2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 7-4 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 學(xué)案

第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.從定義和基本事實(shí)出發(fā)，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面

與平面的垂直關(guān)系，并加以證明?2.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

必備知識(shí)夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

1.直線與平面垂直

(D定義：一般地，如果直線/與平面ɑ內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與平

面α互相垂直，記作LLa.直線/叫做平面α的，平面α叫做直線/的.直

線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

如果一條直線與一個(gè)平I

面內(nèi)的兩條________直=Z卜Ua

判定定理

線垂直，那么該直線與/3刁

此平面垂直____________

ab

垂直于同一個(gè)平面的兩

性質(zhì)定理二}=a〃b

條直線________匚7

2.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是，就說這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

___________文字語言___________圖形語言符號(hào)語言

判定如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的8

△二}naVβ

定理______,那么這兩個(gè)平面垂直7J

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)/

性質(zhì)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面

二?=>∕±a

定理的______,那么這條直線與另一/7

個(gè)平面垂直4/

［常用結(jié)論］

1.若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線.

2.若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

3.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

4.一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直.

5.兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

夯實(shí)雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

⑴已知直線4,b,c,若a_L&,?Xc,則。〃c.()

(2)直線/與平面ɑ內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則/Lα.()

(3)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.()

(4)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.()

2.(教材改編)已知互相垂直的平面α,￡交于直線/,若直線機(jī),”滿足“〃α,nLβ,

貝∣J()

A.m//1B.m//n

C.〃_!_/D.∕n±n

3.(教材改編)在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)0.

(1)若PA=PB=PC,則點(diǎn)。是AABC的心.

(2)若∕?J_P8,PBLPC,PCLPA,則點(diǎn)。是AABC的心.

4.(易錯(cuò))"直線與平面ɑ內(nèi)無數(shù)條直線垂直”是“直線與平面a垂直”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.(易錯(cuò))已知ABC。是邊長(zhǎng)為“的正方形，點(diǎn)P在平面ABC。外，側(cè)棱M=q,PB=

PD=y［2a,則該幾何體P-ABC。的5個(gè)面中，互相垂直的面有對(duì).

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例I如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面4BCD,AC,。。，ZABC=60o,

PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).

(1)證明：CQLAE；

(2)證明：Pf)I.平面ABE

［聽課記錄］

題后師說

證明線面垂直的核心是證明線線垂直，而證明線線垂直則需要借助線面垂直的性質(zhì).因

此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思路.

鞏固訓(xùn)練1

如圖，在四面體朋BD中，4。，平面%8,PB±PA.

(1)求證：PBJ_平面APr＞；

(2)若AGUD,G為垂足，求證：AGLBD.

題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

例2［2023?河南安陽期末］如圖，在正四棱錐P-ABC。中，側(cè)棱長(zhǎng)為百，底面邊長(zhǎng)為2,

點(diǎn)E,F分別為CD,CB中點(diǎn).求證：

(X)PALEF-.

(2)平面用。_1平面PBC.

［聽課記錄］

題后師說

(1)利用面面垂直的判定定理證明面面垂直的一般方法是先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的

垂線.若圖中存在這樣的直線，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若圖中不存在這樣的直

線，則可通過作輔助線來解決，而作輔助線應(yīng)有理論根據(jù)并有利于證明.

(2)證明兩個(gè)平面垂直，通常是通過證明線線垂直f線面垂直一面面垂直來實(shí)現(xiàn)的.

鞏固訓(xùn)練2

如圖，在四棱錐P-A8C。中，底面ABCQ為菱形，其中∕?=PO=AQ=2,ZBAD=

60°,。為4。的中點(diǎn).

(1)求證：人。_1平面也23；

(2)若平面以。，平面ABCO,且PM=TPC,求四棱錐M-ABCD的體積.

題型三平行、垂直關(guān)系的綜合問題

例3[2023?河北石家莊模擬]如圖，在直三棱柱ABC-A曲G中，M為棱AC的中點(diǎn)，AB

=BC,AC=2,A4∣=√2.

⑴求證:BlC〃平面A山M；

(2)求證：AG_L平面A18M；

(3)在棱BS上是否存在點(diǎn)M使得平面ACiN，平面AAlGC?如果存在，求此時(shí)署的

值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

［聽課記錄］

題后師說

L對(duì)于三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.

2.對(duì)于垂直與平行結(jié)合的問題，應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定定理的綜合應(yīng)用.

3.對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)

系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證.

鞏固訓(xùn)練3

如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面48C。為正方形，P。_L平面A8C。，PD=AD,M

為線段PC上的動(dòng)點(diǎn)，N為線段BC的中點(diǎn).

(1)若M為線段PC的中點(diǎn)，證明：平面PBCJ_平面MN￡＞；

(2)若Bl〃平面MND,試確定點(diǎn)M的位置，并說明理由.

第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

必備知識(shí)?夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

1.(1)垂線垂面(2)相交/?ɑIJLbαuαbuaaC?b=O平行ɑ?ɑLa

2.(1)直二面角(2)垂線IUBl±a交線aLβbuβa∏6=a?±a

夯實(shí)雙基

1.答案：(I)X(2)×(3)×(4)×

2.解析：對(duì)于A,"與/可能平行或異面，故A錯(cuò)；對(duì)于B、D,m與"可能平行、

相交或異面，故B、D錯(cuò)，對(duì)于C,因?yàn)椤╛1_夕，IuB,所以"JJ,故C正確，故選C.

答案：C

3.解析：(1)如圖1,連接OA,OB,0C,0P,在Rt△尸。A,RtZXPOB和Rt△尸OC中，

PA=PC=PB,所以O(shè)A=OB=OC,即。為AABC的外心.

圖1圖2

(2)如圖2,延長(zhǎng)AO,BO,C。分別交BC,AC,AB于H,D,G.

'：PCLPA,PBLPC,PAHPB=P,

.,.PC_L平面PAB,

又ABu平面PAB,

：.PClAB,

'JABVPO,POCPC=P,平面PGC,

又CGU平面PGC,

：.AB1.CG,即CG為AABC邊4B上的高.

同理可證BO,AH分別為AABC邊AC,BC上的高，

即。為AABC的垂心.

答案：⑴外⑵垂

4.解析：根據(jù)直線垂直平面的定義，由''直線與平面a垂直"可推出''直線與平面a

內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”，反之不能由“直線與平面。內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”推出“直線與平

面a垂直故選B.

答案：B

5.解析：

已知ABCn是邊長(zhǎng)為α的正方形，側(cè)棱BA=",PB=PD=近a,

所以抬_LA。，PALAB,又AOruB=A,

所以南_1_平面ABCD,

因?yàn)锽4u平面∕?B,∕?u平面%￡),

所以平面物BJ_平面ABCr>,平面平面4BCD,

因?yàn)锳8J_A。，AB1.PA,4OnA4=A,所以ABJ_平面外。，

因?yàn)锳BU平面B4B,所以平面BAB，平面∕?f),

同理可得BC_L平面以B,BCc5FffiPBC,所以平面《4B_L平面PBC,

因?yàn)锳2〃。，所以CZ)_L平面B4。，

C。U平面PC￡),所以平面以D_L平面PC。，

故互相垂直的面有5對(duì).

答案：5

關(guān)鍵能力?題型突破

例1證明：(1)在四棱錐P-ABC。中，B4J_底面ABCz),CZ)U平面ABCf>,

ΛCD±∕?.

XCDLAC,PA^AC=A,,CDL平面∕?C,

「AEu平面PAC,故CDlAE.

⑵由PA=AB=BC,

ZABC=60°,可得以=AC,

「E是PC的中點(diǎn)，J.AELPC,

由(1)知，AEYCD,S.PCCiCD=C,

所以AE_L平面PCD.

而POU平面PCD,.?AE±PD.

;附J_底面ABC￡),PD在底面ABC。內(nèi)的射影是A。，ABΣAD,.".ABLPD.

又：ABCINE=A,,PO,平面ABE.

鞏固訓(xùn)練1證明：⑴由AQ_L平面∕?B,PBU平面∕?B,貝(1AO_LPB,

又PBJ_%，F(xiàn)AHAD=A,則PB_L平面AP。，

⑵由⑴及PBU平面PBD,則平面PB￡>_L平面APD,

又平面PBorI平面APo=PD,AGLPD,AGU平面APD,

所以AG_L平面PBD,而BDU平面PBD.

所以AG_LBD

例2證明：

(1)連接AC,2。交于點(diǎn)0,連接P。，在正四棱錐P-ABC。中，PO，平面A8C。，因

為8。U平面ABCD,所以POLBD,

XAC±BD,PO^AC=O,PO,ACU平面玄。，所以Boj_平面∕?0,因?yàn)辄c(diǎn)E,F分

別為CO,BC中點(diǎn).

所以EF〃BD,所以EFJ_平面以。，又RAu平面∕?0,所以％_LEF.

(2)連接PF,取AO的中點(diǎn)G,連接PG,FG,在正四棱錐P-ABCZ)中，尸是BC中點(diǎn),

所以尸匚L8C,又BC"AD,所以尸F(xiàn)_LAO,

因?yàn)樵谌噱FP-ABC。中，側(cè)棱長(zhǎng)為√W,底面邊長(zhǎng)為2,所以在APBC和△物￡>中，

PF=PG=WK=又FG=2,

所以PF2+PG2=FG2,所以PFLPG,又PGHAD=G,PG,4。U平面PAD,所以PFL

平面PAD,又PFU平面PBC,

所以平面以。_1_平面PBC.

鞏固訓(xùn)練2解析：

(1)證明：連接8￡>,?"PA^PD=AD^2,。為4力的中點(diǎn),

：.PQlAD,

又?.?NBAO=6()o,底面ABC。為菱形，

.?.△ABO是等邊三角形，

為AZ)的中點(diǎn)，

：.ADVBQ,

VPQ,8。是平面PQB內(nèi)的相交直線，

，AO_L平面PQB.

(2)連接0C,作LQC于”，

：平面MO_L平面ABCD平面BAOPl平面ABCo=AO,PQ±AD,PQU平面出。,

，PQ_L平面ABCD,

又QeU平面ABCZ),可得PQ1.QC,

平面尸QC中，歷4_1。(？且「。_1。。，

，PQ//MH可得A/H_L平面ABCD,

即Ma就是四棱錐M-ABCz)的高，

VPM=-PC,可得MH=JPQ=LX且X2=在，

22*222

.?.四棱錐M-AgcD的體積為V.ABCD^-×-AC×BD×MH^-×2×2^3×-^1.

M3262

例3解析：

(1)證明：連接A8與48,兩線交于點(diǎn)0,連接OM,

在ABiAC中M,O分別為4C,ABl的中點(diǎn)，

所以O(shè)M〃BlC,又OMU平面AiBM,Bca平面A1BM,

所以BC〃平面4BM.

(2)證明：因?yàn)锳AlJ_底面A8C,BMU平面ABC,所以AAlI.8”.

又M為棱4C的中點(diǎn)，AB=BC,所以_LAC

因?yàn)棣?∣ΠAC=4,AAi,ACU平面ACGA∣,

所以BM_L平面AeCi4,AGU平面ACCI4,所以BM_LAG.

因?yàn)锳C=2,所以AM=I.又AAl=魚，

在RtAACG和Rt?ΛιAΛ/中，tanNAClC=tanZA∣Λ∕Λ=√2,

所以ZAGC=ZA∣Λ∕A,即ZAC∣C+ZC∣AC=ZA∣Λ∕Λ+ZC∣AC=90o,

所以A∣M_LAC∣,又BMClAlM=M,BM,AlMU平面AlBM,

所以ACll■平面AiBM.

(3)當(dāng)點(diǎn)N為BBl的中點(diǎn)，即瞿■=：時(shí)，平面AGNL平面A4∣GC.

BBl2

證明如下：設(shè)AG的中點(diǎn)為。，連接。M,DN,

因?yàn)镺,M分別為AcAC的中點(diǎn)，

所以O(shè)M〃CCI且。M