\f(π,6))＝－eq\f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝－2＋eq\r(3).(2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝eq\r(3).公式Tα±β只有在α≠eq\a\vs4\al(\f(π,2))＋kπ，β≠eq\a\vs4\al(\f(π,2))＋kπ，α±β≠eq\a\vs4\al(\f(π,2))＋kπk∈Z時(shí)才成立，否則就不成立，這是由正切函數(shù)的定義域決定的.[變式訓(xùn)練1]已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，tan(α－β)＝eq\f(1,2)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0)).(1)求tanα的值；(2)求eq\f(1,2sinαcosα＋cos2α)的值；(3)求2α－β的值．解：(1)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2，得tanα＝eq\f(1,3).(2)eq\f(1,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋1,2tanα＋1)＝eq\f(2,3).(3)因?yàn)閠an(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝eq\f(tanα＋tanα－β,1－tanαtanα－β)＝1，因?yàn)棣隆蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，得2α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))，所以2α－β＝eq\f(π,4).類型二公式的變形應(yīng)用[例2](1)化簡(jiǎn)：tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°；(2)若銳角α，β滿足(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，求α＋β.[分析](1)的求解可利用23°＋37°＝60°及兩角和的正切公式將tan(23°＋37°)展開變形求解，(2)的求解需將所給關(guān)系式的左邊展開，逆用兩角和的正切公式求出tan(α＋β)．[解析](1)∵tan(23°＋37°)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴eq\r(3)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°).∴eq\r(3)－eq\r(3)tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°.∴tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°＝eq\r(3).(2)∵(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝1＋eq\r(3)(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，∴tanα＋tanβ＝eq\r(3)(1－tanαtanβ)．∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3).又∵α，β均為銳角，∴0<α＋β<180°.∴α＋β＝60°.T(α±β)可變形為如下形式：①tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)或②1?tanαtanβ＝eq\f(tanα±tanβ,tanα±β).當(dāng)α±β為特殊角時(shí)，?？紤]使用變形①，遇到1與正切的乘積的和(或差)時(shí)常用變形②.[變式訓(xùn)練2](1)若tan28°·tan32°＝m，則tan28°＋tan32°＝(B)A．eq\r(3)m B．eq\r(3)(1－m)C．eq\r(3)(m－1) D．eq\r(3)(m＋1)解析：(1)∵28°＋32°＝60°.∴tan(28°＋32°)＝eq\f(tan28°＋tan32°,1－tan28°·tan32°)＝tan60°＝eq\r(3).∴tan28°＋tan32°＝eq\r(3)(1－m)．選B．(2)△ABC不是直角三角形，求證：tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC．證明：由題意得A＋B＋C＝π，所以tanA＝tan(π－B－C)＝－tan(B＋C)＝－eq\f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)，所以－tanA(1－tanBtanC)＝tanB＋tanC，所以－tanA＋tanAtanBtanC＝tanB＋tanC，所以tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC．類型三公式的綜合應(yīng)用[例3]已知A，B，C為△ABC的內(nèi)角，tanA，tanB是關(guān)于x的方程x2＋eq\r(3)px－p＋1＝0(p∈R)的兩個(gè)實(shí)根．求C的大?。甗解]由已知，方程x2＋eq\r(3)px－p＋1＝0的判別式Δ＝(eq\r(3)p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，所以p≤－2或p≥eq\f(2,3).易知tanA＋tanB＝－eq\r(3)p，tanAtanB＝1－p.于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0.從而tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(\r(3)p,p)＝－eq\r(3).所以tanC＝－tan(A＋B)＝eq\r(3)，所以C＝60°.和差公式是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，有時(shí)高考會(huì)將公式與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)綜合考查.[變式訓(xùn)練3]已知tanα和taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根，則a，b，c的關(guān)系是(A)A．c＝b＋a B．2b＝a＋cC．b＝a＋c D．c＝ab解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－\f(b,a)，,tanαtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝\f(c,a)，))所以taneq\f(π,4)＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＋α))＝eq\f(－\f(b,a),1－\f(c,a))＝1，所以－eq\f(b,a)＝1－eq\f(c,a)，所以－b＝a－C．所以c＝a＋B．故選A．1.eq\f(\r(3)－tan18°,1＋\r(3)tan18°)等于(A)A．tan42° B．tan3°C．1 D．tan24°解析：eq\f(\r(3)－tan18°,1＋\r(3)tan18°)＝eq\f(tan60°－tan18°,1＋tan60°tan18°)＝tan(60°－18°)＝tan42°.2．已知cosα＝－eq\f(4,5)，且α∈(eq\f(π,2)，π)，則tan(eq\f(π,4)－α)等于(D)A．－eq\f(1,7) B．－7C．eq\f(1,7) D．7解析：由于α∈(eq\f(π,2)，π)，則sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(3,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)，所以tan(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝7.3．已知tan(α＋β)＝eq\f(1,3)，tanα＝－2，則tanβ的值為(A)A．7 B．－7C．－eq\f(7,5) D．eq\f(7,5)解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝eq\f(\f(1,3)－－2,1＋\f(1,3)×－2)＝7.4．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的兩個(gè)根，且－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，則α＋β＝－eq\f(2π,3).解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＝－3\r(3)，,tanα·tanβ＝4>0，))所以tanα<0，tanβ<0，所以－eq\f(π,2)<α<0，－eq\f(π,2)<β<0，所以－π<α＋β<0.又tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－3\r(3),1－4)＝eq\r(3).所以α＋β＝－eq\f(2π,3).5．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，求tan2α＋tan2β的值．解：∵tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)，∴4＝eq\f(2,1－tanαtanβ)，解得tanαtanβ＝eq\f(1,2)，∴tan2α＋tan2β＝(tanα＋tanβ)2－2tanαtanβ＝4－2×eq\f(1,2)＝3.——本課須掌握的三大問題1．公式T(α±β)的適用范圍由正切函數(shù)的定義可知α、β、α＋β(或α－β)的終邊不能落在y軸上，即不為kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．2．公式T(α±β)的逆用一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換．如taneq\f(π,4)＝1，taneq\f(π