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20182019學年第二學期高二期中考試數(shù)學試題(理科)命題人:黃希復(fù)核人:黃亞新一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1.計算:的值為▲.2.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的實部是▲.3.已知,則=▲.4.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則的模是▲.5.用反證法證明“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一個能被5整除”時,應(yīng)假設(shè)▲.6.用數(shù)學歸納法證明“對于的自然數(shù)都成立”時,第一步中的值應(yīng)取▲.7.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門,則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有▲種.8.除以9的余數(shù)為▲.9.若,則的值為___▲___.10.已知不等式,,,照此規(guī)律總結(jié)出第個不等式為▲.11.在平面幾何中,的內(nèi)角平分線分所成線段的比(如圖所示),把這個結(jié)論類比到空間:在三棱錐中(如圖所示),面平分二面角且與相交于點,則得到的結(jié)論是_▲.12.如圖為我國數(shù)學家趙爽(約3世紀初)在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖,現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色,規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域顏色不相同,則不同的涂色方案種數(shù)為___▲___.13.把正整數(shù)排成如圖甲的三角形數(shù)陣,然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù),得到如圖乙的三角形數(shù)陣,再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列,得到一個數(shù)列,則▲.14.三角形的周長為31,三邊均為整數(shù),且,則滿足條件的三元數(shù)組的個數(shù)為▲.二、解答題:本大題共6小題,共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分14分)已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù).(1)求的值;(2)若復(fù)數(shù),滿足,求的最大值.16.(本小題滿分14分)(1)設(shè),求證:;(2)已知非零實數(shù)是公差不為零的等差數(shù)列,求證:.17.(本小題滿分14分)從8名運動員中選4人參加4×100米接力賽,在下列條件下,各有多少種不同的排法?(1)甲、乙兩人必須入選且跑中間兩棒;(2)若甲、乙兩人只有一人被選且不能跑中間兩棒;(3)若甲、乙兩人都被選且必須跑相鄰兩棒;(4)甲不在第一棒.18.(本小題滿分16分)已知在的展開式中各項系數(shù)的和比它的二項式系數(shù)的和大992.(1)求的值;(2)求展開式中的項;(3)求展開式中系數(shù)最大的項.19.(本小題滿分16分)已知等差數(shù)列的公差d大于0,且是方程的兩根,數(shù)列的前n項和為,且(1)求數(shù)列、的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為,試比較與的大小,并用數(shù)學歸納法給予證明.20.(本小題滿分16分)已知.(1)設(shè),求中含項的系數(shù);(2)化簡:;(3)證明:20182019學年第二學期高二期中考試數(shù)學試題(理科)答案一、填空:1.152.3.4或64.5.a,b都不能被5整除6.57.308.9.110.11.12.42013.397414.24二、解答題:15.解:(1)復(fù)數(shù)
是純虛數(shù).
,計算得出.
的值是1..........................................................................................8分(2)由(1)可以知道:.設(shè).
,,,
.
可以知道:,.
的最大值為3................................................................................14分注:法二:用復(fù)數(shù)的幾何意義16.(1)由……4分因為所以所以………7分(2)(反證法)假設(shè),
則.
①
而.
②
由①②,得,即,
于是,這與非零實數(shù)成公差不為零的等差數(shù)列矛盾,故假設(shè)不成立,原命題結(jié)論成立,即成立.…14分17.解:(1)60………3分(2)480………6分(3)180………10分(4)1470………14分(16分)(10分)(16分)(10分)18(16分)(10分)(16分)(10分)19.解(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2+a5=12,,a2a5=27.))因為{an}的公差大于0,所以a5>a2,所以a2=3,a5=9.所以d=eq\f(a5-a2,3)=eq\f(9-3,3)=2,a1=1,即an=2n-1.………2分因為Tn=1-eq\f(1,2)bn,所以b1=eq\f(2,3).當n≥2時,Tn-1=1-eq\f(1,2)bn-1,所以bn=Tn-Tn-1=1-eq\f(1,2)bn-1-eq\f(1,2)bn-1,化簡得bn=eq\f(1,3)bn-1,所以{bn}是首項為eq\f(2,3),公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列,即bn=eq\f(2,3)·eq\f(1,3)n-1=eq\f(2,3n).所以an=2n-1,bn=eq\f(2,3n).………6分(2)因為Sn=eq\f(1+2n-1,2)×n=n2,所以Sn+1=(n+1)2,eq\f(1,bn)=eq\f(3n,2).下面比較eq\f(1,bn)與Sn+1的大?。寒攏=1時,eq\f(1,b1)=eq\f(3,2),S2=4,所以eq\f(1,b1)<S2,當n=2時,eq\f(1,b2)=eq\f(9,2),S3=9,所以eq\f(1,b2)<S3,當n=3時,eq\f(1,b3)=eq\f(27,2),S4=16,所以eq\f(1,b3)<S4,當n=4時,eq\f(1,b4)=eq\f(81,2),S5=25,所以eq\f(1,b4)>S5.………8分猜想:n≥4時,eq\f(1,bn)>Sn+1.………9分下面用數(shù)學歸納法證明:①當n=4時,已證.②假設(shè)當n=k(k∈N*,k≥4)時,eq\f(1,bk)>Sk+1,即eq\f(3k,2)>(k+1)2,…10分那么,eq\f(1,bk+1)=eq\f(3k+1,2)=3·eq\f(3k,2)>3(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1>k2+4k+4=[(k+1)+1]2=S(k+1)+1…14分所以當n=k+1時,eq\f(1,bn)>Sn+1也成立.由①②可知,對任何n∈N*,n≥4,eq\f(1,bn)>Sn+1都成立.綜上所述,當n=1,2,3時,eq\f(1,bn)<Sn+1,………1
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